Ejercicios Resueltos de Vectores

Transcripción

1 Departamento de Matemátca y C C Coordnacón: Calculo II para Ingenería Semestre Eerccos Resueltos de Vectores Sean los vectores en IR : v,,, u,, 4, a,, y b,, 4 : a) Determne los vectores: UV y AB UV AB v u = ( +,, + 4 ) =, 6, 6 b a = (,, 4 + ) =,, b) Determne el vector ST = UV AB ST = UV AB =, 6, 6 x,, = 6 6 = 6,, 9 c) Calcule UV ST AB UV ( ST AB), 6, 6 6,, 9 -,, UV ( ST AB), 6, =, 6, 6, 9, = 6 d) Determne s el vector v es una combnacón lneal de los vectores u, a, b Sea el vector v,,, y los escalares,, entonces: v,, = u a b,, 4,,,, 4 De donde se obtene el sstema de ecuacones lneales por gualdad de vectores 4 4, cuyas solucones son, y 8 8 Por tanto v,,,, 4,,,, 4, ello sgnfca que el vector v es una combnacón lneal de los vectores u, a, b

2 En IR sean los vectores v, 4, y u,,, determnar: a v u =, 4,,, b v u =, 4, x,, = =, 4, c u v =,, x, 4, = - =, 4, De los resultados anterores vemos que se cumple v u u v ( (,, ) ( -,4,-), -, d u v) u =,, x,, = - - -, 4, Sean los vectores en IR : v,,, u,, 4 y w,,, obtener: a UV UW ( v u) ( w u ),, -,, = b UV UW, -, -, -, (,, -) Encuentre la ecuacón de la recta que pasa por los sguentes pares de puntos: P (,, ) y Q (,7, 4) Está el punto A (,, ) sobre esta recta? Determnemos las ecuacón de la recta r que pasa por los puntos P (,, ) y Q (,7, 4) Un vector drector de r es, por eemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q: PQ = OQ OP =, 7, 4,, =, 6, ecuacón de la recta r en forma vectoral es: r x, y, z = OP + PQ =,, +, 6, Por lo tanto, la En forma paramétrcas es: r : En forma smétrca es: r : En su forma mplícta es: r : x y 6 z x y z 6 6 x y x z 6 Coordnacón de Cálculo II Pág:

3 Reemplazando el punto A (,, ) sobre la recta en forma paramétrcas tenemos: El punto A (,, ) no esta sobre la recta, pues los obtendos son dstntos P (, 4, ) y Q (,, ) Está el punto B (,,4 ) sobre la recta L ( P, Q) Determnemos las ecuacones de la recta r que pasa por los puntos P(, 4, ) y Q (,, ) Un vector drector de r es, por eemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q PQ = OQ OP =,,, 4, =,, 7 Por lo tanto, la ecuacón de la recta r en forma vectoral es: r x, y, z = OP + PQ =, 4, +,, 7 En forma paramétrcas la ecuacón de la recta es r x y z En forma contnua es: r : x y 4 z 7 En forma mplícta es r x y 9 7 x z Reemplazando el punto B (,,4) sobre la recta en forma paramétrcas tenemos: El punto B (,,4) no está sobre la recta, ya que los son todos dferentes entre s Encuentre una ecuacón del plano que pasa por los sguentes tríos de puntos de IR : a P (,, ), Q (,, 4), y R (,, ) Determnemos los vectores PQ =, 6, - 6 PQ PR = -, 6, - 6 x,, y PR,,, y calculemos PQ PR -,, - = n, este es un vector normal al plano Por consguente, de acuerdo a la formula punto-normal, se tene: a( x x ) + b ( y y ) + c ( z z ) =, de donde ( x ) + ( y + ) ( z ) = es decr y z + 7 =, es la ecuacón general del plano peddo Coordnacón de Cálculo II Pág:

