SOBRE LAS REPRESENTACIONES MODULARES DE GRUPOS FINITOS.

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1 SOBRE LAS REPRESENTACIONES MODULARES DE GRUPOS FINITOS. PEDRO DOMÍNGUEZ WADE Abstract. En este trabajo se exponen algunos resultados referentes a las representacones de un grupo fnto sobre anllos fntos untaros conmutatvos de característca m. Se demuestra que las representacones de un grupo fnto sobre un anllo untaro de característca m, se nducen de las representacones del grupo reducdo módulo p. Introduccón Uno de los problemas generales que suelen presentar en la teoría de representacones en sentdo amplo es lo que concerne a las representacones de un grupo fnto sobre un campo de característca p, en el caso donde p es un dvsor del orden del grupo. Tal caso consttuye el núcleo central de la denomnada: Teoría de Representacones Modulares. En este trabajo exponemos algunos aspectos que concernen a las representacones de un grupo fnto G sobre un anllo R m fnto, conmutatvo y untaro de característca m. Sea t =1 p r la factorzacón prmara de m. Entonces tenemos que Z m = t Supongamos que p(x) es un polnomo rreducble de grado α sobre Z m. Denotemos por α al grado del mayor dvsor rreducble g (x), sobre el campo Z p, del polnomo p(x). Entonces g (x) determna una extensón ntegral K p rα de grado α de cada uno de los anllos Z r p. Así, denotemos por K m a la amplacón ntegral del anllo Z m somorfa a la suma drecta K r p α. =1 1. Resultados Prelmnares. Sea R m un anllo fnto untaro y conmutatvo de característca m. Entonces como m es el mínmo común del orden de todos los subgrupos del grupo adtvo R + m el cardnal del anllo es una potenca de m de exponente κ. Así el anllo R m se expresa como una suma drecta de la forma: R m = t =1 A p r κ =1 Z r p. Receved by the edtors Mathematcs Subject Classfcaton. Prmara 20C20, Secundara 20C34. Key words and phrases. Reduced Group and Representaton Congruence. 1

2 2 PEDRO DOMÍNGUEZ WADE Donde los A p r κ son deales untaros compuesto por todos los elementos de característca p r. Como A p r κ Luego s denotamos por I p r κ que contene a Z p r es conmutatvo y untaro contene un deal somorfo al anllo Z r p., de grado α, a la máxma extensón ntegral de A p r κ, en sentdo de somorfsmo, para todo anllo A p r κ se cumple: Por lo tanto se tene que: A p r κ = n Ip r κ R m = n Km Sendo el anllo K m una amplacón ntegral de anllo Z m de los enteros módulo m. Teorema Exste una correspondenca bunívoca entre los K[G]- módulos exactos fntamente generados sobre el anllo untaro K, y las representacones matrcales de un grupo fnto G sobre K. Demostracón Sea (Φ; M) una representacón del grupo fnto G sobre el anllo K, entonces para todo elemento del anllo grupal K[G] tenemos : Φ( g α g g) = g α g Φ(g) Por lnealdad de Φ Hacendo: ( g α g g) z = g α g Φ(g)z, z M Con la operacón defnda anterormente se ntroduce en M la estructura de K[G] módulo. Recíprocamente s el K módulo exacto M es un módulo sobre el anllo grupal K[G] con la operacón sguente: α g g z Entonces, el homomorfsmo Φ : K[G] End(K), dado por Φ( g g α g g)=φ α g g determna una representacón lneal del anllo grupal K[G] sobre K, cuya lmtacón Φ = Φ \ G sobre G, brnda una representacón lneal del grupo G. Como el anllo End(M) es somorfo al anllo M n (K) de las matrces de orden n con componentes en K, se tene la representacón matrcal (Φ; M) para el grupo fnto G. Así conclumos la demostracón del teorema. Observacón Sea (Φ; M) una representacón matrcal del grupo fnto G, sobre R m, entonces en vrtud del teorema anteror la operacón del anllo grupal R m [G] sobre el R m -módulo M está ben defnda. Por otra parte tenemos que: R m [G]M n = Km [G]M Luego, M es tambén un K m [G]-módulo, es decr, el R m [G]-módulo M se expresa como una suma drecta de K m [G]-módulos, o lo que es lo msmo toda representacón g

