UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL ROSARIO Departamento de Ingeniería Química. Cátedra: Integración IV

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1 UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL ROSARIO Departamento de Ingenería Químca Cátedra: Integracón IV Tema: Resolucón de Sstemas de Ecuacones Lneales Alumnos: Damán Match, Marcos Boss y Juan M. Pgnan Profesores: Dr. Ncolás Scenna, Dr. Alejandro Santa Cruz y Dra. Sona Benz Año de cursado: 999 Problema : Resolver el sguente sstema de ecuacones lneales medante un método drecto: + = - + = 3 Resolucón: Un método drecto para hallar la solucón, es uno en el cual, s todos los cálculos (computaconales) fueran llevados a cabo sn error de redondeo, conducría a la solucón eacta del sstema dado. Práctcamente todos están basados en la técnca de elmnacón. El error de truncamento para estos métodos es ntrascendente. Algunos de los métodos drectos son: la Regla de Cramer, el Método de Elmnacón de Gauss y la Resolvente para Ecuacones Polnómcas de º, 3º y 4º Orden. Resolvendo el sstema de ecuacones dado por el Método de Elmnacón de Gauss se hallaron los sguentes resultados: = = 3 = 4 = 4 / 4 = = = Problema : Resolver el Problema utlzando los sguentes métodos teratvos: a) Susttucón drecta. b) Jacob. c) Gauss-Sedel.

2 a) Susttucón drecta: f ( ) = f f Esto ndca que : f (, n (, (,,..., n,..., n,..., n ) = ) = ) = Un sstema equvalente es: + f ( ) = = F( ) Se supone una apromacón ncal (vector ncal), de la solucón buscada *, que se mejora en sucesvas teracones de acuerdo a: = F( + S el método converge: { }/ lm{ } *, hasta que ε. Tanto ε como. son = ) + arbtraros, adecuándose al crtero de error a las característcas físcas de la smulacón que se realza. Para estos casos las normas usualmente empleadas son: Norma Eucldana: = +. ( k E k ) Norma de Mámo:. n k = = má k n + k k Resolucón: El método de susttucón drecta se mplementó en una planlla de cálculo de la sguente manera: A B C D E F G F( ) F( ) Error f( ) f( ) *A+*B- -A+(3*B) A+*B- -A+*B-3 C D *A3+*B3- -A3+(3*B3)-3 ((A3-A) +(B3-B) ) / A3+*B3- -A3+*B3-3 Preparacón 3 C3 D3 *A4+*B4- -A4+(3*B4)-3 ((A4-A3) +(B4-B3) ) / A4+*B4- -A4+*B4-3 4 C4 D4 *A5+*B5- -A5+(3*B5)-3 ((A5-A4) +(B5-B4) ) / A5+*B5- -A5+*B5-3 5 C5 D5 *A6+*B6- -A6+(3*B6)-3 ((A6-A5) +(B6-B5) ) / A6+*B6- -A6+*B6-3 6 C6 D6 *A7+*B7- -A7+(3*B7)-3 ((A7-A6) +(B7-B6) ) / A7+*B7- -A7+*B7-3 7 C7 D7 *A8+*B8- -A8+(3*B8)-3 ((A8-A7) +(B8-B7) ) / A8+*B8- -A8+*B8-3 8 C8 D8 *A9+*B9- -A9+(3*B9)-3 ((A9-A8) +(B9-B8) ) / A9+*B9- -A9+*B9-3 Preparacón: las ecuacones se deben ngresar manualmente. Arrastre: las ecuacones son arrastradas desde la fla superor. Arrastre

3 Cálculos: F( ) F( ) Error f( ) f( ) Como se puede ver el método no converge, n aún elgendo un vector ncal prómo a la solucón. La norma utlzada fue la Eucldana. b) Jacob: Dado el sguente sstema de ecuacones: A = b, donde: a a a n a a a an a A = D = an an ann dagonal. a S a, =,,..., n D D = método de Jacob puede construrse de las sguente manera: b A = = D b + D próma apromacón: D + b A = D D -, sendo esta últma la matrz a nn a a nn ( D + b A ) = D. Por lo tanto, el D = I - B = D ( D A ( D A) = B + C, donde ; sendo la - C = D b - - ) + - = D b + D ( D A) - Resolucón: El método Jacob se programó en QBASIC, el cual no converge para el sstema de ecuacones dado. A contnuacón se muestra el dagrama de flujo de nformacón y el lstado del programa. 3

