Comportamiento asintótico del núcleo asociado a polinomios ortogonales en varias variables. Wilmer Merardo Gómez Blanco Código:

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1 Comportamento asntótco del núcleo asocado a polnomos ortogonales en varas varables Wlmer Merardo Gómez Blanco Códgo: Unversdad Naconal de Colomba Facultad de Cencas Departamento de Matemátcas Bogotá, D.C. Mayo de 2014

2 Comportamento asntótco del núcleo asocado a polnomos ortogonales en varas varables Wlmer Merardo Gómez Blanco Códgo: Trabajo de grado presentado como requsto parcal para optar al título de: Magíster en Cencas Matemátcas Drector Ph.D. Herbert Alonso Dueñas Ruz Línea de nvestgacón Polnomos Ortogonales Unversdad Naconal de Colomba Facultad de Cencas Departamento de Matemátcas Bogotá, D.C. Mayo de 2014

3 Resumen: Se estuda un producto nterno tpo Sobolev para polnomos ortogonales en varas varables. Se analza el comportamento asntótco de las funcones núcleo asocadas a los polnomos ortogonales tpo Sobolev sobre la bola undad en d varables, evaluando en puntos como el orgen y puntos con norma 1. Abstract: We study a Sobolev type nner product for orthogonal polynomals n several varables. We analyze the asymptotc behavor of the kernel functons assocated wth Sobolev type orthogonal polynomals on the unt ball n d varables, evaluated n ponts as the orgn and ponts wth norm 1. Palabras clave: Polnomos ortogonales en varas varables. Producto nterno tpo Sobolev. Funcones núcleo. Comportamento asntótco.. Keywords: Orthogonal polynomals n several varables. Sobolev-type nner product. Kernel functons. Asymptotc behavor.

4 Agradecmentos Agradezco en especal al Ph.D. Herbert Alonso Dueñas Ruz, drector de este trabajo, por su asesoría, pacenca y gran colaboracón en el dearrollo del trabajo. Agradezco al profesor Lus Alfonso Salcedo Plazas, por su colaboracón para hacer posble la realzacón de los estudos de Maestría. Agradezco a los profesores Hector Súarez y Veronca Cfuentes, quenes desde un prncpo me apoyaron en la realzacón de los estudos de Maestría.

5 Índce general Índce general Índce de tablas Introduccón II IV V 1. Polnomos ortogonales en la recta real Funcón gamma Funconales de momentos Polnomos ortogonales Polnomos ortogonales cláscos Polnomos ortogonales de Jacob Polnomos ortogonales de Laguerre Polnomos ortogonales de Hermte Productos nternos estándar y tpo Sobolev Polnomos ortogonales en varas varables Prelmnares Funconales de momentos y polnomos ortogonales Sstema de polnomos ortogonales Relacón de recurrenca a tres térmnos Funcones núcleo Ceros comunes Producto nterno tpo Sobolev de orden superor gradente Operador gradente y funcones núcleo Producto nterno tpo Sobolev de orden superor II

6 ÍNDICE GENERAL III 3.3. Un ejemplo: La bola undad en R d La funcón núcleo K 2,2 n 0, y y = La funcón núcleo K 2,2 n x x =1, y y = Dos teoremas mportantes Problemas abertos 53 Bblografía 55

7 Índce de tablas 1.1. Ecuacón dferencal hpergeométrca Fórmula de Rodrgues IV

8 Introduccón En los últmos años se le ha brndado especal atencón a las clases de polnomos ortogonales no estándar, dentro de los que encontramos los polnomos ortogonales tpo Sobolev, los cuales están asocados con productos nternos defndos sobre el espaco lneal de los polnomos con coefcentes reales. Estos productos nternos son de la forma: p, q = p, q σ + = E j λ p ξq ξ =0 pxqxdσx + j λ p ξq ξ, 1 donde E R, j N. ξ R, λ R + y σ es en general una medda postva, aunque se ha prestado especal atencón a las meddas correspondentes a los polnomos cláscos Jacob, Laguerre, Hermte. Las característcas no estándar de esta clase de productos nternos radca en la presenca de dervadas y que el operador asocado a la multplcacón por x, no es smétrco, es decr: para cualquer par de polnomos p y q. =0 xp, q p, xq, Los polnomos asocados al producto nterno 1, se denomnan polnomos ortogonales tpo Sobolev o polnomos perturbados y los polnomos ortogonales asocados al producto nterno p, q σ se denomnan polnomos orgnales. Nosotros estudamos un caso partcular del producto nterno 1, para polnomos ortogonales en varas varables. Al gual que en 10, las dervadas son remplazadas por un operador gradente de orden j; a partr de allí, se busca una expresón para los polnomos perturbados en térmnos de los polnomos orgnales y una expresón para las funcones núcleo asocadas a los polnomos perturbados en térmnos de las funcones núcleo asocadas a los polnomos orgnales. Además, se realza un análss del comportamento asntótco de las funcones núcleo asocadas tanto a los polnomos orgnales como a los perturbados. En 10, los autores analzan el comportamento asntótco de las funcones núcleo, asocadas a los polnomos ortogonales orgnales y perturbados para una eleccón en partcular de medda σ R d en los puntos x = 0 = 0, 0,..., 0 y y = 0 = 0, 0,..., 0 de la bola undad en d varables, para lo cual obtenen expresones de las funcones núcleo V

9 INTRODUCCIÓN VI y sus dervadas hasta de cuarto orden, lo cual es una contnuacón del trabajo realzado en 8. El presente trabajo pretende contnuar con este caso partcular de una eleccón de medda σ, pero realzar el análss del comportamento asntótco no úncamente en los puntos x = 0 y y = 0, sno amplar el análss evaluando en cualquer punto de la bola undad en d varables que tengan norma 1.

10 CAPÍTULO 1 Polnomos ortogonales en la recta real En este capítulo presentamos las defncones y propedades más relevantes de polnomos ortogonales en una varable, las cuales servrán de herramenta fundamental para el estudo de polnomos ortogonales en varas varables. Además, se dan a conocer los polnomos ortogonales cláscos, en partcular los polnomos de Jacob que serán empleados en el capítulo 3. Las demostracones de los teoremas 1.1 al 1.11 se pueden consultar en 6 o Funcón gamma La funcón gamma denotada por Γx, emplea la ntegral para generalzar la funcón factoral de los números enteros no negatvos a otros valores reales. Una manera de defnr la funcón gamma para cualquer real postvo es: Γx = 0 t x e t dt, x > 0. Una de las propedades más mportantes de la funcón gamma es la fórmula de recurrenca: Γx + 1 = xγx, x > 0, 1.1 la cual se obtene al aplcar ntegracón por partes en la defncón dada. A partr de la fórmula de recurrenca se pueden deducr las sguentes propedades: Dado n un entero no negatvo, Γn + 1 = n!, n k = Γn + 1 Γk + 1Γn k

11 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 2 Para el estudo de propedades de la funcón gamma, entre ellas, las que tenen que ver con su comportamento asntótco, se emplea la fórmula de Strlng ver 5: Γn + k Γn + 1 = nk 1 + On, n Funconales de momentos Sean {µ n } n 0 una sucesón de números reales y L un funconal lneal en el espaco P de los polnomos con coefcentes reales, tal que: L x n = µ n, n = 0, 1, 2,... L se denomna un funconal de momentos asocado a la sucesón de momentos {µ n } n 0. Además, el número µ n se denomna el momento de orden n del funconal lneal L. S φx = n c k x k, k=0 es un polnomo con coefcentes reales, entonces L φx = n c k µ k. k= Polnomos ortogonales Una sucesón de polnomos {P n x} n 0 se denomna una sucesón de polnomos ortogonales SPO respecto a un funconal de momentos L, s para cualquer par de números naturales n y m se cumple: 1. El grado de P n x es n, 2. L P n xp m x = R n δ mn, R n 0, donde δ mn es la funcón delta de Kronecker defnda por: { 0 s m n δ mn = 1 s m = n. S {P n x} n 0 es una SPO respecto a un funconal de momentos L y además L P n xp n x = L Pnx 2 = 1 para todo n 0, entonces se dce que {P n x} n 0 es una sucesón de polnomos ortonormales. Sempre que se tenga una SPO {P n x} n 0, ésta se puede normalzar y obtener una sucesón de polnomos ortonormales multplcando por una constante adecuada cada polnomo de la SPO, así:

