UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO COORDINACIÓN DE POSTGRADO EN INGENIERÍA QUÍMICA MAESTRIA EN INGENIERÍA QUÍMICA

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1 UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DECANAO DE ESUDIOS DE POSGRADO COORDINACIÓN DE POSGRADO EN INGENIERÍA QUÍMICA MAESRIA EN INGENIERÍA QUÍMICA APLICACIÓN DEL MÉODO POD PARA LA OBENCIÓN DE UN MODELO REDUCIDO DE RANSFERENCIA DE CALOR rabajo de Grado presentado a la Unversdad Smón Bolívar EVER ALONSO PALACIOS JAIMES Como requsto parcal para optar al grado académco de Magíster en Ingenería Químca Con la asesoría de los Profesores YAMILE SANCHEZ MONERO RAUL MANZANILLA FEBRERO

2 Unversdad Central de Venezuela

3 Dedco este trabajo a m madre fallecda Emelna James, m padre Carlos Palacos, m hermana Yaneth, m esposa Glora y ms hjas Adrana y Marcela

4 v AGRADECIMIENOS Le hago llegar ms más snceros agradecmentos a todas aquellas personas que de una forma u otra posbltaron que este trabajo se hcera realdad. Al profesor Ulses Lacoa fallecdo quen me ncó en el presente trabajo y a quen tuve el agrado de conocer. A ms tutores la profesora Yamlet Sánchez y el profesor Raúl Manzanlla por sus deas, su colaboracón y empeño en sacar adelante este trabajo. A la Unversdad Smón Bolívar sn su logístca no hubera sdo posble realzar los estudos. A m hermana Yaneth y a m madre fallecda quen con m padre han sdo una guía en m vda. A m esposa Glora y a ms hjas Adrana y Marcela por su soporte en todo momento.

5 v UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DECANAO DE ESUDIOS DE POSGRADO COORDINACIÓN DE POSGRADO EN INGENIERÍA QUÍMICA MAESRIA EN INGENIERÍA QUÍMICA APLICACIÓN DEL MÉODO POD PARA LA OBENCIÓN DE UN MODELO REDUCIDO DE RANSFERENCIA DE CALOR Por: Ever Alonso Palacos James Carnet No. : utor: Yamlet Sánchez y Raúl Manzanlla Septembre RESUMEN La ecuacón del calor es una mportante ecuacón dferencal en dervadas parcales, cuya solucón con los métodos tradconales de dscretzacón espacal resulta en un sstema de ecuacones dferencales ordnaras de gran escala. La complejdad o el número de ecuacones que se resuelven en cada paso de tempo, aumentan con los requermentos en la eacttud del modelo, es por ello, que se requere reducr el número de estados o grados de lbertad, y así reducr los requermentos computaconales. De allí, la necesdad de desarrollar técncas nuevas emergentes con la fnaldad de smplfcar la representacón de la solucón del problema. Se propone el uso de las llamadas funcones ortogonales propas (POD por su nombre en nglés Proper Orthogonal Decomposton ) combnadas con el método de proyeccón de Galerkn para la obtencón, a partr del conjunto orgnal de ecuacones en dervadas parcales, de representacones fntas de baja dmensonaldad. Para la generacón de los datos se utlza la técnca de smulacón numérca utlzando el paquete Matlab. Se desarrollan métodos genércos para reducr la alta dmensón (que resulta al dscretzar el sstema de EDPs) a no más de ecuacones, mantenendo el nvel de precsón, mentras que la smulacón se hace más rápda. Esta técnca se aplca al modelo de transferenca de calor por conduccón donde la dnámca de la varable temporal y espacal se aproma con un alto grado de efcenca. Palabras Claves: POD, smulacón de procesos, transferenca de calor por conduccón.

