Métodos Nodales Híbridos en la Solución de las Ecuaciones de Difusión en Geometría XY

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1 Energía Nuclear y Segurdad Radológca: Nuevos Retos y Perspectvas XIV Congreso Anual de la SNM/XXI Reunón Anual de la SMSR Guadalajara, Jalsco, Méxco, - de Septembre, (, Memoras en CDROM Métodos Nodales Híbrdos en la Solucón de las Ecuacones de Dfusón en Geometría XY Natvdad Hernández M., Comsón Federal de Electrcdad Gerenca de Centrales Nucleoeléctrcas Carretera Cardel Nautla Km..5, C. P. 968, Veracruz nmranda@mexco.com, Gustavo Alonso V., Edmundo del Valle G. Insttuto Poltécnco Naconal Escuela Superor de Físca y Matemátcas Undad Profesonal Adolfo López Mateos Col. Lndavsta 778, Méxco D. F. galonso@nuclear.nn.mx, edmundo@esfm.pn.mx Resumen En 979, Hennart y colaboradores aplcaron varos esquemas de elemento fnto cláscos en la solucón numérca de las ecuacones de dfusón en geometría XY y estado estaconaro. Cas dos décadas después, en 996, él y otros colaboradores realzaron un trabajo smlar pero usando esquemas nodales tpo elemento fnto. Contnuando en esta últma dreccón, en este trabajo se descrbe un conjunto de varos esquemas denomnados Nodales Híbrdos (NH así como su aplcacón para resolver las ecuacones de dfusón en multgrupos en estado estaconaro y geometría XY. El térmno nodales íbrdos sgnfca que dcos esquemas nterpolan no solamente momentos de Legendre de cara y de celda sno tambén los valores del flujo escalar de neutrones en las cuatro esqunas de cada celda o elemento de la dscretzacón espacal del domno de nterés. Todos los esquemas aquí consderados son polnomales como lo fueron sus antecesores. Partcularmente, se an desarrollado y aplcado oco dferentes esquemas nodales íbrdos que están muy cercanamente relaconados con los desarrollados por Hennart y colaboradores en el pasado. Se trata de esquemas en los que no obstante que se reduce el número de parámetros de nterpolacón se conserva la precsón en relacón a los esquemas b-cuadrátco y bcúbco. De estos oco, tres fueron descrtos y aplcados en un trabajo anteror. Se trata del esquema clásco b-lneal así como los esquemas nodales íbrdos, b-cuadrátco y b-cúbco por lo que aquí sólo se descrben los otros 5 esquemas nodales íbrdos aunque se proporconan resultados numércos para varos problemas de prueba con todos ellos. Tambén en el Insttuto Naconal de Investgacones Nucleares.