12 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 3 Q n x = { L P 2 nx } /2 Pn x, donde {Q n x} n 0 es la sucesón de polnomos ortonormales correspondentes a la SPO {P n x} n 0. S el coefcente prncpal de cada P n x es 1, se dce que {P n x} n 0 es una sucesón de polnomos ortogonales móncos SPOM. Sempre que se tenga una SPO exste la correspondente SPOM, basta con multplcar cada polnomo por el nverso de su coefcente prncpal, así: P n x = kn P n x, { } donde k n es el coefcente prncpal del polnomo P n x. Pn x es la SPOM correspondente a la SPO {P n x} n 0. n 0 Teorema 1.1. Dados L un funconal de momentos y {P n x} n 0 una sucesón de polnomos. Las sguentes proposcones son equvalentes: 1. {P n x} n 0 es una SPO con respecto a L, 2. Dado φx un polnomo cualquera de grado m, { 0 s m < n L φxp n x = a n 0 s m = n, 3. L x m P n x = R n δ mn, R n 0, m = 0, 1,..., n. El Teorema 1.1 ndca que para verfcar s una sucesón de polnomos {P n x} n 0 es una SPO, no se necesta verfcar las dos condcones de la defncón orgnal de SPO con todos los P n x de la sucesón; es sufcente mrar la ortogonaldad de cada polnomo P n x de la sucesón con respecto a los monomos {1, x, x 2, x 3,..., x n }. Teorema 1.2. Sea {P n x} n 0 una SPO respecto a L. Entonces para cada polnomo φx de grado n, φx esta dado por: φx = n c k P k x, k=0 donde c k = L φxp kx L Pk 2, k = 0, 1, 2,...n. x El Teorema 1.2 determna que cualquer SPO es una base para el espaco P de los polnomos con coefcentes reales. Teorema 1.3. Salvo constantes, una SPO {P n x} n 0 es únca. Es decr, dada una SPO {P n x} n 0 respecto a L, s {Q n x} n 0 es tambén una SPO respecto a L, entonces exste c n 0 tal que: Q n x = c n P n x, n = 0, 1, 2,...

13 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 4 Para determnar condcones de exstenca de una SPO, tomamos la matrz de Hankel que está defnda medante: H = µ 0 µ 1 µ 2 µ n µ 1 µ 2 µ 3 µ n+1 µ 2 µ 3 µ 4 µ n µ n µ n+1 µ n+2 µ 2n Un funconal de momentos L se denomna cuas-defndo o regular s y solo s n 0 para n 0, donde n = deth n es el determnante de orden n + 1 de la submatrz prncpal de Hankel de orden n + 1: n = detµ +j n,j=0 =. µ 0 µ 1 µ 2 µ n µ 1 µ 2 µ 3 µ n+1 µ 2 µ 3 µ 4 µ n µ n µ n+1 µ n+2 µ 2n El sguente teorema determna condcones necesaras y sufcentes para la exstenca de una SPO {P n x} n 0 respecto a un funconal de momentos L asocado a {µ n } n 0.. Teorema 1.4. Una condcón necesara y sufcente para la exstenca de una SPO con respecto a un funconal de momentos L asocado a {µ n } n 0 es que L sea regular. Teorema 1.5. Sea {P n x} n 0 una SPO respecto a L. Entonces para todo polnomo φ n x de grado n: L φ n xp n x = a n L x n P n x = a nk n n n, = 1, donde a n denota el coefcente prncpal de φ n x y k n denota el coefcente prncpal de P n x. Un funconal de momentos L se denomna defndo postvo s L φx > 0 para todo polnomo φx que no es déntcamente cero y es no negatvo para todo real x. Dado S R. Un funconal de momentos L se denomna defndo postvo sobre S s y solo s L φx > 0 para todo polnomo φx que no es déntcamente cero sobre S y es no negatvo sobre S. El conjunto S se denomna un conjunto soporte para L. A contnuacón, se muestran varos resultados mportantes en el estudo de polnomos ortogonales: la relacón de recurrenca a tres térmnos, el Teorema de Favard, la fórmula de Chrstoffel-Darboux y algunas propedades de los ceros de los polnomos ortogonales.

14 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 5 Teorema 1.6. Relacón de recurrenca a tres térmnos Sean L un funconal de momentos cuas-defndo y {P n x} n 0 la correspondente SPOM. Entonces exsten sucesones de números reales {a n } n 0 y {b n } n 0 con b n 0 para cada n N, tales que: con P x = 0, P 0 x = 1. P n+1 x = x a n P n x b n P n x, n = 0, 1, 2,..., 1.2 Además, cada elemento de las sucesones {a n } n 0 y {b n } n 0 está dado por: a n = L xp 2 nx L P 2 nx, b n+1 = L Pn+1 2 x L Pnx 2. S {P n x} n 0 es una SPO no mónca, denotando P n x = k npn x, donde P n x es mónco, entonces {P n x} n 0 satsface una relacón de recurrenca de la forma: con P n+1 x = A n x B n P n x C n P n x, n = 0, 1, 2,..., A n = k n k n+1, B n = a n+1 k n k n+1, C n = b n+1 k n k n+1, n 0, donde k = 1, y a n, b n están dados por el Teorema 1.6 en térmnos de { P n x}. El recíproco de la relacón de recurrenca a tres térmnos es verdadero y es el sguente resultado: Teorema 1.7. El Teorema de Favard Sean {a n } n 0 y {b n } n 0 sucesones de números reales y {P n x} n 0 una sucesón de polnomos dada por: con P n+1 x = x a n P n x b n P n x, n = 0, 1, 2,..., P x = 0, P 0 x = 1. Entonces exste un únco funconal de momentos L tal que: L 1 = b 0, L P n xp m x = 0 para n m, n, m N. L es cuas-defndo y {P n x} n 0 es la correspondente SPOM s y solo s b n 0. Además, L es defndo postvo s y sólo s b n > 0 n 1. Teorema 1.8. La fórmula de Chrstoffel-Darboux Sea {P n x} n 0 la SPOM correspondente al funconal de momentos L. Entonces para n N: K n x, y = n k=0 P k xp k y P k 2 = P n+1xp n y P n xp n+1 y P n x y K n x, y denota el n-ésmo polnomo núcleo.