4 Ingresar A, b Vector de ncalzacón D, D = D b + D ( D A ) < ε NO SI solucón = + Lstado del Programa: SCREEN "Este programa solo permte calcular el Método Jacob para matrces cuadradas"; "Ingrese el orden de la matrz"; INPUT N FOR I = TO N FOR J = TO N "Ingrese en la matrz el valor de la poscón ("; I; ","; J; ")"; INPUT A(I, J) J I FOR I = TO N "ngrese el valor del térmno ndependente de la poscón("; I; ",)"; INPUT B(I, ) I FOR I = TO N "ngrese un valor estmatvo para X ("; I; ",)"; INPUT X(I, ) I f = DO f = f + f IF f = THEN contnuar = "El método después de teracones no converge" "Sugerencas: Probar con otro vector de valores ncales" " Utlzar otro método teratvo" FOR I = TO N FOR J = TO N IF I = J THEN D(I, J) = A(I, J) DI(I, J) = / A(I, J) 4

5 D(I, J) = DI(I, J) = J I FOR I = TO N T(I, ) = FOR J = TO N T(I, ) = DI(I, J) * B(J, ) + T(I, ) DA(I, J) = D(I, J) - A(I, J) J I FOR I = TO N FOR K = TO N DIDA(I, K) = FOR J = TO N DIDA(I, K) = DI(I, J) * DA(J, K) + DIDA(I, K) J K I FOR I = TO N P(I, ) = FOR J = TO N P(I, ) = DIDA(I, J) * X(J, ) + P(I, ) J I FOR I = TO N XN(I, ) = T(I, ) + P(I, ) I DIF = FOR I = TO N DIF = ((XN(I, ) - X(I, )) ^ ) + DIF I DIFA = (DIF) ^ ( / ) IF DIFA <. THEN FOR I = TO N "La componente ("; I; ",) del vector solucón es"; XN(I, ) I contnuar = FOR I = TO N X(I, ) = XN(I, ) X(I, ) I contnuar = LOOP UNTIL contnuar = END c) Gauss-Sedel: - Es una varante del método de Jacob. - Para calcular la apromacón ( + ) de la componente n-ésma del vector, se utlza el vector, k =,,..., ( +). + k Una breve deduccón del método es la sguente: A = L + D + U, sendo: L = matrz trangular nferor. D = matrz dagonal. U = matrz trangular nferor + = D - b + D - ( D A) = C + B 5

6 + - - S: ( ) D A = L + U = D b D ( L U ) + = D - b D - U - D - L ( I + D L) = D U + D b D ( I + D L) = DD U + DD b + ( D + L) = U + b ( D + L) U + ( D + L) b + = Resolucón: Al gual que en el caso anteror el método se programó en QBASIC, pero para el sstema de ecuacones dado el método no converge. Ingresar A, b Vector de ncalzacón D, L, U ( D + L ) U + ( D + L ) b + = < ε NO SI solucón = + Lstado del Programa: DIM RTA AS STRING DIM RESULTADO AS SINGLE DIM CUADRADOX AS SINGLE DIM ACUM AS SINGLE DIM ACUM AS SINGLE DIM ACUM AS SINGLE 'INICIO DE PANTALLA FOR I = 5 TO FOR J = TO 6 LOCATE I, J: CHR$(76) FOR I = 5 TO 9 LOCATE I, : CHR$(86) FOR I = 5 TO 9 LOCATE I, 6: CHR$(86) FOR I = TO 59 LOCATE 4, I: CHR$(5) 6