2 Natvdad Hernández M., Gustavo Alonso V., Edmundo del Valle G.. INTRODUCCIÓN En 979 Hennart [] y colaboradores aplcaron varos esquemas de elemento fnto cláscos en la solucón numérca de las ecuacones de dfusón en geometría XY y estado estaconaro. Cas dos décadas después, en 996, él y otros colaboradores [] realzaron un trabajo smlar pero usando esquemas nodales tpo elemento fnto.los métodos nodales tpo elemento fnto conssten en métodos donde la varable dependente, de aquí en adelante el flujo escalar de neutrones, es aproxmada medante una nterpolacón de ésta en momentos de Legendre de cara y de celda. No obstante, en este trabajo se presentan nuevos esquemas nodales que además de nterpolar los momentos de Legendre de cara y de celda del flujo de neutrones nterpolan tambén valores del flujo en las esqunas de una celda dada. A estos últmos les emos desgnado como esquemas Nodales Híbrdos (NH. En este trabajo se an desarrollado esquemas nodales íbrdos polnomales para resolver numércamente las ecuacones de dfusón en multgrupos en geometría XY. Dada una dscretzacón espacal del domno de solucón de las ecuacones de dfusón, estos esquemas nterpolan, como ya se menconó, el flujo escalar de neutrones en cada una de las celdas o elementos de la dscretzacón. Los parámetros que se emplean para construr tal aproxmacón son los prmeros (k momentos de Legendre del flujo escalar de neutrones en cada cara, m momentos de Legendre del flujo de neutrones en la celda (momentos,,, etc. y los valores que tene el flujo de neutrones en las cuatro esqunas de una celda dada. Esto conduce a (km parámetros de nterpolacón por celda sendo k y m enteros no negatvos. S m(k surge un caso partcular que conduce a los esquemas nodales íbrdos b-cuadrátco (k, b-cúbco (k, etc. S m entonces se tenen esquemas nodales íbrdos à la Serendpty. Fnalmente, tambén se consderan los casos con <m<(k para k,. Introducendo un par de espacos polnomales que son útles para entender la precsón de estos esquemas nodales íbrdos. El prmero de ellos es el espaco polnomal Q kl defndo por S k l, entonces se smplfca a α β { x y, α k, l} Q kl β ( Qk Q kk ( El segundo espaco polnomal es el espaco Ρ k y está dado por Ρ k α β { x y, α k} β ( Con estas dos defncones es fácl darse cuenta que los espacos polnomales asocados a los esquemas nodales íbrdos están dados por Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca /8

3 Métodos Nodales Híbrdos en la Solucón de las Ecuacones de Dfusón en Geometría XY S S Q Q k, m ( k k,k S k se tenen los sguentes tres casos Q k,k, m ( S S S Q Q Q,,, Q Q Q,,, x y x y x y, m x y x y, m x y, m (5 Basados en las defncones anterores, se tene que el espaco polnomal está ncludo lo que ace que tenga una precsón O( k desde el punto de vsta de nterpolacón. Por otro lado, se preservan k parámetros en cada una de las cuatro caras de cada celda de la dscretzacón. Suponendo váldo el Teorema de la Ref. [], éste señala que el error en la norma L de los esquemas nodales es O( λ donde λmn( l,p,n, sendo l el entero postvo más grande de tal modo que P S l, p es el número de momentos de Legendre que se conservan entre caras de celdas adyacentes, y n es un índce que está relaconado con la precsón de la cuadratura numérca empleada para evaluar las ntegrales que defnen a los elementos de las matrces de masa y rgdez, exacta para el espaco polnomal Q n entonces el error en la norma L de estos esquemas nodales íbrdos sn ntroducr reglas de cuadratura es O( k, al menos para k,. Esto lleva a una aproxmacón que permte obtener la representacón del flujo dentro de cada celda en una forma consstente. La técnca empleada para dscretzar las ecuacones de dfusón fue la tradconal, es decr se usó la formulacón de Galerkn. El problema de valor propo fnal se resuelve utlzando el método de las potencas para obtener el factor de multplcacón efectvo y el correspondente flujo crítco de neutrones. Se descrben tres problemas bencmark tomados de la lteratura y se proporcona una comparacón entre los resultados obtendos con dstntas técncas.. DISCRETIZACIÓN ESPACIAL EN EL CASO MONOENERGÉTICO La ecuacón de dfusón para un grupo de energía está dada por []: D φ Σφ S, ( x, y Ω (6 la cual se dscretzará espacalmente usando el método tradconal de elementos fntos. Para proceder a descrbr los esquemas Nodales Híbrdos (NH y su correspondente aplcacón en la solucón numérca de las ecuacones de dfusón en multgrupos y Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca /8

