ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS POR EL METODO DE LA RIGIDEZ

Transcripción

1 ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA POR E METODO DE A RIGIDEZ

2 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág Introduón os métodos lásos de nálss estruturl desrrolldos fnes del sglo XIX, tenen ls ulddes de l generldd, smpldd lóg y elegn mtemát Desgrdmente, onduín menudo álulos muy lorosos undo se los pl en sos prátos, y en quell épo, esto er un grn defeto Por est rzón suesvs generones de ngeneros se dedron trtr de redur el onunto de álulos Muhs téns ngenoss de grn vlor práto fueron preendo (Método de Cross, pero l myorí de ls msms ern plle sólo determndos tpos de estruturs prnpl oeón los prmeros métodos de nálss fue que los msmos onduín sstems on un grn número de euones lneles, dfíles de resolver mnulmente Con los omputdores, pes de relzr el tro numéro, est oeón no tene hor sentdo, mentrs que l generldd de los métodos permnee Esto expl por qué los métodos mtrles deen en su trtmento áso de ls estruturs más l sglo XIX que l XX El empleo de l notón mtrl present dos vents en el álulo de estruturs Desde el punto de vst teóro, permte utlzr métodos de álulo en form ompt, pres y, l msmo tempo, ompletmente generl Esto flt el trtmento de l teorí de estruturs omo undd, sn que los prnpos fundmentles se ven osuredos por operones de álulo, por un ldo, o dferens físs entre estruturs, por otro Desde el punto de vst práto, proporon un sstem propdo de nálss de estruturs y determn un se muy onvenente pr el desrrollo de progrms de omputón En ontrste on ests vents, dee dmtrse que los métodos mtrles se rterzn por un grn ntdd de álulo sstemáto s vrtudes del álulo on omputdor rdn en l elmnón del l preoupón por ls operones rutnrs, el ngeno neesro pr preprr el modelo on que se pretende representr l reldd y el nálss ríto de los resultdos e dee ser onsente que sn un modelo deudo o sn un nterpretón fnl, el refnmento en el nálss ree de sentdo Método de l Rgdez Hpótess: Estrutur lnel- Todos los movmentos y esfuerzos son funones lneles de ls rgs- Pequeñs deformones (euones de equlro en l estrutur no dstorsond s rrs son rets y de seón onstnte Pr estudr un estrutur por el método de l rgdez, l gul que en ulquer otro prolem elásto, dsponemos de tres onuntos de euones que deen umplrse Euones de omptldd Euones onsttutvs Euones de equlro

3 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág s euones de omptldd relonn ls deformones de rrs on los desplzmentos nodles Introduendo ests relones en ls euones onsttutvs, relonmos ls fuerzs en los extremos de rrs on los desplzmentos nodles Introduendo ests últms relones en ls euones de equlro se otene un onunto de euones de fuerzs nodles en funón de desplzmentos nodles, que pueden ser onsderds omo Euones de Equlro de l estrutur en funón de desplzmentos resoluón de este sstem de euones nos permte otener el vlor de ls nógnts (desplzmentos nodles, prtr de los ules se otenen ls soltones de ls rrs de l estrutur, sí omo ls reones Cundo se vn lulr ls relones esfuerzos de extremo de rr - desplzmentos, es nturl esoger un sstem de oordends que hg ests euones lo más senlls posle Tomremos por lo tnto omo ee x el que onde on el ee geométro de l pez y los ees y y z ondentes on los ees prnples de l seón trnsversl Tl sstem pertenee l rr, y no depende de l orentón de l msm en l estrutur y lo denomnremos sstems de ees loles Por el ontrro, undo ls pezs se unen entre sí pr formr l estrutur, es neesro tener un sstem de oordends omún pr todos los movmentos y esfuerzos de extremo de rrs pr poder plr ls ondones de equlro y omptldd A dho sstem lo denomnremos sstem de ees gloles Dhos esfuerzos de extremos de rrs y desplzmentos dependerán del tpo de estrutur que estmos resolvendo, pr rrs de: Retuldo Plno: tendremos dos desplzmentos por nudo Retuldo Espl: tres desplzmentos por nudo En mos sos sólo tendremos esfuerzos normles Pórto Plno: tres desplzmentos por nudo (un rotón en el plno del pórto y dos trslones, omo soltones de extremo de rr un fuerz xl, un esfuerzo de orte y un momento fletor d Pórto Espl: ses desplzmentos por nudo, tres trslones y tres rotones omo soltones de extremo de rr un fuerz xl, dos esfuerzos de orte dos momentos fletores y un momento torsor e Emprrlldo de vgs: tres desplzmentos nodles (un orrmento norml l plno de l grll y dos rotones lrededor de los ees ontendos en el plno menondo os esfuerzos son un ortnte y dos momentos (un torsor y un fletor Método de l Rgdez utlzndo un omputdor Un de ls rterísts más mportntes del método de l rgdez es l form en que ls propeddes elásts de ls pezs, y su orentón dentro de l estrutur, son ntroduds en el álulo ntes de que se efetúe nngun onsderón sore el equlro o l omptldd de los nudos