15 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 6 Se emplea la sguente notacón para las dervadas parcales de K n x, y: +j K n x, y x j y = K n,j x, y. Los ceros de los polnomos ortogonales satsfacen las sguentes propedades: Teorema 1.9. Sean S el conjunto soporte de un funconal de momentos defndo postvo L y {P n x} n 0 la SPOM correspondente a L. Entonces, para cada n, los ceros de P n x son reales, smples y están en el nteror de la envoltura convexa de S. Teorema Propedad de entrelazamento Para cada n, entre dos ceros consecutvos de P n x hay un cero de P n x. Es decr, suponemos que x 1,n < x 2,n < < x n,n son los ceros de P n x, entonces: x n, < x n, < x n,+1, = 1, 2,..., n. Teorema S {P n x} n 0 es una SPO, los ceros de P n x son los autovalores de la matrz de Jacob J n truncada: b 0 a a 0 b 1 a 1 0 J n = 0 a 1 b 2 0, b n donde a n y b n son los coefcentes de la relacón de recurrenca a tres térmnos 1.2 que satsfacen los polnomos ortonormales Polnomos ortogonales cláscos Las famlas de polnomos ortogonales más estudadas por sus dversas aplcacones en campos como teoría de aproxmacones, físca cuántca, análss armónco, etc, son las llamadas cláscas. Las propedades más mportantes que caracterzan a estas famlas de polnomos ortogonales de las demás famlas son sus propedades dferencales. Dchas famlas están formadas por los polnomos de Jacob, Laguerre y Hermte, las cuales están asocados a funconales defndos postvos. En la lteratura no hay una defncón únca para las famlas de polnomos cláscos. A contnuacón se presentan dos tpos de defncón, las cuales se puede probar que son equvalentes. 1. Una SPO {P n x} n 0 se denomna clásca, s cada polnomo de la sucesón es solucón polnómca de una ecuacón dferencal de segundo orden del tpo: πxy x + τxy x + λ n yx = 0, 1.4

16 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 7 donde πx es un polnomo de grado a lo sumo 2, τx es un polnomo de grado 1 y λ n representa un número real. 2. Una SPO {P n x} n 0 se denomna clásca, s cada polnomo de la sucesón puede ser generado por una fórmula que contene dervadas de orden n, del tpo: P n x = K n ωx d n dx n ρn xωx, n = 0, 1, 2,..., 1.5 donde ρx es un polnomo ndependente de n, de grado a lo sumo 2 y ωx es una funcón postva e ntegrable sobre un conjunto a, b, la cual se denomna funcón peso. La ecuacón 1.4 se denomna ecuacón dferencal hpergeométrca, ya que satsface la propedad de hpergeometrcdad que consste en que sus solucones y son tales que sus n- ésmas dervadas y n cumplen una ecuacón del msmo tpo. Por tal razón a los polnomos cláscos tambén se les denomna polnomos hpergeométrcos. La ecuacón dferencal hpergeométrca clasfca a los polnomos ortogonales cláscos en tres famlas en funcón del grado del polnomo πx. Cuando πx es un polnomo de grado 2 los polnomos correspondentes se denomnan polnomos de Jacob P n α,β x, cuando πx es de grado 1 polnomos de Laguerre L α nx y cuando πx es de grado 0 polnomos de Hermte H n x. La sguente tabla presenta los parámetros de la ecuacón dferencal hpergeométrca para las sucesones de polnomos ortogonales móncos cláscos. P n α,β x L α nx H nx πx 1 x1 + x x 1 τx α + β + 2x + β α x + α + 1 2x λ n nn + α + β + 1 n 2n Tabla 1.1. Ecuacón dferencal hpergeométrca La ecuacón 1.5 se denomna fórmula de Rodrgues, donde para los polnomos de Jacob, Laguerre y Hermte se tene: P n α,β x L α nx H nx K n 2 n n! n! n ρx 1 x1 + x x n 1 ωx 1 x α 1 + x β x α e x e x2 a, b, 1 0,, Tabla 1.2. Fórmula de Rodrgues Además, para las famlas de polnomos cláscos se cumple ver 6: en x = a y x = b. d k dx k ρn xωx = 0, 0 k < n, 1.6

17 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 8 A contnuacón se enuncan las propedades más relevantes de las famlas de los polnomos cláscos de Jacob, Laguerre y Hermte, sendo los prmeros objeto de estudo en el presente trabajo, y por ende se realzan las demostracones de varas propedades para los polnomos ortogonales de Jacob; para los Laguerre y Hermte se omten, advrtendo que se pueden realzar de manera análoga a partr de la defncón de cada famla de polnomos ortogonales cláscos Polnomos ortogonales de Jacob Los polnomos de Jacob P n α,β x están defndos por la fórmula: P α,β n x = 2 n n! 1 x α 1 + x β d n dx n 1 x n+α 1 + x n+β, 1.7 donde α, β son parámetros mayores que. Dependendo de los valores de α y β, exsten tpos de polnomos de Jacob que merecen especal atencón. A contnuacón los más mportantes: Cuando α = β = 1 2 Polnomos de Chebyshev de prmera espece. Cuando α = β = 1 2 Polnomos de Chebyshev de segunda espece. Cuando α = 1 2 y β = 1 2 Cuando α = 1 2 y β = 1 2 Polnomos de Chebyshev de tercera espece. Polnomos de Chebyshev de cuarta espece. Cuando α = β = 0 Polnomos de Legendre. Cuando α = β Polnomos ultraesfércos o polnomos de Gegenbauer. La ecuacón dferencal hpergeométrca que satsfacen los polnomos ortogonales de Jacob es: 1 x 2 y x α + βx α + β y x + nn α + βyx = Teorema La sucesón de polnomos ortogonales de Jacob {P n α,β x} n N, satsface: P α,β n P α,β n x = 2 n n k=0 n + α n k P n α,β n + α 1 = n n + β k = = n P n β,α 1 = n n + β n x 1 k x + 1 n k. 1.9 Γn + α + 1 Γn + 1Γα = n Γn + β + 1 Γn + 1Γβ

18 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 9 4. El coefcente prncpal del polnomo de Jacob de grado n, P n α,β x es: k n = 2 n n k=0 n + α k n + β n k = 2 n 2n + α + β n 5. Los polnomos de Jacob cumplen la sguente relacón de ortogonaldad: P m α,β xp n αβ xdσx = 2α+β+1 Γn + α + 1Γn + β + 1 n!2n + α + β + 1Γn + α + β + 1 δ mn, n, m 0, dσx = ωxdx = 1 x α 1 + x β dx, x, 1, α, β > dp n α,β x = C n,α,β P α+1,β+1 n x, C n,α,β = 1 n + α + β dx 2 7. Cuando n, Demostracón. producto: De 1.7 se obtene: P a,b n 1 = P a,b n = 1 Γa + 1 na 1 + On Γb + 1 n n b 1 + On C n,a,b = n1 + On Recordemos la fórmula de Lebnz para la n-ésma dervada de un f g n = n k=0 n k f n xg n k x. A = 2 n n! 1 x α 1 + x β P n α,β x = dn dx n 1 x n+α 1 + x n+β, aplcando la fórmula de Lebnz, dervando k veces 1 + x n+β y junto con 1.1, A = 2 n n! 1 x α 1 + x β P n α,β x n n Γn + β + 1 dn k = 1 + xn+β k 1 x n+α k Γn + β k + 1 dx n k, k=0 dervando n k veces 1 x n+α y junto con 1.1, A = 2 n n! 1 x α 1 + x β P n α,β x n n Γn + β + 1 Γn + α + 1 = 1 + xn+β k k Γn + β k + 1 Γα + k + 1 n k 1 x α+k, k=0

19 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 10 empleando 1.1 y operacones elementales se obtene que los polnomos de Jacob están dados por: P α,β n x = 2 n n k=0 n + α n k n + β k x 1 k x + 1 n k. 2. Se obtene drectamente evaluando 1.9 en x = 1, pues solo sobrevve en la sumatora k = Se obtene drectamente evaluando 1.9 en x =, pues solo sobrevve en la sumatora k = n. 4. Se obtene por nduccón, aplcando A partr del Teorema 5, 1.7 y 1.12, 1 P m α,β xp n αβ xdσx = = 1 2 m 2m + α + β m 2 m 2m + α + β 2 n n! m 1 ntegrando por partes y usando 1.6, 1 P m α,β xp n αβ xdσx = 2 m 2 n n! x m dn dx n 1 x n+α 1 + x n+β dx, 1 2m + α + β m x m P n αβ x1 x α 1 + x β dx m m dn x dx n 1 x n+α 1 + x n+β dx, Asumendo que 0 m n y reptendo el procedmento de ntegrar por partes m veces, 1 P m α,β xp n αβ xdσx = 2 m m m! 2m + α + β 2 n n! m 1 d n m dx n m 1 x n+α 1 + x n+β dx = m n m! 2m + α + β 2 m+n n! m 1 d n m dx n m 1 x n+α 1 + x n+β dx.1.18 Consderemos dos casos:. m < n.