4 Natvdad Hernández M., Gustavo Alonso V., Edmundo del Valle G. estado estaconaro, prmero, al gual que otros esquemas nodales para geometría XY [5,6], se dscretza el domno de nterés Ω en nodos, celdas o elementos que son del tpo rectangular, como se muestra en la Fgura. y d x j y j c a b x Fgura. Dscretzacón del domno de nterés Ω [ a, b] [ c, d]. Antes de contnuar ntroducremos las sguentes defncones de momentos de Legendre de cara y de celda dadas por: donde: ml ( u P ( y u(, y dy N (7 mr ( u P ( y u(, y dy N (8 mt ( u P ( x u( x, dx N (9 mb ( u P ( x u( x, dx N ( j mc ( u P ( x, y u( x, y dxdy N N j ( j Pj ( x, y P ( x Pj ( y ( Los subíndces L, R, B y T se referen a las caras zquerda, dereca, nferor y superor, respectvamente, el subíndce C se refere a la celda. Los superíndces y j son Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca /8

5 Métodos Nodales Híbrdos en la Solucón de las Ecuacones de Dfusón en Geometría XY enteros no negatvos y P representa el polnomo de Legendre de grado normalzado sobre [-, ] sendo N el factor de normalzacón de éstos el cual está dado por: N La formulacón débl del problema de dfusón [5,6], ecuacón (6, consste en encontrar φ V tal que donde : a ( φ ψ f ( ψ, ψ V, ( ( u v ( D u v Σuv Ω a, dxdy ( f ( v S ( x vdx dy Ω (5 sendo V el espaco de funcones de Sobolev, el cual está formado por funcones que son cuadrado ntegrables asta su prmera dervada en Ω, y que satsfacen las condcones de frontera esencales (es decr, flujo cero en las fronteras. En la aproxmacón estándar de elemento fnto, se seleccona apropadamente un subespaco de dmensón fnta V V, de tal manera que la dscretzacón del problema consste en encontrar φ V, tal que: donde φ es una aproxmacón de φ dada por: a ( φ ψ f ( ψ, ψ V, (6 N ( x, y φ u ( x, y φ (7 en la que las u ( x, y son conocdas como las funcones base del espaco V de dmensón N. De esta manera el problema se puede expresar como: donde A φ F (8 ( a,, j N A j,..., (9 [ φ φ ] T φ,..., ( N Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca 5/8

6 Natvdad Hernández M., Gustavo Alonso V., Edmundo del Valle G. con j [ f f ] T F,..., ( ( u u y f ( u a a, j N f (. Aproxmacón del Flujo Escalar Medante Esquemas Nodales Híbrdos [5,6] Como ya se menconó, el flujo de neutrones φ se aproxma localmente por una funcón φ en cada una de las celdas espacales en que se subdvde el domno. En general φ es una funcón que se encuentra en el espaco polnomal S descrtos en la Seccón. Esta nterpolante φ, nterpola el conjunto de parámetros D dado por: l l l l n D { φ,,...,, φ, φ, φ, φ,l,...,k; φ,n,,,... } ( p L R B T C donde φ p, φ p, φ p, φ p representan a los flujos escalares en las esqunas de la celda l l l l de referenca, φ L, φ R, φ B, φt corresponden al momento l-ésmo de Legendre del flujo φ, para l,..,k, sobre las caras zquerda (Left, dereca (Rgt, nferor (Bottom y n superor (Top y φ C es el momento n de Legendre del flujo φ, en la celda, con un total de m momentos sobre la celda. Esto da un total de (km parámetros de nterpolacón para un espaco polnomal S de gual dmensón. l l l l n Por otro lado, s u p, u p, u p, u p, u L, u R, u B, ut, y u C son las funcones base correspondentes a cada uno de los parámetros de nterpolacón antes menconados entonces la aproxmacón de φ será aproxmada por: l l n n ( x,y φ u ( x,y u ( x, y φ pu p E E φ ( x,y φ k l E n C C ( donde la suma sobre E se da para EL,R,B y T, las caras de la celda, y la suma sobre n, un índce doble, se da sobre el número total m de momentos de Legendre de celda (,,, etc.. El caso extremo se tendría cuando no ubera momentos de Legendre de celda es decr cuando n. Sguendo el método de elementos fntos de Galerkn, usando la aproxmacón ( para dscretzar la ecuacón (6 se obtene el sguente sstema algebraco: K φ M φ S (5 donde K y M son conocdas como las matrces de rgdez y de masa, cuyos elementos locales están dados en general por: Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca 6/8