4 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág Esto nos permte estleer relones entre ls fuerzs de extremo de rrs y los desplzmentos de nudo Ests relones expresds en form mtrl se denomn o onform l mtrz de rgdez de rr Al onsderr l nterrelón de d rr on ls demás se otene un sstem glol de euones que defne el omportmento de tod l estrutur y nos ondue l soluón del prolem Podemos onsderr ses etps fundmentles en l soluón de un prolem: Identfón estruturl Cálulo de l mtrz de rgdez de rr y del vetor de rgs nodles equvlentes Cálulo de l mtrz de rgdez glol y del vetor de rgs glol de l estrutur 4 Introduón de ls ondones de orde 5 oluón del sstem de euones 6 Cálulo de soltones en los extremos de rrs y reones nodles Identfón estruturl Est etp onsste en defnr trvés de números y dtos ls rrs de l estrutur Defnr un sstem de ees gloles pr l estrutur s oordends de los nudos se referen dho sstem Conetvdd de los elementos, dentfndo pr d rr el nudo nl y el fnl A d rr está sodo un sstem de ees loles l ul se referen tods ls dmensones y rterísts de l rr El msmo qued defndo utomátmente por el orden estledo pr l numerón de los nudos de l rr El ee x lol onde on el ee geométro de l rr, sendo el sentdo postvo el que v del nudo nl (nudo de menor numerón l fnl (nudo de myor numerón os otros ees loles deerán ondr on los ees prnples de Iner de l seón trnsversl de l rr formndo un tredro dreto Propeddes de l seón trnsversl de d rr Dependendo del tpo de estrutur (retuldo, pórto plno, pórto espl, emprrlldo se dee dr el áre de l seón trnsversl, los momentos de ner en relón los ees prnples y l ner l torsón d Propeddes del mterl e dee ndr, pr d rr, el módulo de elstdd longtudnl y/o el módulo de elstdd trnsversl e Espefón de los vínulos: se dee ndr el nomre del nudo que tene un o más restrones y ules son ls msms f Desrpón de l rg: se d el nomre del nudo y los omponentes de gloles de ls rgs externs y ls reones de empotrmento perfeto en relón los ees loles de l rr, s hy rgs en el trmo Mtrz de Rgdez y Vetor de Crgs Nodles Equv Brr de retuldo plno Consderemos un rr de retuldo plno, supongmos que l msm esté rtrrmente orentd on relón un sstem de ees gloles X e Y

5 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 4 upondremos que l rr es ret, de seón trnsversl onstnte y que el mterl responde l ley de Hooke g nº -stem lol de ees En l rr de l fgur el nudo nl es el y el fnl es el k, quedndo defnd l orentón de los ees loles x e y Consderndo que no exsten deformones nles y que l deformón es elást el lrgmento de l rr estrá ddo por: Xk X = D D ( Donde D xk y D x son los desplzmentos del nudo k y respetvmente en l dreón lol x l Pr un rr de retuldo exste un sol soltón posle que es el esfuerzo xl o norml uponendo un mterl elásto lnel sometdo esfuerzo de trón tendremos pr los nudos y k respetvmente: X J EA EA = X = k ( X J X K EA = (DXK DXJ ( EA = (DXK DXJ (4 Donde: E= Módulo de elstdd = ongtud de l rr A= Are de l seón trnsversl de l rr Como en l dreón y l pr rrs de retuldo no exsten soltones podemos expresr ls euones nterores en form mtrl:

