METODOS NUMERICOS CATEDRA 0 6. Ingeniería Civil ING.CRISTIANCASTROP. Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

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1 CATEDRA 0 6 Facultad de Ingenería de Mnas, Geología Cvl Departamento académco de ngenería de mnas cvl METODOS NUMERICOS Ingenería Cvl ING.CRISTIANCASTROP.

2 Captulo VI Sstema de Ecuacones Algebracas No Lneales ING.CRISTIANCASTROP.

3 Agenda Planteamento del problema Método de Punto Fjo Método de Newton Varantes del método de Newton Evaluacón dferda del jacobano Apromacón por dferencas fntas Newton undmensonal Métodos cuas-newton (Broden)

4 Introduccon Se pretende que al fnal de la eposcón el estudante pueda reconocer los sstemas de ecuacones no lneales pueda resolverlos por medo de adaptacones a los métodos Newton- Raphson e Iteracón de Punto Fjo... f f f n ( ( (,,,...,...,..., n n n ) 0 ) 0 ) 0 La solucón de este sstema consta de valores que smultáneamente hacen que todas las ecuacones sean guales a cero

5 Teoría de sstemas de Ecuacones No lneales La forma general de un sstema de ecuacones no lneales es: f (, 3,, n ) = 0 f (, 3,, n ) = 0 f 3 (, 3,, n ) = 0... f n (, 3,, n ) = 0 Defnendo una funcón F F(, 3,, n ) = [f (, 3,, n ),f (, 3,, n ), f 3 (, 3,, n ), f n (, 3,, n )] Usando una notacon vectoral para representar las varables X,X,,Xn ). El sstema puede representarse por F()=0 La solucón a este sstema es el vector X=[, 3,, n ] que hace que smultaneamente todas las ecuacones sean gual a 0.

6 Teoría de sstemas de Ecuacones No lneales Métodos de Solucón : Método de Iteracón de Punto Fjo para sstemas de ecuacones no lneales (Método de punto fjo mult varable). Método de Newton para sstemas de ecuacones no lneales.

7 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

8 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES * f(, )=0 g(, )=0 *

9 SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES (, 3)

10 Escalar f (,,..., ) f (,,..., ) f (,,..., ) n Vectoral n n n Notacón f : IR n IR (,..., ) f (,..., ) n n n n F: IR IR F ( ) 0 (,..., n) ( f( ),... fn( ))

11 Resolucón teratva (0) estmacón ncal de la solucón Iteracones: (), (),, (k) Crtero de convergenca (k+) (k) < tol Crtero de parada k > mater

12 Esquema del algortmo Entrada: f, 0, tol, mater Proceso Incalzar ncr, ter Mentras ncr > tol & ter < mater Obtener ncr = norm( 0 ) Actualzar 0, ter Salda:, ter, ncr S ncr > tol no converge

13 Método de Iteracón de Punto fjo para Sstemas de Ecuacones no Lneales Anterormente se desarrollo el método de teracón de punto fjo para resolver la ecuacón f()=0 transformando esta ecuacón en una ecuacón de la forma = g(), usando el crtero de convergenca g () < en el ntervalo [,] donde g() pertenece [,] para que pertenece a [,]

14 Método de Iteracón de Punto fjo para Sstemas de Ecuacones no Lneales Para el caso de un conjunto de Ecuacones No lneales utlzaremos un procedmento smlar etendéndolo a todas las ecuacones, usando un crtero de convergenca: Una condcón sufcente aunque no necesara, para asegurar la convergenca es que g g g g M ; M ; Para todos los puntos (,) de la regón del plano que contene todos los valores ( k, k ) la raíz buscada.