7 Métodos Nodales Híbrdos en la Solucón de las Ecuacones de Dfusón en Geometría XY K K yd e xe ( k xj,, j,..., n (6a x xd e ye ( k yj,, j,..., n (6b y K K K (6c e xe ye ( m,, j n x yσ e M e j,..., (7 y S x y { }, { φ }; n e S φ (8 e,..., donde: k k xj yj u x u y u j x u j y dx dy dx dy (9a (9b y m j u ( x, y dx dy ( x, y u ( j S S ( x, y u ( x, y dx dy ( n representa aquí el número total de parámetros de nterpolacón por celda, es decr (km. A contnuacón se descrben cada uno de los 5 nuevos esquemas nodales íbrdos desarrollados en este trabajo. Para facltar su descrpcón se a ntroducdo la notacón NH(k,m para dentfcar a cada esquema nodal íbrdo.. DESARROLLO DE 5 NUEVOS ESQUEMAS NODALES HÍBRIDOS [5,6]. Esquema Nodal Híbrdo Cuadrátco à la Serendpty NH(, Los esquemas nodales íbrdos que son del tpo Serendpty no tenen parámetros de nterpolacón en el nteror de las celdas. Es decr, la nterpolacón polnomal consdera sólo los parámetros de nterpolacón correspondentes al valor del flujo en las Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca 7/8

8 Natvdad Hernández M., Gustavo Alonso V., Edmundo del Valle G. esqunas y los momentos de Legendre en las caras. Ya que el esquema B-Lneal no tene parámetros de nterpolacón dentro de cada celda uno podría pensar que se trata del más sencllo del tpo Serendpty pero no se tomará como tal ya que tampoco sobre las caras tene otros parámetros de nterpolacón que no sean solamente los asocados a los puntos esquna. De esta manera el más sencllo de los esquemas nodales íbrdos del tpo Serendpty es el cuadrátco, el cual tene, con excepcón del momento de Legendre, todos los parámetros de nterpolacón del esquema nodal íbrdo B- Cuadrátco, aquí desgnado esquema NH(,, ntroducdo en la Ref. [5]. Así, las funcones base correspondentes a este esquema están dadas por u p ( P P P P P P u B ( P P P P u p P P P P P P u L ( P P P P u R ( P P P P u p P P P P P P u T ( P P P P u p P P P P P P ( ( ( Este esquema tene un conjunto D de 8 parámetros de nterpolacón y un espaco polnomal S asocado a éste tal y como se muestran en la Fgura. D S φ p φ L φ T φ p φ R p φ p φ p φ B Fgura. Conjunto D y espaco S para el Esquema Nodal Híbrdo Cuadrátco à la Serendpty NH(,. Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca 8/8

9 Métodos Nodales Híbrdos en la Solucón de las Ecuacones de Dfusón en Geometría XY. Esquema Nodal Híbrdo Cúbco à la Serendpty NH(, Este esquema nodal es smlar al esquema nodal íbrdo B-Cúbco, o NH(,, sn consderar los parámetros de nterpolacón correspondentes a los momentos,,, y de Legendre en la celda. Esto reduce a sólo los parámetros de nterpolacón. De esta manera las correspondentes funcones base están dadas por u p ( P P P P P P P P P P P ( P P P P u B u R ( P P P P u B u p u L ( P P P P ( P P P P P P P P P P P P ( P P P P u L ( P P P P u R ( P P P P u p P P P P P P P P P P P P u T ( P P P P u T ( P P P P u p P P P P P P P P P P P P ( ( En la Fgura se lustra al conjunto D de parámetros de nterpolacón y al espaco polnomal S. El esquema nodal íbrdo B-Cúbco tambén se puede reducr consderando sólo uno, dos y tres momentos de celda los cuales corresponden a los momentos de celda (, Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca 9/8