20 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 11 Integrando una vez más en 1.18, 1 P m α,β xp n αβ xdσx = m n m! 2m + α + β 2 m+n n! m d n m dx n m 1 x n+α 1 + x n+β 1 y aplcando 1.6,. m = n se converte en: 1 P m α,β xp n αβ xdσx = 0, m < n P m α,β xp n αβ xdσx = 1 2n + α + β 2 2n n ntegrando, 1 empleando 1.1, x n+α 1 + x n+β dx, P m α,β xp n αβ xdσx = 22n+α+β+1 2n + α + β 2 2n n Γn + α + 1Γn + β + 1, Γ2n + α + β + 2 P m α,β xp n αβ α+β+1 Γ2n + α + β + 1 xdσx = 2 Γn + α + β + 1n! Γn + α + 1Γn + β + 1 Γ2n + α + β + 2 De 1.19 y 1.20 se obtene lo esperado: 1 = 2 α+β+1 Γn + α + 1Γn + β + 1 2n + α + β + 1Γn + α + β + 1n! P m α,β xp n αβ xdσx = 2α+β+1 Γn + α + 1Γn + β + 1 n!2n + α + β + 1Γn + α + β + 1 δ mn. 6. De 1.12 se obtene que el coefcente prncpal del polnomo de Jacob de grado n 1 y parámetros α + 1, β + 1, P α+1,β+1 n x es: 2 n 2n 1 + α β + 1 = 2 n+1 2n + α + β. n 1 n 1,

21 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 12 Además el coefcente prncpal del polnomo de grado n 1, 2 n 2n + α + β n n, α,β dp n x dx es: por la propedad { de} hpergeometrcdad de los polnomos ortogonales de Jacob, la dp n sucesón α,β α,β x dp n x tambén es una SPO y el polnomo es de grado dx n 1 n 1, por el Teorema 1.3: para alguna constante C n,α,β. dp n α,β x dx = C n,α,β P α+1,β+1 n x, En partcular, para el coefcente prncpal de los dos polnomos se debe cumplr: 2 n 2n + α + β n = C n n,α,β 2 n+1 2n + α + β. n 1 Empleando 1.1 al despejar C n,α,β, se obtene: C n,α,β = 1 n + α + β dx Por tanto, dp n α,β x = 1 α+1,β+1 n + α + β + 1P n x. dx , 1.16 y 1.17 se obtenen aplcando la fórmula de Strlng en 1.10, 1.11 y 1.14 respectvamente. Teorema Sea { P n α,β x}n 0 α >, β > la sucesón de polnomos ortogonales móncos de Jacob. Entonces, 1. Relacón de recurrenca a tres térmnos Para todo n N, P α,β n+1 x = x ζ α,β n Pn α,β x γ α,β n P α,β n x, 1.22 con γ α,β n = ζ α,β n = β 2 α 2 2n + α + β2n α + β, 4nn + αn + βn + α + β 2n + α + β 12n + α + β 2 2n + α + β + 1, P α,β 0 x = 1, y P α,β 1 x = x + α β α+β+2.

22 2. Para todo n N, CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 13 1 x 2 P α,β n x = φ α,β n P α,β n+1 x + ψα,β n P n α,β x + ϕ α,β n P α,β n x, donde ϕ α,β n = ψ α,β n = φ α,β n = n, 2nn αn + α + β + 1 2n + α + β2n α + β, 4nn + αn + βn + α + βn + α + β + 1 2n + α + β 12n + α + β 2 2n + α + β Para todo n N, P n α,β x = 4. Para todo n N, α+1,β P n x 2nn + β 2n + α + β2n + α + β + 1 K n x, 1 = A n P α+1,β n x, A n = P α,β P n α,β n 1 x α+1,β P n x. 2 α,β, donde P n α,β x 2 1 = α,β x n P n α,β x1 x α 1 + x β dx Polnomos ortogonales de Laguerre Los polnomos de Laguerre L α nx están defndos por la fórmula: donde α es un parámetro mayor que. L α nx = n! x α e x dn dx n x n+α e x, 1.23 Al gual que los polnomos ortogonales de Jacob, empleando la fórmula de Lebnz para la n-ésma dervada de un producto se puede deducr: L α nx = n k=0 n + α n k x k k! Además, el coefcente prncpal del polnomo de Laguerre de grado n, es: k n = n n! La ecuacón dferencal hpergeométrca que satsfacen los polnomos ortogonales de Laguerre es: xy x + α + 1 x y x + nyx =

23 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 14 Teorema La sucesón de polnomos ortogonales móncos de Laguerre { L α nx} n N, α >, satsface: 1. L α n Γn + α + 1 n0 = Γα La relacón de ortogonaldad, 3. 0 L α mx L α nxdσx = n!γn + α + 1δ mn, n, m 0, 1.28 dσx = ωxdx = x α e x dx, x 0,, α >. d L α nx dx 4. Relacón de recurrenca a tres térmnos Para todo n N, = L α+1 n x L α n+1x = x 2n + α 1 L α nx n 1n + α 1 L α nx, 1.30 L α 0 x = 1, y L α 1 x = x α Para todo n N, 6. Para todo n N, x d L α nx dx = n L α nx nn + α L α nx L α nx = L α+1 n x + n L α+1 x n 7. Para todo n N, K n x, 0 = n Lα n!γα + 1 n+1 x + n + α + 1 L nx α Polnomos ortogonales de Hermte Los polnomos de Hermte H n x están defndos por la fórmula: H n x = n e x2 dn dx n e x Otra forma de expresar los polnomos ortogonales de Hermte es: n 2 H n x = n! k=0 k 2x n 2k n 2k!k! Además, el coefcente prncpal del polnomo de Hermte de grado n, es: k n = 2 n. 1.36

24 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 15 La ecuacón dferencal hpergeométrca que satsfacen los polnomos ortogonales de Hermte es: y x 2xy x + 2nyx = Teorema La sucesón de polnomos ortogonales móncos de Hermte { H n x} n N, satsface: 1. Para todo n N, H n x = n Hn x La relacón de ortogonaldad, H m x H n xdσx = n! π 2 n δ mn, n, m 0, 1.39 dσx = ωxdx = e x2, x,. 3. Para todo n N, d H n x dx 4. Relacón de recurrenca a tres térmnos Para todo n N, = n H n x H n+1 x = x H n x 1 2 n H n x, n Productos nternos estándar y tpo Sobolev Sea φx un polnomo y L un funconal de momentos defndo postvo. Entonces L admte la sguente representacón ntegral ver 6 o 14: L φx = φxdσx, R donde σ es una medda postva no trval, cuyo conjunto soporte es un conjunto nfnto de puntos de R. S L es defndo postvo y se defne: px, qx = L pxqx, 1.42 para dos polnomos cualesquera px y qx, entonces 1.42 defne un producto nterno sobre el espaco vectoral P de todos los polnomos con coefcentes reales. S {P n x} n 0 es una SPO para L, entonces: P n x, P m x = L P n xp m x = { 0 s m n a n 0 s m = n.