3 REPRESENTACIONES MODULARES. 3 del grupo fnto G sobre R m se expresa como una suma de representacones equvalentes sobre el anllo K m. Ahora ben, se conoce que: K m = =1 K p r α Luego, toda representacón del grupo fnto G se expresa como una suma de representacones equvalentes sobre los correspondentes K r p α. Sea el anllo grupal K p rα[g] del grupo fnto G y R su radcal, entonces el anllo factor K p rα/r es perfecto. Nos proponemos encontrar un subanllo del anllo factor K p rα/r que sea completamente reducble. Supongamos que p es un dvsor del orden del grupo fnto G, entonces s ġ es la clase del elemento g de orden hp µ en G, con p y h prmos entre sí, se cumple: ġ hpµ ( donde e es el neutro de G). Luego, como ġ y ė conmutan, en vrtud de la fórmula del bnomo de Newton se verfca la dentdad: ġ hpµ ė = (ġ h ė) pµ = 0 De esta forma: = ė ġ h = ė ya que el anllo factor K p rα/r es perfecto. Todos los elementos de orden h en el subgrupo cíclco g G generado por g tenen la forma g jpu, sendo j y h prmos relatvos. Así para algún j se cumple: jp µ = h q + 1 con q N. Supongamos que g jpµ es tal elemento, entonces se verfca la dentdad: Por tanto ġ es de orden h. ġ jpµ = ġ hq = ġ 2. Prncpales Resultados. Defncón Sea el anllo grupal K p rα[g] del grupo fnto G y R el radcal de este anllo, entonces s g es un elemento de orden hp u en G, con h y p prmos relatvos, y ḡ es un elemento de orden h en el subgrupo generado por g tal que: g ḡ(r), se dce que ḡ es el elemento reducdo de g módulo p. Defncón Sea el anllo grupal K p rα[g] del grupo fnto G y R el radcal de este anllo, entonces s g es un elemento de orden hp u en G, con h y p prmos relatvos, y ḡ es un elemento de orden h en el subgrupo generado por g tal que: g ḡ(r), se dce que ḡ es el elemento reducdo de g módulo p. Defncón S G el máxmo subgrupo de G cuyo orden no es dvsble por la característca p, entonces se dce que G es el grupo reducdo de G módulo p.

4 4 PEDRO DOMÍNGUEZ WADE Observacón El grupo reducdo G módulo p no es otro que el subgrupo de G generado por los elementos reducdos correspondentes a cada elemento del grupo. En partcular, tenemos que s p no dvde al orden del grupo G, entonces G = G Admtamos que Ω es el conjunto de todas las representacones de grado n del grupo fnto G sobre la extensón ntegral K p rα del anllo Z p r de los enteros módulo p r. Así, tenemos la sguente defncón: Defncón Representacones congruentes módulo p. S Φ y Ψ son dos representacones matrcales del grupo fnto G contendas en Ω, y Γ es el radcal del anllo matrcal M n (K p rα), de las matrces de orden n con componentes en K p rα, entonces se dce que Φ y Ψ son congruentes módulo p s y solo s exste una matrz nversble C tal que: Φ(g) CΨ(g)C 1 (Γ) para todo g G. Observacón Obvamente la relacón así defnda es reflexva, smétrca y transtva, es decr, de equvalenca, y por tanto establece una partcón del conjunto Ω en clases de equvalenca. Defncón Sea Φ un representacón del grupo fnto G sobre el anllo K p rα, entonces Φ se dce representacón correspondente al grupo reducdo G s y solo s para todo g G. Φ(g) = Φ(ḡ) Teorema S G es un grupo fnto y Φ es una representacón de G sobre el anllo K p rα, correspondente al grupo reducdo G módulo p, entonces Φ es completamente reducble. Demostracón Sea (Φ; M) una representacón del grupo fnto G sobre el anllo K p rα correspondente al grupo reducdo G. Ahora ben, s la representacón es rreducble no hay nada que demostrar. Por tal motvo, supongamos que la representacón no es rreducble. La lmtacón Φ = Φ \ G brnda una representacón (Φ; M) del grupo reducdo G módulo p sobre el anllo K p rα. Supongamos que el G-módulo M contene un G-módulo nvarante no trval M. Como M es fntamente generado y exacto sobre K p rα, exste un complemento M tal que se cumple: M = M M. Consderemos el operador de proyeccón P : M M, defndo por la relacón Pv = m, para todo v = m + m. Tenemos: (2.0.1) v P(v) M, P(M) = 0, P 2 = P Introduzcamos ahora, el operador lneal promedo dado por: P G = G 1 h G Φ( h)pφ( h 1 ) (La dvsón por G es posble por condcón). Tenemos además: (2.0.2) Φ(ḡ)P G = P G Φ(ḡ)