6 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 5 XJ YJ XK YK EA = EA EA EA D D x D D XJ YJ XK YK (5 expresón (5 orresponde l euón mtrl de l rr en oordends loles y expres ls uerzs de extremo de rr DI A l Mtrz que relon en oordends loles I I y I en funón de los desplzmentos de nudos DI se l denomn mtrz de Rgdez de rr de retuldo Expresndo en form ompt o smól: I = I DI (6 euón (6 defne ls fuerzs de extremo y k pr ulquer pre de orrmentos D, D k ddos Ests euones son smétrs, omo podímos esperr prtr del teorem de reprodd No es posle, sn emrgo, resolverls y otener los desplzmentos (D en térmnos de ls fuerzs (, puesto que l mtrz es sngulr Esto refle el heho de que l pez puede sufrr un movmento rtrro de onunto, sn fetr ls fuerzs que tún en sus extremos Interpretón fís de l Mtrz de Rgdez de rr en l euón (5, hemos nulos todos los desplzmentos exepto D x que es gul l undd, entones los esfuerzos en los extremos de l rr serán los nddos en l fgur gnº - Corrmento untro D x EA EA = y = (7 XJ X K

7 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 6 que orresponden l prmer olumn de De l msm form podemos her D y = y el resto de los orrmentos nulos, sendo en este so nulos los esfuerzos en los extremos de rr, y que se onsder un rr dolemente rtuld y pequeños desplzmentos Por est rzón los utro vlores de l segund olumn son nulos en mo hemos D xk = y el resto de los desplzmentos nulos, los esfuerzos serán: EA EA = y (8 X J X K = = y (9 Y J Y K = que orresponden l terer olumn de l mtrz de rgdez de l rr g nº - Corrmento untro D xk En form nálog se puede nlzr l urt olumn plndo un desplzmento D yk = Asondo los desplzmentos y reones de nudos en ls dreones ndds en l fgur, podemos dedur el sgnfdo físo de l mtrz de rgdez de l rr Con lo ul podemos oservr que los elementos de l mtrz de rgdez, representn ls fuerzs que se genern en l plr un desplzmento untro en, permneendo fos los restntes

8 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 7 Además pr un desplzmento del nudo k otenemos un reón en que es l msm que l otend en k pr un desplzmento en, lo ul nos es expresdo por l smetrí de l mtrz de rgdez I EA = EA 4 EA EA ( Tmén podemos ver que un olumn está formd por ls reones deds un desplzmento untro mpuesto en l dreón, y un fl no es más que ls reones en dedo orrmentos untros mpuestos en ls dstnts dreones Brr de Pórto Plno En se l sgnfdo físo de los elementos de l mtrz de rgdez, deduremos l Mtrz de Rgdez pr un rr de Pórto Plno en oordends loles Pr este tpo de elemento orresponden tres desplzmentos por nudo ( trslones y un rotón en el plno g nº 4 mtrz de rgdez se otene dndo desplzmentos untros de uno por vez en ls dreones de l fgur mentrs los otros permneen nulos

9 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 8 g nº 5 - Desplzmentos untros p/ pórto plno s reones mostrds en l fgur nº5 onsttuyen ls respetvs olumns de l mtrz de rgdez de l rr de Pórto Plno de l euón ( X Y Z k yk Zk EA = EA EI 6EI EI 6EI Esrendo en form ompt: 6EI 4EI 6EI EI EA EA EI 6EI EI 6EI 6EI D EI D D D D 6EI D 4EI I = I DI ( X Y Z Xk yk Zk ( Est mtrz relon ls fuerzs de extremo de rr on los desplzmentos nodles en ees loles