15 Método de Punto Fjo Punto fjo F ( ) 0 G ( ) Estmacón ncal Iteracones ( 0) ( 0) ( 0) (,..., n ) Crtero de parada G k ( ) ( k) ( ) ( k) ( k) tol

16 Algortmo de Punto Fjo functon [,ter,ncr] = pfjo(g,0,tol, mater) ter = 0; ncr = tol + ; whle ncr > tol & ter < mater = feval(g,0); ncr = norm( - 0); ter = ter + ; 0 = ; end f ncr > tol, dsp( No converge ), end

17 MÉTODO DE PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES. Consdera la nterseccón de dos funcones no lneales f(, ) =0 g(, )=0.. La nterseccón de las curvas f(, )=0 g(, )=0 nos da la raz (r, r). 3. El método consste en obtener las funcones que tengan las msmas races (r, r): -F(, ) = 0 -G(, ) = 0 4. Consderar un valor ncal ( 0, 0 ), como apromacón a la raíz, evaluar: =F( 0, 0 ) =G( 0, 0 ) 5. El proceso se repte n veces hasta tener valores mu cercano s a las raíces.

18 Ejemplo Sstema no lneal 3 cos( 3) 0 8( 0. ) sen( e 03 0 / 3 0 Problema de Punto Fjo cos( 3) / sen e 3 0 ( ) / 6

19 Punto Fjo con desplazamentos smultáneos ( k) ( k) ( k) cos( 3 ) / 3 6 ( k) k ( ) ( k) 9 sen ( k) ( k) ( k) 3 0 ep / 6 Punto Fjo con desplazamentos sucesvos ( k) ( k) ( k) cos( 3 ) / 3 6 ( k) k ( ) ( k) 9 sen ( k) ( k) ( k) 3 0 ep / 6

20 Códgo de la funcón functon =f() % Funcón para el método de punto % fjo con desplazamentos smultáneos () = cos(()*(3))/3 + /6; () = sqrt(()^+sn((3))+.06)/9-0.; (3) = (-ep(-()*()))/0 - p/6;

21 Ejemplo : Desp. smultáneos Iter (k) (k) (k) E E

22 Códgo de la funcón functon =f() % Funcón para el método de punto % fjo con desplazamentos sucesvos () = cos(()*(3))/3 + /6; () = sqrt(()^+sn((3))+.06)/9-0.; (3) = (-ep(-()*()))/0 - p/6;

23 Ejemplo : Desp. sucesvos Iter (k) (k) (k) E E

24 MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES n=0/(+) n=((57-)/(3))^(/) err=sqrt((n-)^+(n-)^) teracó n err = = 3

25 MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Varante Sedel n=0/(+) n=((57-)/(3n))^(/) err=sqrt((n-)^+(n-)^) Converge mas rápdo!!! teracó n err = = 3

26 MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Sn embargo, con el método del punto fjo, la convergenca depende de la manera en que se formulen las ecuacones de recurrenca de haber elegdo valores ncales lo bastante cercanos a la solucón En las dos formulacones sguentes el método dverge. = (57 - )/3 = (0 - )/ teracón = (0 - )/ = 57-3 teracón

27 Método de Iteracón de Punto fjo para sstemas de Ecuacones no Lneales Ejemplo Encuentre una solucón del sstema de ecuacones no lneales Solucón Con el despeje de X del termno (-0X ) en la prmera ecuacón de X del termno de (-0X ) en la segunda ecuacón resulta. X =(X +X + 8 )/ 0 X =(X X +X + 8 ) / 0 0 ), ( 0 ), ( f f

28 Por medo de Iteracón por desplazamentos smultáneos k+ = g ( k, k ) k+ = g ( k, k ) Con los valores ncales 0 =0, 0 = 0 se nca el proceso Prmera teracón X =( )/0=0.8 X =(0(0) ) / 0 = 0.8

29 Segunda teracón X =((0.8) +(0.8) + 8)/ 0 = 0.98 X =(0.8(0.8) ) / 0 = 0.93 Al contnuar el proceso teratvo, se encuentra la sguent e sucesón de valores k X k X k

30 k X k X k

31 Cualquera que sea el sstema que se va a resolver con este método, puede aumentarse la velocdad de convergenca usando desplazamentos sucesvos en lugar de los desplazamentos smultáneos es decr se tera medante k+ = g ( k, k ) k+ = g ( k+, k ) Como en el caso lneal (Jacob Gauss-Sedel), s la teracón por desplazamentos smultáneos dverge generalmente el método por desplazamentos sucesvos dvergría mas rápdo; es decr se detecta mas rapdo la dvergenca, por lo que en general se re comenda el uso de desplazamentos sucesvos en lugar de desplazamentos smultáneos.

