W = dw = F.dl. = F dl cosϕ

Transcripción

1 letos Fís pr Cens e Ingenerí CAÍTULO 2.07 INTERCAMBIADO OR UN GAS El trjo en termodnám Es reuente utlzr l expresón trjo termodnámo pr reerrse l trjo relzdo durnte l expnsón o ompresón de un gs. Est denomnón puede nterpretrse omo un trjo de derente nturlez que el que se h estuddo en Meán, y no es sí. Lo que suede es que l expresón del trjo relzdo durnte l expnsón o ompresón de un gs, undo estos proesos son us-estátos, dopt un orm espel, derente ulquer otr expresón del trjo en el so más generl, pero el punto de prtd es el msmo y, por onsguente es el msmo onepto. r lrr ests des onvene reordr que un ms gseos es un sstem de prtíuls que se ejeren uerzs mutus uyos puntos de plón expermentn desplzmento reltvos, dedos l gtón ontnu que expermentn ls moléuls gseoss y, por onsguente, relzn trjo nterno. En Termodnám no tene nngún nterés este trjo nterno. En l prát solmente nteres l nterón entre el sstem y el medo exteror que le rode. or tnto, undo en Termodnám se hl de trjo se soreentende que se reere l trjo externo, es der l trjo relzdo por el medo exteror sore el sstem, o l trjo relzdo por el sstem sore el medo exteror. Semos, del estudo relzdo en Meán, que s el punto de plón de un uerz que tú sore un sstem mterl experment un desplzmento nntesml dl, dh uerz relz un trjo elementl ddo por l expresón: dw = F.dl = F dl osϕ [1] Y en el so de que el desplzmento se nto, desde un punto nl, hst un punto nl, el trjo nto relzdo tene por expresón: W = dw = F.dl = F dl osϕ [2] De modo que s el sstem se enuentr sometdo uerzs exterores uyos puntos de plón se desplzn en un dreón que no se norml su dreón, dhs uerzs relzn un trjo. r ello, l supere que sepr el sstem del medo exteror deerá ser deormle, pues de lo ontrro, l rgdez de ls predes mpedrí el desplzmento de los puntos de plón de ls uerzs exterores y el trjo serí nulo. El ejemplo más generl que se puede plnter es el de un ms de gs, enerrd dentro de un gloo de plásto, que se dlt por lentmento. De est orm, todos los elementos de l supere mterl, de áre d, que envuelve l sstem, se desplzn. or onsguente, los puntos de plón de ls uerzs que tún normlmente sore d uno de dhos elementos de áre expermentn un desplzmento y, por lo tnto, relzn un trjo. Más delnte volveremos sore este msmo ejemplo. No es reuente que tod l supere que envuelve l sstem se deormle. Ls stuones que más reuentemente se plnten en los prolems orresponden un ms de gs enerd dentro de un lndro provsto de un pstón, que normlmente ree de ms, y que just peretmente on ls predes del lndro sn rozmento meáno. En este so, l ún prte móvl de tod l supere que enerr l gs es el pstón. Ls uerzs exterores que tún sore el sstem son ls ndds en l gur 1. F A FIG. 1 Ls uerzs que ejeren l supere lterl y el ondo del lndro no pueden relzr trjo en nngún so porque sus puntos de plón no pueden desplzrse dedo l rgdez de l supere sore l ul tún. L ún uerz que puede relzr trjo es l uerz exteror que tú normlmente sore el pstón, que es l ún prte móvl de tod l supere que rode l sstem, el ul su vez ejere l msm uerz sore el gs. Supongmos que el pstón eetú un desplzmento nntesml dl por l ón de est uerz, F. uesto que el desplzmento tene l msm dreón que l de dh uerz, el àngulo ϕ es de 0º o de 180º según que el desplzmento del pstón se del msmo sentdo que el de l uerz F, omo ourre en un ompresón, o de sentdo ontrro, omo suede en un expnsón, respetvmente. En uyo so: os ϕ = ± 1 y por tnto, l expresón del trjo en este so es:

