Introducción al Método de los Elementos Finitos

Transcripción

1 S 4 v v 5 Introduccón al Método de los Elementos Fntos Parte 4 Estmacón de error en problemas elíptcos Alberto Cardona, Víctor Facnott Cmec-Intec (UNL/Concet), Santa Fe, Argentna

2 Estmacón de error en problemas elíptcos Para un típco problema elíptco de la forma Hallar u V / a( u, v)=l( v) v V donde se verfca. a(.,.) es una forma blneal smétrca, contnua y V-elíptca.. L(.) es una forma lneal contnua resulta γ u u u v V V α v V S elegmos v=π u V como un nterpolante de u y estmamos el error de nterpolacón u π u V, obtendremos una estmacón del error u u V del MEF. Elegmos π u tal que sus gdl concdan con los de u en V, así el problema de determnar u π u V se reduce a determnar u π u ndvdualmente sobre cada elemento fnto T. Introduccón al Método de los Elementos Fntos

3 Sea Interpolacón con funcones lneales a trozos en D { v v } V=H ( Ω), V = V: P (), T Para c/trángulo T, defnmos : dámetro de = lado más largo de ρ : dámetro del círculo nscrpto en ρ ρ ρ Κ / da una dea de la caldad del elemento (cuanto mayor, mejor) Desgnemos T a una famla de mallas {T } ndexadas por el parámetro = max T Asummos una constante β R +, ndependente de, tal que ρ β T Esta condcón mplca que los trángulos T no pueden ser arbtr. fnos. La constante β es una medda del ángulo más pequeño para cualquer T. Introduccón al Método de los Elementos Fntos 3

4 Interpolacón con funcones lneales a trozos en D (cont) 0 Sean N, =,,,M, los nodos de T. Dado u C Ω, defnmos el nterpolante π u V por π v = v =,,, M.e, π u es la funcón lneal a trozos que concde con u en los nodos x de T. x x Empecemos por estmar el error u π u en cada trángulo. u π u Introduccón al Método de los Elementos Fntos 4

5 Interpolacón con funcones lneales a trozos en D (cont) Teorema Sea T un trángulo de vértces x, =,,3. Dado v C 0 (), sea el nterpolante πv P () defndo por π v( x) = v( x), =,,3. Luego:. v πv max D α v. L () α = L () α ( π ) α = L () ρ α = α max D v v 6 max D v L () donde α α v D v =, α = ( α, α), α = α+ α. α α x y v L () = max v( x) x Nota: la magntud de los errores de nterpolacón en la funcón y sus dervadas prmeras dependen del valor de las dervadas segundas, que es una medda de la curvatura de la superfce descrpta por la funcón. Introduccón al Método de los Elementos Fntos 5

6 Interpolacón con funcones lneales a trozos en D (cont) Dem Como πv P (), usando las funcones de base λ podemos escrbr Usando una expansón de Taylor, en el punto y = x+δ tenemos v( y) = v( x) + ( x) ( yj xj) + R( x, y) j= x j v R( x, y) = ( x+ ξδ) ( y x) ( yj xj) 0< ξ < x x Tomando y = x : 3 3 = = πv( x ) = λ ( x ) πv( x ) λ ( x ) v( x ), j= j Como x x x, =,,3, el resto R (x) resulta acotado por j= v( x ) = v( x) + ( x) ( xj xj) + R( x, x ) x α = L () j p ( x) max D α R x v x, =,,3 R ( x) Introduccón al Método de los Elementos Fntos 6

7 Luego: Interpolacón con funcones lneales a trozos en D (cont) = = = = πv( x) = λ ( x) v( x ) = v( x) λ ( x) + λ ( x) p ( x) + λ ( x) R( x) Veremos luego que: 3 3 λ =, λ p = 0. = = πv( x) = v( x) + λ ( x) R( x) 3 = En consecuenca: v( x) πv( x) λ( x) R( x) λ( x) R( x) max R( x) λ( x) = = = max D α v x α = L (QED ) Introduccón al Método de los Elementos Fntos 7

