LOCALIZACIÓN DE EPICENTROS

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUCUMAN FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE GEODESIA Y TOPOGRAFÍA CÁTEDRA DE GEOFÍSICA LOCALIZACIÓN DE EPICENTROS PARA ALUMNOS DE INGENIERÍA GEODESICA Y GEOFÍSICA DE LA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGÍA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUCUMAN Traduccón y dseño: Prof. Ing. Lus A. Estrada Programacón MatLab: Ing. José R. Golbach Año 11 Sobre la base del lbro Modern Global Sesmology Thorne Lay Terry C. Wallace Academc Press -1995

2 Introduccón Una de las más mportantes tareas en un observatoro ssmológco es la localzacón de fuentes sísmcas. Esto mplca determnar tanto las coordenadas del hpocentro como el tempo orgen. En general, la determnacón de la ubcacón del ssmo requere la dentfcacón de fases sísmcas y la medcón de sus tempos de arrbo, así como el conocmento de la velocdad de propagacón de las ondas entre el hpocentro y la estacón ssmológca. Conocda la ubcacón de la fuente sísmca, uno puede calcular el tempo de vaje de cualquer fase en partcular haca cualquer estacón sísmca en un arbtraro y complejo modelo de velocdades. Este tpo de problema es conocdo como DIRECTO. Los tempos de arrbo son calculados sobre la base de un modelo parametrzado. Lo opuesto a este método, es decr, localzar el hpocentro, es consderado como el problema INVERSO, donde solo conocemos los tempos de arrbo de las dstntas fases para resolver la ubcacón del ssmo y su tempo orgen. En esta seccón ntroducremos el concepto de INVERSA GENERALIZADA, quzás la más crítca y moderna herramenta para nterpretar ssmogramas y encarar otros problemas geofíscos. Localzacón con una sola estacón Por lo general se requeren varas estacones para localzar un ssmo con precsón. Pero tambén es posble con una sola estacón para obtener una ubcacón aproxmada. Este método requere de una estacón que regstre el movmento del suelo en sus tres componentes. Puesto que las ondas P son polarzadas vertcal y radalmente, el vector P puede ser utlzado para nferr el azmut haca el epcentro. La fgura 1 muestra la naturaleza de esta polarzacón. S el movmento vertcal de la P es haca arrba, la componente radal apunta en dreccón opuesta al epcentro. S es haca abajo, apunta haca el epcentro. Excepto cuando el epcentro está en el azmut opuesto, tal que el movmento horzontal de la onda P esté naturalmente rotado sobre una componente, los dos sensores horzontales regstrarán la componente radal de la onda P. La relacón de ampltudes entre las dos componentes horzontales puede ser usada entonces para encontrar la proyeccón de la onda P a lo largo del azmut haca la fuente sísmca. superfce Dreccón del rayo vertcal radal Z N E N A E E Z A N Fgura 1: Procedmento para determnar el azmut a la fuente sísmca usando los tres vectores componentes del movmento del suelo, parto del hecho que la onda P está polarzada en el plano vertcal y radal. Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach - 11

3 La dstanca a dcha fuente puede ser determnada a partr de la dferenca de tempo de arrbo entre las fases P y S. S el terremoto es local, entonces la dstanca puede obtenerse de la sguente relacón: D = V P (T S T P ) / ( 3 1) ó D = 1,37 x T x V P (1) Esta ecuacón supone para la Terra un coefcente de Posson de,5, déntco al del acero. Para la mayoría de los ssmos de Corteza, la regla es D = 8 x T. A dstancas mayores se utlzan las tablas Tempo-Dstanca. Conoco la dstanca se puede estmar el tempo de vaje de la onda y por lo tanto el tempo de orgen del ssmo. Comparando las dferencas de tempo entre varos juegos de fases con los tempos de una curva de Tempo-Dstanca, se puede mejorar la estmacón de la dstanca. S hay fases profundas claras, hasta se puede estmar la profunddad del Foco desde una sola estacón. Este procedmento no es precso para dstancas mayores a los º, porque el arrbo de las ondas P vertcal y sus componentes horzontales son muy pequeñas para dar un azmut confable. Localzacón con varas estacones La localzacón puede ser bastante precsa cuando se dspone de los tempos de arrbo de P y S de varas estacones. S el evento es local, el tempo orgen puede determnarse con el Dagrama de Wadat. Esta técnca consste en grafcar puntos cuyas abscsas sean los tempos de arrbo de las ondas P a cada estacón, y en las ordenadas las dferencas de tempo entre las fases S y P. Puesto que la dferenca T te a cero en el hpocentro, la nterseccón de la línea recta ajustada con el eje de las abscsas dará el tempo orgen. T S -T P T T P Fgura : Ejemplo del Dagrama de Wadat para determnar el Tempo Orgen de un ssmo. La pente de la recta es m = (V P /V S 1) que puede ser relaconada con el coefcente de Posson como sgue: V P (1 - σ) 1 n/ = con σ = y n = (m+1) () V S (½ - σ) 1 n Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