10 Natvdad Hernández M., Gustavo Alonso V., Edmundo del Valle G. ( y (. La dea detrás de estas reduccones es mostrar que mentras que el espaco polnomal P esté contendo en el espaco polnomal S todas estas versones tendrán el msmo orden de precsón O(. La stuacón extrema la cumple el esquema NH(,, nodal íbrdo cúbco à la Serendpty, que no obstante no tener parámetros de nterpolacón de celda tambén tene la msma precsón que los ya menconados. A contnuacón se descrben estas tres versones reducdas del esquema nodal íbrdo B- Cúbco o smplemente esquema NH(,. D S φ p φ L φ L φ T φ T φ p φ R φ R P φ p φ p φ B φ B Fgura. Conjunto D y espaco S para el Esquema Nodal Híbrdo Cúbco à la Serendpty NH(,.. Esquema NH(, Este esquema, consdera como únco parámetro de nterpolacón dentro de la celda al momento. Así, el esquema consta de parámetros de nterpolacón y sus funcones base están dadas como sgue u p u B ( P P P P u B ( P P P P u p P P P P P P P P P u L ( P P P P u C P P P P ( P P P P P P P P P P ( P u L ( P P P P Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca /8

11 Métodos Nodales Híbrdos en la Solucón de las Ecuacones de Dfusón en Geometría XY u R u R u p u T u T ( P P P P ( P P P P ( P P P P ( P P P P P P P P P P ( P P P P u p ( P P P P P P P P P P La Fgura lustra al conjunto D de parámetros de nterpolacón y al espaco polnomal S. D S φ p φ L φ L φ T φ C φ T φ p φ R φ R P φ p φ φ B φ p B Fgura. Conjunto D y espaco S para el Esquema NH(,.. Esquema NH(, A dferenca del esquema nmedato anteror, éste consdera un momento de celda más que es el momento ( tenendo un total de parámetros de nterpolacón. Sus funcones base están dadas por las sguentes u p u B ( P P P P ( P P P P P P P P Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca /8

12 Natvdad Hernández M., Gustavo Alonso V., Edmundo del Valle G. u R ( P P P P u B u p u L ( P P P P ( P P P P P P P P ( P P P P u C P P P P ( P P P P u L u C P P P P u R ( P P P P u p u T u T ( P P P P P P P P ( P P P P ( P P P P u p P P P P P P P P ( La Fgura 5 lustra al conjunto D de parámetros de nterpolacón y al espaco polnomal S. D S φ p φ L φ T φ C φ T φ p φ R P φ L φ C φ R φ p φ p φ B φ B Fgura 5. Conjunto D y espaco S para el Esquema NH(,. Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca /8

13 Métodos Nodales Híbrdos en la Solucón de las Ecuacones de Dfusón en Geometría XY.5 Esquema NH(, Fnalmente, este esquema consdera a los momentos de celda (, ( y ( con un total de 5 parámetros de nterpolacón. Sus funcones base están dadas por las sguentes u p ( P P P P P P ( P P P P u B u B u p P u R ( P P P ( P P P P ( P P P P P P ( P P P P u L u C P P P P u L u C P P P ( P P P P u C P P P P u R ( P P P P u p ( P P P P P P u T ( P P P P u T ( P P P P u p P P P P P P P ( La Fgura 6 lustra al conjunto D de parámetros de nterpolacón y al espaco polnomal S. Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca /8

