INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS: UN ENFOQUE MATEMÁTICO

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1 MEF para problemas do orden Problema undmensonal INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS: UN ENFOQUE MATEMÁTICO Govann Calderón y Rodolfo Gallo Grupo Cencas de la Computacón Departamento de Matemátcas Facultad de Cencas Unversdad de Los Andes, Mérda Grupo Cencas de la Computacón Departamento de Cálculo Facultad de Ingenería Unversdad de Los Andes, Mérda Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 1/1

2 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problemas de segundo orden Problema modelo Sea B : V V R una forma blneal y l V Entonces se quere encontrar u V tal que B(u, v) = l(v) v V (1) Para un PVF de segundo orden, el espaco de funcones admsbles V consste de todas aquellas funcones en H 1 (Ω) que satsface las condcones de frontera esencales Una aproxmacón de Galerkn u n a la solucón de (1) puede ser encontrada construyendo un subespaco fnto dmensonal V n de V, el cual es generado por un número fnto de funcones bases φ Entonces se plantea el problema de encontrar un u n V n que satsface B(u n, v n ) = l(v n ) v n V n () El objetvo entonces es descrbr un método para construr funcones bases φ apropadas; una vez hecho esto, el problema se reduce a resolver K j a = F, = 1,,, N (3) donde j K j = B(φ, φ j ) y F = l(φ ) (4) Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco /1

3 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problemas de segundo orden La malla de elementos fntos Se subdvde el domno Ω en un número fnto E de subdomnos Ω 1, Ω,, Ω E, llamados los elementos fntos Estos elementos no se solapan y cubren Ω, por tanto, satsfacen E Ω l Ω j = para l j, Ω e = Ω (5) e=1 Para evtar complcacones nnecesaras, se asume que el domno Ω es polgonal s es un subconjunto de R Es decr, la frontera Ω R de Ω se compone de segmento rectos Bajo estas condcones el domno entero se puede cubrr exactamente por elementos polgonales Ω 3 Ω Ωe B Ω 1 Ω 1 Ω A Fgura: Dscretzacón por elementos fntos del domno Ω en una malla compuesta por elementos cuadrláteros Fgura: Dscretzacón no aceptada del domno Ω Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 3/1

4 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problemas de segundo orden Puntos nodales Se dentfcan certos puntos en el domno subdvddo llamados nodos o puntos nodales Los nodos se asgnan, por lo menos, en los vértces de los elementos, pero para mejorar la aproxmacón, otros nodos se pueden ntroducr, por ejemplo, en los puntos medos de los lados de los elementos En cualquer caso, hay un total de m nodos, los cuales son numerados 1,,, m y tenen vectores de poscón x 1, x,, x m El conjunto de elementos y nodos que componen el domno Ω es llamado la malla de elementos fntos Ω 1 Ω (a) Ω 3 Ω 3 Ω 1 Ω (b) Fgura: Confguracón de los nodos en los elementos del domno Ω Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 4/1

5 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problemas de segundo orden Funcones bases φ Se procede a defnr las funcones base de elementos fntos En el procedmento se debe tener presente que las funcones bases defnen un subespaco de V, así que ellas deben ser funcones en H 1 (Ω) que satsfagan las condcones de frontera esencales Se deja a un lado, por el momento, la cuestón de las condcones de frontera esencales y se procede a construr un sstema de funcones con las característcas sguentes: () Las funcones φ son contnuas, esto es, φ C( Ω) () Hay un total de m funcones bases, y cada funcón φ es dstnta de cero solo en aquellos elementos que están conectado por el nodo () φ es gual a 1 en el nodo, e gual a cero en los otros nodos: { 1 s = j φ (x j ) = 0 en los otros casos (6) (v) ϕ (e) será la restrccón de φ al elemento Ω e, en otras palabras, ϕ (e) = φ Ωe ; (ϕ (e) es una funcón polnomal) (7) Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 5/1

6 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problemas de segundo orden Funcones bases φ De () y (v) es claro que la funcón ϕ (e) ϕ (e) (x j ) = defne un elemento (e) con las característcas { 1 s = j 0 en los otros casos con los índces y j recorrendo todos los nodos de Ω e Llamaremos a ϕ (e) funcón de base local (8) nodos ϕ3 ϕ φ 3 Ω 1 Ω Ω 3 Ω 4 ϕ 3 Ω 4 Ω 1 Ω Ω3 φ Fgura: Ejemplo de funcones base φ y funcones de base local ϕ e con elementos trangulares (derecha) (o funcones de forma) para una malla en 1D (zquerda) y D Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 6/1