5 REPRESENTACIONES MODULARES. 5 Efectvamente: Φ(ḡ)P G Φ(ḡ 1 ) = G 1 h G Φ(ḡ)Φ( h)pφ( h 1 )Φ(ḡ 1 ) = G 1 h G Φ(ḡ h)pφ( h 1 ḡ 1 ) = G 1 h G Φ( t)pφ( t 1 ) = P G Hagamos: De acuerdo con (2.0.2) se verfca: M = {P G v : v M} Φ(ḡ) m = Φ(ḡ)P G v = P G Φ(ḡ)v = P G v = m M Para todo m M. Luego M es un G -módulo. Por otra parte se tene: Φ(ḡ 1 )v PΦ(ḡ 1 )v M (según (2.0.1)), entonces: Por consguente, v Φ(ḡ)PΦ(ḡ 1 )v = Φ(ḡ)(Φ(ḡ 1 )v PΦ(ḡ 1 )v M v P G v = G 1 ( G v h G Φ(ḡ)PΦ(ḡ 1 )v) M Por tanto se cumple: Para todo v M, luego v = m + P G v = m + m M = M + M Ahora, de Φ(ḡ 1 )M M resulta PΦ(ḡ 1 )M = 0(según (1.1.1)) Además: Por lo tanto: De donde resulta: Luego Φ(ḡ)PΦ(ḡ 1 ) = 0 = P G (M) = 0 v P G v M P G (v P G v) = 0 (2.0.3) P G v = P 2 G v Ahora ben, s v M M esto mplca que P G v = 0, por cuanto v M, y v = P G v, ya que v M. En vrtud de (1.1.3), se obtene 0 = P G v = P 2 G v = v Por tanto M M = 0 y se cumple: M = M M Así, Φ es completamente reducble de donde se nfere que Φ lo es tambén, como queríamos demostrar.

6 6 PEDRO DOMÍNGUEZ WADE Lema S f es un homomorfsmo del anllo A en el anllo A, y además R y R son los radcales respectvos de estos anllos se cumple: Demostracón S ν R, entonces exste q N tal que: f(r) R µ q = 0 A Así, f(µ) q = 0 A, para todo µ R, luego se verfca la relacón sguente: Como se quería probar. f(r) R Teorema S G es un grupo fnto, entonces toda representacón matrcal Φ del grupo G sobre K p rα, es congruente módulo p con una representacón Ψ correspondente al grupo reducdo. Demostracón Sea Φ una representacón del grupo fnto G sobre el anllo K p rα. Consderemos la representacón matrcal Ψ correspondente al grupo reducdo G defnda de la manera sguente: g G : Ψ(g) = Φ(ḡ) Además admtamos que R y Γ son los radcales respectvos de los anllos K p rα[g] y el anllo matrcal M n (K p rα) de las matrces de orden n con componentes en K p rα. Luego como todo elemento g del grupo está contendo en la clase de equvalenca del elemento reducdo ḡ módulo p, es decr, se cumple: g ḡ(r) Según el lema anteror, las mágenes Φ(g) y Ψ(g) están contendas en la msma clase de equvalenca módulo Γ. En efecto. De Φ(g) Φ(ḡ) y Φ(ḡ) Ψ(g), por transtvdad de la congruenca se obtene: para todo g G. Φ(g) Ψ(g)(Γ) Por ende Φ y Ψ son congruentes módulo p. Observacón De todo lo anteror se nfere que toda representacón matrcal, de un grupo fnto sobre el anllo K p rα esta contenda en la clase de equvalenca, congruenca módulo p, de una representacón matrcal completamente reducble correspondente al grupo reducdo módulo p. Por tanto basta obtener las representacones rreducbles del grupo reducdo sobre K p rα. Se ha evdencado tambén que las representacones rreducbles correspondentes al grupo reducdo sobre K p rα suelen ser nducdas de las representacones rreducbles del grupo reducdo sobre el campo F p α. Teorema Sea G un grupo fnto, entonces exste una correspondenca bunívoca entre el conjunto de todas las representacones rreducbles correspondentes al grupo reducdo G sobre K p rα, no congruentes dos a dos, y el conjunto de todas las representacones rreducbles sobre F p α, no equvalentes dos a dos, del grupo reducdo.

