Variables aleatorias discretas

Transcripción

1 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez Vriles letoris discrets Al relizr un eerimento generlmente estmos interesdos en lgun función del resultdo más que en el resultdo en sí mismo. Así, or ejemlo, l rrojr un ddo dos veces odrímos estr interesdos sólo en l sum de los untos otenidos y no en el r de vlores que dio origen ese vlor de l sum. s cntidd de interés, o más formlmente es función vlores reles definid sore el escio muestrl se denomin vrile letori. Vrile orque tom distintos vlores y letori orque el vlor oservdo no uede ser redicho ntes de l relizción del eerimento, unque sí se se cuáles son sus osiles vlores. Ddo que el vlor de un vrile letori en delnte lo reviremos v.. es determindo or el resultdo de un eerimento, odremos signr roiliddes los osiles vlores o conjuntos de vlores de l vrile. jemlo: Se rroj dos veces un ddo equilirdo. Un escio muestrl socido es: S {, / {,,,,5,6}} i osiles v.. socids con este eerimento son: : número de crs res Y: máimo untje Z: sum de untos Definición: Se S un escio muestrl socido con un eerimento letorio. Un vrile letori es un función que soci cd elemento w S un número rel w, es decir : S R Como se oserv, en generl reresentremos ls v.. con letrs myúsculs:, Y, Z, etc. y sus vlores con letrs minúsculs, es decir w signific que es el número rel socido l resultdo w S trvés de. jemlos: Volviendo l ejemlo nterior,,5 Y,5 5 Z,5 7, Y, Z,, Y, Z, Se rroj un moned equilird veces, si el número de crs es imr en cso contrrio

2 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez Se rroj un moned equilird hst que se otiene l rimer cr, : número de tiros necesrios A rtir del instnte en que se intent l coneión un servidor, se registr el tiemo que demor en concretrse l mism, : tiemo requerido r l coneión. n los ejemlos, y ls v.. tomn un número finito o infinito numerle de vlores, mientrs que en el ejemlo l v.. tom vlores en un conjunto infinito no numerle, el intervlo, o un intervlo, M si eiste un tiemo máimo time out. Notción: Indicremos con R el rngo de l v.., es decir el conjunto de vlores osiles de l v... jemlos: n los ejemlos nteriores, R {,,} R Y {,,,,5,6} R Z {,,,5,6,7,8,9,,,} R {,} R {,,,...} N R, ó,m si eiste un time out Definición: Un v.. es discret si tom un número finito o infinito numerle de vlores. jemlo: n el cso del ejemlo, cómo clculrímos l roilidd de que l v.. Z tome el vlor 7, suoniendo que los lnzmientos son indeendientes? {, S / Z, 7} {,6,,5,,,,,5,,6, }. Z Definición: L función de roilidd untul o de ms de l v.. discret, se define r todo como { w S / w } Se cumlen ls siguientes roieddes:

3 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez R L función de roilidd untul de un v.. nos dice cómo se distriuye l roilidd totl entre los distintos vlores de, y se determin rtir de l roilidd de los sucesos socidos cd vlor de. jemlos: Hllemos l función de roilidd untul de l v.. : número de crs res l rrojr dos veces un ddo equilirdo. Recordemos que R {,,}. {, S /, {,,5 } {, S / {,,5 }, {,,6 } {, S / {,,6}, {,,5 } {, S /, {,,6 } odemos resumir est informción en un tl de l form: / / / o medinte un gráfico en el cul, r cd vlor de se construye un rr o un rectángulo centrdo en, cuy ltur es roorcionl Digrm de Brrs Histogrm

4 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez Definición: L función de distriución cumuld de un v.. discret con función de roilidd untul se define r todo R, como R y y y, s decir que es l roilidd de que l v.. tome vlores menores o igules que. jemlo: Volviendo l ejemlo, hllemos l función de distriución cumuld de l v.., cuy función de roilidd untul es / / / Si > Resumiendo: si si si si Cómo es? Oservmos que se trt de un función escler, no decreciente que tom vlores entre y.