25 CAPÍTULO 1. POLINOMIOS ORTOGONALES EN LA RECTA REAL 16 Un producto nterno defndo sobre P, se denomda tpo Sobolev s es de la forma: px, qx = px, qx σ + = E j λ p ξq ξ =0 pxqxdσx + donde E R, j N, ξ R, λ R + y σ es una medda postva. j λ p ξq ξ, 1.43 La famla de polnomos asocados al producto nterno 1.43 se denomnan polnomos ortogonales tpo Sobolev o polnomos perturbados, al producto nterno p, q σ se le denomna estándar y la famla de polnomos ortogonales asocados al producto nterno p, q σ se denomnan polnomos orgnales. En 1, 2, 3 y 4 se han realzado estudos de casos partculares acerca de los polnomos ortogonales respecto a 1.43, donde se analzaran propedades asntótcas, algebracas, etc. Además, en 9 se hace un estudo de algunas propedades de los polnomos ortogonales con respecto a 1.43 correspondente al caso general dagonal de los polnomos ortogonales de tpo Laguerre. =0

26 CAPÍTULO 2 Polnomos ortogonales en varas varables En este capítulo presentamos las defncones y propedades más relevantes de polnomos ortogonales en varas varables, lo cual se puede amplar vendo 7, 15 y 16. Las demostracones de los teoremas 2.2 al 2.6 se pueden consultar en Prelmnares Dado κ = κ 1, κ 2,..., κ d N d un multndce y x = x 1, x 2,..., x d R d, se defne un monomo en d varables como: x κ = x κ 1 1 xκ xκ d d. El número entero κ = κ 1 + κ κ d es llamado el grado total de x κ. Un polnomo P x en d varables es una combnacón lneal de monomos, P x = κ c κ x κ, donde los coefcentes c κ son elementos de un campo C, generalmente los números reales R o los números complejos C. El grado de un polnomo en d varables es defndo como el grado total más alto de sus monomos. Para un polnomo P x en varas varables se denota la dervada parcal respecto a la -ésma componente por: P x = P x x. Se denota: M m n R, el espaco vectoral de matrces m n con entradas en los números reales. 17

27 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES EN VARIAS VARIABLES 18 Π d, el conjunto de todos los polnomos en d varables con coefcentes reales, { } Π d = c κ x κ : c κ R, x R d. κ Π d n, el subespaco de Π d que consta de todos los polnomos de grado total a lo sumo n, Π d n = c κ x κ : c κ R, x R d. κ n Un polnomo se denomna homogéneo s todos sus monomos tenen gual grado total. H d n denota el espaco de polnomos homogéneos de grado n en d varables, Hn d = c κ x κ : c κ R, x R d. κ =n Cualquer polnomo de Π d n puede ser escrto como una combnacón lneal de polnomos homogéneos, para P x Π d n: P x = n c κ x κ. =0 κ = Una base para H d n es {x κ : κ = n} y la dmensón de H d n denotada por r d n esta dada por ver 7: además, dmhn d = rn d n + d 1 = n, dmπ d n = n + d n. Una dferenca esencal de los polnomos en una varable con respecto a los polnomos en varas varables, radca en el orden de los monomos. El orden usual entre monomos de una varable es el orden dado por el grado, los monomos en una varable se ordenan por el grado como 1, x, x 2, x 3,.... Para polnomos en varas varables exsten muchas eleccones ben defndas de ordenes totales. A contnuacón se descrben dos ordenes para los monomos en varas varables. Orden lexcográfco Dados κ = κ 1, κ 2,..., κ d, η = η 1, η 2,..., η d dos multndces. Se dce que κ L η s la prmera entrada no cero en la dferenca κ η = κ 1 η 1, κ 2 η 2,..., κ d η d es postva.

28 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES EN VARIAS VARIABLES 19 En el caso d = 2 denotando x = x 1 y y = x 2, los respectvos monomos son ordenados como: 1, x, x 2,..., x n,..., y, xy, x 2 y, x 3 y,..., x n y,..., y m, xy m, x 2 y m, x 3 y m,..., x n y m,.... El orden lexcográfco no respeta el grado total de los polnomos. Por ejemplo, En este caso, M ultndce Grado total γ = 0, 5, 4 γ = 9 η = 2, 3, 2 η = 7 κ = 4, 1, 0 κ = 5 ν = 1, 0, 0 ν = 1 κ L η L ν L γ. Orden lexcográfco graduado Dados κ = κ 1, κ 2,..., κ d, η = η 1, η 2,..., η d dos multndces. Se dce que κ GL η s κ > η o s la prmera entrada no cero en la dferenca κ η = κ 1 η 1, κ 2 η 2,..., κ d η d es postva. En el caso d = 2, los respectvos monomos son ordenados como: 1, xy, x 2, xy, y 2, x 3, x 2 y, xy 2, y 3,..., x n y m,.... El orden lexcográfco graduado s respeta el grado total de los polnomos Funconales de momentos y polnomos ortogonales Una multsucesón µ : N d R es escrta de la forma µ = {µ κ } κ N d. Para cada multsucesón µ = {µ κ } κ N d, sea L µ un funconal lneal defndo sobre Π d por: L µ x κ = µ κ, κ N d ; 2.1 L µ se denomna un funconal de momentos defndo por la sucesón µ. S P x = c κ x κ κ es un polnomo en Π d, entonces L µ P x = κ c κ µ κ. Un funconal de momentos lneal L µ se denomna defndo postvo s

29 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES EN VARIAS VARIABLES 20 L µ P 2 x > 0, P x Π d, P x 0. Además, {µ κ } se denomna defnda postva cuando L µ es defndo postvo. En adelante se escrbe L en cambo de L µ cuando µ no es dada de forma explícta. Un funconal lneal L defndo postvo genera un producto nterno, sobre Π d, el cual admte la sguente representacón ntegral: P x, Qx σ = LP xqx = P xqxdσx, 2.2 donde P x, Qx Π d, E R d es un domno con nteror no vacío y σ una medda postva sobre el domno E. Dos polnomos P x Π d n y Qx Π d n se denomnan mutuamente ortogonales con respecto a 2.2 s P x, Qx σ = 0. Un polnomo P x Π d n se denomna un polnomo ortogonal de grado n, s P x es ortogonal a todo polnomo de grado menor, es decr: E P x, Qx σ = 0, Qx Π d n. Para n 0, se denota por V d n el espaco vectoral de polnomos de grado total n, ortogonales con respecto a 2.2, es decr: V d n = { P x Π d n : P x, Qx σ = 0, Qx Π d n }. La dmensón de V d n es la msma que de H d n, es decr: dmvn d = rn d n + d 1 = n. Una sucesón de polnomos {P n κ x : κ = n} n 0 se denomna una sucesón de polnomos ortogonales SPO asocada a L s: 1. El grado de P n κ x es κ = n 0, 2. L P n κ xp n η x = R κ δ κ,η, R κ 0, donde δ κ,η = δ κ1 η 1 δ κ2 η 2 δ κd η d. Además s R κ = 1 para todo multndce κ, la sucesón {P n κ x : κ = n} n 0 se denomna una sucesón de polnomos ortonormales. Un funconal de momentos se denomna regular s exste una SPO asocada a él. Otra dferenca entre polnomos ortogonales en una varable respecto a los polnomos ortogonales en varas varables, radca en que para una varable exste una únca SPO excepto un múltplo, para d 2 varables exsten nfntas SPOs ndependentes, de acuerdo al orden, gualmente dferentes bases ortonormales.