4 Una vez estmado el tempo orgen T O, la dstanca D a una estacón puede calcularse restando este tempo del tempo de arrbo de la onda P y multplcándolo por la velocdad V P, es decr, D = (T P T O ) V P (3) El epcentro debe estar en una semesfera de rado D con centro en la estacón, lo que vsto en un mapa corresponde a un círculo con ese rado. Construyo estos círculos en cada estacón, los msmos deberían nterceptarse en un solo punto que serían las coordenadas del epcentro. La profunddad focal d puede determnarse por la raíz cuadrada de la dferenca entre los cuadrados de las dstancas de propagacón D y al epcentro, es decr, d = (D - ) 1/ En la práctca el error sempre está presente, tanto en los datos como en la suposcón de que el camno del rayo es rectlíneo y que la velocdad de propagacón es conocda, de modo que la dspersón en la nterseccón sempre ocurre. Este método para determnar hpocentros se conoce como Método de los Círculos. En nuestro ejemplo hemos supuesto un semespaco homogéneo, con todo, el método trabajará para una estructura de velocdades nhomogeneas y capas planas. Corte Planta Estacón Superfce Estacón Estacón 1 D d Rado Epcentro Hpocentro Rado = (T P -T ).V P Estacón 3 Fgura 3: Trangulacón del epcentro por el Método de los Círculos. Entonces podemos exter el método a una terra esférca, pero consderaremos una lgera varacón que nos ayudará conceptualmente para el problema nverso. Consderemos varas estacones sísmcas dstrbudas globalmente y que queremos determnar cuatro ncógntas: Las tres coordenadas del hpocentro y el tempo orgen. Podemos advnar una solucón y calcular el tempo de arrbo de la onda P. S comparamos estas predccones con los tempos reales observados, podremos determnar el error cometdo en nuestra suposcón. Entonces podemos corregr este valor y repetr el proceso tantas veces como sea necesaro para obtener dferencas aceptables entre los tempos calculados y los observados. Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

5 N E-E E 1 Az(E) Az E 3 E Az(E) Fgura 4: Ajuste de los epcentros estmados grafcando la dferenca entre los tempos estmados y observados y las correspondentes dstancas epcentrales. La forma senodal es debda a los errores sstemátcos. En la Fgura 4 se muestran 1 estacones sísmcas dstrbudas alrededor de un presunto epcentro E. El epcentro verdadero E está al noroeste de aquel. Los tempos de arrbo estmados para las estacones al Noroeste del epcentro serán mayores que los observados, y menores para las ubcadas al Sudeste. Los correspondentes a las estacones ubcadas al Noreste y Sudoeste no serán afectados grandemente por su partcular ubcacón. Entonces podremos utlzar estas relacones para estmar una correccón al presunto epcentro, sguo los sguentes pasos: 1- Determne el tempo nferdo t y la dstanca D para cada estacón desde el presunto epcentro. - Determne la dstanca D a cada estacón tomando la dferenca entre el tempo P observado y el presunto tempo orgen t, convrto esta dferenca de tempo en dstanca utlzando la tabla de tempo-dstanca. 3- Lleve a una gráfca la dferenca (D - D ) contra el acmut calculado desde el presunto epcentro a cada estacón. S este es de 9 grados, entonces la dferenca será cero. De lo contraro, la varacón de esta dferenca respecto al acmut será snusodal, con el máxmo y mínmo alneados a lo largo del vector que apunta del presunto al verdadero epcentro. 4- Cambe el tempo orgen en una cantdad gual al valor medo de las dferencas (t - t ) y cambe la ubcacón del epcentro presunto por la ampltud de la varacón de la curva senodal, con la dreccón de cambo a lo largo del acmut del máxmo de la curva. 5- Una vez que se encuentra un nuevo epcentro, este puede ser utlzado para comenzar nuevamente la aproxmacón repto los cnco pasos. Por lo general con una sola teracón ya se encuentra el verdadero epcentro dentro de los 1 km. Es decr que con los datos x,y,t p y x,y estmados podemos calcular D =[(x -x ) +(y -y ) ] 1/ (dstanca presunta) y t =D /v p (tempo de vaje nferdo). con estos valores podemos calcular el tempo orgen presumble t = D /v p - t Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

6 Luego se obtene una nueva dstanca presunta a cada estacón entrando a una Tabla de Tempo-Dstanca con la dferenca T p - t que nos dará un D. Este procedmento descrpto es una sere de ejerccos de modelaje que generan datos que pueden ser comparados con las observacones. Cuando encontramos el modelo que más se aproxma a las observacones, declaramos que el modelo descrbe sufcentemente la ubcacón del epcentro. Matemátcamente podemos pensar esto como una sere de ecuacones: t presunto = f(x, v) = t observado (4) donde x es la ubcacón del epcentro, v es la velocdad de la estructura y f una nueva funcón que calcula el tempo de arrbo t presunto, dados x y v. S tenemos n estacones en las cuales hemos meddo los tempos de arrbo, podemos magnar al t observado como la ésma componente de un vector d que a su vez tene n componentes, tal que d = (t 1, t,..., t n ). La varable x da los parámetros del modelo, y podemos consderar tambén un vector m que tene m componentes (en general m=4, tres espacales y una temporal), es decr m = m(x,y,z,t). Entonces podemos reescrbr la ecuacón (4) en la forma F(m) = d (5) F es defndo como un operador que utlza los elementos del vector modelo para dar el vector datos. S F es una sere de ecuacones lneales (que no es el caso para el problema de localzacón), entonces F es una matrz llamada de Kernel. El problema nverso S pudéramos reacomodar los térmnos en la ecuacón (5) de un modo tal que dvdo d por algún operador F -1 obtuvéramos drectamente m, estaríamos resolvo un problema nverso. Para enter como se resuelve este problema nverso, utlzaremos como ejemplo la localzacón de epcentros en un medo homogéneo de velocdad v. Los medos homogéneos nos dan un camno de rayos rectos. Las coordenadas cartesanas del hpocentro verdadero y de la -ésmas estacón sísmca son (x,y,z) y (x,y,z ), respectvamente. Sean t y t el tempo orgen del terremoto y el de arrbo a la -ésma estacón respectvamente. Entonces [ (x - x) +(y - y) +(z - z) ] 1/ t = t + (6) v Es obvo que t es un elemento del vector de datos d, y x,y,z y t los elementos del vector m que queremos determnar. Idealmente, hay una únca combnacón de los parámetros del hpocentro que se ajusta a los tempos observados. Los elementos de d están relaconados al vector modelo por el membro de la derecha de la ecuacón (6), que escrbmos como: F(x,y,z,t) = d (7) Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