10 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 9 gnº 6 - oltones pr rr de Pórto Plno Crgs nodles equvlentes Hst hor hemos supuesto que ls rgs estn plds en los nudos, y por lo tnto exste un orresponden unívo entre los puntos de plón de ls rgs y los desplzmentos que están sendo luldos esto no ourrer, por eemplo tuvérmos rgs en el trmo de ls rrs, en form dstrud o onentrd, deemos susttur ls rgs en ls msms por un sstem de rgs equvlentes plds en los nodos que produz en l estrutur el msmo efeto que ls rgs orgnles Aplndo el prnpo de superposón, que es váldo por her supuesto que el sstem es lnel, podemos desomponer ls rgs tl omo se nd en l fgur: gnº 7 - Brr de pórto on rgs en el trmo Como podemos oservr ls rgs, reones y deformones de l estrutur serán equvlentes l sum de los dos estdos y Como ls deformones de nodos en son nuls, serán gules ls deformones de los sos y O se que ls rgs de produen l msm respuest estruturl en lo referente desplzmentos de nudos que ls rgs orgnles Ests serán entones ls rgs equvlentes en los nudos, que no son más que ls reones de empotrmento perfeto mds de sgno

11 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág os esfuerzos en los extremos de rr se otenen por l sum de los sos ( y ( = + D = D Por lo tnto l euón ( hrá que donrle ls fuerzs de empotrmento perfeto del so I = I DI + AI ( AI represent el vetor de fuerzs de empotrmento perfeto de l rr en oordends loles Rotón de ees en el plno Hst el momento expresmos l mtrz de rgdez del elemento rr, tnto de retuldo plno omo de pórto plno, según un sstem de ees loles, estndo los desplzmentos y esfuerzos de extremo de rr referdos los msmos No ostnte, según y lo menonmos, ntes de poder plr ls ondones de equlro en los nudos y de omptldd de desplzmentos es neesro trnsformr ls fuerzs y orrmentos un sstem de ees gloles g nº 8 - Rotón de un vetor upongmos el vetor V de l fgur referdo l sstem de ees X e Y s omponentes del msmo serán Vx=Vos α Vy=Vsen α (4 En el sstem de ees x e y, ls omponentes serán V x =Vos(α-θ V y =Vsen(α-θ (5

12 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág uego: V x =Vos αos θ + Vsen αsen θ (6 V y =Vsen αos θ - Vos αsen θ (7 Tenendo en uent l euón (4 y esrendo en form mtrl: V V X Y os θ = sen θ o en form ompt: sen θ V os θ V X Y (8 V = R V (9 A l mtrz de osenos dretores R l llmremos mtrz de rotón queremos el pse del sstem lol l glol, en este so l mtrz de rotón es l trnspuest de R V V X Y os θ = sen θ sen θ V os θ V X Y ( T V = R V ( Premultplndo l euón (9 por R V = R V ( o que mpl que R es un mtrz ortogonl (su nvers es gul su trspuest: R = R T ( Euón fundmentl de l rr en el sstem glol Tnto ls soltones omo los desplzmentos pueden expresrse omo vetores en el plno, podemos entones plr l trnsformón lnel ntes vst pr llevr los esfuerzos y desplzmentos de extremos de rr del sstem lol l glol D D J K = R D J = R D K (4

13 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág Donde J D y K oordends loles y D representn respetvmente los desplzmentos de los nudos y k en D, J gloles Esrendo en form ompt: endo: D representn los msmos desplzmentos en oordends K DI = RTDI (5 R RT = R (6 mtrz de rotón de l rr por nlur mos nudos de l msm DI ontene los desplzmentos de los dos nudos de l rr en oordends loles y D los desplzmentos de los msmos en oordends gloles Pr ls soltones tendremos: I = RTI (7 I ontene ls soltones de los dos extremos de l rr en oordends loles y I en oordends gloles nvers de l mtrz de rotón de l rr será: R RT = R (8 Pero omo R = T R será RT = RT T I = I DI + AI (9 T I = RT I ( T T I = RT I DI + RT AI ( T T I = RT I RTDI + RT AI ( I = I DI + AI (