8 Interpolacón con funcones lneales a trozos en D (cont) Se calcula la dervada de πv: π v λ λ λ λ x x x x x ( x = x v x ) = v( x) ( x) + ( x) p ( x) + ( x) R ( x) j = j = j = j = j Veremos luego que tambén: En consecuenca: λ λ = 0, p = x j xj xj 3 π v λ = + R x x x 3 3 = = j j = j x π v λ = R R R j xj x = x j = x j ρ = λ ( x) max ( x) ( x) ρ α 6 max D v x ρ α = L () Introduccón al Método de los Elementos Fntos 8 (QED )

9 Interpolacón con funcones lneales a trozos en D (cont) Lema Para j =, x tenemos: λ λ λ =, λp = 0, = 0, p = = = = x j = xj xj A B C D Dem Notar π v= v s v P. Luego, elgendo v = en : 3 3 πv( x) = v( x) λ( x) = λ ( x) = = (QED A) Dervando la anteror : 3 0 = = λ x j ( x) (QED C) Introduccón al Método de los Elementos Fntos 9

10 Interpolacón con funcones lneales a trozos en D (cont) Recordamos : π v= v λ + λ p + λr = = = p x x ( x) = ( x) ( ) j j j= x j Luego: 3 = λ p 3 = λ ( x) ( x) = ( x x ) k k = k= xk = = = 3 3 λ xk λ xk = k= xk = k= xk 3 3 λxk xk k= xk = k= xk = x k λ = 0 (QED B) Introduccón al Método de los Elementos Fntos 0

11 Interpolacón con funcones lneales a trozos en D (cont) De manera smlar : λ 3 λ = ( x) ( x) ( xk xk) = x x 3 p = x j = j k= k λ λ = x = 3 3 xk = k= xj xk = k= xj xk 3 3 λ λ = xk xk = k= xk = xj k= xk = x j x j δ 0 jk k (QED D) Introduccón al Método de los Elementos Fntos

12 Interpolacón con funcones lneales a trozos en D (cont) El teorema vsto da estmacones en norma L. Ello no nos srve para lograr estmacones de u π u. Ω Notacón: H α v r = D v d H ( Ω) x Ω α = r No es norma, porque puede ser v = r 0, con v 0 (ej: v =, r ) H Ω v r mde la norma L de las dervadas parcales de v de orden gual a r. H ( Ω ) ( Ω) Luego, decmos que v es una semnorma. H r ( Ω) Teorema: Sea T un trángulo de vértces x, =,,3. Dado v C 0 (), sea el nterpolante πv P () defndo por π v( x ) = v( x ), =,,3. Luego, C cte v πv C v v v C v Este teorema es smlar al anteror, pero demostracón más dfícl (no la aremos)., π H ρ H H () L () Introduccón al Método de los Elementos Fntos

13 Interpolacón con funcones lneales a trozos en D (cont) Usando el teorema, podemos calcular π L L H H H u π u = u u C u C u = C u Además, usando la propedad de la trangulacón Luego, ntroducendo β en la cte: ( Ω) Ω T T T C u π u C u C u u 4 H( Ω) H H H T ρ T β β ( Ω) ρ β C u π u u = C u β H( Ω) H Ω H Ω u π u C u L ( Ω ) H Ω Introduccón al Método de los Elementos Fntos 3

14 Interpolacón con polnomos de mayor grado Trabajando con polnomos de grado r se tene r+ r u πu C u r+ u π u C u + L ( Ω) H Ω H Ω) Ω S V H Ω podremos asegurar tambén r ( H r u u C u H ) π + r ( Ω H ( Ω) Notar:. La potenca de cae con el orden de dervacón del error. La cte C es ndependente de u y de S u no tene la regulardad requerda, la potenca de cae: s s u πu C u s u π u C u L ( Ω) H Ω H ( Ω s ) H ( Ω) con s r + Introduccón al Método de los Elementos Fntos 4