32 Un sstema de ecuacones no lneales con dos ncógntas u (, ) 0 0 v(, ) Así la solucón de este sstema son los valores de (, ) que hacen a las funcones u v guales a cero. Para resolver estas ecuacones se utlzan etensones de los métodos abertos antes vstos.

33 Resolucón del sstema de ecuacones no lneales Utlzando la teracón de punto fjo. La apromacón de la teracón de punto fjo, vsta anterormente, se puede modfcar para resolver dos ecuacones smultáneas no lneales Las modfcacones las desventajas de este métod o se lustra en el sguente ejemplo.

34 u(, ) v(, ) Ejemplo Sstema de ecuacones no lneales. Valores ncales =.5 =3.5. La solucón es = =3 Solucón Con base en los valores ncales 0 (.5 ) (.49 ) (3.5) La apromacón dverge, pero s se camba la formulacón, los resultados dferen.

35 º º Iteracón Iteracón Evaluando. % 3.96 % a a E E 0.55%.0% t t E E Como se observa en esta ocasón la apromacón no dverge.

36 Resuelva el sstema del ejemplo anteror utlzando el método de punto fjo para sstemas no lneales con desplazamentos sucesvos. 0 ), ( 0 ), ( f f Problema Propuesto

37 MÉTODO DE PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

38 MÉTODO DE PUNTO FIJO EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

39 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

40 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

41 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

42 Método de Newton para sstemas de ecuacones no lneales Todas las ecuacones deben de ser cero en las raíces Se defne la matrz J() como: J() = f, f, f, f, f, f n n, f n, f n, fn..., n

43 Método de Newton para sstemas de ecuacones no lneales Entonces podemos escrbr F()+X J()=X + J() Dvdendo J() reacomodando: X += X -J() - F() Esta es la Ecuacón de Newton para sstemas No Lneales Puesto que en cada teracón se tene que calcular la nver sa de la matrz J() esto mplca un consderable esfuerzo de cálculo, para evtar este paso se utlza el artfco de en contrar un vector Y que satsfaga J()Y= -F() Se establece un esquema teratvo donde cada nueva apromacón se obtene como: X (k+) = + (k) Se resuelve el sstema tomando como valores ncales

44 Método de Newton Sstema de ecuacones n n F: IR IR F ( ) 0 (,..., n) ( f( ),... fn( )) Apromacón por el plano tangente ( 0) ( 0) ( 0) F ( ) F ( ) DF ( ) ( ) Paso de Newton ( ) ( 0) ( 0) ( 0) DF( ) F( )

45 Algortmo de Newton functon [,ter,ncr] = newton(f,,tol, m ater) ter = 0; ncr = tol+; whle ncr > tol & ter < mater [f,df] = feval(f,); delta = - df \ f; ncr = norm(delta); ter = ter+; = + delta; end f ncr>tol, dsp( No converge ), end El archvo f.m evalúa la funcón el jacobano

46 No se puede mostrar la magen en este momento. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES u(, ) v(, )

47 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Este procedmento corresponde, analítcamente, a etender el uso de la dervada, ahora para calcular la nterseccón entre dos funcones no lneales. Al gual que para una sola ecuacón, el cálculo se basa en la epansón de la sere de Talor de prmer orden, ahora de múltples varables, para consderar la contrbucón de más de una varable ndependente en la determnacón de la raíz. Para dos varables, la sere de Talor de prmer orden se escrbe, para cada ecuacón no lneal: u u u u () ( ) v v v v () ( )

48 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Pero u + = v + = 0 : u u u u u 0 v v v v v 0 Que reescrbendo en el orden convenente: u u u u u v v v v v

49 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Y cua solucón es: Donde J es el determnante jacobano del sstema es: u v J u v v u u v J u v v u J

50 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES = = 0 teracón u v u u v v Jacobano E E E = = 3

51 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Sstema de ecuacones lneales por el método de Newton Raphson teracones convergenca

52 Resolucón del sstema de ecuacones no lneales v v v v u u u u ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' f f Utlzando Newton-Raphson. Este cálculo se basa en la epansón de la sere de Talor de prmer orden con ella se obtene la ecuacón para este método. La sere de Talor de prmer orden para el caso de dos varables. ) ( ) ( ) ( ) ( ' f f f

53 v u v u v u u v v u v u u v v u Por medo de manpulacón matemátca la regla de Cramer. El denomnador de ambas ecuacones es conocdo como el determnante Jacobano del sstema.