6 v ÍNDICE GENERAL APROBACIÓN DEL JURADO... DEDICAORIA v AGRADECIMIENOS v RESUMEN......v ÍNDICE GENERAL v ÍNDICE DE FIGURAS...v LISA DE ABREVIAURAS..... CAPÍULO I: INRODUCCIÓN GENERAL.... Planteamento del Problema... Antecedentes. 3.3 Justfcacón e Importanca Objetvos Objetvo General Objetvos Específcos Resumen por Capítulo... 7 CAPÍULO II: DESCRIPCIÓN DEL MODELO DE LA ECUACIÓN DEL CALOR Y MODELOS DISCREOS ASOCIADOS Modelo de la Ecuacón del Calor. Modelo de la Ecuacón del Calor Sem-dscreto Espacal...4 Pág... Dscretzacón espacal de la ecuacón del calor por el método de dferencas fntas Dscretzacón espacal de la ecuacón del calor por el método de los elementos fntos... 8

7 v CAPÍULO III: DESCRIPCIÓN DEL POD Y SU USO PARA OBENER EL MODELO REDUCIDO Descrpcón del Método POD Funcones de Base del POD Coefcentes del POD Asocados a las Funcones de Base Obtencón del Modelo de la Ecuacón del Calor Reducdo Obtencón del Modelo de la Ecuacón del Calor Sem-dscreto Reducdo Obtencón del Modelo Empírco de la Ecuacón del Calor Reducdo Estmacón del Error 4 CAPÍULO IV: APLICACIÓN DEL POD PARA LA OBENCIÓN DE UN MODELO REDUCIDO ASOCIADO A UN MODELO DE LA ECUACIÓN DEL CALOR SEMI- DISCREO Modelo de Conduccón del Calor en una Dmensón Aplcacón del POD para la Obtencón del Modelo Reducdo de la Ecuacón del Calor Sem-dscreto Modelo Empírco Reducdo Aplcacón del POD para la Obtencón de un Modelo Empírco Reducdo de ransferenca de Calor en una Dmensón Influenca de las Condcones de Frontera en el Modelo Reducdo Aplcacón del Método POD para la Obtencón del Modelo de la Ecuacón del Calor Reducdo en dos Dmensones 68 CAPÍULO V: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Conclusones Recomendacones 8 REFERENCIAS... 8 Aneo A. Requermentos Matemátcos A. Desvacón Estándar A. Varanza A.3 Covaranza A.4 Cálculo de la Matrz de Correlacón A.5 Valores y Vectores Propos... 9 A6. Funcones Ortogonales... 97

8 v A7. ransformacón Karhunen Loeve A.7. Formulacón Descrptva. 99 A.7. Formulacón Matemátca. A.8 Método de los Valores Sngulares... 4 ANEXO B. Aplcacón del POD para el Procesamento de Imágenes... 9 ANEXO C. Programas en Matlab... 6 C. Programa PODeg... 6 C. Programa PODsvd... 7 C.3 Programa PDEDIM... 9 C.4 Programa En... C.5 Programa PODFEM... 3 C.6 Programa POD_analtca... 6 C.7 Programa Procesam_Imag C.8 Programa Procesam_lenna C. Programa Cavdadanmacon... 4 C. Programa pdeglobal... 43

9 INDICE DE FIGURAS Fgura. Esquema de dscretzacón espacal de una barra Fgura. Esquema de dscretzacón espacal de una barra, para K puntos en la malla... 5 Fgura. 3 Funcones de Base... 9 Fgura 3. Solucón para cuando la barra se calenta en el etremo zquerdo Fgura 3. Patrón prncpal de la dstrbucón de la temperatura cuando la barra se calenta en el etremo zquerdo Fgura 3. 3 Proyeccón de Galerkn Fgura 4. Solucón utlzando MEF con grados de lbertad y la solucón analítca Fgura 4. Solucón Analítca y POD ( a Funcón Ortogonal Propa) Fgura 4. 3 Dferentes solucones obtendas utlzando: El Método de los Elementos Fntos con nodos, la Solucón Analítca y POD (Empírco y Galerkn)... 5 Fgura 4. 4 Dferentes solucones obtendas utlzando: El Método de los Elementos Fntos con 4 nodos, la Solucón Analítca y POD (Empírco y Galerkn) Fgura 4. 5 Error Absoluto entre el Modelo Reducdo con grado lbertad y la solucón analítca. Con puntos en la malla Fgura 4. 6 Error Absoluto entre el Modelo Reducdo con grado lbertad y la solucón analítca. Con 4 puntos en la malla Fgura 4. 7 Snapshots de temperatura cuando se calenta la barra en el lado zquerdo, en 3D Fgura 4. 8 Snapshots de temperatura, cuando se calenta la barra en el lado zquerdo, en D