14 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág T I = RT I RT (4 T AI = RT AI (5 Mtrz de rotón pr rr de retuldo plno os θ sen θ sen θ os θ RT = (6 os θ sen θ sen θ os θ s s s s s s = EA/ (7 s s s s s s Mtrz de rotón pr rr de pórto plno os θ sen θ sen θ os θ RT = (8 os θ sen θ sen θ os θ

15 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 4 Mtrz de Rgdez de rr de Pórto Plno I = (EA ( EA / (EAs / 6EIs / + EIs EIs / / EIs ( EAs / + EIs / 6EIs / / / (EAs / (EAs ( EAs / + EIs / ( EAs / 6EI / EIs / EI / EI 6EI / / / 6EIs / 6EI / 4EI / 6EIs / 6EI / EI / ( EA ( EAs / + EIs / (EA / / (EAs / EIs 6EIs / + EIs EIs / 6EIs / / / ( EAs / + EIs / (EAs (EAs / (EAs / 6EI / EI / EIs / + EI 6EI / / / 6EIs / 6EI / EI / 6EIs / 6EI / 4EI / Tl nº

16 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 7 Mtrz de Rgdez y Vetor de Crgs Glol de l Estrut gº 9 - Retuldo Plno s euones de equlro exgen que ls rgs externs plds en los nudos deen ser gules l sum de ls soltones de extremo de ls rrs que onurren l nudo endo el vetor de rgs externs plds en : A A X = (9 A Y euones mtrles de ls rrs y son: I I = I = I DI DI + AI + AI (4 Que pueden representrse en funón de los nudos de l sguente form: k dónde: = = k D AI + D AI k D AI + kk AI Dk k (4 D AI = vetor soltón en el extremo de l rr ( = vetor deformón en el extremo de l rr ( = vetor fuerz de empotrmento perfeto en el extremo de l rr ( 7

17 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 8 = sumtrz ontenendo los oefentes de rgdez del nudo que provenen de un desplzmento untro del nudo de l rr ( s ondones de equlro pr el retuldo de l fgur en el nudo resultn: A = A = + A D D AI D k Dk AI = (4 (4 Por ondón de omptldd de desplzmentos: D = D = D ; D = D = D ; D = D = D (44 Reemplzndo l (44 en l (4 y extendendo el rzonmento los nudos restntes: k k k A = A = A k k = D+ ( D+ ( D+ (kk + + D+ k + kk D+ k Dk+ k Dk+ AI Dk+ AI + AI + AI Dk+ AI k + AI k (45 l orgnzmos en form mtrl: 8

18 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 9 A + A = k A k + k k AI + AI D k D + AI + AI + Dk kk kk AI + AI k k (46 Que represent el sstem glol de euones de l estrutur, esrendo en form ompt: A+ A Dónde: eq = D (47 A = vetor de ones externs plds en los nudos = mtrz de rgdez glol de l estrutur D = vetor deformón de nudos A = = vetor de rgs nodles equvlentes (fuerzs de empotrmento perfeto eq mds de sgno dedo ls rgs plds en los trmos de rrs Hendo: A A+ = A eq A = D (49 El vetor A represent ls rgs nodles equvlentes más ls rgs plds en los nudos euón (49 no puede ser resuelt (l mtrz es sngulr s no se pln ls ondones de ontorno o de orde de l estrutur (48 Esquem de l formón de l mtrz de rgdez glol y del vetor de rgs Consderemos el retuldo de l fgur nº 9 mtrz de rgdez glol del retuldo tendrá 6 fls y 6 olumns y que son nudos y d uno tene grdos de lertd (un desplzmento según el ee x y uno según el ee y ontruón de d nudo deerá ser olod en ls posones que se ndn en l fgur nº os nudos,,k defnen ls fls y olumns de l mtrz (sumtres 9

19 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág I k = A + + A + + k C + + C + + g nº : Esquem ormón Mtrz Retuldo J k + k = + k k k k + kk kk s sumtres tendrán tnts fls y olumns omo grdos de lertd teng d nudo En el so del retuldo este número es Anlemos l posón en fgur nº de ls sumtres de l mtrz de rgdez de l rr de l fgur nº 9 = k = k kk = k (5 k kk s sumtres son de orden x posón fgur nº prtr del sguente esquem: = nd fl olumn k k = nd fl olumn k = nd fl k olumn en l mtrz está ndd en l kk = nd fl k olumn k Nótese que en ls posones dónde y exsten vlores provenentes de otrs rrs, estos son sumdos quellos