2 2 CAÍTULO 2.07 INTERCAMBIADO OR UN GAS letos Fís pr Cens e Ingenerí dw = ±F dl Más delnte, no ostnte, se estleerá un onveno de sgnos pr el trjo, sdo en un rtero derente. or lo tnto, onsderremos por hor solmente el vlor soluto de dho trjo: dw = F.dl = F dl osϕ = F dl [3] S el desplzmento del pstón es nto, desde un posón nl hst un posón nl, el trjo relzdo en vlor soluto es: W = dw = F.dl = F dl osϕ = F dl [4] Hst quí no hemos onsderdo l orm en que h eetudo el pstón su desplzmento. Es der, no se h tendo en uent s el proeso h sdo us-estáto o no. or lo tnto ls expresones nterores del trjo elementl y del trjo nto son válds tnto s el proeso, en ulquer de los dos sos, es usestáto o no. mos nlzr ls dos poslddes Trjo relzdo durnte un proeso us-estáto Los estdos ntermedos por los ules ps un sstem durnte un proeso us-estáto son estdos de equlro termodnámo. En onseuen, exste equlro meáno tnto nterno omo externo y, por onsguente, l uerz ejerd por el medo sore el sstem es en todo nstnte de gul módulo y dreón, pero de sentdo ontrro, que l que ejere el sstem sore el medo. De modo que s el gs ontendo en el lndro del ejemplo nteror sgue un proeso us-estáto, l uerz F ejerd por el gs sore l r ntern del pstón es, en todo nstnte de gul módulo y dreón, pero de sentdo ontrro que l que ejere el pstón sore el gs. F F FIG. 2 S onsdermos omo sstem meáno el pstón, ls uerzs que tún sore él, suponendo que ree de ms y por tnto, de peso, son, l uerz F que ejeremos sore él y l uerz F' ejerd por el gs sore su r ntern. En ondones de equlro, se umple que: ΣF = 0 En onseuen, l velodd del pstón será onstnte y muy pequeñ porque ls ondones de equlro us-estáto mpln que el proeso se extrordnrmente lento. or lo tnto, puesto que los módulos de ls uerzs F y F son gules, se puede susttur F por F en ls expresones del trjo elementl, y nto, on lo que se otenen, respetvmente: dw = F.dl = F dl osϕ = F 'dl W = dw = F.dl = F dl osϕ = F 'dl Y, puesto que l presón del gs es unorme, dedo l stuón de equlro, se puede susttur, F = A, sendo A el áre del pstón, on lo ul quedn ls expresones nterores en l orm: dw = A dl W = A dl En ulquer desplzmento elementl del pstón, A.dl represent l vrón nntesml d que experment el volumen que oup el gs. Susttuyendo en ls expresones nterores se otene: dw = A dl = d W = A dl = d Dee quedr lro que l uerz que se h onsderdo l omenzo de este desrrollo h sdo l uerz exteror F ejerd por el medo sore el sstem. Lo que ourre es, que, dedo que el proeso es us-estáto se h poddo susttur el módulo de dh uerz F por el de l uerz F ejerd por el sstem sore el medo exteror. Esto ondue l expresón nl, en l ul, s no se nlz el proeso de álulo on erto detenmento, puede preer que se h tomdo omo punto de prtd l uerz ejerd por el sstem sore el medo, lo que serí norreto. [5] [6]

3 letos Fís pr Cens e Ingenerí CAÍTULO 2.07 INTERCAMBIADO OR UN GAS 3 Nturlmente, l susttuón del módulo de F por el de F no es posle pr los proesos no us-estátos, y, por onsguente, ls expresones nterores del trjo, tnto elementl omo nto, no son válds. Conveno de sgnos Ahor estmos en ondones de omprender el onveno de sgnos que se estlee en termodnám pr el trjo relzdo en los proesos us-estátos. Durnte l expnsón de un gs, su volumen ument. or onsguente, d > 0, y, puesto que l presón es un número esenlmente postvo, dw =.d > 0 or lo tnto, se onsder que: El trjo relzdo durnte l expnsón de un gs es postvo. A vees se he menón este trjo dendo que es un trjo relzdo por el sstem sore el medo, y que pr relzr tl expnsón el gs dee ejerer un