7 Cómo podemos encontrar m? La ecuacón para d no es lneal, lo que nos lleva a utlzar la solucón por mínmos cuadrados. El procedmento es lnealzar el problema e teratvamente mejorar m. El prmer paso es estmar una solucón m, para la cual el tempo predecdo, d (d=d(t)), pueda ser calculado e nvestgar el comportamento de d en las proxmdades de m tal como en la últma seccón. Aproxmamos los cambos en m con el desarrollo en Sere de Taylor. m j 1 = m j + δm j (8) donde δm j es un ncremento de los j-ésmos parámetros del modelo haca un mejor ajuste de los datos. Para nuestro ejemplo, esto sgnfca advnar una solucón (x,y,z,t ) y luego determnar los ncrementos δx = (x 1 -x ), δy = (y 1 -y ), δz = (z 1 -z ) y δt = (t 1 -t ). Los subíndces corresponden al número de teracones. Expando la (8) en seres de Taylor alrededor de m + δm, pueden encontrarse los correspondentes ncrementos en el vector de datos predecdo: Recordemos que s y = F(x) entonces F (x) = F(x+dx) - F(x ) o F (x) = F(x) - F(x ). En nuestro caso F (x,y,z,t) = F(x,y,z,t) - F(x,y,z,t ) o F (x,y,z,t) = d - F(x,y,z,t ), es decr: ( F/ x )δx + ( F/ y )δy + ( F/ z )δz + ( F/ t )δt = d - F (x, y, z, t ) (9) Analzando la ecuacón (9), vemos que la dferenca entre los tempos de vaje predecdo y observado (membro de la derecha), está ahora relaconada lnealmente a los cambos que necestamos en las coordenadas del hpocentro, y así podremos modelar mejor los datos aproxmados. Usando la sere de Taylor truncada en el prmer térmno tremos la lnealzacón, pero esto excluye las perturbacones de la rápda convergenca haca el m verdadero. Las dervadas son evaluadas en la solucón predecda, m j. Susttuyo la (7) en la (9) tremos: F(x,y,z,t) = d δf = δd = ( d/ m)δm δf/δm = d/ m d δd = δm j (1) m j Y defno d / m j como una matrz G de dervadas parcales, d G,j = (11) m j Podemos escrbr un sstema de ecuacones que mapee los cambos en los parámetros del modelo sobre las mejoras en el ajuste de los datos: d = G. m (1) Esta es la notacón estándar, así que elmnamos la y escrbmos d = G.m. Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

8 Debe aclararse que esta fórmula tambén se cumple para un problema puramente lneal, y no solo para nuestra versón lnealzada. De aquí en adelante, los vectores datos y modelo son entdos como vectores de cambos en el modelo y en los datos espacales. Regresando a la ecuacón (9), tenemos un sstema de ecuacones con cuatro ncógntas δx, δy, δz y δt, con coefcentes que son dervadas como la ( F / m j )( m/ x), las que evaluadas a m son constantes. El membro de la derecha son los datos de orgen y los aproxmados o predecdos. ( F / m j )( m/ x)δx + ( F / m j )( m/ y)δy + ( F / m j )( m/ z)δz + ( F / m j )( m/ t)δt = = d - F (x, y, z, t ) S hay cuatro tempos de arrbo observados, tremos cuatro ecuacones y podremos resolver el sstema por elmnacón gaussana, dando, ya sea, nnguna solucón o un resultado exacto para δm j o. Cualquer error en los datos llevará a una solucón ncorrecta o a ecuacones nconsstentes. Una vez que δx, δy, δz y δt son calculados, podemos corregr los parámetros aproxmados de la fuente: x 1 = x +δx, y 1 = y +δy, z 1 = z +δz y t 1 = t +δt. (13) Estos nuevos parámetros aproxmados (x 1, y 1, z 1, t 1 ) son se utlzan para repetr el proceso y obtener unos parámetros (x, y, z, t ) más precsos, y así sucesvamente terando hasta que d sea aceptablemente pequeño. Este proceso es conocdo como el Método de Geger. Desafortunadamente la convergenca depe fuertemente de la precsón de los parámetros ncales, y hasta a veces no hay garantía de que se logre la convergenca. Problema Inverso Generalzado. En la seccón anteror hemos desarrollado un sstema de ecuacones smultáneas que relacona los cambos de los parámetros, para mejorarlos con un ajuste de los datos. La ecuacón d = Gm (1) es válda para resolver cualquer problema ssmológco en el cual tengamos un juego de medcones que depe a su vez de un juego de parámetros del modelo. Una mportante rama de las Matemátcas que ha sdo desarrollada para estudar la solucón de tales sstemas, es conocda como la Teoría Inversa. Los detalles de la nversón están más allá del alcance de este texto, pero sn embargo desarrollaremos algunas formulacones báscas que son mportantes para los últmos capítulos. Por más detalles sobre esta teoría aplcada a la Geofísca, consultar Menke (1989) y Tarantolla (1987). La ecuacón 1 relacona el vector datos de dmensón n (número de observacones) con el vector modelo de dmensón m (parámetros del modelo). En general, la mayoría de los problemas de localzacón de terremotos son sobredetermnados: hay más observacones que número de ncógntas (n>m). Para las nversones en la estructura de la Terra, las funcones contnuas de las propedades del materal, son aproxmadas por un modelo fnto smplfcado a fn de asegurar que n>m. Para n>m la matrz G no es cuadrada (hay más flas que columnas), lo que consderaremos más tarde. S G fuera cuadrada, n=m ecuacones e ncógntas, podríamos smplfcar ambos membros de la ecuacón multplcándolos por G -1, la nversa de G, supono que exste. Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