4 b (,, 4 ) P, Q (,, 4 ), y R (,7, 4) En este caso,, PQ PR =,, PQ, PR - 4,, -8-4,, -8 plano Por consguente, aplcando la formula punto-normal, se tene: ( x ) + 4 ( y + ) + 4 ( z 4) = - 8, 4, 4 = n, es un vector normal al es decr 8x + 4 y + 4 z 48 =, es la ecuacón general del plano; consderando que Q es el punto en el plano c P (,, 7), Q (,,), y R (,, ) Nuevamente calculamos los vectores, - 6, PQ y PR -, -,, por tanto: PQ PR =, - 6, x -, -, , -8, - = normal al plano) Por consguente, aplcando la formula punto-normal, se tene: 4 ( x + ) 8 ( y ) ( z + ) = n, es el vector es decr 4x 8y z 7 el punto en el plano, es la ecuacón general del plano; consderando que R es 6 Encuentre una ecuacón del plano que pasa por el punto P (,,4) y que es paralelo al plano dado por la ecuacón x y 6z 8 Como los dos planos son paralelos, tenen las msmas normales La normal al plano dado es n,, -6 Luego la ecuacón pedda se obtene de ( x ) + ( y + ) 6 ( z 4 ) =, por tanto x y 6z es la ecuacón del plano desconocdo 7 Encuentre la dstanca del punto P (,,4 ) al plano dado por la ecuacón 4x y z 4 Dbue el punto y el plano dado Aplcamos la formula de dstanca de un punto a un plano, dada por: d = a x b y a b c z c d =, Encuentre la ecuacón de la recta que pasa por el punto P (,, ) y que es paralela a la recta cuyo vector drector es v 7 4 Se tene v = ( a, b, c ) = (, 7, 4 ) Luego aplcando la forma smétrca se obtene la ecuacón x - de la recta pedda: y z 7 4 Coordnacón de Cálculo II Pág: 4

5 9 Sean los vectores en IR v (,, ), u (,, ) y w (, 4, ) Es el vector A ( 4,,) una combnacón lneal de los vectores u, v, w? Determne la ecuacón del plano que contene a los puntos V, U y W a) Por determnar s los vectores dados son combnacón lneal del vector A v u w A (,, ) (-,, ) (, -4,) ( 4, -, ) Desarrollando el sstema de ecuacones lneales asocado, se tene: ; - ; Por tanto los vectores dados son combnacón lneal del vector A b) Determnacón de la ecuacón del plano que contene a los puntos asocados a los vectores dados Calculamos los vectores, -, UV y, - 4, - UV VW =, -, x, - 4, - - VW, determnamos UV VW - 4 del plano será 4 ( x- ) -8(y 4) -9( z -) es 4x 8y -9 z - 4, -8, - 9 Luego la ecuacón Por tanto la ecuacón del plano pedda Sean los vectores en IR : v,, y w,, Es el vector u 4,, coplanar a los vectores V y W? S no los es calcule el volumen del paralelepípedo Tres vectores son coplanares s el trple producto es nulo, es decr u ( v w ) Entonces u ( v w ) , por lo tanto los vectores no son coplanares El volumen de un paralelepípedo está expresado por V u ( v w ), por tanto el volumen del paralelepípedo corresponde a V Encuentre una ecuacón del plano que contene a los puntos de IR : P (, 4,), Q (,,6 ) y R (,, 4 ) ; hállese un vector normal a dcho plano y el área determnada por los tres puntos a PQ PR = -,,, 7, - - -,-,-4 = n, vector normal al plano Por 7 - consguente, aplcando la formula punto-normal: ( x- ) - (y ) -4 ( z - 6), se tene que x y 7 z 4, es la ecuacón general del plano; consderando que Q es el punto en el plano b El área determnada por los tres puntos la obtenemos por la fórmula: A A 4 PQ QR 8,66 n u de área Coordnacón de Cálculo II Pág:

6 Halle la ecuacón de la recta que pasa por los puntos: P (,, ) y Q (7,,) Está el punto A (,, ) sobre la recta? Y el punto B (,, )? a Sabemos que el vector PQ 6,, es paralelo a la recta, por tanto el vector de dreccón es n 6,,, luego la ecuacón vectoral de la recta es: r = OP + t v r x, y, z =,, + t 6,, =, t, Por tanto las ecuacones paramétrcas de la recta son b Está el punto A (,, ) sobre la recta? x y t z Susttuyendo se tene que t t t contradccón Por tanto el punto A no pertenece a la recta determnada Está el punto B (,, )? t t t Como se obtenen dstntos valores del parámetro t, se puede afrmar que B no esta en la recta Encuentre la ecuacón de la recta que pasa por los puntos: P (,, ) y Q (, 7, 4) Determnemos la ecuacón de la recta r que pasa por los puntos dados, calculando un vector drector de r es, por eemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q PQ = OQ OP =, - 7, 4,, =, 8, 6 x y z Por lo tanto, la ecuacón de la recta r en forma contnua es r: 8 6 x y 7 z 4 consderando el punto P, o r : consderando el punto Q 8 6 Coordnacón de Cálculo II Pág: 6