7 FOR I = TO 59 LOCATE, I: CHR$(5) LOCATE 4, : CHR$() LOCATE 4, 6: CHR$(87) LOCATE, : CHR$() LOCATE, 6: CHR$(88) LOCATE, 3: "METODO GAUSS SIEDEL " LOCATE, 3: "SALIR " LOCATE 9, 4: INPUT " ", RTA 'FIN DE PANTALLA IF RTA <> "" AND RTA <> "" THEN GOTO IF RTA = "" THEN LOCATE, 3: INPUT "INGRESE EL ORDEN DE LA MATRIZ ", ORD IF ORD <= 3 THEN DIM A AS SINGLE DIM B AS SINGLE DIM DET AS SINGLE REDIM MATAD(ORD, ORD) AS SINGLE REDIM MATADT(ORD, ORD) AS SINGLE REDIM MATINV(ORD, ORD) AS SINGLE REDIM MATMEN(ORD, ORD) AS SINGLE REDIM MATOBJ(ORD, ORD) AS SINGLE REDIM MATD(ORD, ORD) AS SINGLE REDIM MATU(ORD, ORD) AS SINGLE REDIM MATL(ORD, ORD) AS SINGLE REDIM MATT(ORD, ORD) AS SINGLE REDIM MATB(ORD, ORD) AS SINGLE REDIM VECTXO(ORD) AS SINGLE REDIM VECTB(ORD) AS SINGLE REDIM VECTH(ORD) AS SINGLE REDIM VECTC(ORD) AS SINGLE REDIM VECTX(ORD) AS SINGLE REDIM VECTX(ORD) AS SINGLE F = FOR I = TO ORD F = F + C = FOR J = TO ORD LOCATE 8, 5: "INGRESE EL ELEMENTO", I, J C = C + 4 LOCATE F, C: INPUT "", MATOBJ(I, J) F = FOR I = TO ORD F = F + C = 5 LOCATE 8,: "INGRESE EL ELEMENTO DEL VECTOR TERMINO INDEPENDIENTE EN LA POSICION:", I LOCATE F, C: INPUT "", VECTB(I) F = FOR I = TO ORD F = F + C = 5 LOCATE 8,: "INGRESE EL ELEMENTO DEL VECTOR DE ARRANQUE EN LA POSICION:", I LOCATE F, C: INPUT "", VECTXO(I) FOR I = TO ORD FOR J = TO ORD IF I = J THEN MATD(I, J) = MATOBJ(I, J) MATD(I, J) = IF I < J THEN MATU(I, J) = MATOBJ(I, J) MATU(I, J) = 7

8 IF I > J THEN MATL(I, J) = MATOBJ(I, J) MATL(I, J) = FOR I = TO ORD FOR J = TO ORD MATT(I, J) = MATD(I, J) + MATL(I, J) IF ORD = THEN MATMEN(, ) = MATT(, ) MATMEN(, ) = MATT(, ) MATMEN(, ) = MATT(, ) MATMEN(, ) = MATT(, ) FOR I = TO ORD FOR J = TO ORD MATAD(I, J) = (-) ^ (I + J) * MATMEN(I, J) FOR I = TO ORD FOR J = TO ORD MATADT(J, I) = MATAD(I, J) DET = (MATT(, ) * MATT(, )) - (MATT(, ) * MATT(, )) IF ORD = 3 THEN MATMEN(, ) = (MATT(, ) * MATT(3, 3)) - (MATT(3, ) * MATT(, 3)) MATMEN(, ) = (MATT(, ) * MATT(3, 3)) - (MATT(3, ) * MATT(, 3)) MATMEN(3, ) = (MATT(, ) * MATT(, 3)) - (MATT(, ) * MATT(, 3)) MATMEN(, ) = (MATT(, ) * MATT(3, 3)) - (MATT(3, ) * MATT(, 3)) MATMEN(, ) = (MATT(, ) * MATT(3, 3)) - (MATT(3, ) * MATT(, 3)) MATMEN(3, ) = (MATT(, ) * MATT(, 3)) - (MATT(, ) * MATT(, 3)) MATMEN(, 3) = (MATT(, ) * MATT(3, )) - (MATT(3, ) * MATT(, )) MATMEN(, 3) = (MATT(, ) * MATT(3, )) - (MATT(3, ) * MATT(, )) MATMEN(3, 3) = (MATT(, ) * MATT(, )) - (MATT(, ) * MATT(, )) FOR I = TO ORD FOR J = TO ORD MATAD(I, J) = (-) ^ (I + J) * MATMEN(I, J) FOR I = TO ORD FOR J = TO ORD MATADT(J, I) = MATAD(I, J) A = ((MATT(,)*MATT(,)*MATT(3,3)) + (MATT(,)*MATT(3,)*MATT(,3)) + (MATT(,)*MATT(,3)*MATT(3,))) B = ((MATT(,3)*MATT(,)*MATT(3,)) + (MATT(,)*MATT(,)*MATT(3,3)) + (MATT(,3)*MATT(3,)*MATT(,))) DET = A - B IF DET = THEN LOCATE,5: COLOR,5: "DETERMINANTE =, NO EXISTE LA MATRIZ INVERSA": COLOR 5, LOCATE 4,5: COLOR,5: INPUT "PRESIONE 'S' PARA UN NUEVO CALCULO, O 'N' PARA SALIR", RTA: COLOR 5, DO WHILE RTA <> "S" AND RTA <> "s" AND RTA <> "N" AND RTA <> "n" LOCATE 4,5: COLOR,5: INPUT "PRESIONE 'S' PARA UN NUEVO CALCULO, O 'N' PARA SALIR", RTA: COLOR 5, LOOP IF RTA = "S" OR RTA = "s" THEN GOTO FOR I = TO ORD FOR J = TO ORD MATINV(I, J) = MATADT(I, J) / DET 8