9 Por defncón, G -1.G = I, donde I es la matrz dentdad. De este modo tremos un nuevo sstema de ecuacones: G -1.d = m (14) Entonces podríamos resolver m drectamente. Esta es una ecuacón smple y fácl de resolver. Desafortunadamente, nunca tenemos este caso en Ssmología. Estamos tratando con datos que tene errores, tal como aquellos asocados a las lecturas de los tempos de arrbo. Smlarmente, la ecuacón 14 supone que podemos predecr perfectamente los datos. En el caso de los tempos de vaje, esto sgnfca que debemos conocer muy ben las velocdades de la estructura entre la fuente y los receptores. En efecto, esto no es así, y por lo tanto estamos tratando con ecuacones nconsstentes, lo que hace mposble el uso de la ecuacón 14. A pesar de estos problemas, no todo está perddo, porque s medmos muchos datos, podemos encontrar una solucón sobredetermnada, que es el modelo que mejor se ajusta a un promedo de los datos. Antes de dscutr esta solucón, regresemos a la ecuacón 1, donde G es una matrz cuadrada de nxn (n=m) y desarrollemos algunas defncones. En esta ecuacón podemos pensar que G es un operador que mapea los parámetros del modelo en los vectores de los datos predecdos. En otras palabras, G transforma un vector de n dmensones en otro de guales dmensones. Esto es análogo para un sstema de transformacón de coordenadas con vectores de poscón. Por lo tanto podemos exter la analogía para ntroducr el concepto de los auto-valores o valores propos. El problema de los auto-valores puede ser defndo por la transformacón del vector modelo en un vector paralelo. Consste en encontrar los valores de un parámetro escalar λ para el cual exstan vectores d que satsfagan la ecuacón G.d = λ.d (15) Físcamente, esto sgnfca que queremos encontrar un conjunto de vectores de datos que, cuando operamos con G, obtengamos vectores que señalen en la msma dreccón con una longtud escalada por la constanteλ. Podemos entonces defnr la sguente ecuacón homogénea: [G - λ].d = n (16) donde n es un vector de ceros de nx1. Este sstema de ecuacones homogéneas tene una solucón no trval s, y solo s, el determnante del sstema es gual a cero: g 11 -λ g 1... g 1 g 1 g -λ... g 1 [G - λi] = = f(λ) = (17) g n1 g n... g nn -λ Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

10 El valor del determnante vene dado por una funcón polnómca de orden n en λ, llamada polnomo característco f(λ) = λ n + a n-1 λ n-1 + a n- λ n a o = (18) Las raíces λ de esta ecuacón son llamadas auto valores de G. Entonces hay n auto valores o raíces (λ 1, λ,...,λ n ), cada una de las cuales puede ser usada para encontrar una solucón del sstema homogéneo de ecuacones. El polnomo f(λ) puede escrbrse en térmnos de sus factores, usando sus propas raíces, esto es, f(λ) = (λ 1 - λ)(λ 1 - λ),...,(λ n - λ). Comparándola con la ecuacón 18, podemos escrbr las conocdas relacones entre las raíces y los coefcentes: n a n-1 = Σ λ = λ 1 + λ +... λ n a = λ 1 λ λ 3...λ n 1 a n- a n-r n = Σ λ λ j = λ 1 λ λ 1 λ n + λ λ λ λ n λ n-1 λ n j> n = Σ λ λ j = λ λ j λ k cada termno es producto de r de los λ k>...>j> Por cada λ exsten auto vectores untaros u, es decr: λ = λ 1 u 1 = [u 1 1, u 1,..., u 1 n ] λ = λ u = [u 1, u,..., u n ] (19) λ = λ n u n = [u n 1, u n,..., u n n ] La solucón u representa n dstntos vectores llamados los auto valores de G. Los auto-valores y auto vectores son usados entonces para defnr dos nuevas matrces: 1 λ 1... u 1 u λ... u u... n u 1 n u Λ = () U = (1) λ n 1 u n u n... u n n Λ es una matrz dagonal de los auto-valores de G, y U es una matrz de nxn con los auto vectores de G en las columnas. Los auto-vectores defnen un nuevo sstema de coordenadas, gualmente váldas para descrbr la solucón de nuestro sstema de ecuacones orgnales. La ventaja del nuevo sstema de coordenadas es prncpalmente la smplcdad computaconal para determnar la nversa generalzada, pero puede vsualzarse algún aspecto físco tambén al consderar el rol de G. Como establecmos antes, G transforma, o une, los parámetros del modelo (o modelo espacal) a los datos predecdos (o datos espacales). Un cambo de los parámetros del modelo afectará a certos elementos de los datos espacales. Por ejemplo, en el problema de la localzacón de un terremoto, un cambo en la profunddad afectará los tempos de vaje a todas las estacones de observacón. Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

