PROBABILIDAD. Álgebra de sucesos. Inclusión o igualdad de sucesos. Operaciones con sucesos.

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1 ROILIDD Álgebra de sucesos. Un fenómeno o exerenca se dce que es aleatoro cuando al reetrlo en condcones análogas es mosble de redecr el resultado. El conjunto de todos los resultados osbles de un exermento aleatoro se llama esaco muestral (E). Se denomna suceso a todo subconjunto de E(esaco muestral). Como los sucesos son subconjuntos, ueden determnarse or extensón enumerando sus elementos; o ben, dando una roedad que se verfque sólo or los elementos de dcho subconjunto. Se dce que se verfca, o se realza un suceso cuando al realzar el exermento aleatoro se obtene como resultado uno de los untos muestrales que forman el suceso. El conjunto formado or todos los sucesos de esaco E se llama esaco de sucesos. Es decr, el esaco de sucesos es el conjunto formado or todos los subconjuntos de E Los sucesos defndos or los conjuntos Ø y E se llaman suceso mosble y suceso seguro, resectvamente. Los sucesos formados or un solo unto o elemento del esaco muestral se llaman sucesos elementales. Los sucesos no elementales se suelen llamar sucesos comuestos o smlemente sucesos. Inclusón o gualdad de sucesos. Sean y dos sucesos del msmo esaco muestral. Se dce que un suceso está contendo en el suceso, y se escrbe, cuando semre que se resenta el suceso se verfca. Se dce que dos sucesos y del msmo esaco muestral son guales cuando semre que se verfca se verfca, y recírocamente. y son guales sí constan de los msmo untos muestrales. De lo anteror se deduce: Oeracones con sucesos. Unón de sucesos Dados dos suceso y, se llama unón de ellos, y se escrbe U, al suceso que se realza cuando ocurre al menos uno de los sucesos ó. De la defncón se deduce que la unón es una oeracón nterna en (E); es decr:, (E) U (E) Cardnal de la unón de sucesos, es el número de sucesos elementales que forman la unón de dos sucesos y. l sumar el cardnal del suceso con el cardnal del suceso se cuentan dos veces los untos muestrales de la nterseccón ; or tanto, Card(U)Card()+Card()-Card() S los sucesos y son ncomatbles: Card(U)Card(a)+Card() nálogamente, ara tres suceso se verfca: Card(UUC) Card()+Card()+Card(C) Card() Card(C) Card(C)+Card(C)

2 Interseccón de sucesos Se llama suceso nterseccón de los sucesos y, y se escrbe, al suceso que se realza s y solo s y se realzan. Como la unón, la nterseccón es tambén una oeracón nterna de (E); es decr:, (E) (E) Dos sucesos cuya nterseccón es el suceso mosble se llaman sucesos ncomatbles. Sucesos contraros Dado el suceso (E), se llama suceso contraro de, y se reresenta or ó or c, al suceso que se realza cuando no se realza, y recírocamente. certo. De la defncón se deduce que: U E Se observa que los sucesos contraros son semre ncomatbles, ero el recroco no semre es Otras oeracones Dferenca de sucesos. Dados los sucesos y, se llama sucesos dferenca de y, y se escrbe, al suceso ; Se observa que el suceso no están en. está formado or los elementos o untos muestrales de que Dferenca smétrca de sucesos. La unón de los sucesos y se llama dferenca smétrca de los sucesos y, y se escrbe, es decr: ( )U( )

3 Álgebra de oole de sucesos. En el esaco (E) de sucesos se cumle: a), (E) U (E) b), (E) (E) c), (E) (E) demás, las oeracones de unón, nterseccón y comlementacón tenen las roedades: Sean,, C, D, (E) OERCIONES DEFINIDS EN (E) UNION INTERSECCION socatva (U)UC U(UC) ()C (C) Conmutatva U U Idemotente U Smlfcatva Dstrbutva Elementos neutros Comlementacón Unón resecto a nterseccón U() Interseccón resecto a unón (U) Unón resecto a nterseccón U(C)(U)(UC) Interseccón resecto a unón (UC)()U(C) es el elemento neutro de la unón U E es el elemento neutro de la nterseccón E E E demás de las roedades anterores, son muy utlzadas las sguentes, que son conocdas con el nombre de leyes de Morgan: a) b) ara tres conjuntos es fácl comrobar que: a ) C C b ) C C Álgebra de sucesos El conjunto (E) se susttuye, a veces, or un subconjunto S (E). Se llama álgebra de sucesos sobre un esaco muestral E a toda famla S de sucesos tales que: xoma 1.º) E S xoma 2.º), S U S. Es decr la unón es una oeracón nterna de S xoma 3.º) S S Consecuenca de los axomas a) La nterseccón de sucesos es nterna en S b) S c) La dferenca de sucesos es nterna en S Sstema comleto de sucesos