10 Fgura 4. 9 Espectro de los valores propos de los snapshots Fgura 4. Espectro de los valores propos. Valores propos (n) vs. -E n Fgura 4. Representacón del Modelo, con las prmeras Funcones de Base del POD Fgura 4. Modelo Reducdo y el Modelo Orgnal para un paso de tempo k= Fgura 4. 3 Error absoluto en 3D Fgura 4. 4 Solucón para cuando la barra se calenta en el etremo zquerdo Fgura 4. 5 Espectro de valores propos. La barra se calenta en el etremo zquerdo... 6 Fgura 4. 6 Solucón con 7 POD, para cuando la barra se calenta en el etremo zquerdo Fgura 4. 7 Solucón para cuando la barra se calenta en el etremo derecho Fgura 4. 8 Espectro de valores propos. La barra se calenta en el etremo derecho Fgura 4. 9 Solucón con 7 POD, para cuando la barra se calenta en el etremo derecho Fgura 4. Solucón para cuando la barra se calenta en el centro Fgura 4. Espectro de valores propos. La barra se calenta en el centro Fgura 4. Solucón con 8 POD, para cuando la barra se calenta en el centro Fgura 4. 3 Solucón para cuando la barra se calenta en el etremo zquerdo, en el centro y el etremo derecho Fgura 4. 4 Espectro de valores propos para los casos, y Fgura 4. 5 Solucón con 8 POD, para los casos, y Fgura 4. 6 Error absoluto entre modelo orgnal y la solucón con 8 POD, para los casos, y Fgura 4. 7 Solucón utlzando el MEF y POD 8, para dferentes pasos de tempo Fgura 4. 8 Placa sometda a una temperatura constante en un lado y en el lado opuesto rodeado por are Fgura 4. 9 Malla trangular con 34 y 486 grados de lbertad.... 7

11 Fgura 4. 3 El domno y la malla trangular para un tempo de 5 segundos con pasos de tempo y 844 grados de lbertad Fgura 4. 3 Solucón por el método de los elementos fntos. Gráfca en 3D y en D Fgura 4. 3 Espectro de valores propos Fgura Prmero y segundo POD Fgura ercero y cuarto POD Fgura Qunto POD, a la zquerda y a la derecha, la solucón en 5 s Fgura A. Relacón entre la matrz de varanza-covaranza y la matrz de correlacón Fgura A. ransformacón de vectores Fgura A. 3 ransformacón de vectores Fgura A. 4 Varanza-covaranza Fgura A. 5 Cambo de coordenadas utlzando la meda y proyeccón de dos componentes prncpales.... Fgura A. 6 Comparacón entre el método POD y ACP Fgura B. Imagen de un Mandrl en RGB. (Referenca) 9 Fgura B. Imagen de un Mandrl en escala de grses.... Fgura B. 3 Espectro de los valores propos.... Fgura B. 4 Procesamento de la magen utlzando el metodo POD... Fgura B. 5 Izquerda: magen orgnal de Lenna en RGB. Derecha: magen orgnal de Lenna en escala de grses Fgura B. 6 Espectro de los valores propos Fgura B. 7 Resultados del método POD en escala de grses Fgura B. 8 Reconstruccón de la magen por el método POD en escala de grses.... 4

12 LISA DE SÍMBOLOS Y ABREVIAURAS λ φ α Matrz dagonal con los valores propos formada de la matrz C Valor propo Matrz con los elementos bases del POD Funcones de base ortogonales Vector de coefcentes del POD n Conjunto de funcones de base C Matrz de correlacón Vector de varables en el cálculo del modelo orgnal n Varable de apromacón del modelo orgnal snap Conjunto de snapshots u Vector de varable de entrada y Vector de salda de nterés z Vector de estado k Pasos de tempo K Número de puntos de la malla n Número de elementos bases del POD en el modelo reducdo Localzacón espacal κ Conductvdad térmca [w/mk] μ Vscosdad [Ns/m] ρ Densdad [kg/m3] Cp Capacdad calorífca específca [J/kgK] En Energía, relacón de valores propos DKL Descomposcón Karhunen- Loéve LI empo lneal nvarante LV empo lneal varante