14 Natvdad Hernández M., Gustavo Alonso V., Edmundo del Valle G. Una vez defndos los esquemas nodales íbrdos se obtuveron las funcones base para cada uno de ellos y todos los elementos de las matrces de rgdez (9 y de masa ( evaluados exactamente usando el paquete Maple 7. Los nuevos esquemas nodales íbrdos fueron agregados al programa de cómputo NHDXY (Nodal Híbrdo para Dfusón en geometría XY con lo cual se resolveron numércamente las ecuacones de dfusón en multgrupos para los problemas de prueba que se menconan a contnuacón. φ p φ L φ L φ T φ C D φ C φ T φ C φ p φ R φ R φ p φ B φ φ p B S P Fgura 6. Conjunto D y espaco S para el Esquema NH(,.. DESCRIPCIÓN DE LOS PROBLEMAS BENCHMARK Para probar los métodos nodales íbrdos descrtos en las seccones anterores se resolveron varos problemas de prueba. Estos problemas fueron los sguentes: a el D Bbls PWR, el D LRA BWR, y fnalmente el LMFBR. Aunque todos estos problemas están completamente descrtos en la Ref. [7] aquí se dará una breve descrpcón de cada uno de ellos.. Problema Bencmark D Bbls PWR Este problema es representatvo de un reactor de agua presurzada (PWR, con 8 dferentes materales, cuyas constantes nucleares correspondentes se obtuveron de la Ref. [7]. Las condcones de frontera son de flujo cero en las cara superor y dereca y de corrente cero en las caras nferor e zquerda, presentando una smetría espejo sobre el eje x y sobre el eje y. En la Fg. 7 se puede ver la dstrbucón de los materales.. Problema Bencmark D LRA BWR El problema D LRA representa un reactor BWR, el cual muestra un arreglo de 6 materales y grupos de energía, los materales están dstrbudos de la forma que Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca /8

15 Métodos Nodales Híbrdos en la Solucón de las Ecuacones de Dfusón en Geometría XY puede observarse en la Fgura 8, y que presenta una smetría tpo espejo tanto sobre el eje x como el eje y Fgura 7. Dstrbucón de materales para el problema bencmark D Bbls PWR Fgura 8. Dstrbucón de materales para el problema bencmark D LRA BWR. Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca 5/8

16 Natvdad Hernández M., Gustavo Alonso V., Edmundo del Valle G.. Problema D LMFBR El problema D LMFBR muestra un dseño de un reactor de cría enfrado con metal líqudo. La Fgura 9 muestra el arreglo de la dstrbucón de materales, un total de 5. El problema es resuelto para grupos de energía. Las seccones efcaces se proporconan en la Ref. [7]. Las condcones de frontera son de reflexón sobre las caras zquerda e nferor mentras que en las dos caras restantes es de flujo cero sobre la frontera físca. 5 Fgura 9. Dstrbucón de materales para el problema bencmark D LMFBR. 5. RESULTADOS OBTENIDOS Cada uno de los problemas bencmark antes descrtos fueron resueltos con el programa NHDXY usando varas mallas espacales. La Tabla I muestra, para cada problema bencmark, el factor de multplcacón efectvo k eff para todos los esquemas nodales íbrdos ya menconados usando mallas x y x por cada celda. Los resultados obtendos con el programa de cómputo NHDXY se comparan contra el Método Nodal de Funcones de Green (NGFM, de sus sglas en nglés Nodal Green's Functon Metod [7]. A partr de esta tabla se puede observar que los resultados obtendos con el programa de cómputo NHDXY son comparables a aquellos de las solucones de referenca para los msmos problemas bencmark usando el programa NGFM. Esto, aunado a otras pruebas documentadas en [5,6], sugere que NHDXY puede ser usado para el cálculo del factor de multplcacón así como de la dstrbucón del flujo neutrónco tanto a nvel ensamble de combustble como a núcleo completo. Por lmtacones de espaco no se presentan los perfles undmensonales n las fguras D n D del flujo de neutrones que prepara el programa y que se vsualzan con MatLab. Partcularmente, la nmedata aplcacón de NHDXY sería en el núcleo del reactor nuclear de la Central Laguna Verde. Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca 6/8