30 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES EN VARIAS VARIABLES Sstema de polnomos ortogonales Consderemos la ortogonaldad úncamente en térmnos de polnomos de dferentes grados, es decr, polnomos de gual grado son ortogonales a polnomos de grado menor; pero polnomos de gual grado no son ortogonales entre ellos msmos. Para ser más precsos se ntroduce la sguente notacón. Dada {Pκ n x : κ = n, 1 rn} d n 0 una sucesón de polnomos en Π d n, nosotros escrbmos esta sucesón como un polnomo vector columna P n x, así ver7: Pκ n 1 x Pκ n 2 x P n x = Pκ n 3 x,. Pκ n x r d n donde κ 1, κ 2,..., κ r d n son elementos en {κ N d : κ = n}, ordenados de acuerdo al orden lexcográfco nverso. Se denota la dervada parcal respecto a la -ésma componente de un polnomo vector columna por: Pκ n 1 x Pκ n 2 x P n x = Pκ n 3 x.. Pκ n x r d n Una sucesón de polnomos vector columna {P n x} n 0 se denomna un sstema de { } polnomos SP, s Pκ n 1 x, Pκ n 2 x,..., Pκ n x es una base para Π d r d n n. Un ejemplo de SP, para d = 2 es la denomnada base canónca. La base canónca sobre Π 2 puede ser escrta como un sstema de polnomos, X 0 = 1, X 1 = x, X y 2 = r d n 1 r d n 1 x 2 x 3 xy, X 3 = x 2 y y 2 xy 2, y 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3 y x 4 y x 5 y x 6 y X 4 = x 2 y 2 xy 3, X 5 = x 3 y 2 x 4 y 2 x 5 y 2 x 2 y 3, X 6 = x 3 y 3, X 7 = x 4 y 3 y 4 xy 4 x 2 y 4 x 3 y 4, y 5 xy 5 x 2 y 5 y 6 xy 6 y 7

31 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES EN VARIAS VARIABLES 22 Dado L un funconal de momentos regular, un SP {P n x} n 0 se denomna un sstema de polnomos ortogonales asocada a L s: L P n xp T mx { 0 s m < n = 2.3 H n s m = n, donde H n es una matrz de tamaño r d n r d n smétrca e nvertble. S H n es la matrz dentdad I r d n para todo n 0, entonces el sstema de polnomos ortogonales se denomna sstema de polnomos ortonormales, el cual en adelante será denotado por { P n x} n 0. El proceso de ortogonalzacón de Gram-Schmdt ver 6, permte obtener la sucesón de polnomos ortonormales a partr de la sucesón de polnomos ortogonales en el caso real, generalzando dcho proceso, sempre es posble a partr de un sstema de polnomos ortogonales {P n x} n 0 obtener un sstema de polnomos ortonormales { P n x} n 0. Dados dos sstemas de polnomos ortogonales {P n x} n 0 y {Q n x} n 0, se dce que P n x y Q n x tenen gual coefcente prncpal s P n x Q n x Π d n para n 1. Teorema 2.1. Dados L un funconal de momentos y {P n x} n 0 un sstema de polnomos ortogonales. El conjunto {P 0 x, P 1 x,..., P n x} forma una base para Π d n. Demostracón. Sean a 0, a 1,..., a n constantes cualesquera donde a R rd, tales que: a 0 P 0 x + a 1 P 1 x + + a n P n x = 0. Multplcando a derecha por P j x 0 j n y aplcando L, L a 0 P 0 xp j x + a 1 P 1 xp j x + + a n P n xp j x = 0, como {P n x} n 0 es un sstema de polnomos ortogonales, se obtene: a j L a j P 2 jx = a j H j = 0, y por ser H j nvertble, a j = 0 para toda j, 0 j n. Por tanto {Pκ n x} κ n es lnealmente ndependente y forman una base para Π d n. { Dados los elementos del conjunto κ N d : κ = n } ordenados como κ 1, κ 2, κ 3,..., κ rd n de acuerdo al orden lexcográfco. Para cada n N d se denota el vector columna x n por: x n = x κ κ =n = x κj rd n j=1 = x κ1 x κ2 x κ3. x κrd n Es decr, x n es un vector columna cuyos elementos son los monomos x κ para κ = n, ordenados de acuerdo al orden lexcográfco. r d n 1.

32 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES EN VARIAS VARIABLES 23 Empleando la notacón vector, el polnomo ortogonal P n x puede escrbrse como: P n x = G n x n + G n,n x n + G n,n 2 x n G n,0 x 0, donde G n, son matrces de tamaño r d n r d n. Se denota G n = G n,n al coefcente prncpal de P n x. En 7 los autores prueban que la matrz G n es nvertble. Se defne para, j N d vectores de momentos u y matrces de momentos u {}+{j} por: u = L µ x, y u {}+{j} = L µ x x j T. 2.4 Es de observar que u {}+{j} es una matrz de tamaño r d rd j, sus elementos son L µ x κ+η para κ = y η = j. Además, para cada n N d, u {}+{j} es empleado como bloques para defnr la matrz: M n,d = { u {}+{j} } n,j=0, n,d = detm n,d. 2.5 M n,d se denomna matrz de momentos, cuyas entradas son L µ x κ+η para κ n y η n. Teorema 2.2. Dado L un funconal de momentos. Un sstema de polnomos ortogonales en varas varables exste s y solo s n,d 0, n N d Relacón de recurrenca a tres térmnos Sea { Pn x} n 0 un sstema de polnomos ortonormales con respecto a un funconal lneal defndo postvo L. Para n 0, exsten matrces A n, : r d n r d n+1 y B n, : r d n r d n, tales que: A n, Pn+1 x = x B n, P n x A T n, P n x, 1 d, 2.6 con P x = 0 y A, = 0. Además, las matrces en la relacón de recurrenca 2.6 se pueden expresar como: A n, = L x Pn x P T n+1x, 2.7 B n, = L x Pn x P T n x. 2.8 La prueba que un sstema de polnomos ortonormales cumple la anteror relacón de recurrenca es análoga a la relacón de recurrenca a tres térmnos en una varable ver 7. Como una consecuenca se puede observar que las matrces B n, son smétrcas. S se toma un sstema de polnomos ortogonales {P n x} n 0, el cual no necesaramente es un sstema de polnomos ortonormales, la relacón de recurrenca a tres térmnos tene

33 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES EN VARIAS VARIABLES 24 la forma: A n, P n+1 x = x B n, P n x C T n,p n x, 1 d, 2.9 donde C n, : r d n r d n se relacona con A n, de la sguente manera: H n defnda en 2.3. A n, H n+1 = H n C n+1,, 2.10 Comparando el mayor coefcente de las matrces de ambos lados de 2.6, se sgue que: A n, G n+1 = G n F n,, 1 d, 2.11 donde F n, son matrces de tamaño rn d rn+1 d, las cuales se pueden defnr por: F n, x n+1 = x x n, 1 d. De donde, rank F n, = r d n, y rank F n = r d n+1 con F n = F T n,1 F T n,d T. De la relacón 2.11 y el hecho que G n es nvertble, se deduce que las matrces A n, satsfacen la sguente condcón: Para n 0, rank A n, = r d n para 1 d y ranka n = r d n+1, A n = A T n,1,..., A T n,d T La condcón 2.12 es denomnada condcón de rango. Teorema 2.3. Teorema de Favard Sea {P n x} n 0 = {P n κ x : κ = n} n 0, P 0 x = 1, un sstema de polnomos cualquera en Π d. Entonces, las sguentes proposcones son equvalentes. 1. Exste un funconal lneal defndo postvo L sobre Π d, respecto al cual {P n x} n 0 es un sstema de polnomos ortonormales en Π d. 2. Para n 0, 1 d, exsten matrces A n, : r d n r d n+1 y B n, : r d n r d n tales que: Los polnomos P n x satsfacen la relacón de recurrenca 2.6, Las matrces en la relacón satsfacen la condcón de rango. El sguente teorema evdenca condcones conmutatvas de los coefcentes de la relacón de recurrenca a tres térmnos. Teorema 2.4. Condcones de conmutatvdad Los coefcentes de la relacón de recurrenca a tres térmnos 2.6 de un sstema de polnomos ortonormales satsfacen: A k, A k+1,j = A k,j A k+1,, A k, B k+1,j + B k, A k,j = B k,j A k, + A k,j B k+1,, A T k, A k,j + B k, B k,j + A k, A T k,j = AT k,j A k, + B k,j B k, + A k,j A T k,, para j, 1, j d, y k 0, donde A, = 0.