7 REPRESENTACIONES MODULARES. 7 Demostracón Sea (Φ; M) una representacón rreducble del grupo fnto G correspondente al grupo reducdo G sobre K p rα. Según teorema (1.0.1), M es un K p rα[g]- módulo rreducble. Ahora ben, s R es el radcal de K p rα[g], entonces la operacón del anllo factor K p rα[g]/r sobre M, determna una representacón rreducble del grupo reducdo G sobre el campo F p α. Recíprocamente, s Φ es una representacón rreducble del grupo reducdo G sobre el campo F p α, entonces la operacón del anllo factor K p rα[g]/r sobre el F p α[g]-módulo rreducble M está ben defnda. Luego s admtmos el homomorfsmo canónco del anllo grupal K p rα[g] sobre K p rα[g]/r queda defnda la operacón del anllo grupal K p rα[g] sobre el módulo rreducble M y por ende una representacón Ψ del grupo fnto G correspondente al grupo reducdo G. Hasta este momento tenemos toda la nformacón necesara acerca de las representacones de un grupo fnto G sobre un anllo K p rα, regresamos entonces al caso general. Supongamos que t =1 p r es la factorzacón prmara de m, entonces se cumple: K m [G] = l =1 K r p α [G] Prmeramente, extenderemos el concepto de representacón congruente módulo p. Defncón Sean Φ m y Ψ m dos representatones matrcales de un grupo fnto G, sobre la extensón ntegral K m extensón ntegral de Z m, y Γ el radcal del anllo matrcal M n (K m ) de las matrces de orden n con componentes en K m, entonces las representacones se dcen congruentes módulo m s y solo s exste una matrz no sngular C tal que: g G : Φ m (g) CΨ m (g)c 1 (Γ) Observacón La relacón defnda anterormente es de equvalenca, y establece una partcón del conjunto de todas las representacones de grado n sobre K m del grupo fnto G, en clases de equvalenca módulo m. La dea general es la encontrar un sstema mnmal de generadores de estas clases al gual que en el caso anteror. Teorema Toda representacón matrcal de un grupo fnto G sobre K m se expresa, como una suma de representacones matrcales del grupo sobre el anllo ( = 1, 2..., l). K p r α Demostracón Sea (Φ m ; M) una representacón matrcal de un grupo fnto G sobre K m. Supongamos que es la factorzacón prmara de m, entonces se t cumple: =1 p r (2.0.4) K m [G] = t =1 K r p α [G]

8 8 PEDRO DOMÍNGUEZ WADE De (1.2.4) se nfere que M es un K p r α [G]-módulo,( = 1, 2,..., t). Ahora denote- a las representacones correspondentes a cada uno de los K r p α - mos por Φ r p α módulo, entonces: Como se quería demostrar. Φ m = =1 Φ p r α Lema S A es un anllo conmutatvo untaro tal que: A = donde los A son deales de A. Entonces s R es el radcal de A los anllos A/R y A /R son somorfos. Demostracón Tenemos que todo elemento a A se expresa de manera únca forma sguente: l a = =1 donde a A. Consderemos los homomorfsmos proyeccón y canóncos respectvamente dados por: P : A A a a y C : A A /R a a donde R es el radcal del anllo A. Luego para el homomorfsmo sobreyectvo h = C P de A en A /R. Tenemos que: Ker(C P ) = R y en vrtud del prmer teorema de los homomorfsmos de anllos se cumple: a A/R = A /R =1 Φ p r α Teorema S Φ m es una representacón matrcal del grupo fnto G sobre l el anllo K m y Φ m = es la expresón de Φ m como suma de representacones matrcales sobre cada K r p α, entonces Φ m es congruente módulo m con cada representacón Φ r p α. Demostracón Para el anllo matrcal M n (K m ) se cumple: (2.0.5) M n (K m ) = l =1 Además, para el radcal Γ de M n (K m ) se tene: Γ = M n (K r p α ) l Γ =1 l =1 A,