20 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág Generlzndo, deemos onsderr un rr de retuldo que une los nudos y k según l fgur nº gur nº s posones oupds por l mtrz de rgdez de l rr (m en l mtrz de rgdez glol son ls sguentes: (-+ (-+ (k-+ (k-+ (-+ X X X X = (-+ X X X X (k-+ X X X X (k-+ X X X X gur nº - Posones oupds por un rr de Retuldo Plno en l mtrz de Rgdez Glol Pr un pórto plno o estruturs on grdos de lertd por nudo tendrímos l sguente onfgurón:

21 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág (-+ (-+ (-+ (k-+ (k-+ (k-+ (-+ X X X X X X (-+ X X X X X X = (-+ X X X X X X (k-+ X X X X X X (k-+ X X X X X X (k-+ X X X X X X gur nº - Posones oupds por un rr de Pórto Plno en l mtrz de Rgdez Glol Del msmo modo, un vetor de rgs equvlentes en los nudos pr un rr de l fgur nº oup l posón ndd en l fgur nº 4 del vetor ones gloles nodles A = (-+ (-+ (-+ X X X A = (-+ (-+ X X (k-+ X (k-+ X (k-+ X (k-+ (k-+ X X Pórto plno Retuldo plno gur nº 4 Posón del vetor Aones nodles

22 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág ormón de l MATRIZ de RIGIDEZ GOBA en form de mtrz nd-smétr Mtrz de Rgdez Glol de l estrutur es smétr respeto de l dgonl prnpl y tene normlmente rterísts de mtrz de nds Por ello no es neesro lmenr todos los elementos de l mtrz tod vez que esto mpl tempo de proesmento pr el omputdor y demás myor memor de lmenmento Bstrá entones lmenr los elementos del trángulo superor (o el nferor de l mtrz Tmén est prte trngulr superor (o el nferor puede sufrr un ronlzón del rreglo mtrl de números Esto se orrge provehndo l rteríst de nd de l mtrz y prevnendo su reorgnzón pr un rreglo dmensonl de dmensón NGTxB dónde: NGT= es el número de grdos de lertd totl de l estrutur B= es el sem lrgo de nd del sstem e el eemplo de l fgur nº 5 Mtrz de Rgdez de l estrutur en su form de lmenmento onvenonl representd en l fgur nº 6- y en l form de nd smétr en l fgur nº 6- gur nº 5: Eemplo de Retuldo Plno gur nº 6: orms de lmenmento de l Mtrz de Rgdez Nótese que el sem-nho de nd está vnuldo l myor dferen de numerón entre nudos que están undos por un rr En el so de l fgur nº 5, l myor dferen entre dos nudos de un rr es y el sem-nho de nd es 6 De modo generl el sem-nho de nd es otend por B=(+*N Dónde es l myor dferen entre nudos que

23 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 4 onurren un msm rr y N es el número de grdos de lertd del nudo En el so del Retuldo Plno N=, y entones el sem nho de nd es B=(+x=6 Influen de l Numerón de nudos sore el nho de Bnd En el eemplo que sgue se puede prer omo vrín tnto l ntdd de elementos lmenr omo el semnho nho de nd on l form de numerr los nudos de l estrutur Condones de Contorno o de Borde Un sstem de euones : A = D orrespondente un estrutur omplet ntes de plr ls ondones de ontorno es INDETERMINADO, pues es sngulr rzón de est sngulrdd es el resultdo de no her onsderdo ls vnulones o poyos de l estrutur on el exteror Al ntrodur ls ondones de vínulo despree l ndetermnón (o sngulrdd de l mtrz de rgdez, sempre que el número de vínulos se por lo menos el mínmo neesro pr elmnr los movmentos de uerpo rígdo de l estrutur El onomento de determndos orrmentos nodles, dsmnuye el número de nógnts, tornándose nneesrs ls euones orrespondentes estos orrmentos elmnón de l euón de un desplzmento mpl l destruón de l nd de l mtrz, lo ul exgrí un reomodmento de ls nógnts del prolem Al sstem de euones A = D (5 Podemos expresrlo de l sguente form: 4

