PUNTOS, RECTAS Y PLANOS. 2º Bachillerato SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO APLICACIONES DE LOS VECTORES APLICACIONES DE LOS VECTORES
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- Mercedes Sandoval Iglesias
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1 UNTS, RECTAS Y LANS EN EL ESACI º Bachllerato SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESACI Sstema de referenca en el esaco. Un sstema de referenca ara el lano consste en el conunto R {, {,, }} formado or: - Un unto fo, llamado orgen. - Una base{,,} a c b (a, b,c (a, b,c ALICACINES DE LS VECTRES Coordenadas del vector que une dos untos. a A (x,y, z b AB B (x,y,z A + AB B AB B A (x, y, z (x, y, z (x x, y y, z z ALICACINES DE LS VECTRES Coordenadas del vector que une dos untos. Eemlo: Hallar las coordenadas de Q y de Q sabendo que ( 5,, y Q(7,, Q (7,, ( 5,, (,, 5 Q ( 5,, (7,, (,, 5 AB (x x, y y, z z
2 ALICACINES DE LS VECTRES Condcón ara que tres untos estén alneados. Los untos A(x, y, z, B(x, y, z y C(x, y, z están alneados semre que los vectores AB y BC sean aralelos. Es decr, cuando sus coordenadas son roorconales: x x y y z z x x y y z z AB B A (x, y, z (x, y, z (x x, y y, z z BC C B (x, y, z (x, y, z (x x, y y, z z x x y y z z x x y y z z ALICACINES DE LS VECTRES Condcón ara que tres untos estén alneados. Eemlo: Comrobar s los untos A(5,, 4, B(,, y C(,5,5 están alneados. AB (,4,6 4 6 BC (,, Como las coordenadas son roorconales, los untos están alneados. ALICACINES DE LS VECTRES unto medo de un segmento. AB AM (x x, y y, z z (m x, m y, m z x x x x + x x + x m + x ( x x m x y y y y + y y + y y y ( m ' y m ' + y ( z z m '' z z z z z z z z m '' z a A (x,y,z m b M (m, m,m B (x,y,z x + x y + y z + z M,, Eemlo: Hallar el unto medo del segmento de extremos: A(7,, 4, B(, 5, a ALICACINES DE LS VECTRES A(7,, 4 M (m, m, m B(, 5, m b M,, 4,,
3 ALICACINES DE LS VECTRES Smétrco de un unto resecto de otro. a A (x, y, z x + x ' α (α, β, γ y + y' β A (x,y, z z + z ' a γ x ' α x y ' β y z ' γ z ALICACINES DE LS VECTRES Smétrco de un unto resecto de otro. Eemlo: Hallar el unto smétrco del unto A(7, 4, resecto de (,, 7. A(7, 4, (,, 7 A (x,y, z 7 + x ' x ' 4 + y ' y' 6 A ' (, 6,6 z ' 6 + z ' 7 Ecuacón vectoral de la recta. ECUACINES DE LA RECTA ECUACINES DE LA RECTA Ecuacones aramétrcas de la recta. d (,, d (d, d, d x d x X x X (x, y, z (x, y,z (,, (d,d,d x d x d y d z d
4 ECUACINES DE LA RECTA Ecuacón de la recta en forma contnua. (,, d (d, d, d X (x, y, z x λ d x d y d y λ d y z d λ x d ECUACINES DE LA RECTA Forma mlícta de la ecuacón de la recta. x (,, d (d, d, d X (x, y, z x y z d d d dx dy + d + d 0 dy dz + d + d 0 x y z d d d ax + by + cz + d 0 a x + b y + c z + d 0 ECUACINES DE LA RECTA Vectoral: aramétrcas: x d x d y d z d x y z Contnua: d d d ax + by + cz + d 0 Imlícta: a x + b y + c z + d 0 ECUACINES DE LA RECTA Eemlo: Exresar de todas las formas osbles la ecuacón de la recta que asa or A(6,, 4, y B(, 5, 7. AB (, 5, 7 (6,, 4 ( 9, 6, (,, d (,, Vectoral: x (6,, 4 (,, (6 + λ, λ, 4 λ aramétrcas: Contnua: Imlícta: x 6 x 6 y ( y λ z 4 ( z 4 λ x 6 y + z 4 x y y + z 9 0
5 ECUACINES DE LA RECTA Eemlo: btener las ecuacones aramétrcas, contnuas e mlíctas de la recta que asa or (0,, y es aralela al vector d(, 5, 0. ECUACINES DE LA RECTA Eemlo: btener las ecuacones aramétrcas de la recta que asa or (, 7, y B(,, 8, y obtener otros dos untos de ella. ECUACINES DE LA RECTA Eemlo: Comrobar s alguno de los untos A(,,, B(,7,, C(,5,0 y D(,8, ertenece a la recta r. x λ r : y + λ z Ecuacón vectoral del lano. ECUACINES DEL LAN u λu λ u + µ v X v µv x x u + µ v