15 Interpolacón con polnomos de mayor grado. Ejemplo Sean { } { } T famla de mallas T = de Ω / β { } 0 :, V = v C Ω v P T ρ 3 3 Para el elemento mostrado, defnmos 3 π v= v en los nodos y puntos medos de T En este caso se verfca: 3 v πv C v 3 v π v C v 3 L ( Ω) H Ω H ( Ω) Ω H Introduccón al Método de los Elementos Fntos 5

16 Interpolacón con polnomos de mayor grado. Ejemplo Sean { } { } T famla de mallas T = de Ω / β { } :, 5 V = v C Ω v P T ρ Para el elemento mostrado, defnmos α α D πv= D v en los nodos vértces de T, α π v= en los puntos medos de lados de T n n En este caso se verfca: 6 v π v C v L ( Ω) H 5 v π v C v H( Ω) H 6 4 v π v C v H ( Ω) H 6 6 ( Ω) ( Ω) ( Ω) Introduccón al Método de los Elementos Fntos 6

17 Estmacones de error en MEF para problemas elíptcos Recordamos: u u C u v v V u u C u π u V V V V Usamos luego las estmacones de error de nterpolacón para el error del MEF. 3. Ejemplo Sea el problema Δ u = f en Ω u = 0 sobre Γ { :, } En este caso, V = H 0 Ω y elegmos V = v V v P T r Usando la estmacón de error de nterpolacón, logramos r u u C u H + r Ω H ( Ω) Introduccón al Método de los Elementos Fntos 7

18 Estmacones de error en MEF para problemas elíptcos 4. Ejemplo Sea el problema barmónco ΔΔ u = f en Ω u u = = 0 sobre Γ n En este caso, V = H 0 Ω y s elegmos = { : 5, } V v V v P T y usamos la estmacón de error de nterpolacón, logramos 4 u u C u H Ω H 6 ( Ω) Introduccón al Método de los Elementos Fntos 8

19 Sobre la regulardad de la solucón exacta Vmos que la regulardad de la solucón exacta u nfluye sobre la estmacón de error u u. Veremos aora que la regulardad de u depende de la V regulardad de los datos Δ u = f en Ω Sea el problema de Posson u = 0 sobre Γ. S Γ es suave, para s = 0,, exste C ndep de f tal que o sea u H s+ C f s ( Ω) H ( Ω) s s f H u H + Ω Ω ("ganamos dervadas"). S Γ tene esqunas, u o sus dervadas tenen sngulardades en la esquna aún con f muy suave. Introduccón al Método de los Elementos Fntos 9

20 Sobre la regulardad de la solucón exacta (cont) La solucón u con f suave tene la sguente forma en el entorno de una esquna: π ω con α, β funcones suaves. ur (, θ ) = r α θ + β r, θ. Claramente, s ω > π u H Ω. Se puede mostrar que s Ω polgonal convexo ( ω < π), u H ( Ω) Introduccón al Método de los Elementos Fntos 0

21 Sobre la regulardad de la solucón exacta (cont) ΔΔ u = f en Ω Sea el problema barmónco u u = = 0 sobre Γ n S Γ es suave, resulta s+ 4 s H Ω H ( Ω) s = 0,,, (4.8b) S Γ no es suave y ω<π (4.8b) vale con s=0 ω>π u H 4 (Ω) Introduccón al Método de los Elementos Fntos

22 Métodos adaptvos. S la solucón exacta tene por ej. una sngulardad en una esquna, es natural refnar la malla cerca de esa esquna para mejorar la precsón.. Dado el estmador de error u u u π u C u podríamos contrarrestar el tamaño de con el de, tomando pequeño u H allí donde sea grande. π 3. S u tene la forma ur (, ) r ω π θ = α( θ) + β( r, θ), con 0< γ= <, una manera ω posble de refnar sería defnendo = Cd d γ Nota: el número de elementos así refnados es de gual orden O( - ) que para una malla de unforme. Luego, el refnamento no aumenta sgnfcatvamente el número de ncógntas, pero sí la precsón. H( Ω) H( Ω) H T u H H : dstanca del elemento a la esquna : tamaño de la malla lejos de la esquna u u C Ω Introduccón al Método de los Elementos Fntos