24 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 5 A I A II I,I I,II = (5 II,I II,II D φ II Dónde: A = reones de poyo on desplzmento mpeddo I momento desonoemos A II = grup ls fuerzs externs sore nodos on desplzmentos D =, reones que por el I D II desonodos = Mtrz de rgdez (udrd que relon fuerzs onods (rgs externs II,II on desplzmentos desonodos D II A II Tén número : uprmr o elmnr de l Mtrz de Rgdez del sstem ls olumns orrespondentes desplzmentos mpeddos y ls fls orrespondentes reones exterores Vent: redue el tmño del sstem de euones resolver (en un orden determndo por los grdos de lertd elmndos por los poyos Dh reduón es mportnte en el so de pos rrs y muhos vínulos externos, fálmente plle en form mnul, es l tén que empleremos en el urso Desvent: no podemos resolver sí desplzmentos presrptos Tén número : Un rtfo usdo normlmente pr ntrodur un desplzmento onodo en l dreón, onsste en her el elemento de l dgonl prnpl de l mtrz de l líne gul y nulr tods ls restntes posones perteneentes es líne y olumn uego dee ser olodo el vlor del orrmento onodo d en l posón nterormente oupd por, y tmén psr l vetor A los oefentes d on el sgno mdo n d d d d n d d d d n d d d d n n + + n d nn d d n n d n = = = n = n (5 5

25 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 6 n d d d n d d d d n n nn d d d n n = d n = = = n n d d d (54 En form mtrl n n n n nn d d d d n n n d d d = (55 d Como so prtulr, undo un orrmento d se nulo, o se, undo exst un vínulo en l dreón, l euón nteror tom l sguente form: n n n n nn d d = (56 d d n n Es mportnte menonr, que on est form de plón de ls ondones de orde, ls rgs que están plds en l dreón del poyo quedrín sn onsderr Vent: No destruye l orgnzón smétr y nd del sstem de euones Es fálmente mplementle en omputdor Tén número : Modfr los oefentes de l dgonl prnpl en l mtrz de rgdez del sstem que orrespondn desplzmentos mpeddos 6

26 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 7 endo un euón ulquer en el sstem: d = d + d d = (57 uego, hendo sufentemente grnde (por eemplo multplrlo por otenemos un d próxmo ero Vents: no lter l orgnzón del sstem de euones, n tmpoo redue el orden del sstem Desvent: puede provor prolems numéros oluón del sstem glol de euones Un vez ntroduds ls ondones de orde o ontorno en el sstem de euones, podemos resolverlo mednte ulquer método onodo (Guss, Cholesky, Guss Jordn, et Exsten en l ltertur métodos efentes de álulo tenendo en uent l smetrí, nd y form espeíf de rhvo soluón de l euón 55 nos provee los orrmentos o desplzmentos de los nudos de l estrutur Muhs vees exste más de un estdo de rg Pr est stuón se pueden desrrollr lgortmos de soluón que trndo on más de un vetor de rgs (térmno ndependente nos dn omo respuest más de un vetor desplzmento (uno pr d estdo de rgs Cálulo de soltones en extremos de rrs euón mtrl de un rr (m on onexones, se expres en form prtond de uerdo l euón 4: m m = m = m D D + m + m D D + A m + A m (58 os desplzmentos D, D son otendos del vetor desplzmento de nudos de l estrutur, soluón del sstem de euones (54 Prtond l mtrz de rgdez de l m m m m m rr m (,, y el vetor de empotrmento perfeto (A, A, deen ser,,, lmends l onfeonr l mtrz de rgdez glol y el vetor de rgs glol Entretnto, dependendo de l pdd de memor del proesdor, puede ser más onsele relulr l mtrz de rgdez y el vetor de reón de empotrmento perfeto de d rr, pr después otener on el térmno (58 ls soltones de extremo de rr m m ( y s soltones de rrs nos nteresn referrls l sstem de ees de oordends loles, y que en est form tendremos los esfuerzos normles, ortntes, et Pr esto deemos her un rotón de ees sore ls soltones otends por (58, pr lo ul: 7