6 ECUACINES DEL LAN Ecuacones aramétrcas del lano. Ecuacón mlícta del lano. ECUACINES DEL LAN u λu λ u + µ v v µv X x u + µ v x u v + µ + µ + µ y u v z u v uλ + vµ x uλ + vµ y uλ + vµ z x (x, y,z (,, (u,u,u + µ (v, v, v x u v + µ + µ + µ y u v z u v Sstema de ecuacones con tres ecuacones y dos ncógntas λ y µ. ara que tenga solucón tene que cumlrse que: u v x u v y 0 u v z ax + by + cz + d 0 ECUACINES DEL LAN Halla las ecuacones aramétrcas e mlícta del lano que asa or A(,,5, B(,, y C(,6,0 aramétrcas: unto A(,,5 x λ + µ AB (,, y λ + µ AC (,,5 z 5 λ + 5µ Imlícta: x y 0 (x (y + (z z 5 (x + (y (z 5 0 Imlícta: x y + z 0 u v (,, vector normal del lano. (x + (y (z 5 0 x y + z 0 Ecuacón normal del lano. ECUACINES DEL LAN n(a, b,c 0 X 0(x 0, y 0,z 0 X(x, y,z n X n X 0 (a, b,c (x x, y y,z z a(x x 0 + b(y y 0 + c(z z 0 0
7 ECUACINES DEL LAN Relacón entre la ecuacón normal y la mlícta del lano. n(a,b,c 0 X 0(x 0, y 0,z 0 X(x, y,z a(x x + b(y y + c(z z ax ax + by by + cz cz ECUACINES DEL LAN Halla la ecuacón mlícta del lano que asa or A(,,5, B(,, y C(,6,0 unto A(,,5 AB (,, AC (,,5 ax + by + cz + ( ax by cz Imlícta: AB AC (,, vector normal del lano. ax + by + cz + d 0 (x + (y (z 5 0 x y + z 0 En la ecuacón mlícta del lano (a,b,c es un vector normal del lano. SICINES RELATIVAS DE LANS Y RECTAS Recta y lano: n d n d Son aralelos n d d Se cortan en un unto n d Recta contenda en lano n d n SICINES RELATIVAS DE LANS Y RECTAS Estuda la oscón relatva del lano y recta: π : x y + 5z + 0 π (,0,0 n r (,, 4 r : π (,,5 d (,, 6 x λ r y λ z λ π : r nπ dr (,,5 (,, nπ d r or lo tanto la recta y el lano se cortan en un unto. ara calcularlo: x y + 5z + 0 ( λ ( λ + 5( 4 + 6λ + 0 λ λ ( 5,,
8 SICINES RELATIVAS DE LANS Y RECTAS SICINES RELATIVAS DE LANS Y RECTAS Dos lanos: Dos lanos: ax + by + cz + d 0 a x + b y + c z + d 0 aralelos a b c M a b c a b c d M a b c d Se cortan en una recta Concdentes ( ( ( ran M ran M Los lanos se cortan en una recta. ran M ; ran M Los lanos son aralelos. ran M ran M Los lanos son concdentes. SICINES RELATIVAS DE TRES LANS SICINES RELATIVAS DE TRES LANS π : ax + by + cz + d 0 a b c a b c d π : a x + b y + c z + d 0 M a b c M a b c d π : a x + b y + c z + d 0 a b c a b c d
9 SICINES RELATIVAS DE TRES LANS SICINES RELATIVAS DE TRES LANS Estuda la oscón relatva de los lanos: SICINES RELATIVAS DE TRES LANS Estuda la oscón relatva de los lanos: SICINES RELATIVAS DE DS RECTAS Sean dos rectas r y s con ecuacones: (,, r : d d,d,d (,, s : d d,d,d ueden darse cuatro stuacones: Concdentes aralelas Secantes Se cruzan
10 SICINES RELATIVAS DE DS RECTAS Sean dos rectas r y s con ecuacones: (,, r : d d,d,d (,, s : d d,d,d d d SICINES RELATIVAS DE DS RECTAS Sean dos rectas r y s con ecuacones:,,,, r : s : d ( d,d,d d ( d,d,d S los vectores drectores no son aralelos uede ocurrr dos casos: Caso : d, d y son colanaros (lnealmente deendentes S s Las rectas son concdentes Caso d d S s Las rectas son aralelas d d R y s son secantes. d d SICINES RELATIVAS DE DS RECTAS Sean dos rectas r y s con ecuacones:,,,, r : s : d ( d,d,d d ( d,d,d S los vectores drectores no son aralelos uede ocurrr dos casos: Caso : d,d y no son colanaros (lnealmente ndeendentes R y s se cruzan. d d SICINES RELATIVAS DE DS RECTAS oscón relatva de las rectas: x 5λ r : y z 5 λ x + 0µ s : y 4 µ z µ (,,5 (, 4,0 s : (,, 5 d ( 5,, d ( 0,, r : d d x + 0µ x y 4 z 4 5 s : y 4 µ s 0 0 z µ r y s son aralelas.