13 MCP Modelo de control predctvo SMEM Sstema mcro-electro-mecánco ACP Análss de componentes prncpales EDO Ecuacón dferencal ordnaras EDP Ecuacón dferencal parcal POD Funcones ortogonales propas DVS Descomposcón de valores sngulares MEF Método de los elementos fntos MOR Modelo de orden reducdo BDS Esquema en dferencas haca atrás FDS Esquema en dferencas haca delante

14 CAPÍULO I INRODUCCIÓN GENERAL La ecuacón del calor es una mportante ecuacón dferencal en dervadas parcales (EDPs) de tpo parabólco, que descrbe la dstrbucón del calor (o varacones de la temperatura) en una regón en el transcurso del tempo. Es de una mportanca fundamental en numerosos y dversos campos de la cenca. Cuando en la ecuacón del calor se mantene la varable temporal contnua y se dscretza la varable espacal, el problema se reduce a un sstema de ecuacones dferencales ordnaras, de dmensón gual al número de nodos espacales que tenga el mallado utlzado en la dscretzacón espacal. Al refnar la malla se obtene solucones confables, pero el preco es un aumento en el número de grados de lbertad, lo que conlleva a tempos de cómputo mayor y altos requermentos de almacenamento. En este estudo, se obtendrán modelos de orden reducdo, es decr; modelos con un número menor de ecuacones que la del modelo orgnal. Los modelos reducdos permten representacones rentables de los sstemas a gran escala, que resultan de la dscretzacón de las EDPs. Entre los métodos para obtener modelos reducdos está el método de las funcones ortogonales propas (POD) [], el de truncamento balanceado [] y el de subespaco de Krylov [3], los cuales se han aplcado en dferentes áreas con éto. El modelo reducdo es útl, en el caso en donde el proceso físco debe ser smulado reteradamente, ya que, proporcona una representacón del sstema con una buena precsón y bajo costo computaconal.

15 En partcular, el método POD, se aplca prncpalmente en aquellos sstemas en los que se tene un gran número de datos. Los sstemas de transferenca de calor representan un buen ejemplo de aquellos en los cuales se posee una etensa data que oblga a un alto gasto computaconal, ya que están asocado a sstemas dscretos de alta dmensón.. Planteamento del Problema S el modelo orgnal es gobernado por ecuacones dferencales parcales, como es el caso del modelo de la ecuacón del calor, la solucón numérca de la EDP, será tanto más precsa, cuanto mayor sea el número de elementos que se utlce para dscretzar el domno. Consecuentemente, se obtene un número mayor de ecuacones que necestan ser resueltas smultáneamente en poco tempo. El número de ecuacones que se deben resolver en cada paso de tempo en la resolucón de un modelo aumenta con los requermentos en la eacttud. Por lo tanto, se consdera mportante el desarrollo de técncas de reduccón, esto es reducr el número de varables de estado o grados de lbertad del modelo. En base a lo anteror, la motvacón del presente trabajo es desarrollar una metodología, utlzando el método POD para obtener modelos dnámcos de baja dmensón en el caso partcular de la ecuacón del calor. Esto es, el desarrollo de un modelo más sencllo, dado un modelo dscretzado de las ecuacones dferencales parcales y que cumpla con las prncpales característcas como es: mantener el nvel de precsón, obtener una smulacón más rápda y un número nferor de ecuacones que el modelo orgnal.