uerz sore el medo exteror, myor que l que ejere el medo exteror sore el sstem. Ahor en, puesto que estmos onsderndo que los proesos son us-estátos, l deren entre dhs uerzs es nntesml. Durnte l ompresón de un gs, su volumen dsmnuye. or onsguente, d < 0, y por lo tnto, En onseuen dw =.d < 0 El trjo relzdo durnte l ompresón de un gs es negtvo. Se suele her reeren este trjo omo un trjo relzdo sore el sstem por el medo exteror, y que pr olgr l gs relzr un ompresón, el medo exteror dee ejerer un uerz sore el gs myor que l que ejere el gs sore el medo exteror. or el msmo rzonmento que el empledo en el so de un expnsón, se onsder que l deren entre ms uerzs es nntesml. De hor en delnte onsderremos l expresón del trjo lgerámente. Es der, que según que el gs rele un expnsón o un ompresón, el sgno de dw será postvo o negtvo Interpretón grá del trjo en un dgrm S se represent un proeso us-estáto de un gs en un dgrm -, el trjo relzdo durnte el msmo tene un nterpretón grá, que es espelmente mportnte pr l resoluón de ertos prolems. Convene reordr que el sgndo geométro de l ntegrl dend de un unón rel de vrle rel, entre los vlores x y x de l vrle ndependente, es el vlor del áre enerrd por l líne que represent grámente l unón, el eje de sss y ls dos ordends orrespondentes ls sss x y x x x y dx = (x)dx = Áre x x Y y= (x) El áre elementl orrespondente un rnj vertl de nhur nntesml dx, puesto que se puede onsderr que ls ordends que delmtn dh rnj nntesml son gules, slvo nntésmos de orden superor, es: da = ydx = (x)dx r lulr en un dgrm el áre enerrrd por l líne que represent un proeso us-estáto elementl, ls ordends orrespondentes los estdos nl y nl, y el eje de volúmenes, st susttur y por y x por pr otener, = () d FIG. 4 y por otr prte, En onseuen, da = d dw=d dw = d = da x dx FIG. 3 El trjo elementl relzdo es numérmente gul l áre de l rnj vertl de nhur ntesml d y ltur. Se omprue nmedtmente que el onveno de sgnos estledo pr el trjo en termodnám onde on el que se dedue de su nterpretón grá en el dgrm -. El áre enerrrd por l líne que represent un proeso us-estáto nto es, x X [7]

4 4 CAÍTULO 2.07 INTERCAMBIADO OR UN GAS letos Fís pr Cens e Ingenerí or otr prte, De modo que, d = Áre d = W W = d = Áre [8] El trjo nto relzdo durnte un proeso us-estáto tene el sgndo geométro de ser numérmente gul l áre enerrd por l grá que represent el proeso en un dgrm -, el eje de volúmenes y ls ordends orrespondentes los estdos nl y nl. r nterpretr grámente el trjo relzdo por un gs durnte un proeso errdo, es der, durnte un lo, onvene dvdr dho proeso en dos etps mrds por ls tngentes vertles trzds por los puntos de menor y myor volumen, respetvmente, y onsderr que el trjo relzdo lo lrgo del lo es l sum lgerá de los trjos relzdos en dhs etps. mos onsderr dos sos, en los que un lo es desrto, en prmer lugr, en el sentdo de ls gujs del reloj, y en segundo lugr, en el sentdo ontrro l de ls gujs del reloj Trjo relzdo lo lrgo de un lo desrto en el sentdo de ls gujs del reloj d Consderremos que el lo d de l gur 5 es l relzón suesv de los proesos y d. or lo tnto, el trjo relzdo lo lrgo del lo d es: Y, su vez: W d = W +W d W = Are > 0 W d = Are d < 0 Susttuyendo en l expresón de W d FIG. 5 d W d = Are +Are d or onsguente, el trjo W d es l sum lgerá de ls áres enerrds por ls lnes y d, respetvmente, junto on ls ordends orrespondentes los puntos y, y el eje de volúmenes. Y, puesto que: result: De donde se dedue que: W > W d W d = Are d > 0 El trjo relzdo durnte un lo us-estáto desrto en el