54 ), ( 0 0 ), ( v u 3.5 6(.5)(3.5) (3.5) (.5) v v u u Solucón. El Jacobano para la prmera teracón (.5)(36.75) 6.5)(3.5) (

55 Evaluando en las funcones. u v 0 0 (.5).5(3.5) (.5)(3.5) (3.5).65(.5) (6.5) (.5)(36.75) Iteracón Varable Valor Error Apro Error True,9986,87% 0,07% 3,007 5,9% 0,09% 0,07% 0% 3 3 0,09% 0%

56 Método de Newton. Ejemplo Sstema Estmacón ncal 0 0 Sol:, 3 4, Prmera teracón

57 Resultados Newton Ejemplo k

58 Método de Newton. Ejemplo 3 Sstema no lneal 3 cos( 3) 0 8( 0. ) sen( e 03 0 / 3 0 Jacobana DF( ) 3 sen( ) sen( ) ( 0. ) cos( 3) e e 0

59 Resultados Newton. Ejemplo 3 k E E E E

60 Varantes del Método de Newton Actualzacón peródca del Jacobano Apromacón del Jacobano por dferencas dvddas Newton con desplazamento undmensonal

61 Métodos cuas-newton Idea de la secante No usa las dervadas parcales Convergenca superlneal Formulacón matrcal f '( () ) a () f () f ( a () ) f ( 0 0 ) DF( () () ) () A A F( () )

62 Método de Broden

63 Método de Broden

64 Método de Broden

65 Método de Broden

66 Método de Broden

67 Método de Broden

68 Método de Broden ) (k (k) k ) (k (k) k T k k k k k k k (k) k (k) ) (k s ) F( ) F( s s ) s A ( A A ) F( A Iterar sendo

69 Actualzacón de la nversa A A A s s s A s A s A s A k k k k k k k k k k k k k k k k k ( ) ( ),,... T T T

70 Algortmo de Broden Entrada 0,tol, mater Inco M: Inversa del Jacobano en 0 = 0 M*F( 0 ) ncr, ter Iteracones: k =,,... Actualzar M % A k- - A k - k+ = k M*F( k )

71 Actualzacón de M w = v; % F( k ) v = F(); % F del terado actual = v w; % F( k ) F( k ) z = M*; % A - k * k p = s' *z; % (s k - k- ) T * A - k * k q = s' *M; % s T k * A - k R = (s+z)*q/p; % Transformacón rango M = M+R; % Inversa nueva: A - k s = M*v; % Paso de Broden: s k+

72 Algortmo de Broden % Inco v = F( 0 ) M = nv(df( 0 )) % Inversa Jacobano s = M*v; = 0 +s; % Paso de Newton ncr = norm(s); whle ncr > tol w = v; % F((k)) v = F(); = vw; % F((k)) F((k)) z = M*; % nv(a(k))*(k) p = s' *z; q = s' *M; % s(k)'*nv(a(k) R = (s+z)*q/p; M = M+R; % nversa de A(k) s = M*v; = +s; % Paso de Broden ncr = norm(s); end

73 Resultados de Broden. Ejemplo k

74 Alternatvas al prmer paso Estmar el Jacobano por dferencas dvddas Estmacón undmensonal del Jacobano A0 dag((f() F( 0))./( 0))

75 Conclusones Una sera desventaja de la teracón es que la convergenca depende de la manera en que se formula la ecuacón El método Newton Raphson para dos ecuacones se puede generalzar para resolver n ecuacones smultáneas.

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77 Muchas Gracas