7 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problemas de segundo orden Funcones bases φ Se tene entonces que N n está relaconado mplíctamente con el tamaño de elemento H De esta manera, la solucón u n y el espaco V n serán además denotados usando el subíndce H (esto es, u H y V H ) Así, la solucón aproxmada y las funcones de ponderacón a utlzar quedan dadas por m m u H (x) = a φ (x), v H (x) = b φ (x) (9) =1 =1 Ejemplos específcos de funcones de ponderacón serán dados en el sguente apartado Hasta el momento, no se ha dcho nada sobre las condcones de frontera esencales, las cuales forman parte de la defncón de V H Así, s se denota por X H el espaco generado por las funcones bases {φ } m =1, entonces V H = { v H X H : v H satsface las conds de frontera esencales } = span {φ : φ satsface las conds de frontera esencales} De la msma manera, se denota por X e el espaco generado por las funcones ϕ e, esto es, { } X e = span ϕ (e) = { Ωe } v H, v H X H es decr, X e es el espaco que consste de la restrccón de todas las funcones en X H a Ω e Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 7/1

8 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problemas de segundo orden La solucón aproxmada es la restrccón de φ a Ω e, se tene que (4) se puede escrbr como E K j = B(φ, φ j ) = B (e)( ) E ( ) φ, φ j = B (e) ϕ (e), ϕ (e) (10) j e=1 e=1 } {{ } K (e) j E F = l(φ ) = l (e)( ) E ( ) φ = l (e) ϕ (e) (11) e=1 e=1 } {{ } F (e) La evaluacón de K j y F se reduce a la evaluacón de una sere de matrces K (e) y vectores F (e) para j cada elemento, y entonces se suman estas contrbucones sobre todos los elementos Ya que φ = 0 Dado que ϕ (e) para todo elemento que no tenga al nodo como uno de sus nodos, claramente K (e) j = 0 s los nodos y j no pertenecen a Ω e Se sgue entonces, que una enumeracón apropada de los nodos dará lugar a una matrz K que tene una estructura de banda en la cual todas las entradas dstntas de cero están alrededor de la dagonal prncpal Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 8/1

9 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problemas de segundo orden La solucón aproxmada Debe quedar claro lo que se ha dscutdo: se puede construr una funcón base φ a partr de parches formados por las funcones bases local ϕ (e) asocadas, al nodo, como se muestra en la Fgura: 4 ϕ ϕ 1 3 ϕ3 ϕ3 3 1 Ω Ω 3 4 nodos Ω Ω φ Ω 3 1 ϕ Ω Ω Ω 1 3 ϕ Fgura: Funcones base local ϕ e para una malla en 1D (zquerda) y D con elementos trangulares (derecha) Al unr las funcones ϕ (e) de los elementos que comparten el nodo, se forma la funcón base, φ, correspondente al nodo Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 9/1

10 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problemas de segundo orden Solucón del sstema de ecuacones El método numérco utlzado para resolver el sstema lneal de ecuacones, Ka = F, revste una mportanca fundamental en el desenvolvmento computaconal del MEF En general, la seleccón de dcho método dependerá del tamaño del sstema a resolver Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 10/1

11 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problema undmensonal Sea Ω = (a, b) El domno es dvddo en elementos Ω 1, Ω,, Ω E, donde cada elemento Ω e es un segmento de longtud h e Supongamos que nos gustaría que X H fuera el espaco de polnomos a trozos de grado 1 Entonces X e es gual a P 1 (Ω e ) Además, ya que toda lnea recta es de la forma y(x) = a + bx, se sgue que, con un conocmento de los valores de y en dos puntos de Ω e, es sufcente para determnar y(x) en Ω e Con esto en mente, se defnen puntos nodales en las arstas de todos los elementos, así que cada elemento tene dos puntos nodales En vsta de este smple arreglo, se puede numerar los nodos secuencalmente de modo que Ω e será conectado a los nodos e y e + 1 Ω1 Ω 1 3 E-1 Ω E-1 E Ω E E+1 Fgura: Malla de elementos fntos 1D Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 11/1

12 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problema undmensonal El sguente paso es defnr dos funcones de forma lneales ϕ (e) y ϕ (e) +1 que generan X e y satsfaga (8) De los polnomos de Lagrange, las úncas funcones que cumplen todos los requermentos concden precsamente con los polnomos de Lagrange (es por esto que a los elementos se les denomna lagranganos): ϕ (e) (x) = m ( x xj ) x x j j=1 j ϕ (e) (x) = x +1 x, ϕ (e) h +1 (x) = (x x ) (1) e h e con x x x +1 y h e = x +1 x (longtud del elemento) Se debe notar que toda funcón base φ es una funcón lneal a trozos (tpo sombrero) formada al unr las funcones bases asocadas al nodo Por lo tanto, cada funcón v H en X H es una funcón lneal a trozos de la forma m v H (x) = b φ (x) =1 1 ϕ e -1-1 Ω e ϕ e φ ϕ ϕ e e+1-1 Ωe Ωe+1 1 Fgura: Funcones de forma 1D + Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 1/1