5 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez roieddes de l función de distriución cumuld: i R,,. ii es monóton no decreciente, es decir que si. [ ] iii es continu derech, es decir lim h. iv lim y lim - h o v n cd unto, el vlor del slto es l roilidd untul, es decir donde lim h límite or l izquierd. n rticulr si tom vlores h..., entonces i i i r todo i y. Dem: Dremos sólo demostrciones heurístics de ests roieddes. Demostrciones riguross ueden encontrrse, or ejemlo, en S. Ross 988 o B. Jmes 98. i Ovio, y que { w S / s } vlores entre y. ii Consideremos el suceso A y tod roilidd tom { w / w } { w / w } { w / w } A A Como A, A A, es decir A A y, or lo tnto, 5

6 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez 6 iii Recordemos que un función g es continu derech en si lim h g h g. or lo tnto, l continuidd derech de en todo result de su definición:. iv { } / lim lim lim S w w w w / lim lim lim v roosición: Sen y tles que, entonces Dem: Demostremos l rimer iguldd ] ] ],,, - jercicio: Demostrr ls siguientes igulddes, usndo or ejemlo que y licndo l roiedd v de ls funciones de distriución cumulds. jemlo: Volviendo l ejemlo, y usndo l función de distriución clculd ntes, clculemos y..

7 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez jemlo: Un eerimento tiene sólo dos resultdos osiles, que denominremos Éito y rcso. l eerimento se reite en form indeendiente hst que se otiene el rimer éito. Se Éito,, y definmos l v.. número de reeticiones hst otener el rimer éito. Como y hemos visto, R N. Hllemos l función de roilidd untul de l v... ntonces, N. Verifiquemos que en efecto est función stisfce ls dos roieddes R Ddo que, l rimer roiedd ovimente se stisfce. Resecto l segund, j j donde hemos usdo que l sum de l serie geométric Hllemos l función de distriución cumuld de l v... i i q, si q. q 7

8 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez j... j i i Hemos usdo que l sum rcil de un serie geométric es q n i i q q n. Recordemos que l función de distriución dee estr definid r todo R, entonces [ ] si si donde [ ] denot l rte enter de. jercicio: Verificr que est función de distriución stisfce ls roieddes enuncids ntes. rámetro de un función de roilidd: n el ejemlo nterior l roilidd de Éito l designmos donde. Vrindo este vlor otenemos diferentes funciones de roilidd que constituyen lo que se denomin un fmili de distriuciones. l vlor se denomin rámetro de l distriución. n el cso del ejemlo, l fmili otenid se denomin Geométric de rámetro y diremos que ~ G. or ejemlo, si el eerimento huiese consistido en rrojr un ddo equilirdo hst otener el rimer s, ~ G/6 y si huiese consistido en rrojr un moned equilird hst otener l rimer cr, ~ G/. sernz o vlor eserdo de un v.. discret: Un emres roveedor de servicio de Televisión Stelitl tiene clientes en ciert zon, cd uno de los cuáles uede otr or contrtr de 5 quetes de señles el ono ásico consiste en un solo quete y cd uno de los otros quetes incluye gruos de señles temátics o remium. Suongmos que, entre los clientes, l distriución del número de quetes contrtdos es l siguiente: 8

9 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez 5 número de clientes roorción 7.5% 7.5% 7.5%.% 7.5% Si interes el número romedio de quetes contrtdos, o se el vlor romedio de en l olción, deerímos clculr: Oservemos que, si no huiésemos conocido los números de clientes que contrtn cd número de quetes ni el totl de l olción, sino sólo ls roorciones de cd número o su roilidd huiésemos odido otener el vlor romedio, y que dicho número uede escriirse en l form: Ésto motiv l siguiente definición. Definición: Se un v.. discret que tom vlores en R con función de roilidd untul, l esernz o vlor eserdo de se define como R siemre que. Si l serie de los vlores solutos diverge, l esernz R no uede definirse y decimos que no eiste. jemlos: Se : número de crs res l rrojr dos veces un ddo equilirdo. Como / / / entonces,. 9

10 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez Se un v.. que tom sólo dos vlores que designremos y Éito y rcso con l siguiente función de roilidd untul - siendo. Un v.. de este tio se dice que es un v.. de tio Bernoulli y su esernz es: Vemos un ejemlo en que no eiste. Se un v.. con l siguiente función de roilidd untul 6 π si N en otro cso n rimer lugr, oservemos que es un función de roilidd untul, y que π 6 y, or lo tnto l sum de ls roiliddes es. Clculemos l esernz de, 6 π 6 π Consideremos nuevmente un eerimento que tiene sólo dos resultdos osiles y que se reite en form indeendiente hst que se otiene el rimer éito. Si Éito,, y si definimos l v.. número de reeticiones hst otener el rimer éito, hemos demostrdo que su función de roilidd untul está dd or Clculemos l esernz de. N