11 SICINES RELATIVAS DE DS RECTAS oscón relatva de las rectas: x λ x µ r : y + 5 λ s : y µ z λ z 5 (,,0 (,0,5 s : (,,5 d(, 5, d (,, 0 r : SICINES RELATIVAS DE DS RECTAS oscón relatva de las rectas: x λ x µ r : y + 5 λ s : y µ z λ z 5 (,,0 (,0,5 s : (,,5 d(, 5, d (,,0 r : d d Los vectores son lnealmente ndeendentes. 0 5 d d 5 0 Los vectores son lnealmente deendentes. 0 5 r y s se cruzan. r y s son secantes. SICINES RELATIVAS DE DS RECTAS R RANGS. (,, r : d d,d,d (,, s : d d,d,d ( d d M d d d d d d y s ran M ran M r y s concdentes d d y s ran M ; ran M r y s aralelas d ( ( d d M d d d d d y det d,d, 0 ran M ran M r y s se cortan d y det d,d, 0 ran M ;ran M r y s se cruzan d ( ( SICINES RELATIVAS R RANGS oscón relatva de las rectas: x 5λ x + 0µ r : y s : y 4 µ z 5 λ z µ (,,5 (,4,0 s : (,, 5 d( 5,, d ( 0,, r : M M 5 r y s son aralelas. ran M ran M
12 oscón relatva de las rectas: x λ x µ r : y + 5 λ s : y µ z λ z 5 r : SICINES RELATIVAS R RANGS (,,0 (,0,5 s : (,,5 d (, 5, d (,, 0 M 5 M SICINES RELATIVAS R RANGS oscón relatva de las rectas: x λ x µ r : y + 5 λ s : y µ z λ z 5 (,,0 (,0,5 s : (,,5 d(, 5, d (,,0 r : M 5 M ran M ran M r y s se cruzan. ran M ran M r y s son secantes. HAZ DE LANS ARALELS Eemlo: HAZ DE LANS ARALELS Dado el lanoπ:x y + z 0, escrbe la exresón de un lano aralelo a él. Todos los lanos aralelos al lano π : x y + z 0 ueden exresarse medante la ecuacón x y + z + d 0. ara elegr uno de ellos, úncamente hay que dar un valor fo a d. or eemlo: d el lanoπ : x y + z + 0 es aralelo al lanoπ d 4el lanoπ : x y + z 4 0 es aralelo al lanoπ
13 HAZ DE LANS DE BASE UNA RECTA. r El haz de lanos de base la recta r es el conunto de todos los lanos que contenen a la recta r. Sea r: ax + by + cz + d 0 r : a x + b y + c z + d 0 HAZ DE LANS SECANTES La ecuacón del haz de lanos es: ( α ax + by + cz + d + β a x + b y + c z + d 0 Y smlfcada dvdendo or α 0 (o: falta el segundo lano de r: ( ax + by + cz + d a x + b y + c z + d 0 a x + b y + c z + d 0 HAZ DE LANS DE BASE UNA RECTA. Utlza el haz de lanos de base una recta ara hallar la ecuacón del lano que contene a r y asa or (,, x + y z + 0 r : x + y + z 0 La ecuacón del haz de lanos es (x + y + z 0 no es la solucón Como está en el lano: ( x + y z + ( x + y + z 0 ( + + ( λ 0 λ π : ( x + y z + ( x + y + z 0 π : x z + 5 0
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