16 3. Antecedentes Las funcones ortogonales propas (en nglés, Proper Orthogonal Decomposton, POD), es un procedmento usado en varas dscplnas como en mecánca de fludos [4], procesamento de mágenes [5], compresón de datos [6], para la dentfcacón y control en Ingenería Químca [7], oceanografía [8], en el conteto de turbulenca [9]. El uso del método POD como una técnca para reducr modelos es recente y de la revsón bblográfca efectuada, no se encontró nformacón relevante de la aplcacón del método POD, en el área de transferenca de calor. Se presenta a contnuacón algunas nvestgacones realzadas con el método POD, el cual, junto con otros estudos nos permtrá etraer la metodología que será utlzada para el presente trabajo. Para flujos turbulentos este un modelo matemátco que es la ecuacón de Naver Stokes, el cual, es un conjunto de ecuacones dferencales parcales no lneales dfícles de resolver, ecepto con las smulacones numércas, que proporconan apromacones útles. Esten tres desarrollos que ofrecen nuevas espectatvas, los cuales fueron ntroducdos por Holmes [] en 996. Estos son en prmer lugar, el descubrmento por especalstas de estructuras coherentes en certos flujos turbulentos. En segundo lugar, la dea de los atractores etraños y otras deas de la teoría de sstemas dnámcos de dmensón fnta, que pueden desempeñar un papel mportante en el análss de las ecuacones gobernantes. Y fnalmente, la ntroduccón de la descomposcón Karhunen-Loéve o proper orthogonal decomposton (POD). En el año Chatterjee [], utlza el método POD para el procesamento de datos de alta dmensón, obtenendo descrpcones de baja dmensón y capturando muchos fenómenos de nterés. En la nvestgacón realzada por García [] en el en el control de reactores, se aplca los métodos tradconales para la solucón de sstemas de parámetros dstrbudos (SPD), por el método de los elementos fntos (MEF) y dferencas fntas (MDF), que se basan en

17 4 esquemas de dscretzacón espacal, apromando el conjunto orgnal de EDPs por un conjunto de ecuacones algebracas y o ecuacones en dervadas ordnaras (EDOs), dependendo, s las EDPs orgnales son estátcas o dnámcas. La solucón del sstema resultante, sn embargo, mplca gran esfuerzo computaconal condconando así la efcaca de los algortmos de optmzacón dnámca. Dependendo de la matrz de núcleo R se consderan dos métodos dferentes: Descomposcón espectral donde el núcleo R es una funcón Green, asocada con el operador espacal y POD, donde el núcleo R es una matrz de correlacón punto a punto construda a partr de los datos empírcos. Una característca clave de los sstemas de parámetros dstrbudos es su naturaleza dspatvas, de forma que cualquer punto del domno del sstema evoluconará a un hperplano de baja dmensón donde permanecerá, lo que permte la etraccón de un nvarante dnámco que captura el comportamento dnámco del sstema. De esta forma la solucón puede apromarse como una epansón truncada. Con el fn de valorar la capacdad predctva del modelo del orden reducdo (reduccón del orden se refere dentro de este conteto, a reducr los grados de lbertad), se utlzó el método de los elementos fntos para la smulacón de la dnámca del reactor y los resultados obtendos se comparan con los predchos por el modelo de orden reducdo. En el trabajo realzado por Lang [3] en el año 3, utlza el método POD para la reduccón del modelo en los sstemas mcro electromecáncos (SMEM). Propone un modelo basado en red neural y en el análss de componentes prncpales (ACP) con el procedmento de Galerkn, para la smulacón dnámca y el análss de SMEM no lneales. En este método no es necesaro calcular la matrz de correlacón con antelacón y utlza pocas funcones de la base, ofrecendo ventajas potencales cuando los datos meddos son muy grandes. En el msmo año, Rothmans [4] nvestga algunas propedades báscas del método POD y utlza el método en la compresón de datos y la reduccón de modelos en ecuacones dferencales ordnaras no lneales. Además, proporcona un análss del error obtendo al apromar la solucón de un problema de valor ncal EDO no lneal, medante un modelo POD de orden reducdo. ambén, para el msmo año Caafa [5], presenta la teoría de Egenfaces, conocda como análss de componentes prncpales o Epansón de Karhunen-Loéve, aplcada a la