11 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez Como l serie de otencis involucrd en l últim iguldd es convergente, l derivd de l sum es l sum de ls derivds, entonces. y or lo tnto hemos demostrdo que. Interretción de l esernz: es el centro de grvedd de l función de roilidd untul. s decir que si imginmos que sore cd vlor osile de, i, colocmos un ms i, el unto de equilirio del sistem es. n este sentido, odemos decir que es un medid del centro de l distriución. Otr interretción de está relciond con un resultdo que estudiremos más delnte, denomindo ley de los grndes números. Imginemos que se reite indefinidmente un eerimento letorio y que en cd reetición nuestr v.. tom diferentes vlores. Se h demostrdo que el romedio de los resultdos otenidos tiende estilizrse en un número que es, si es que ést eiste. sernz de un función de un v.. discret: Volvmos l ejemlo considerdo l comienzo del rágrfo dedicdo l esernz. Se l v.. : número de quetes de rogrms contrtdo or un cliente selecciondo l zr y consideremos su función de roilidd untul: Suongmos que el costo del servicio Y es función del número de quetes contrtdo, según l siguiente fórmul: Y Cuál es el vlor eserdo del costo gdo or cliente? s decir, cuál es Y?. A rtir de l función de roilidd untul de, odemos otener l de función de roilidd de Y y que, or un ldo R Y {6,9,,5,8} y, or ejemlo, Y.75. ntonces, y Y y y, Y

12 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez 5 Oservemos que, Y h, siendo h. roosición: Si es discret y tom vlores,,..., entonces h es discret con vlores y, y,..., siendo y j h i r l menos un vlor de i. roosición: Si l v.. tiene función de roilidd untul r todo R, entonces l esernz de culquier función rel h, está dd or h h R si l serie es solutmente convergente, o se si h. Dem: Se Y h, entonces Y R y j Y y j y j i y j i j j i / h i y j j i / h i y j i h i. i roieddes de l esernz: Linelidd Si y son constntes reles,. Dem: Se h, entonces h R R R. Si es un v.. tl que c, entonces c. Dem: c c c. Vrinz de un v.. discret: Consideremos ls siguientes funciones de roilidd: / / / y 5 Y y / 5/ / / /

13 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez z Z z sts tres v.. tienen l mism esernz, sin emrgo l form de su distriución es muy diferente. jercicio: Grficr ls tres funciones de roilidd untul y verificr que YZ. Definiremos un medid de l vriilidd de un vrile letori lrededor de su esernz. Definición: Se un v.. discret con función de roilidd untul y esernz, l vrinz de, que se denotrá V, σ ó σ, es V σ R [ ]. y el desvío stndrd de, es σ V. jemlos: Clculemos l vrinz y el desvío stndrd de ls tres v.. que cmos de resentr, cuy esernz es igul. V σ VY σ Y V Z σ Z Consideremos : número de crs res l rrojr dos veces un ddo equilirdo cuy función de roilidd untul es / / / y su esernz es, entonces V.

14 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez Se un v.. Bernoulli con función de roilidd untul - con. Recordemos que, entonces [ ]. V roosición: V. Dem: R R V R R R. jemlo: Consideremos nuevmente un eerimento que tiene sólo dos resultdos osiles y que se reite en form indeendiente hst que se otiene el rimer éito. Si Éito,, hemos definido l v.. número de reeticiones hst otener el rimer éito, cuy función de roilidd untul está dd or: N Hemos demostrdo que. Demostrremos hor que. V Clculemos. [ ]

15 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez 5 j j ntonces, V como querímos demostrr. roieddes de l vrinz y del desvío stndrd: V V y σ σ. Dem: Oservemos que, en generl, R h h h V. ntonces, R R V R R V y, or lo tnto,. σ σ

16 roiliddes y stdístic Comutción cultd de Ciencis cts y Nturles. Universidd de Buenos Aires An M. Binco y len J. Mrtínez n rticulr, oservemos que σ σ y σ σ, y or lo tnto un cmio de escl fect l vrinz ero un trslción no l fect. Si es un v.. tl que c, entonces V. Dem: jercicio. 6