34 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES EN VARIAS VARIABLES 25 La dea fundamental de la prueba es que las relacones anterores se obtenen al calcular las matrces x x j P k x, P T k+2 x, x x j P k x, P T k x y x x j P k x, P T k+1 x de dos formas dferentes, empleando la relacón de recurrenca a tres térmnos, remplazando x P n x y x j P n x respectvamente Funcones núcleo Se defne, la funcón núcleo o funcón kernel de V d por: y la funcón núcleo de Π d n por: K n x, y = P j x, y = P T j xh j P j y = P j y, x, j 0, 2.13 n P j x, y = j=0 n j=0 P T j xh j P j y = K n y, x, n Dferente a los polnomos ortogonales en una varable, el sstema de polnomos ortogonales en varas varables no es únco; esto como consecuenca de los dferentes ordenes en los vectores polnomos que se pueden abordar y de los posbles cambos de base. Además, la defncón de K n x, y no depende de la base que se usa ver 7. Generalmente por facldad se emplea una base ortonormal, por lo cual, la funcón núcleo adopta una expresón más smple, n K n x, y = P T j xp j y. j=0 Como consecuenca de la relacón de recurrenca a tres térmnos 2.6, se puede extender la fórmula de Chrstoffel-Darboux de una varable a polnomos ortogonales en varas varables ver 7. Sea K n x, y defndo como en 2.14, entonces se tene: Fórmula de Chrstoffel-Darboux. Sean L un funconal lneal defndo postvo y {P n x} n 0 = {P n α x : κ = n} n 0 un sstema de polnomos ortogonales asocado a L. Para n 0, 1 d, con x y y K n x, y = A n,p n+1 x T Hn P n y P T n xhn A n, P n+1 y, 2.15 x y K n x, x = P T n xhn A n, P n+1 x A n, P n+1 x T Hn P n x S {P n x} n 0 es un sstema de polnomos ortonormal, entonces con x y y K n x, y = A n,p n+1 x T P n y P T n x A n, P n+1 y x y, K n x, x = P T n xa n, P n+1 x A n, P n+1 x T P n x.

35 CAPÍTULO 2. POLINOMIOS ORTOGONALES EN VARIAS VARIABLES Ceros comunes El conjunto de ceros para un polnomo en varas varables puede ser un punto, una curva, en general una varedad algebráca, la cual presenta dfcultad al estudarla. Un cero común de un conjunto de polnomos es un cero para cada polnomo del conjunto. Dado L un funconal lneal defndo postvo y {P n x} n 0 un sstema de polnomos ortogonales asocado a L; un cero común de P n es un cero para todo P κ x, es decr un cero común ζ R d de P n x, es un cero para cada componente de P n x, Pj n ζ = 0 para todo 1 j rn. d Los ceros comunes de P n x son caracterzados en los dos teoremas sguentes: Teorema 2.5. Todos los ceros comunes de P n x son reales, smples y puntos en R d. Cada polnomo ortogonal P n x tene al menos N = dmπ d n ceros comunes y P nx tene N ceros comunes s y solo s A n, A T n,j = A n,j A T n,, 1, j d Para n N, se defnen las matrces truncadas por bloques de Jacob J n, por: J n, = B 0, A 0, 0 0 A T 0. B 1, A 1, 0 0 A T 1, B 2, B n,, 1 d. J n, es una matrz cuadrada de tamaño N N con N = dmπ d n. Se dce que Λ = λ 1,..., λ d T R d es un autovalor conjunto de J n,1,..., J n,d, s exste un ξ 0, ξ R N, tal que J n, ξ = λ ξ para = 1,..., d; el vector ξ es denomnado autovector conjunto asocado a Λ. Teorema 2.6. Un punto Λ = λ 1,..., λ d T R d es un cero común de P n x s y sólo s Λ es un autovalor conjunto de J n,1,..., J n,d ; además, un autovector conjunto de Λ es P T 0 Λ,..., P T n Λ.

36 CAPÍTULO 3 Producto nterno tpo Sobolev de orden superor gradente En este capítulo consderamos polnomos en varas varables ortogonales con respecto a un producto nterno tpo Sobolev planteado en 10, obtendo al añadr una perturbacón de operador gradente de orden j a un producto nterno estándar. Se presenta una expresón para los polnomos ortogonales tpo Sobolev en térmnos de la famla de polnomos asocados con el producto nterno estándar. Además, se lustra un ejemplo usando polnomos en la bola undad y se analza el comportamento asntótco del núcleo asocado a polnomos ortogonales tpo Sobolev en varas varables Operador gradente y funcones núcleo Sea fx una funcón en d varables con magen en los reales. Se defne el operador gradente como: fx = 1 fx, 2 fx,..., d fx M 1 d Π d. El operador gradente puede extenderse para polnomos vector columna. S {P n x} n 0 es un sstema de polnomos ortogonales, para n 0, P n = P n x = 1 P n x 2 P n x... d P n x 1 P κ1 x 2 P κ1 x 3 P κ1 x d P κ1 x 1 P κ2 x 2 P κ2 x 3 P κ2 x d P κ2 x = 1 P κ3 x 2 P κ3 x 3 P κ3 x d P κ3 x P κr d x 2 P κr d x 3 P κr d x d P κr d x n n n n M r d n dπ d, y un gradente de orden superor se defne: j P n = j P n x = j β 1 P n x j β 2 P n x... j βdp j n x M r d n d jπd,

37 CAPÍTULO 3. PRODUCTO INTERNO TIPO SOBOLEV DE ORDEN SUPERIOR GRADIENTE 28 donde, j β = j x γ 1 1 xγ j x γ d d y β recorre todas las d j combnacones de j dervadas totales con respecto a d varables dferentes es decr todas las dferentes combnacones de γ 1, γ 2,..., γ d N tal que γ 1 + γ γ d = j, de acuerdo al orden lexcográfco. Se defnen los vectores: K j,0 n x, y = K 0,j n x, y = los cuales satsfacen K j,0 n n j=0 j P j x T H j P j y M d j 1Π d, 3.2 n j=0 P T j xh j j P j y M 1 d jπ d, 3.3 x, y = K n 0,j y, x T, y la matrz K n j,j x, y = j β η j k K n x, y dj,k=1, 3.4 donde como antes, β gual para η k recorre todas las d j combnacones de un total de j dervadas con respecto a d varables en x resp y. Lema 3.1. Sea λ 0 un número real postvo y ξ R d un punto fjo. Para n 0, I d j + λk n j,j ξ, ξ es una matrz smétrca y no sngular. La prueba del Lema 3.1 se puede revsar en Producto nterno tpo Sobolev de orden superor Consderemos el sguente producto nterno tpo Sobolev: P x, Qx µ = P x, Qx σ + λ j P ξ j Qξ T = P xqxdσx + λ j P ξ j Qξ T, 3.5 E donde ξ R d, λ R +, E R d, j N y σ es una medda postva en R d. Se denota por {Q n x} n 0 el sstema de polnomos ortonormales con respecto a 3.5 y {P n x} n 0 el sstema de polnomos ortonormales asocado con P x, Qx σ. El sguente teorema cuya demostracón aparece en 10 y aquí hemos amplado los detalles, establece una relacón entre {Q n x} n 0 y {P n x} n 0. Teorema 3.1. Sea {P n x} n 0 el sstema de polnomos ortonormales asocado con el producto nterno P x, Qx σ y {Q n x} n 0 el sstema de polnomos ortonormales correspondente a 3.5, normalzados tal que P n x y Q n x tengan el msmo coefcente prncpal. Entonces P 0 = Q 0, y para n > 0, Q n x = P n x λ j P n ξi d j + λk j,j n ξ, ξ K j,0 n ξ, x. 3.6 Recíprocamente, s se defne Q n x como en 3.6, {Q n x} n 0 representa un sstema de polnomos ortogonales con respecto a 3.5.