9 REPRESENTACIONES MODULARES. 9 Donde los Γ son los radcales respectvos de los deales bláteros M n (K r p α Φ m una representacón matrcal del grupo fnto G sobre K m y =1 Φ p r α ). Sea su correspondente expresón como suma de representacones de G sobre cada K r p α, entonces para todo g G se cumple: l Φ m (g) = Φ r p α (g) Por tanto en vrtud de (2.0.5) y el lema anteror para todo g G se cumple: De donde se nfere que: =1 Φ m (g) Φ r p α (g)(γ ), = 1,..., t Φ m (g) Φ r p α (g)(γ) Por lo tanto Φ m es congruente con cada representacón Φ r p α el teorema. como se afrma en Defncón ( Representacón Irreducble Maxmal) Sea Φ m una representacón rreducble de un grupo fnto G sobre el anllo K m. Entonces Φ m se dce representacón rreducble maxmal s y solo s para cualquer representacón rreducble Ψ m del grupo G tal que: Φ m Ψ m (m) se cumple: k k, donde k y k son los números respectvos de representacones rreducbles sobre K r p α en la descomposcón como suma de representacones de Ψ m y Φ m respectvamente. De nterés resulta tambén la sguente defncón: Defncón (Representacón Reducble Maxmal) Sea Φ m una representacón de un grupo fnto G sobre K m, entonces Φ m se dce representacón reducble maxmal s y solo s se expresa como una suma de representacones reducbles sobre los correspondentes anllos K r p α. Teorema Toda representacón matrcal Φ m de un grupo fnto G sobre K m es congruente módulo m, con una representacón reducble maxmal que se expresa como suma de representacones rreducbles maxmales. Demostracón Supongamos que Φ m es una representacón del grupo fnto G sobre el anllo K m. Entonces es válda la relacón sguente: (2.0.6) Φ m = donde los Φ p r α =1 Φ p r α son representacones matrcales del grupo sobre K r p α. Ahora ben, según teorema (2.0.10) para cada representacón matrcal Φ r p α correspondente al grupo reducdo módulo p con- exste una representacón Ψ r p α gruente con esta módulo p. Admtamos que Ψ m es la representacón defnda de la manera sguente: Ψ m = =1 Ψ p r α

10 10 PEDRO DOMÍNGUEZ WADE Donde los de Ψ r p α son las representacones correspondentes al grupo reducdo congruentes módulo p con cada sumando de (2.0.6). Para el anllo matrcal M n (K m ) se cumple: M n (K m ) = l =1 M n (K r p ) Además, s denotamos por Γ al radcal de este anllo M n (K m ) se cumple: Γ = l Γ Donde los Γ son los radcales respectvos de los deales bláteros M n (K r p ). Entonces para todo g G se cumple: De donde resulta: Φ m (g) Ψ m (g) = =1 =1 (Φ p r α (2.0.7) Φ m (g) Ψ m (g)(γ) (g) Ψ r p α (g)) Γ Por tanto Φ m y Ψ m son congruentes módulo m. La representacón Ψ m es completamente reducble, por tanto, se descompone como suma de representacones rreducbles de menor grado. Supongamos que µ Ψ m = Ψ j es tal descomposcón. j=1 Sea Ψ j una representacón rreducble maxmal congruente con Ψ j Defnamos la representacón matrcal Ψ m de la manera sguente: Así, para todo g G se tene: Es decr, Ψ m = µ j=1 Ψ j Ψ m (g) Ψ m (g) Γ (2.0.8) Ψ m (g) Ψ m (g)(γ) Por transtvdad de la congruenca módulo Γ y de (2.0.7) y (2.0.8) se obtene: (2.0.9) Φ m (g) Ψ m (g)(γ) Por tanto Φ m y Ψ m son congruentes módulo m como queríamos demostrar. Observacón Según el teorema anteror el problema de las representacones de un grupo fnto G sobre el anllo K m se reduce a la búsqueda de un sstema mnmal de representacones rreducbles maxmales no congruentes dos a dos.

11 REPRESENTACIONES MODULARES. 11 References [1] Aden A, Representatons and K-Theory of dscrete groups, Boletn AMS Volume 28, Number 1, 95-98,1993 [2] Baker A.J, Fnte Groups and ther Representatons, Mathematcs , 2002 [3] Brkhoff,G.,Mac Lane,S.A Survey of Modern Algebra,4thed,Macmllan,1997 [4] Garln, D. J. H. A course n Galos Theory, Cambrdge Unversty Press, [5] Navarro G, Characterstcs and blocks of fnte groups, Cambrdge Unv,Press, Cambrdge, 1998 [6] Rose, J. S. A course on Group Theory. Cambrdge Unversty Press, Cambrdge, 1978 [7] Serre.J.P.Représentatons des Groups Fns, Pars,1967 Departamento de Matemátca,Unversdad de Matanzas, Cuba. E-mal address: pedro.domnguez@umcc.cu