11 En el sstema de coordenadas de los auto-vectores, los parámetros del modelo orgnal son mapeados en un nuevo modelo espacal; gualmente para los datos espacales. En este sstema de coordenadas, un cambo en un parámetro del modelo solo afectará a un elemento del vector de los datos. Esta relacón bunívoca es muy valosa para enter que la combnacón de los parámetros del modelo es ben resuelta. En la ecuacón 18 suponemos que el polnomo característco tene n raíces. En general, las raíces pueden ser complejas, pero para el tpo de problema que ntentamos resolver en ssmología, todas las raíces son reales. Sn embargo, no hay garantía que las raíces sean cero o repetdas, problema que debe ser encarado. S un valor propo es cero, esto mplca que no exste un eje coordenado en el espaco transformado, y solo pueden resolverse n-1 parámetros del modelo. S un valor propo está repetdo, nos refermos a ellos como degenerados. En este caso, los auto valores no corresponden a un únco auto vector, sno en cambo a un plano defndo por dos auto vectores. En este caso, la uncdad de los auto-vectores se desvanece; cualquera de los dos vectores en el plano descrbrá un nuevo modelo espacal. Una aplcacón de los auto-vectores es encontrar el sstema de coordenadas prncpal. Esto representa la dagonalzacón de G en nuestro ejemplo. De la ecuacón 15 podemos escrbr: Multplcando por la nversa de U nos da: G.U = U. Λ () U -1.G.U = Λ (3) So Λ la matrz dagonal de la (). Como un ejemplo, consdere el caso donde G es un tensor de esfuerzos. Entonces los auto valores son la magntud de los prncpales esfuerzos, y los auto vectores dan la orentacón de los ejes coordenados para el sstema prncpal de esfuerzos. Podemos usar el análss de los auto-valores para encontrar G -1. Comenzamos con un análss smlar de los auto-valores sobre G T para defnr una matrz V de auto-vectores. Los auto valores de G T son los msmos de G (el valor de un determnante no camba cuando se ntercamban flas por columnas). Entonces. G T.V = V.Λ (4) Tomando la transpuesta en ambos membros y multplcándolos por U tremos: Multplcando ambos lados por U V T.G = Λ. V T (5) V T.G.U = Λ. V T.U (6) Ahora podemos utlzar la para escrbr la 6 como: V T.U. Λ = Λ.V T.U (7) Esta es una ecuacón mportante y es la base de la técnca llamada descomposcón de valores sngulares. La 7 será certa solo cuando V T.U = I. Esto mplca que V T y U sean ortogonales. Usando nuestra analogía de transformacón de coordenadas, esta ortogonaldad sgnfca que los ejes coordenados (auto-vectores) son ortogonales. Recordemos que defnmos la matrz nversa como U -1.U = I, lo que lleva a varas relacones entre los autovectores de G y G T : Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

12 V T.U = I ; U = (V T ) -1 ; V = (V T ) -1 ; U T = V -1 y U T.U = V T.V (8) S susttumos V T = U -1 en la 5 y multplcamos por U, obtenemos lo que se conoce como la descomposcón del valor sngular de G: Podemos escrbr una ecuacón smlar para G -1 : Donde Λ -1 vene dado por: G = U. Λ.V T = U. Λ.U -1 = U. Λ.U T (9) G -1 = U. Λ -1.V T (3) 1/λ /λ... Λ -1 = 1/λ 3... (31) /λ n Estas manpulacones son un modo bastante complejo de nvertr una matrz cuadrada, aunque srven para vsualzar la estructura de los autovalores y auto vectores de un problema. Sn embargo, en la mayoría de los problemas en geofísca, estamos nvolucrados con muchos más datos que parámetros del modelo. S los datos sísmcos de nuestro modelo de predecr observacones fueran perfectos, entonces un problema sobredetermnado sería redundante. Para un juego de ecuacones redundantes, algunos auto valores serán cero. En este caso G -1 no exste, pero podríamos elmnar la redundanca y con todo, encontrar una solucón completa. S los datos y el modelo contenen rudo y errores, la redundanca perfecta no exste, y el problema nverso puede ser formulado como un problema sobre-determnado. En este caso, G no es una matrz cuadrada y no podemos usar la (14) n la (31) drectamente, así que debemos manpular más nuestra formulacón básca del problema (1). Un ejemplo de un problema sobredetermnado es la desconocda ubcacón de un terremoto con más de cuatro tempos de arrbo. Nnguna ubcacón predecrá perfectamente todos los tempos de arrbo, así que debemos buscar la ubcacón que proveerá la mejor predccón. El mejor ajuste es generalmente defndo como el modelo que tene la más pequeña resdual o dferenca entre datos observados y estmados. De la ecuacón (1) podemos escrbr una ecuacón que mde el error del modelo: E = [d G.m] (3) S el modelo ajusta exactamente a todos los datos, E sería un vector de n elementos guales a cero. Como este no es generalmente el caso, el problema nverso busca un modelo que mnmce E. La forma más común de hacer esto es escrbo una ecuacón para los errores al cuadrado. n m E = ( d - G j.m j ) (33) =1 j=1 y forzamos a que E sea mínmo. Para ello tomamos las dervadas de E con respecto a los parámetros del modelo y luego gualamos a cero: Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