13 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problema undmensonal En lugar de defnr funcones base locales para cada elemento se puede smplfcar el trabajo consderablemente creando un elemento de referenca Ω (sstema de coordenadas natural o normalzado basado en la varable ξ) Esta stuacón es mostrada en la Fgura Cada elemento Ω e puede ahora ser vsto como un mapeo de Ω a Ω e, medante la transformacón x = h e ξ + x c o ξ = h e (x x c ) (13) donde x c = 1 (x +1 + x ) y h e es la longtud de Ω e Así, como ξ va de 1 a +1, x va de x a x +1 Ω Ω e x ξ= 1 ξ =+1 ξ Geometría normalzada T e Geometría real he x +1 Fgura: Defncón del sstema de coordenadas naturales ξ Geometrías real y normalzada del elemento Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 13/1

14 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Problema undmensonal La ventaja es que se puede defnr funcones de base locales ϕ 1 y ϕ en Ω con las propedades requerdas Tenendo hecho esto, se utlza (13) para mapear ϕ 1 y ϕ en ϕ (e) y ϕ (e), defnendo ϕ(e) y +1 ϕ (e) +1 funcones en Ω e que satsfacen ϕ (e) (x) = ϕ 1 (ξ), ϕ (e) +1 (x) = ϕ (ξ) (14) Para un elemento lagrangano de dos nodos con ξ 1 = 1 y ξ = +1 (geometría normalzada), se deduce a partr de (1) que ϕ 1 (ξ) = 1 (1 ξ), ϕ (ξ) = 1 (1 + ξ) (15) Es nmedato ver que susttuyendo el valor de ξ dado por (13) y usando (14) se recupera la expresón cartesana de las funcones forma, por ejemplo ϕ (e) (x) = ϕ 1 (ξ) = 1 ( 1 ) (x x c ) = 1 (x +1 x) h e h e En el futuro se defnrán las funcones bases locales en un elemento de referenca, con la suposcón de que las funcones de base locales reales pueden ser recuperadas por medo de una relacón tal como (14) Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 14/1

15 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Ejemplo: Problema undmensonal Consdere el PVF u = f(x) x Ω = (0, 1), u(0) = u(1) = 0 El PVFV es: encontrar u V = H 1 (Ω) tal que u v dx = f(x)vdx, 0 0 v V El problema aproxmado: encontrar u H V H tal que 1 1 u H v H dx = f(x)v H dx, 0 0 v H V H donde V H = { v H X H : v H (0) = v H (1) = 0 } Ω 1 Ω Ω φ φ φ φ Fgura: Funcones base lneales a trozos φ para una malla de 3 elementos generadas por funcones de forma, ϕ e 1, ϕe defndas sobre cada elemento Para efectos del cálculo, la malla de elementos fntos consta de tres elementos Se quere que X H sea generado por funcones base lneales a trozos, los nodos son requerdos en los extremos, y las funcones bases φ son formadas al unr las funcones dadas en (1) Estas funcones generan a X H Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 15/1

16 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Ejemplo: Problema undmensonal Se tene que 4 j=1 K ja j = F, para = 1 : 4, donde cada K j está dado por 1 E=3 dφ dφ j xk+1 (k) K j = B(φ, φ j ) = 0 dx dx dx = dϕ dϕ (k) E=3 j k=1 x k dx dx dx = K (k) j k=1 ϕ (e) = 0 s el nodo no es un nodo de Ω e Dado que K (e) = 0 s el nodo o el nodo j no pertenece a j Ω e, se tene K 11 = K (1) 11, K 1 = K (1) 1, K 13 = 0, K 14 = 0 K 1 = K (1) 1, K = K (1) + K (), K 3 = K () 3, K 4 = 0 K 31 = 0, K 3 = K () 3, K 33 = K () 33 + K (3) 33, K 34 = K (3) 34 K 41 = 0, K 4 = 0, K 43 = K (3) 43, K 44 = K (3) 44 Agrupando los resultados, se tene que la matrz global (matrz de rgdez) K queda dada por K (1) 11 K (1) K (1) 1 K (1) + K () K () 3 0 K = 0 K () 3 K () 33 + K (3) 33 K (3) K (3) 43 K (3) 44 Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 16/1