17 Métodos Nodales Híbrdos en la Solucón de las Ecuacones de Dfusón en Geometría XY Tabla I. Resultados para k-efectva usando smetría ¼. D-LRA BWR (NGFM (malla x Malla NH(, NH(, NH(, NH(, NH(, NH(, NH(, x x D-Bbls PWR (NGFM.5 (malla 6x6 Malla NH(, NH(, NH(, NH(, NH(, NH(, NH(, x x D-LMFBR (NGFM.5699 (malla x Malla NH(, NH(, NH(, NH(, NH(, NH(, NH(, x x CONCLUSIONES Se an desarrollado y aplcado cnco nuevos esquemas nodales íbrdos que fueron ncorporados al programa de cómputo NHDXY. Los resultados de la comparacón con los resultados que proporcona la técnca Nodal de Funcones de Green es muy satsfactora. Un punto a favor de aquellos esquemas que no tenen parámetros de nterpolacón en el nteror de las celdas es que proporconan práctcamente los msmos resultados numércos que aquellos que sí los tenen obtenendo por tanto el msmo resultado en menos tempo. Por supuesto que abrá que realzar una valdacón del programa desarrollado con problemas de prueba más severos y más realstas y estudar la posbldad de extender a problemas D esta técnca utlzando técncas de reduccón de acoplamento entre parámetros como ya se ace en otros trabajos [8]. AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen al CONACyT el apoyo para desarrollar este trabajo bajo el contrato 86-U. REFERENCIAS. J. P. Hennart, E. Sanz, M. Vllegas, On te effcent use of te fnte element metod n statc neutron dffuson calculatons, Proc. Topl. Mtg. Computatonal Metods n Nuclear Engneerng, Wllamsburg, Vrgna, p..87, ANS (979.. J.P. Hennart, E. Malambu, E.H. Mund, E. del Valle, Effcent ger order nodal fnte element formulatons for neutron multgroup dffuson equatons, Nucl. Sc. Engng., 97- (996.. J. P. Hennart, E. del Valle, Mes-centered nodal fnte elements for ellptc problems, Num. Met. Part. Dff. Eqs., (, pp (998. Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca 7/8

18 Natvdad Hernández M., Gustavo Alonso V., Edmundo del Valle G.. J.J. Duderstadt and L. J. Hamlton, Nuclear Reactor Analyss, Jon Wley & Sons, New York ( Natvdad Hernández Mranda, Gustavo Alonso Vargas, Edmundo del Valle Gallegos, Desarrollo y valdacón del programa NHDXY para resolver las ecuacones de dfusón en multgrupos usando los esquemas nodales íbrdos B-Lneal, B- Cuadrátco y B-Cúbco, Memoras del XIII Congreso Anual de la Socedad Nuclear Mexcana/XX Reunón Anual de la Socedad Mexcana de Segurdad Radológca, Ixtapa-Zuatanejo, - Novembre (. 6. Natvdad Hernández Mranda, Smulacón Estátca en, y Dmensones de la Neutrónca de un BWR Usando Métodos Nodales, Tess de Maestría en Preparacón, ESFM-IPN. 7. R.D. Lawrence, A Nodal Green's Functon Metod for Multdmensonal Neutron Dffuson Calculatons, PD Tess, Unversty of Illnos at Urban Campagn, Urbana ( Arturo Delfín Loya, Gustavo Alonso Vargas, Edmundo del Valle Gallegos, Desarrollo y aplcacón de un esquema de tercer orden de dferencas fntas centradas en malla, Memoras del XIV Congreso Anual de la Socedad Nuclear Mexcana/XXI Reunón Anual de la Socedad Mexcana de Segurdad Radológca, Guadalajara, Jalsco, Méxco, - Septembre. (. Socedad Nuclear Mexcana/Socedad Mexcana de Segurdad Radológca 8/8