18 5 dentfcacón de ejemplares marnos a través de sus fotografías. El presenta la formulacón matemátca que sustenta el método sobre el cual se ha desarrollado el programa. Se presenta además, un conjunto de resultados epermentales que muestran la efectvdad de la técnca. En el trabajo realzado en el 5 por Hnze y Volkwen [5], se estuda los problemas de control óptmo asocadas a EDPs. Se propone la técnca de modelos reducdos, utlzando el método de Galerkn, donde el subespaco esta formado por funcones de base que contenen característcas de la solucón esperada, esto en contraste con la técnca de los elementos fntos donde los elementos del subespaco no presentan correlacón con las propedades físcas del sstema. Para estos casos la técnca POD provee un método de obtencón de modelos de bajo orden. Entre otros estudos realzados con el método POD, se tene la nvestgacón realzada por Vaslyev [6] en el 5, sobre los modelos de orden reducdo, como una rama de la teoría de control, donde estuda la reduccón de la complejdad de sstemas dnámcos, preservando al msmo tempo, en la medda de lo posble, su comportamento entradasalda. Además, se analzan los dspostvos cuya descrpcón es a través de EDPs, que por lo general, consta de un sstema de gran escala, evdentemente redundante para representar algunas propedades de nterés..3 Justfcacón e Importanca El gran avance tecnológco de las últmas décadas ha ncrementado la necesdad de smular numércamente fenómenos físcos asocados a aplcacones concretas en: mcro-mecánca, dnámca de fludos, mcro-electrónca, entre otros. Por ejemplo, la contnua mnaturzacón de los sstemas electróncos se ha traducdo en un espectacular aumento de la cantdad de calor generado por undad de volumen, comparable en magntud a los encontrados en los reactores nucleares y en la superfce del sol [7]. De allí, que el estudo del comportamento térmco se vuelve cada vez más mpotante. La mayoría de modelos

19 6 matemátcos que descrben estos fenómenos comparten la característca de que su dmensón es muy grande. Por lo tanto, es necesaro el estudo de herramentas de computacón centífcas que permtan smular estos procesos que desembocan en un sstema dnámco de gran escala. Concretamente, aplcacones de técncas de reduccón de modelos que eplotan la estructura del problema, permtendo así, reduccón del costo computaconal y del almacenamento..4 Objetvos Para el presente trabajo se platea como objetvo general y como objetvos específcos los sguentes:.4. Objetvo General Aplcar el método POD para obtener modelos transtoros de baja dmensón relatvos a la ecuacón del calor. Esto es, desarrollar un modelo más sencllo, dado un modelo dscretzado de las ecuacones dferencales parcales..4. Objetvos Específcos Estudar y aplcar la técnca del método POD, especalmente en la estratega del modelado. Desarrollar una metodología para la mplementacón del método POD en la resolucón de EDPs relatvas a la ecuacón del calor.

20 7 Proponer un modelo numérco de reduccón del orden para transferenca de calor por conduccón empleando el método POD. Desarrollar los programas en MALAB, para la smulacón del modelo, para efecto de su valdacón. Evaluar la capacdad del método POD para modelar la transferenca de calor por conduccón y comparar los resultados con los obtendos con el modelo orgnal..5 Resumen por Capítulo El trabajo se organza en 5 capítulos y una breve descrpcón de cada capítulo se da a contnuacón: Capítulo II: En este capítulo se hace una descrpcón del modelo de transferenca de calor, así como la del modelo sem-dscreto. Capítulo III: Este capítulo nca con una descrpcón del método POD. Posterormente, se descrbe cómo se calcula las funcones de base del POD utlzando el método de Snapshots. El capítulo concluye con la descrpcón de cómo el método POD y la proyeccón de Galerkn se utlza para calcular el modelo reducdo en funcón de los coefcentes del POD.

21 8 Capítulo IV: En este capítulo se aplca el método POD a modelos basados en EDP dscretzadas por el método de dferencas fntas y de los elementos fntos. Posterormente, el modelo de conduccón del calor en una dmensón es reducdo, se valda el método con ejemplos detallados y por últmo se etende la aplcacón del método POD a conduccón del calor en dmensones, se muestran los resultados del método con un ejemplo de una placa con una cavdad. Capítulo V: Se presentan las conclusones y recomendacones para trabajos futuros. Fnalmente, en el aneo se encuentran algunos conceptos matemátcos útles para la comprensón del método POD, se hace una corta descrpcón del método DKL, DVS, las dferencas entre el método POD y ACP. Adconalmente, se presentan los dferentes programas realzados en Matlab.