17 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Ejemplo: Problema undmensonal Por otro lado, para F = 1 0 fφ dx, con = 1 : 4 se tene, con un razonamento análogo al hecho anterormente, que E=3 xk+1 F = k=1 x k Así, el vector de carga F, vene dado por fϕ (k) E=3 dx = k=1 F (k) F (1) F (1) + F () F = F () 3 + F F 4 Observacón: Dado que φ 1 y φ 4 no satsfacen la condcón de frontera, se tene que V H = { v H X H : v H (0) = v H (1) = 0 } = span { φ, φ 3 } y el sstema fnal Ka = F se reduce al mponer las condcones de contorno Resulta habtual que las condcones de contorno sean mpuestas una vez construdo el sstema global fnal Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 17/1

18 MEF para problemas do orden Problema undmensonal Ensamblaje (1D) El Método de los Elementos Fntos Las expresones de K y F pueden obtenerse ensamblando las contrbucones de cada elemento de la malla: K (e) = K (e) K (e) 11 1 K (e) K (e) 1 F (e) = F(e) 1 F (e) (e), con K = j Ω e (e) dϕ dx dϕ (e) j dx, F(e) = dx Ω e contene los nodos x e y x e+1 La nformacón que proporcona la conectvdad dce que, en el elemento e, el nodo 1 (local) es el nodo e (global) y el nodo es el nodo e + 1 Así, la matrz elemental, K (e), se ensambla en la global a partr de: K (e) 11 K e,e K (e) 1 K e,e+1 K (e) 1 K e+1,e K (e) K e+1,e+1 y el vector de carga elemental F (e) se ensambla en el vector global usando F (e) 1 F e F (e) F e+1 fϕ (e) dx Ω e Observacon: K (e) tene tantas flas y columnas como grados de lbertad posee el elemento En nuestro caso (problemas de campo escalar) un grado de lbertad por nodo Recuerde, además, que en el ejemplo que se sgue se está trabajando con elementos lneales (dos nodos) Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 18/1

19 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Ensamblaje (1D) Para facltar el trabajo de cálculo, en vez de operar sobre cada elemento Ω e, se utlza el elemento de referenca Ω junto a las funcones de forma ya defndas A partr de la transformacón Ω Ω e se tene que dx dξ = h e/ Esto permte transformar las ntegrales sobre Ω e en ntegrales sobre Ω: Por otro lado, 1 F(x)dx = x e 1 xe+1 F(ξ) h e dξ (16) dϕ (e) = d ϕ dξ dx dξ dx = d ϕ J 1 dξ donde J := dx dξ es el jacobano de la transformacón o cambo de varable Así, (e) K (e) dϕ dϕ (e) +1 ( j = j Ω e dx dx dx = J 1 d ϕ )( J 1 d ϕ ) j J dξ (17) 1 dξ dξ La solucón aproxmada u H puede ser evaluada en el nteror de cada elemento a partr: m e u H (x) = a j ϕ j (x) (18) j=1 donde m e es el número de nodos por elemento, y x = x(ξ) evaluada usando una transformacón soparamétrca Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 19/1

20 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos La transformacón soparamétrca S la geometría del elemento se expresa en funcón de los nodos y las funcones de forma utlzadas para descrbr la aproxmacón de la ncognta, la formulacón se denomna transformacón soparamétrca Para elementos lneales resulta x(ξ) = x ϕ 1 (ξ) + x +1 ϕ (ξ) La transformacón dada en (13) resulta ser soparamétrca, pues x(ξ) = 1 (1 ξ)x + 1 (1 + ξ)x +1, con x y x +1 los nodos del elemento De lo cual dx dξ = 1 (x +1 x ) = h e / Aunque ya conocíamos el resultado, hay que resaltar que en este caso partcular pueden obtenerse estas expresones de una manera más senclla No obstante, es preferble segur un procedmento más sstemátco que facltará la comprensón del desarrollo de elementos soparamétrcos más complejos Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 0/1

21 MEF para problemas do orden Problema undmensonal El Método de los Elementos Fntos Integracón numérca Sea f(ξ) una funcón para la que se desea calcular la ntegral en el ntervalo [ 1, +1], es decr, I(f) = +1 1 f(ξ)dξ La regla de ntegracón o cuadratura expresa el valor de dcha ntegral como la suma de los productos de los valores de f en una sere de puntos conocdos en el nteror del ntervalo por unos coefcentes (llamados pesos) determnados Es decr, para una cuadratura de orden p, se tene I p (f) = p f(ξ )ω =1 donde ω es el peso correspondente al punto de ntegracón, y p el número de dchos puntos Resulta mportante destacar que la cuadratura de Gauss-Legendre de orden n ntegra exactamente un polnomo de grado n 1 o menor Govann Calderón y Rodolfo Gallo Introduccón al MEF: un enfoque matemátco 1/1