sentdo de ls gujs del reloj es postvo y numérmente gul l áre enerrd por el lo. FIG. 6 Este tpo de los los relzn los motores térmos o máquns térms Trjo relzdo lo lrgo de un lo desrto en el sentdo ontrro l de ls gujs del reloj Consderremos, nálogmente l so nteror, que el lo d es l relzón suesv de los proesos d y. or lo tnto, el trjo relzdo lo lrgo del lo d es: d Y, su vez: W d Susttuyendo en l expresón de W d = W d +W W d = Are d > 0 W = Are < 0 FIG. 7 W d = Are d +Are or onsguente, el trjo W d es l sum lgerá de ls áres enerrds por ls lnes d y, respetvmente, junto on ls ordends orrespondentes

5 letos Fís pr Cens e Ingenerí CAÍTULO 2.07 INTERCAMBIADO OR UN GAS 5 los puntos y, y el eje de volúmenes. Y, puesto que: result: De donde se dedue que: W d < W W d = Are d < 0 El trjo relzdo durnte un lo us-estáto desrto en sentdo ontrro l de ls gujs del reloj es negtvo y numérmente gul l áre enerrd por el lo. Est lse de los los relzn ls máquns rgorís o rgoríos. L propedd que tene, en generl, l nterpretón geométr de un proeso us-estáto, undo éste se represent en un dgrm -, es prtulrmente útl pr lulr álmente el trjo relzdo durnte dho proeso undo l gur determnd por su grá, junto on ls ordends de los puntos de menor y myor volumen y el eje de volúmenes, es un gur geométr senll uy áre se onod. Ahor estmos en ondones de omprender por qué no tene sentdo íso hlr del trjo lmendo en un gs. FIG. 8 () S un ms de gs evoluon us-estátmente desde un estdo nl hst un estdo nl, sguendo derentes proesos uys representones grás son ls de l gur 8 (), () y (), el trjo relzdo es numérmente gul l áre que pree ryd en d un de dhs gurs. or onsguente, se dedue que: El trjo relzdo durnte ulquer proeso us-estáto depende no sólo de los estdos nl y nl sno tmén de l evoluón que expermente el sstem, es der, de su tryetor. or lo tnto, el trjo relzdo no depende solmente de ls vrles termodnáms,, y T, orrespondentes los estdos nl y nl. El trjo no es un unón de ls vrles,, y T. O, expresdo de otr orm: El trjo no es un unón de estdo. FIG. 8 () or est rzón ree de sgndo l expresón trjo lmendo en un gs. En térmnos mtemátos se expres est propedd dendo que Un ntdd nntesml de trjo dw no es un derenl totl ext, es der, no es l derenl de un unón rel de ls vrles, y T Trjo relzdo durnte un proeso us-estáto rtrro En el ntegrndo de l expresón del trjo relzdo durnte un proeso us-estáto nto, desde un estdo nl hst un estdo nl W preen dos mgntudes: l presón, y el volumen. = d Ests dos mgntudes vrín, en generl, de un orm rtrr durnte ulquer proeso us-estáto. or lo tnto, hy dos vrles en el ntegrndo y, por onsguente, l ntegrl no se puede lulr menos que dspongmos de un relón que nos permt susttur l presón en unón de, o el volumen en unón de, o ms mgntudes, y, en unón de l terer vrle termodnám, l tempertur T. L uestón es que en el ntegrndo prez un sol vrle. FIG. 8 () [9]

6 6 CAÍTULO 2.07 INTERCAMBIADO OR UN GAS letos Fís pr Cens e Ingenerí En prnpo, puede preer que l euón de estdo F 1 (,,T) = 0 puede resolver el prolem, pero no es suente, porque s se trt, por ejemplo, de lulr el trjo relzdo por un gs pereto, uyo estudo se verá en reve, y despejmos l presón de su euón de estdo, otenemos y s susttumos en l expresón del trjo, qued: W = nrt = nrt = d = nrt d en uyo ntegrndo preen hor ls mgntudes T y, que son smsmo vrles durnte un proeso ulquer y, por onsguente el prolem sgue sn resolverse. S despejmos el volumen de l euón de estdo, que hy que derenr l expresón que result pr susttur d en el ntegrndo y éste se ompl