75.12 ANÁLISIS NUMÉRICO I GUÍA DE PROBLEMAS INTEGRACIÓN

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1 Análss Numérco Facultad de ngenería - UBA 75. ANÁLSS NUMÉRCO FACULTAD DE NGENERÍA UNVERSDAD DE BUENOS ARES GUÍA DE PROBLEMAS 4 6. NTEGRACÓN. Calcular la sguente ntegral utlzando las fórmulas del trapeco y de Smpson, con pasos h/4 y h/, respectvamente: e sn ( ) Obtener conclusones sobre la precsón obtenda.. ntegrar la funcón y entre los argumentos. y., según las fórmulas del trapeco y de Smpson. Obtener conclusones sobre la precsón obtenda.. ntegrar la funcón ysen() entre y /, a partr de la sguente tabla: / /6 /4 / 5/ / sen por el método del trapeco y por el método de Smpson. Comparar los resultados con el valor eacto. 4. ntegrar la funcón y sn ( ) entre y.8 por el método de Romberg con 5 dígtos sgnfcatvos. 5. ntegrar la funcón y f ( ) f ( ) están correctamente redondeados. Cuál es la precsón obtenda? entre y 4, por el método de Romberg. Los valores de f() ntegrar la funcón y e entre y, por el método de cuadratura de Gauss con 6 puntos. Comparar con el resultado eacto a 6 decmales: Evaluar la ntegral Menéndez-Cavalere-Tarela Pág. /5 7/5/4

2 Análss Numérco Facultad de ngenería - UBA sn ( ) a) Utlzar el método de Romberg hasta una precsón de 4 dígtos. b) Estmar el error de redondeo en los resultados parcales obtendos por la regla del trapeco suponendo que se ha trabajado con artmétca de punto flotante con 4 dígtos de precsón. Suponer que el orden en que se efectúan las operacones es el sguente: T n n j ( h) ( f + f ) + f h donde n es el número de ntervalos y h el paso. 8. Evaluar la ntegral j sn ( ) medante cuadratura de Gauss con puntos. Proceder de la sguente forma: a) Hallar la fórmula de cuadratura sabendo que el polnomo de Legendre de grado es: Aplcarla a la ntegral. p ( ) ( 5 ) b) Estmar el error cometdo en base al desarrollo en sere de Taylor del ntegrando. ndcar de qué tpo de error de trata. 9. Evaluar la ntegral: e medante cuadratura de Gauss con 4 puntos. La sguente tabla presenta los puntos de evaluacón y los coefcentes asocados: Puntos Coefcentes ± ± Efectuar los cálculos con 5 decmales de precsón. Menéndez-Cavalere-Tarela Pág. /5 7/5/4

3 Análss Numérco Facultad de ngenería - UBA. Evaluar la ntegral: medante el método de Romberg hasta obtener 4 dígtos de precsón.. Hallar una fórmula de cuadratura para la ntegral: f ( ) utlzando 4 nodos equespacados e nterpolacón polnomal sobre todo el ntervalo. Utlzar el método de los coefcentes ndetermnados. S M es una cota superor para ( ) f V, hallar una estmacón del error por truncamento en térmnos de M.. Evaluar la ntegral: 5 ln ( ) utlzando la fórmula de Smpson, con un error no mayor a.. Sabendo que la regla de Smpson aplcada a un ntervalo genérco ( ) + f h donde < ε < +,se pde: V ( ) [ f ( ) + 4 f ( ) + f ( )] f ( ε ) + 5 h 9, es: + a) Obtener una epresón para acotar el error de truncamento global sobre todo el ntervalo de ntegracón. b) Utlzando la epresón hallada en el punto anteror, determnar un paso h que garantce la cota de error establecda y efectuar el cálculo utlzando este valor de h. c) Comparar el resultado de la ntegracón numérca con el valor eacto de la ntegral y verfcar que la dferenca está acotada por el error estmado.. La funcón error se defne como: erf e t dt Menéndez-Cavalere-Tarela Pág. /5 7/5/4

4 Análss Numérco Facultad de ngenería - UBA a) Hallar erf () utlzando el método de Romberg, hasta alcanzar una precsón de 4 dígtos sgnfcatvos. Trabajar con una cantdad sufcente de dígtos para garantzar que no nfluya el error de redondeo. b) Hallar erf () utlzando Cuadratura de Gauss con 5 puntos. Los nodos de evaluacón y los correspondentes coefcentes son: ± ± c) Estmar el error de truncamento del resultado obtendo por Romberg. Estmar el error del resultado obtendo por Gauss debdo al redondeo en las coordenadas y en los coefcentes provstos. En base a la comparacón entre los resultados obtendos en a) y b), qué puede decr del error de truncamento del método de Gauss?, cuál de los dos métodos ha resultado más trabajoso en térmnos de la cantdad de cálculos? 4. Obtener una fórmula de ntegracón que nvolucre 4 nodos equespacados (fórmula de Cotes) medante el método de los coefcentes ndetermnados. Para smplfcar la resolucón del sstema de ecuacones, tener en cuenta que la fórmula resulta smétrca alrededor del punto medo. a) Hallar una epresón para el error de truncamento. b) Aplcar las fórmulas obtendas para estmar la ntegral: 5. sn ( ) junto con su error. Sabendo que el valor correcto de la ntegral a 5dígtos sgnfcatvos es.747, comparar la estmacón del error con su valor correcto. 5. Programar en pseudolenguaje un algortmo para resolver la sguente ntegral, por el método de Romberg. b a f ( ) 6. Evaluar la ntegral ln ( cos( ) ) a) Utlzar el método de Romberg comenzando con un paso h/. Trabajar con 5 decmales de precsón. Afnar el paso de cálculo no más de veces. b) Calcular la nfluenca de los errores en los valores del ntegrando sobre los valores obtendos por la Regla del Trapeco. Menéndez-Cavalere-Tarela Pág. 4/5 7/5/4

5 Análss Numérco Facultad de ngenería - UBA c) El valor eacto de la ntegral es ln Dar una eplcacón de la alta precsón obtenda con la Regla del Trapeco. Menéndez-Cavalere-Tarela Pág. 5/5 7/5/4