4 Sea E un esaco muestral y { 1, 2,..., n } una artcón de E, es decr: ), ) 1 U 2 U...U n E C) j Se dce entonces que es un sstema comleto de sucesos. Combnatora VRICIONES Es el número de subconjuntos de n elementos que odemos obtener de un conjunto de m elementos, tenendo en cuenta que ara que dos subconjuntos sean dstntos debe de varar o el orden de los elementos o algún elemento o ambos a la vez. or eso se dce que en las varacones nfluye el orden y los elementos. Exsten dos tos: a) Varacones ordnaras o sn reetcón. En un msmo subconjunto no hay elementos reetdos. b) Varacones con reetcón. En un msmo subconjunto uede haber elementos reetdos. Cálculo del nº de varacones. Varacones de m elemento tomadas de n en n V m,n. Varacones con reetcón de m elementos tomados de n en n VR m,n. V m,n m (m-1) (m-2)...(m-n+1) VR m,n m n ERMUTCIONES Se entende or ermutacones de un conjunto de m elementos al nº de ordenacones que se ueden hacer con todos los elementos del conjunto. Se sobreentende que en las ermutacones sólo nfluye el orden. Exsten tres tos de ermutacones: a) ermutacones ordnaras de m elementos m. b) ermutacones con elementos reetdos a,b,.. m, en el conjunto exsten a elementos reetdos de una clase, b elementos reetdos de otra clase, etc... c) ermutacones crculares de m elementos C m. En este caso las ordenacones se hacen alrededor de un elemento cerrado. Cálculo del nº de ermutacones. m m! (m factoral) α, β,... m! m α! β!.. C m m 1 (m-1)! COMINCIONES Es el número de subconjuntos de n elementos que odemos hacer en un conjunto de m elementos con la condcón de que ara que dos subconjuntos sean dstntos deben de tener al menos un elemento dstnto. En este caso se dce que nfluyen los elementos. unque exsten combnacones con o sn reetcón en este curso sólo veremos las combnacones ordnaras. Cálculo del nº de combnacones. n m m! Combnacones ordnaras: Cm Cm, n n n!(m n)! Combnacones con reetcón: CR m,n C m+n 1,n

5 ESTUDIO XIOMTICO DE L ROILIDD Sea E un esaco muestral fnto y S un álgebra de sucesos defnda en E. Se llama robabldad a toda alcacón de S en el conjunto R de los números reales :S R Tales que: I. ara todo suceso : 0 () 1 II. (E) 1 + III. ara todo ar de sucesos ncomatbles y es: robabldad del suceso contraro robabldad del suceso mosble robabldad del suceso unón Sucesos ncomatbles: (Ø) 0 ( ) + Sucesos comatbles: ( C) + ( C) + ( ) + ( ) ( C) + + ( C) ( ) ( C) ( C) + ( C) robabldad de la dferenca de sucesos Defncón axomátca robabldad condconada ( ) Casos favorables () Casos osbles Se llama robabldad condconada del suceso a la hótess y se desgna or (/) a la comaracón del número de casos en los que se cumlen los dos frente a los casos en los que solo se cumle. ( ) ( ) nálogamente, la robabldad condcona de resecto del suceso es: ( ) ( ) De las dos relacones anterores se obtene ( ) ( ) ( ) ( )

6 robabldad comuesta C C Deendenca e ndeendenca de sucesos Hay ocasones en la que la realzacón de un suceso no afecta a la robabldad de otro osteror, en ese caso son ndeendentes. Sean y dos sucesos. Se dce que es ndeendente de cuando (/)() (suuesto () 0). En el caso de que (/) (), se dce que el suceso deende del suceso. TEOREM La condcón necesara y sufcente ara que el suceso sea ndeendente de es que TEOREM DE YES

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