13 E E n m = E = - ( d - G j.m j ). G k = (34) m k m k =1 j=1 Reagrupando térmnos quedará, n n m d G k = ( G j.m j ) G k (35) =1 =1 j=1 Que puede ser escrta en notacón matrcal como: G T.d = G T G.m (36) Esta es una forma muy útl llamada ecuacones normales. G T G es ahora una matrz cuadrada, de modo que tene una nversa (mentras esta no sea sngular!). Más aún, G T G es smétrca, lo que sgnfca que sus auto valores son reales y postvos. Por lo tanto podemos escrbr una ecuacón de la forma: m = [G T G] -1. G T.d (37) donde [G T G] -1.G T = G -g es llamada la nversa generalzada de G. Estrctamente hablando, esta es llamada la nversa de mínmos cuadrados; s G T G es no sngular, entonces es la nversa generalzada. La ecuacón 37 provee la mejor solucón para m en mínmos cuadrados (el error cuadrátco es mnmzado). Esta ecuacón, y sus modfcacones, es una de las más mportantes ecuacones en geofísca para los problemas lneales y no lneales. En general, en la mayoría de los casos son no lneales. Entonces m servrá solamente como una correccón al modelo ncal, y debemos repetr el proceso nverso con G actualzado para el nuevo modelo. Podemos resolver la ecuacón 37 por el método de descomposcón del valor sngular. La matrz G tene dmensones nxm, de modo que G T G es de dmensón mxm y GG T es de dmensón nxn. Puesto que estas matrces son cuadradas, podemos usar la ecuacón 9 para resolver la nversa de G T G, en térmnos de las matrces V y U de auto vectores para G T G en (G T G) T = GG T respectvamente. De la ecuacón 9 podemos escrbr: G T G = [VΛ m() V T ] (38) Donde V es de mxm, y la matrz de los autovalores Λ m() tambén es mxm. Estos autovalores son justamente los valores cuadrados de los autovalores de G que los dentfcamos con el subíndce (). Este corresponde a la descomposcón de los valores sngulares de G T G. Exste un valor sngular para cada parámetro del modelo, aunque no hay garantía que estos sean dstntos de cero. La matrz V contene los auto vectores asocados con estos valores sngulares, y por eso decmos que expande el espaco del modelo. Del msmo modo podemos escrbr la descomposcón de GG T : GG T = [UΛ n() U T ] (39) Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

14 Donde U es ahora una matrz de auto vectores nxn, que expanden el espaco de los datos. Note que GG T tene dmensón nxn con n>m, pero solamente hasta los m auto valores dstntos de cero, y son los msmos de la ecuacón 38. Las restantes n-m flas y columnas de Λ n son cero, aunque los correspondentes auto vectores necesten ser dstntos de cero. En la ecuacón 37 necestamos [GG T ] -1. Nuestra formulacón de auto valores nos permte llevar a cabo la nversa necesaramente: [GG T ] -1 = [V T ] -1 [Λ m() ] -1 V -1 (4) La nversa de V T es justamente V, y smlarmente, V -1 es V T. Entonces, podemos reescrbr la ecuacón 4 como: [G T G] -1 = V[Λ m() ] -1 V T (41) Ahora podemos usar la ecuacón 41 para escrbr la nversa generalzada, [G T G] -1.G T = G -g. Prmero consderemos G T. Mentras esta sea una matrz no cuadrada de dmensones mxn, podemos descomponerla usando la ecuacón 9, s consderamos solo hasta los m auto vectores en la matrz Λ m. Esto nos permte utlzar la ecuacón 9 como: G = UΛ m V T (4) G T = VΛ m U T (43) Combnando la ecuacón 41 con la 43, y reconoco que las matrces de los auto-vectores son las msmas para G T G y G T, tenemos: G -g = [G T G] -1 G T = V[Λ m() ] -1 V T [VΛ m U T ] (44) G -g = V[Λ m() ] -1 Λ m U T ] (45) Recordando que los auto valores en Λ m() son smplemente los cuadrados de los de Λ m, encontramos que: G -g = [G T G] -1 G T = VΛ m -1 U T (46) Donde la matrz de los auto vectores es de la forma de la ecuacón 31. Los cuadrados de los auto valores de la ecuacón 46 son llamados valores sngulares (la mayoría de los algortmos ajustan los cálculos de la nversa de G T G, y estos son arreglados de modo que λ 1 λ...λ n. Errores, Datos redundantes y Resolucón. En la dscusón preva hemos supuesto que todos los datos son ndepentes y que cada parámetro del modelo afectó a todos los datos. Para el problema de la localzacón de un terremoto, esta suposcón es válda, pero no para muchos otros problemas nversos de la geofísca. En estos casos, G T G será sngular, con al menos un valor propo gual a cero, y la ecuacón 46 se modfca lgeramente. Las matrces V, Λ y U son redefndas como sstemas de p auto valores no nulos: Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

15 λ 1... λ... Λ p = λ 3... (47) λ p V p es la matrz de los auto-valores asocados con los auto valores no nulos de G T G, mentras U p es la matrz de los auto-valores asocados con los auto valores no nulos de GG T.G T G y GG T tenen los msmos p auto-valores no nulos, de modo que es posble escrbr: G p -1 = V p Λ p -1 U p T (48) donde G p -1 es ahora la nversa generalzada y G = UΛV T = V p Λ p U p T. La restrccón es para una lmtada porcón del modelo espacal expanddo por los auto vectores V p, sgnfca que hay una parte no únca del modelo que no puede ser detectada por la nversón, mentras la lmtacón para la parte de los datos espacales expanddos por los auto vectores U p, sgnfca que hay aspectos de los datos que no pueden ser ajustados por el modelo. El problema puede ser resuelto, pero se debe estar al tanto de las lmtacones de la solucón. El ecuacón 48 es una herramenta muy general para resolver el problema nverso, pero necestamos volver un paso atrás y evaluar el sgnfcado de la nversa. En partcular, deberíamos preguntarnos, Es únca la solucón, cuán ben podemos determnar cada uno de los parámetros del modelo? Y Cuán mportantes son las observacones ndvduales para nuestra solucón?. Podemos escrbr el modelo obtendo de la ecuacón 48 como: m p = G p -1 d (49) Recordemos que d = Gm y m es el modelo espacal completo. Luego m p se relacona con m por m p = G p -1 Gm = V p Λ p -1 U p T U p Λ p V p T m = V p V p T m (5) A la matrz R = V p V p T se la llama Matrz Resolucón. Las columnas de esta matrz ndcan la caldad del modelo verdadero en los varos parámetros del modelo nversón. Idealmente, podríamos obtener una dagonal de la matrz resolucón, recuperando el modelo completo. El cálculo de la matrz resolucón es esencal para evaluar el resultado de la nversón. Agregamos dos defncones más. La matrz densdad de nformacón es dada por: D = U p U p T (51) Y la matrz covaranza que es dada por c = V p Λ p - V p T (5) Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