27 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 8 m, m, = R m = R m (59 Est no es l ún form de otener ls soltones de ls rrs Podemos otener los orrmentos D y D y trnsformrlos oordends loles mednte el produto on R Entones tendrímos ls euones (58, tods en oordends loles pr sí otener ls soltones en ls msms oordendds Cálulo de ls reones de nudos Pr un nudo sore un poyo, podemos otener ls ones de tods ls rrs que onurren un nudo y sumrls El resultdo de est sum será el vetor reón del nudo R p m m= = R = p m m= p m R = (6 m= dónde p es el número de rrs lgds l nudo y R es l reón del nudo hemos est msm sum pr un nudo que no se poyo, tendremos omo resultdo ls rgs plds l nudo Es mportnte que ls soltones del extremo de rr sen referds un sstem glol de oordends 8

28 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 9 TOPICO EPECIAE EN ANAII MATRICIA Efetos Térmos o nlzmos en form smlr l so de rgs plds en el trmo g nº 7 ( T + T (T T δ X = α t ; θ = α t (6 h El gro dθ de un trmo de vg dx será: (T T dθ = α t dx (6 h tenendo en uent que: dθ d y = = dx dx M EI d y (T T = α t (6 dx h ntegrndo dos vees y prtulrzndo pr el nudo dy (T T = α t (64 h s fuerzs de empotrmento neesrs pr resturr el extremo de l rr su posón prmtv serán: (pr pórto plno N Q M EA (T + T α t EI 6EI (T T = α t (65 h 6EI 4EI (T T α t h 9

29 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág P = δ (66 Cómo ests fuerzs son de empotrmento perfeto, y demás están en oordends loles, hy que llevrls l sstem glol y restrls (rgs nodles equvlentes l vetor de rgs en los nudos N Q M EA α t (T + T = (67 EA α t (T T h Apoyos elástos Un poyo elásto se rterz por el heho de que el desplzmento que sufre es proporonl l fuerz que ree, defnd por su onstnte de resorte k (fuerz neesr pr produr un desplzmento untro Un desplzmento δ gener un fuerz k δ en l msm dreón endo un euón ulquer en el sstem: δ + g nº 8 = δ (68 estleemos hor el equlro en el nudo tenendo en uent l fuerz del resorte: k δ δ (69 + = δ + δ + ( + k = δ (7 Es der deemos sumr l rgdez del resorte k en l dgonl prnpl de l mtrz de rgdez del sstem en l fl y olumn orrespondente l dreón en l que tú el resorte

30 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág Apoyos deslzntes no onordntes g nº 9 el plno de desplzmento no es prlelo uno de los ees gloles, deemos modfr l euón mtrl de l estrutur, trnsformndo en el nodo en uestón los vetores fuerz y desplzmento l sstem de ees glol δ = R δ = R (7 dónde el nd el número de nodo Con osβ senβ R = senβ osβ (7 R 4 = ( R δ δ δ δ 4 =x pr pórto plno En est euón es lo msmo premultplr δ por R que postmultplr l prmer olumn de por R Por otr prte, premultplndo l prmer fl mos ldos de l T guldd por R no se lter l guldd y demás onsderndo que en sstems de oordends ortogonles R R = I T

31 ETABIIDAD III CAPITUO IV: ANAII MATRICIA DE ETRUCTURA Pág 4 R T R = (74 R R T δ δ δ δ 4 Resumen: e modf l euón mtrl de tod l estrutur, premultplndo l fl, T orrespondente l nodo on poyo nlndo por R y postmultplndo l olumn orrespondente por R Tén lterntv Consste en donr un rr ft que deerá mpedr desplzmentos en l dreón v y permtr desplzmentos en l dreón u y gro Pr que esto se posle, el áre de l seón trnsversl de l msm deerá ser muho myor que ls rrs restntes y l ner muho menor l de ls otrs rrs (Además de pequeñ longtud pr evtr ortmentos de l rr ft g nº