22 9 CAPÍULO II DESCRIPCIÓN DEL MODELO DE LA ECUACIÓN DEL CALOR Y MODELOS DISCREOS ASOCIADOS La forma en que las EDPs se presentan habtualmente en la modelzacón de fenómenos de la Cenca y ecnología es precsamente la de modelos de evolucón o transtoros, en los que se descrbe la dnámca a lo largo del tempo de determnada cantdad o varable (tambén a veces denomnada estado) [8]. En la teoría clásca de EDP estas se clasfcan en tres grandes grupos: elíptcas, parabólcas e hperbólcas. En el modelo elíptco, la varable tempo está ausente. Es por eso, que sólo permte descrbr estados estaconaros o de equlbro. Las ecuacones parabólcas y las hperbólcas, representadas respectvamente por la ecuacón del calor y la de ondas, son los modelos cláscos en el conteto de las EDPs de evolucón. Sus característcas matemátcas son ben dstntas, mentras que la ecuacón del calor permte descrbr fenómenos altamente rreversbles en tempo en los que la nformacón se propaga a velocdad nfnta, la ecuacón de ondas es el prototpo de modelo de propagacón a velocdad fnta y completamente reversble en tempo. Deduccones de esta y otras propedades de la ecuacón del calor se encuentran en los trabajos realzados por E. Zuzua [9] del 7 y se confrma en los ejemplos que se presentan en este trabajo, donde la dstrbucón de temperatura se alcanza rápdamente.

23 Frecuentemente, los modelos son más sofstcados que una smple ecuacón aslada. Se trata a menudo de sstemas acoplados de EDPs en los que es habtual encontrar tanto componentes parabólcos como hperbólcos. Por todo ello es natural e mportante entender todos los aspectos matemátcos fundamentales de estas dos pezas claves: la ecuacón del calor y la de ondas. Evdentemente, esto es tambén certo desde el punto de vsta del Análss y del Cálculo Numérco [9].. Modelo de la Ecuacón del Calor La forma general, de la ecuacón de dfusón del calor en coordenadas cartesanas en 3D es: c p t ( ) ( ) ( ) q y y z z (.) Esta ecuacón, es normalmente conocda como la ecuacón del calor, proporcona la herramenta básca para el análss de conduccón de calor. De su solucón se obtene la dstrbucón de temperatura ( t,, y, z) como funcón del tempo. La ecuacón del calor establece que en cualquer punto dentro del medo, la rapdez de cambo de la energía térmca almacenada dentro del volumen debe ser gual a la rapdez de transferenca de energía por conduccón más la rapdez de generacón volumétrca de energía térmca ( q ). A menudo es posble trabajar con versones smplfcadas de la ecuacón (.). Por ejemplo, s la conductvdad térmca es constante, la ecuacón del calor se epresa como donde, c p t y es la dfusvdad térmca. z q (.) Para sstemas en coordenadas cartesanas, el operador de Laplace es

24 y z (.3) Luego, la ecuacón de calor (.) se escrbe como: t q (.4) Para el caso de la ecuacón del calor undmensonal, donde q,, se tene la ecuacón: t t (.5) Con frecuenca son posbles smplfcacones adconales de la forma general de la ecuacón del calor. Por ejemplo, s se consdera ahora el problema del calor en un domno acotado del plano. En esta ocasón, con el objeto de descrbr completamenete el proceso físco no basta con tener sólo la ecuacón dferencal que rge el proceso, hace falta plantear el estado ncal y el régmen en la frontera de la regón donde tene lugar el proceso. Se dstnguen tres tpos prncpales de condcones de frontera: Especfcar la funcón en la frontera del domno. Se conoce como condcón tpo Drchlet. Por ejemplo, una stuacón en que la frontera del domno de trabajo se mantene a una temperatura fja, las condcones de frontera = en, ndcan que las paredes del domno se mantenen a temperatura constante. Especfcar la dervada de la funcón en la frontera del domno. Se conoce como condcón del tpo Neumann. Corresponde a la estenca de un flujo de calor en la frontera del domno de trabajo. En RI 3, este flujo de calor se relacona con el gradente de temperatura, un caso especal de esta condcón corresponde a la stuacón donde es una superfce perfectamente aslada, o adabátca, y en consecuenca el domno está