16 Donde los elementos de Λ p - son (1/λ 1, 1/λ,..., 1/λ p ). Las ecuacones 5, 51 y 5 están todas relaconadas y pueden darnos una vsta físca nteror de la solucón de nversón. El rango de la matrz G p, se defne como p, o el número no nulo de valores sngulares. Pequeños valores sngulares causan una mayor varanza en la solucón (ver ecuacón 5). Entonces pequeños auto valores reducen más la establdad de la nversa. S se descartan los autovalores más pequeños, aumenta la establdad. Sn embargo, esto dsmnuye la resolucón. S todos los parámetros del modelo son asocados con los valores sngulares no nulos, entonces R es una matrz dentdad y tenemos una resolucón perfecta. S dsmnuye el número de valores sngulares, R se aleja de ser una matrz dentdad. Generalmente ntentamos optmzar esta compensacón entre resolucón y establdad usando un corte en la razón entre un auto valor dado y el más grande. El número condcón es defndo como: λ máx -1 γ = (53) λ mín -1 Elegmos este número condcón para determnar el número de valores sngulares a conservar. Fnalmente, es claro que los errores de medcón causarán errores en la determnacón de los parámetros del modelo. Se asume generalmente que los errores asocados con los datos son aleatoros con la dstrbucón gaussana. Esto sgnfca que un dato cualquera d tene un 95% de probabldad de caer dentro de ±σ del valor verdadero, donde σ es la desvacón estándar. Los errores en los datos mapean a los errores en los parámetros del modelo por la ecuacón: σ m = G -1 σ [G -1 ] T (54) Ejemplo de la Inversa Generalzada para la localzacón de terremotos. Los prncpos de la nversón generalzada son mejor lustrados con un ejemplo. Consderemos el caso de un terremoto que ocurró en un semespaco homogéneo. Las ondas P fueron regstradas en ses estacones ssmológcas. La Tabla 1 muestra la ubcacón de cada estacón (en coordenadas) y los tempos de arrbo de las ondas P. Los tempos de arrbo fueron calculados exactamente y se les agregó un rudo para smular errores no correlaconados en los datos. Para comenzar el proceso de nversón, prmero estmamos o predecmos una solucón (x =1, y =1, z =1, t = 3.), desde la cual podemos calcular el vector de los datos. Tabla 1: Ejemplo de Localzacón de Epcentro Estacón X Y T P d -d Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

17 Las dferencas entre los datos calculados y observados (d -d ) dan el vector de los datos en la forma de la ecuacón 1. Claramente se ve que nuestro valor ncal estmado no es muy bueno. Ahora necestamos determnar G. En este ejemplo es muy sencllo puesto que las dervadas analítcas de la ecuacón 6 evaluadas en cero son fácles de obtener. Lo que nos da: t -(x -x ) t -(y -y ) t -(z -z ) t = ; = ; = ; = 1 (55) x v (t -t ) y v (t -t ) z v (t -t ) t G = (56) Los auto-valores de G, o los valores sngulares no nulos están dados por: Λ =.11 (57).199 con los correspondentes auto vectores V = (58) Aún antes de obtener una solucón, Λ y V dan una valosa vsón del problema a resolver. Cada elemento de un partcular auto vector tene depenca con un auto valor a un dado parámetro del modelo. Por ejemplo, el mayor auto valor,.45, está asocado con el auto vector en la prmera columna de V. Cada elemento en este vector está relaconado a un parámetro del modelo. El cuarto parámetro del modelo, t, el tempo orgen, domna este auto vector. El vector apunta en la dreccón de t, Este auto valor es mucho más grande que los tres restantes, y por lo tanto el parámetro del modelo estmado es más estable. En otras palabras, nuestra nversón estmada para los cambos en el tempo orgen es más estable. Por otro lado, el auto valor más pequeño es.199, con el correspondente auto vector domnado por el tercer parámetro del modelo, z, la profunddad de foco. Entonces, los cambos estmados para la profunddad son la parte menos estable del proceso de nversón. Como veremos brevemente, tenemos dfcultad en determnar la verdadera profunddad dado el modelo ncal que elegmos. Puesto que hay cuatro auto-valores no nulos, la resolucón del modelo es perfecta, pero podemos observar la matrz densdad de datos para ver lo mportante que es cada observacón para obtener la solucón (59): Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