23 Métodos adaptvos (cont.) En gral, se desconoce a pror la naturaleza de la solucón exacta, por lo que no está claro cómo refnar la malla. Métodos adaptvos: métodos de refnamento automátco de la malla, que obtenen nformacón sobre de la suavdad de la solucón de resultados sobre una sucesón de mallas de refnamento progresvo.. Dada una toleranca δ>0, deseamos obtener por MEF una solucón que satsfaga. Dado el estmador de error por u u < δ H( Ω) u u C u la condcón 4.33 se satsfará s elegmos una malla T ={} tal que H T u H( Ω) H T δ C (4.33) (4.34) Introduccón al Método de los Elementos Fntos 3

24 Métodos adaptvos (cont.) 3. La malla que satsfaga 4.34 se determna usando el sguente procedmento: I. Se parte de una malla T = { } de N elementos y se calcula la correspondente u por MEF, con la que se calcula la aproxmacón u a u H. ( ) II. Se construye una nueva malla T ={} dvdendo en 4 trángulos guales cada T, y se calcula la solucón u por MEF, con la que se calcula una aproxmacón a u H ( ). III. Se repte el paso II asta que δ u H T C H Introduccón al Método de los Elementos Fntos 4

25 Métodos adaptvos (cont.). Podemos partr de otros estmadores de error, por ej. u u Cmax max D α u Ω α =. Se busca una malla T ={} tal que C α = L L () max D α u δ T L () 3. Se comenza con una malla gruesa, con la que se calcula una aprox. a Du α. L () Se refna la malla subdvdendo los trángulos que no satsfagan C max α = D α u L () δ 4. Se termna el proceso cuando todos los trángulos satsfacen la condcón anteror. Introduccón al Método de los Elementos Fntos 5

26 Refnamento adaptvo Problema: Δ u = 0 en Ω u = u sobre Γ 0 Crtero de refnamento: max D α u 0. α = L () Introduccón al Método de los Elementos Fntos 6

27 Estmacón de error en norma L Aplcando MEF con V = v: v H 0( Ω) y v P(), T a Δ u = f en Ω Ecuacón de Posson u = 0 sobre Γ en Ω polgonal, el estmador de error resulta Además, emos vsto que { } u u C u u u C u H( Ω) H Ω L ( Ω) H Ω u u C u π L ( Ω) H Ω Teorema 4.3: s Ω es un domno polgonal convexo, y u es la solucón de la ec. de Posson usando EF lneales por trozos, entonces ay una constante C ndependente de u y tal que u u C u L ( Ω) H ( Ω) Introduccón al Método de los Elementos Fntos 7

28 Estmacón de error en norma L (cont.) Demo.: a( uv, ) = ( f, v) v V V a( u, v) = ( f, v) v V V e= u u a( e, v) = 0 v V V Δ ϕ = e en Ω Sea ϕ la solucón del problema dual ϕ = 0 sobre Γ C e ϕ Ω Ω H L e = ( e, e) = ( e, Δ ϕ) = a( e, ϕ) = a( e, ϕ) a( e, π ) L ϕ Ω = a( e, ϕ π ϕ) e ϕ π ϕ H( Ω) H( Ω) H( Ω) H ( Ω) H( Ω) H ( Ω) H( Ω) L( Ω) C e u L ( Ω) H ( Ω) C e ϕ C e ϕ C e e = 0 (QED Introduccón al Método de los Elementos Fntos 8

29 Estmacón de error en norma L (cont.) La cond.de establdad establece que λ una cte. tal que / H( Ω) El menor valor posble de λ es entonces ( f, v) λ = sup v H ( Ω) v u λ α ( f, v) λ v v H ( Ω) Así defndo, λ es en certa una medda de f. Defnmos entonces la nueva norma ( f, v) - f - λ = sup norma en el espaco H ( Ω) dual de H H 0( Ω) Ω v H 0 ( Ω) v v 0 Luego, la condcón de establdad puede escrbrse v f - H( Ω) H ( Ω) α H( Ω) 0 v 0 H( Ω) H( Ω) 0 Introduccón al Método de los Elementos Fntos 9