38 CAPÍTULO 3. PRODUCTO INTERNO TIPO SOBOLEV DE ORDEN SUPERIOR GRADIENTE 29 Demostracón. Sea {P n x} n 0 el sstema de polnomos ortonormales asocado con 2.2 y sea {Q n x} n 0 el sstema de polnomos ortonormales asocado con 3.5, tal que P n x y Q n x tenen el msmo coefcente prncpal, es decr, Q n x P n x Π d n para n 0. Esto demuestra en partcular que P 0 = Q 0. A n donde Como {P n x} n 0 es una base para Π d n, para cada n 1 exsten matrces constantes de tamaño rn d rn d tales que: n Q n x = P n x + A n P x, A n = Q n x, P x σ = Q n x, P x µ λ j Q n ξ j P ξ T, y por la ortogonaldad de Q n x respecto a µ, Por tanto, =0 A n = λ j Q n ξ j P ξ T. n Q n x = P n x + λ j Q n ξ j P ξ T P x =0 n = P n x λ j Q n ξ j P ξ T P x =0 = P n x λ j Q n ξk j,0 n ξ, x. 3.7 Aplcando j en ambos lados con respecto a la varable x, Evaluando en x = ξ, j Q n x = j P n x λ j Q n ξk j,0 n ξ, x = j P n x λ j Q n ξk j,j n ξ, x. j Q n ξ = j P n ξ λ j Q n ξk j,j n ξ, ξ j Q n ξ + λ j Q n ξk j,j n ξ, ξ = j P n ξ j Q n ξ I d j + λk j,j n ξ, ξ = j P n ξ. Por el Lema 3.1, j Q n ξ = j P n ξ I d j + λk j,j n ξ, ξ. 3.8 Remplazando 3.8 en 3.7, Q n x = P n x λ j P n ξ I d j + λk j,j n ξ, ξ j,0 K ξ, x. n

39 CAPÍTULO 3. PRODUCTO INTERNO TIPO SOBOLEV DE ORDEN SUPERIOR GRADIENTE 30 Recíprocamente, un cálculo drecto demuestra que 3.6 es un sstema de polnomos ortogonales con respecto a 3.5. El sguente teorema da una expresón para G n = Q n x, Q T n x µ n 0, en térmnos del sstema de polnomos ortonormales {P n x} n 0. Teorema 3.2. Sea {Q n } n 0 el sstema de polnomos ortonormales con respecto a 3.5, y sea G n = Q n x, Q T n x µ. Entonces G n = I r d n + λ j P n ξ I d j + λk j,j n ξ, ξ j P n ξ T, 3.9 G n Demostracón. De 3.5, = I r d n λ j P n ξ I d j + λk n j,j ξ, ξ j P n ξ T G n = Q n x, Q T n x µ = Q n x, P T n x µ empleando la ortogonaldad de {P n x} n 0 y 3.8, = Q n x, P T n x σ + λ j Q n ξ j P n ξ T, G n = I r d n + λ j P n ξ I d j + λk j,j n ξ, ξ j P n ξ T. Falta por verfcar 3.10, para ello prmero calculamos λ j P n ξ T j P n ξ, Luego, K j,j n ξ, ξ = n j P ξ T j P ξ =0 n = j P n ξ T j P n ξ + j P ξ T j P ξ =0 = j P n ξ T j P n ξ + K j,j n ξ, ξ. j P n ξ T j P n ξ = K j,j n λ j P n ξ T j P n ξ = λ = K j,j n ξ, ξ K j,j ξ, ξ. n ξ, ξ K j,j n ξ, ξ I r d n + K j,j n ξ, ξ I r d n + K j,j n ξ, ξ Luego calculamos J n = G n I r d n λ j P n ξi d j + λk j,j n ξ, ξ j P n ξ T y observamos que J n = I r d n, para así demostrar 3.10,

40 CAPÍTULO 3. PRODUCTO INTERNO TIPO SOBOLEV DE ORDEN SUPERIOR GRADIENTE 31 J n = G n I r d n λ j P n ξ I d j + λk n j,j ξ, ξ j P n ξ T = Empleando 3.11, I r d n + λ j P n ξ I r d n λ j P n ξ I d j + λk j,j I d j + λk j,j n ξ, ξ j P n ξ T n ξ, ξ j P n ξ T = I r d n λ j P n ξ I d j + λk j,j n ξ, ξ j P n ξ T λ j P n ξ I d j + λk n j,j ξ, ξ j P n ξ T = I r d n λ j P n ξ I d j + λk j,j n ξ, ξ j P n ξ T λ j P n ξ I d j + λk n j,j ξ, ξ j P n ξ T. J n = I r d n λ j P n ξ I d j + λk j,j n ξ, ξ I d j + λk n j,j ξ, ξ I d j + λk j,j n ξ, ξ I d j + λk n j,j ξ, ξ j P n ξ T = I r d n λ j P n ξ I d j + λk j,j n ξ, ξ I d j + λk n j,j ξ, ξ j P n ξ T = I r d n. Ahora, defnmos las funcones núcleo de V d asocadas con {Q n x} n 0. Para 0, Q x, y = Q T xg Q j y = Q y, x, 3.12 y las funcones núcleo de Π d n asocadas con {Q n x} n 0. Para n 0, K n x, y = n Q x, y = =0 n =0 Q T xg Q y El sguente teorema presenta una fórmula para K n x, y en térmnos de K n x, y y sus dervadas. Teorema 3.3. Para 1, se cumple: Q x, y = P x, y λk j,0 ξ, x T I d j + λk j,j j,0 ξ, ξ K ξ, y + λk j,0 ξ, xt I d j + λk j,j 3.14 ξ, ξ j,0 K ξ, y, asumendo que K j,0 0 x, y = 0. Además, K n x, y = K n x, y λk n j,0 ξ, x T I d j + λk n j,j ξ, ξ K j,0 n ξ, y. 3.15

41 CAPÍTULO 3. PRODUCTO INTERNO TIPO SOBOLEV DE ORDEN SUPERIOR GRADIENTE 32 Demostracón. A partr de 3.6 y 3.10, Q T xg = P T x λ I r d empleando 3.11, tenemos: K j,0 T ξ, x I d j + λk j,j T ξ, ξ j P n ξ λ j P ξ I d j + λk j,j T ξ, ξ j P ξ = P T x λp T x j P ξ λ K j,0 T ξ, x I d j + λk j,j ξ, ξ j P ξ I d j + λk j,j ξ, ξ j P n ξ +λ K j,0 T ξ, x I d j + λk j,j ξ, ξ j P n ξ λ j P ξ I d j + λk j,j T ξ, ξ j P ξ, Q T xg = P T x λp T x j P ξ I d j + λk j,j T ξ, ξ j P ξ λ K j,0 T ξ, x I d j + λk j,j T ξ, ξ j P n ξ +λ K j,0 T ξ, x I d j + λk j,j ξ, ξ I d j + λk j,j ξ, ξ I d j + λk j,j ξ, ξ I d j + λk j,j T ξ, ξ j P ξ = P T x λp T x j P ξ I d j + λk j,j T ξ, ξ j P ξ λ K j,0 T ξ, x I d j + λk j,j T ξ, ξ j P n ξ +λ K j,0 T ξ, x I d j + λk j,j T ξ, ξ j P ξ λ K j,0 T ξ, x I d j + λk j,j T ξ, ξ j P ξ = P T x λp T x j P ξ I d j + λk j,j T ξ, ξ j P ξ λ K j,0 T ξ, x I d j + λk j,j T ξ, ξ j P ξ = P T x λ K j,0 T ξ, x I d j + λk j,j T ξ, ξ j P ξ. Por tanto, T T T