18 D = S observamos los térmnos de la dagonal, podemos obtener una medda relatva de la mportanca de cada estacón. Los valores más grandes (.899 y.81) están asocados a las estacones 1 y 6. Estas estacones restrngen la solucón. La estacón 4 da la menor restrccón, aunque la mayoría de los datos son de gual mportanca. Los térmnos de la dagonal dan una medda de la nfluenca que las otras estacones tenen sobre un valor dado. La nversón predce un cambo para el modelo m, que es dado por 8.68 m = 9.74 (6) La suma de los errores cuadrátcos para el modelo ncal fue 161.8; para la solucón nversa es.579. La Tabla compara los epcentros obtendos con los valores del modelo verdadero para varas teracones. Note que aunque x, y, t son muy cercanos a los valores verdaderos, z no lo es. En efecto, la nversón ncal empujó z en la dreccón errónea! Esto es consecuenca de nuestro pobre modelo ncal predecdo. Después de ses teracones obtenemos un resultado que está muy próxmo a la localzacón verdadera. Recordemos que hemos agregado rudo a los datos, de modo que la nversón no será exacta. Es común que las nversones comencen con un modelo pobre para poner dentro un mínmo local, nunca para aproxmar la solucón actual. Este es un resultado de la lnealzacón del problema, y se usan varas estrategas para mover un rango más amplo de parámetros y buscar un mínmo global. Aplcacón con MatLab. El valor de la velocdad utlzado en el ejemplo es de 5.8 km/s y la ecuacón 55 será evaluada de la sguente forma t x = v ( x x ) ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) Los datos del ssmo serán cargados en el archvo SISMO.txt con el sguente formato t y = v ( y y ) ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) X Y Z t t z = v ( z z ) ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

19 Tabla de resultados obtendos Parámetro s Valor estmado 1era Iteracón da Iteracón 3er Iteracón 4ta Iteracón 5ta Iteracón 6ta Iteracón X Y Z T % Programa de LOCALIZACION DE HIPOCENTROS, basado en el Lbro MODERN GLOBAL SEISMOLOGY de T. Lay, T. Wallace del año 1995, Págnas 17 a 35. % Se realzaron modfcacones en las fórmulas 6.55 del lbro. % Es una aplcacón de la TEORIA DE INVERSAS GENERALIZADAS en el CÁLCULO DEL % HIPOCENTRO y TIEMPO ORIGEN de un SISMO. % Programa desarrollado por el ING. JOSE R. GOLBACH clc, clear, home dsp(' PROGRAMA LOCALIZACION DE HIPOCENTRO.') dsp(' Se calcula por el Método SVD') % Carga de los datos. % Se crea un archvo en el edtor de textos con nombre SISMO.TXT % Los datos son las coordenadas X,Y,Z,t, (Coordenadas de la estacón y el tempo) load ('SISMO.txt') pause Datos=SISMO % n es el número de estacones y m el número de ncógntas [n,m] = sze(datos); G=zeros(n,m); dsp(' Ingrese las Coordenadas aproxmadas del Hpocentro (Km)') dsp (' ') m(1,1)=nput ('X= '); m(,1)=nput ('Y= '); m(3,1)=nput ('Z= '); m(4,1)=nput(' Ingrese tempo orgen aproxmado en (s) t= '); Vp=nput(' Ingrese Valor de Velocdad de onda P(Km/s) '); %Vp=nput(' Vp= '); % Construccón de la matrz de ecuacones de observacón. Se modfca el cálculo de la % dervada de la ecuacón (6.55) por la sguente: t/ x = -(x-x)/(v* ((x-x)²+(y-y)²+(z-z)²)) % Lo msmo para las varables x,y,z, partcularzadas para los valores aproxmados x,y,z. k1=1; NroIt=nput(' Cuántas Iteracones Realza? '); whle k1<=nroit G=ones(n,4); d=zeros(n,1); Aux=; for =1:n Aux=; for j=1:m-1 Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach

20 coef=-(datos(,j)-m(j,1)); Aux=Aux+coef*coef; G(,j)=coef; for j=1:m-1 G(,j)=G(,j)/(Vp*sqrt(Aux)); d()=datos(,m)-(m(m,1)+(sqrt(aux))/vp); dsp(' Matrz de coefcentes ') G pause dsp(' Matrz de térmnos ndepentes ') d pause % Aplcacón de la descomposcón del valor sngular SVD a la matrz G. Se podría haber % usado drectamente la opcón [U,S,V]=SVD(G,) para el cálculo, la cual da resultados sn % los ceros, pero se presenta tal cual se da en el lbro. [u,s,v]=svd(g); %[u,s,v]=svd(g,) % Se elmnan los ceros de la dferenca entre n-m. for k=n:-1:m+1 s(k,:)=[]; u(:,k)=[]; % D es la matrz densdad de datos dsp(' Matrz de Densdad de Datos ') D=u*u' pause % R es la matrz resolucón dsp(' Matrz de Resolucón ') R=v*v' pause % Determnacón s un autovalor es gual a cero l=; for k=1:m f abs(s(k,k))<. l=l+1; NRC(l)=k; % Elmnacón de flas y columnas de autovalores guales a cero. % Elmnacón del correspondente autovector f l ~= for k=length(nrc):-1:1 NFC=NRC(k); s(nfc,:)=[]; s(:,nfc)=[]; Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach - 11

21 u(:,nfc)=[]; v(:,nfc)=[]; % FC es la relacón de corte entre el mayor y mínmo valor ecuacón 6.53 FC=s(length(s),length(s))/s(1,1); l=; for k=1:m f abs(s(k,k))<fc l=l+1; NRC(l)=k; % S se encuentra un autovalor menor a FC, se lo elmna con su correspondente autovector. f l ~= for k=length(nrc):-1:1 NFC=NRC(k); s(nfc,:)=[]; s(:,nfc)=[]; u(:,nfc)=[]; v(:,nfc)=[]; % s Es la matrz de autovalores sn valores nulos. dsp(' Matrz de Autovalores ') s pause for k=1:length(s) s(k,k)=1/s(k,k); % m1 Es la solucón del sstema dsp(' Matrz Solucón ');k1 m1= v*s*u'*d % Se modfcan los valores aproxmados sumando la solucón for =1:4 m(,1)=m(,1)+m1(); dsp(' Valores Solucón de los parámetros ') m pause k1=k1+1; clc m dsp(' FIN...') Ing. Lus Estrada Ing. Rodolfo Golbach