9 LOCATE 8, : "ESTE PROGRAMA NO ADMITE MATRICES DE ORDEN MAYOR QUE TRES" "MATRIS B" FOR F = TO ORD FOR X = TO ORD ACUM = FOR G = TO ORD ACUM = ACUM + (MATINV(F, G) * MATU(G, X)) MATB(F, X) = ACUM "", MATB(F, X) ' COMIENZO DE LA ITERACION RESULTADO = DO WHILE RESULTADO >=. RESULTADO = "VECTOR X" FOR I = TO ORD "", VECTXO(I) "VECTOR H" FOR F = TO ORD FOR X = TO ACUM = FOR G = TO ORD ACUM = ACUM + (((-) * MATB(F, G)) * VECTXO(G)) VECTH(F) = ACUM "", VECTH(F) "VECTOR C" FOR F = TO ORD FOR X = TO ACUM = FOR G = TO ORD ACUM = ACUM + (MATINV(F, G) * VECTB(G)) VECTC(F) = ACUM "", VECTC(F) "VECTOR X" FOR I = TO ORD VECTX(I) = VECTH(I) + VECTC(I) "", VECTX(I) FOR I = TO ORD RESULTADO = RESULTADO + ABS(VECTX(I) - VECTXO(I)) "RESULTADO", RESULTADO IF RESULTADO > ( ^ ) THEN LOCATE 9,5: COLOR,5: "EL METODO PARA ESTA MATRIZ DIVERGE": COLOR 5, LOCATE,5: COLOR,5: INPUT "PRESIONE 'S' PARA UN NUEVO CALCULO, O 'N' PARA SALIR", RTA: COLOR 5, DO WHILE RTA <> "S" AND RTA <> "s" AND RTA <> "N" AND RTA <> "n" LOCATE 4,5: COLOR,5: INPUT "PRESIONE 'S' PARA UN NUEVO CALCULO, O 'N' PARA SALIR", RTA: COLOR 5, LOOP IF RTA = "S" OR RTA = "s" THEN GOTO GOTO FOR I = TO ORD VECTXO(I) = VECTX(I) 9

10 LOOP LOCATE 4, 5: "EL VECTOR SOLUCION ES" F = 4 FOR I = TO ORD F = F + C = LOCATE F, C: WRITE VECTXO(I) LOCATE 4,5: COLOR,5: INPUT "PRESIONE 'S' PARA UN NUEVO CALCULO, O 'N' PARA SALIR", RTA: COLOR 5, DO WHILE RTA <> "S" AND RTA <> "s" AND RTA <> "N" AND RTA <> "n" LOCATE 4,5: COLOR,5: INPUT "PRESIONE 'S' PARA UN NUEVO CALCULO, O 'N' PARA SALIR", RTA: COLOR 5, LOOP IF RTA = "S" OR RTA = "s" THEN GOTO ' FOR I = TO ORD ' VECTX(I) = VECTX(I) - VECTXO(I) ' ' CUADRADOX = ' FOR I = TO ORD ' CUADRADOX = CUADRADOX + (VECTX(I) ^ ) ' ' RESULTADO = (SQR(CUADRADOX)) Problema 3: Resolver el sguente sstema: medante los sguentes métodos teratvos: a) Jacob, b) Gauss-Sedel, = - + = = 6 utlzando como vector de ncalzacón: = [; ; ] t. a) Jacob Utlzando el msmo programa en QBASIC que para el "Problema -b", se obtuvo el sguente vector resultado: b) Gauss-Sedel = [.3,, 3.] t De gual modo, utlzando el msmo programa en QBASIC que para el "Problema -c", se obtuvo el sguente vector resultado: = [ , , 3.5] t