todví más. Es evdente que: Utlzndo solmente l euón de estdo, no es posle lulr, en el so más generl de un proeso totlmente rtrro, el vlor del trjo relzdo durnte el msmo. or lo tnto, Además de l euón de estdo, es neesro onoer l euón prtulr del proeso que sgue el gs. Es der, he lt onoer lo que se suele denomnr l euón de l tryetor. El térmno tryetor, evdentemente, no tene el sgndo que se le d en Cnemát; no se reere l desplzmento glol del gs n l de su entro de mss. Se denomn tryetor l líne que represent grámente ulquer proeso us-estáto en un dgrm termodnámo. En reldd, serí más deudo llmrle evoluón, o smplemente, proeso, omo se h nddo nterormente, en lugr de tryetor. Est líne que represent grámente el proeso del gs en un dgrm termodnámo orresponde un eu - ón entre ls vrles de dho dgrm, omo ourre on l grá de ulquer unón rel de vrles reles. or lo tnto, s onoemos l euón de l tryetor, dsponemos de un euón que, en generl, será de l orm: F 2 (,,T) = 0 [12] De est mner podemos elmnr un de ls vrles,, o T, según onveng, entre est euón y l de estdo, y sí otener un nuev euón en l que gurrán solmente dos de ls vrles termodnáms, pudendo nlmente dejr un sol vrle en el ntegrndo de l expresón del trjo. Lo más reuente, es elmnr l tempertur entre l euón de estdo y l de l tryetor, otenendo un relón del tpo: F 3 (,) = 0 [13] de donde se despej en unón de y se susttuye en el ntegrndo, on lo ul gurrá omo ún vrle el volumen, o en, se despej, se deren, y se susttuye gulmente en el ntegrndo, en uyo so l ún vrle que preerá será l presón. Con esto qued dspuest l ntegrl pr su resoluón que, en generl, d lugr un álulo mtemáto muy senllo Trjo relzdo durnte un proeso no us-estáto Como vmos l prnpo, l expresón del trjo relzdo durnte l expnsón o ompresón de un gs vene dd por: W = dw = F.dl = F dl osϕ sendo F l uerz que ejere el medo exteror sore el gs. Como en los sos de nterés práto el desplzmento del punto de plón de l uerz F tene lugr lo lrgo de su msm dreón, el ángulo ϕ que ormn F y dl es de 0º o de 180º. En uyo so, os ϕ = ± 1, y, por lo tnto: [10] [11]

7 letos Fís pr Cens e Ingenerí CAÍTULO 2.07 INTERCAMBIADO OR UN GAS 7 W = F.dl = F dl osϕ = F dl Hst quí, el rzonmento es dénto que el segudo pr dedur l expresón del trjo relzdo durnte un proeso us-estáto. ero s el gs sure un ompresón o expnsón rus, el proeso dej de ser us-estáto y hor, no podemos susttur F por A, porque no se umple l ondón de equlro meáno, de modo que no podemos lulr el trjo prtr de l expresón W lo ul no sgn que no se pued lulr el trjo. = d No hy que dedur del heho de que no podmos utlzr l expresón nteror, el que no se lulle el trjo relzdo en ondones no us-estáts. Smplemente es uestón de nlzr el ntegrndo de [III.2-19] pr omprender que l ntegrl es álmente lulle s el módulo de l uerz F ejerd por el medo exteror sore el sstem es onstnte, en uyo so: W = Fdl = F dl = F l o en, s dho módulo se puede expresr en unón del desplzmento, F = (l), en uyo so W uyo álulo mtemáto es, en generl, muy senllo. = Fdl = F (l)dl Equvlen de ls unddes de trjo en termodnám L expresón del trjo que se utlz más reuentemente en los proesos us-estátos de un gs, en termodnám es W = d De hí que l undd de trjo empled reuentemente se l tmóser-ltro, y onvene tener presente ls equvlens de est undd on ls restntes: 1 tmóser-ltro = 1 tmóser 1 ltro = 1, dns m m 3 = = 101,3 0,24 lorís = 24,3 lorís = 1, julos = 101,3 julos = = 101,3 kgm = 10,33 klográmetros 9,8 1 tmóser-ltro = 1, ergos = 101,3 julos = 24,3 lorís = 10,33 klográmetros [14] [15]