25 completamente aslado de su entorno y por lo tanto, se mpondrán condcones de flujo nulo y se epresa como: n en (, ) (.6) donde, denota el operador dervada normal y n es el vector normal eteror untaro a n que varía en funcón de la geometría del domno al varar el punto, se trata de una dervada drecconal, de modo que n n (.7) Especfcar la funcón y su dervada en la frontera del domno. Se conoce como condcón de tpo Robn (o mta). Corresponde a la estenca de calentamento o enframento por conveccón en la superfce, que se epresa como H[ (, t)] (.8) Donde, H es el coefcente de transporte de calor, característco del materal sóldo y es un valor conocdo (dato el problema) de la temperatura ambente alrededor del sstema. S se consdera por ejemplo, el sstema en una dmensón espacal con condcones de frontera de Drchlet t (, t) (, t) (,) ( ) I, t. t (.9) Es conocdo [6], que en general en este caso la solucón no sempre es fácl de obtener eplíctamente y son dversos los métodos dsponbles para su solucón. Por lo tanto, es

26 3 necesaro proceder al desarrollo de métodos numércos para la resolucón de la ecuacón del calor en el caso general. Entre las formas más dfunddas para el desarrollo de métodos numércos para la resolucón de la ecuacón del calor, se pueden menconar: a) Dscretzar smultáneamente las varables de espaco y de tempo. De este modo pasamos drectamente de la EDP de evolucón a un sstema puramente dscreto, es lo que se denomna una dscretzacón completa. b) Mantener la varable temporal contnua y dscretzar la varable espacal. En este caso se trata de una sem-dscretzacón espacal y el problema se reduce a un sstema de ecuacones dferencales ordnaras de dmensón gual al número de nodos espacales que tenga el mallado utlzado en la dscretzacón espacal. Estos métodos se conocen tambén como métodos de líneas. c) Mantener la varable espacal contnua y dscretzar el tempo. Se trata en este caso de una sem-dscretzacón temporal. El sstema se reduce a la resolucón terada, dscretamente en tempo, de ecuacones de Laplace. La prmera opcón puede presentar problemas de establdad y convergenca. La tercera forma presenta nconvenentes smlares [9]. En consecuenca, la segunda forma es la más adecuada a nuestro problema, ya que: cuando se realza la dscretzacón espacal se aproma el conjunto orgnal de EDP por un sstema de EDOs y medante el uso de programas comercales (Matlab, por ejemplo) que están equpados de rutnas de resolucón de sstema de EDOs se pueden obtener con facldad apromacones numércas de las solucones de dcho sstema de EDOs y por consguente de la EDP, lo cual supone sn duda una razón mportante para proceder a realzar la sem-dscretzacón espacal. En este trabajo, se desarrollará el modelo sem-dscreto para la ecuacón del calor, utlzando el método de dferencas fntas y el de los elementos fntos, sguendo una semdscretzacón espacal.

27 4. Modelo de la Ecuacón del Calor Sem-dscreto Espacal Para el desarrollo de este modelo sem-dscreto espacal, se mantendrá la varable temporal contnua y se dscretzará la varable espacal, este modelo tambén es llamado Espaco de Estado. Entrada Calor X a Fgura. Esquema de dscretzacón espacal de una barra. b El sstema en estudo es una barra (ver Fg..), que se encuentra sometda a un flujo de calor u(t) bajo la nfluenca de la dstrbucón espacal h() y en uno de sus etremos se encuentra aslado mentras que en el otro etremo se mantene a C. Las consderacones físcas anterores conducen a la EDP: C p (, t) (, t) h( ) u( t) t ( a, t) ( b, t) (,) ( ) I a b a b, t t a b t (.) 3 donde, es la densdad del materal en kg / m, C p es la capacdad calorífca en J / kgk y es la conductvdad térmca en W / mk, t es el tempo en s, es la coordenada espacal en m y u(t) es la fuente de calor aplcada a la barra en la poscón defnda a

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