Y ahora observamos que lo que está entre paréntesis es la derivada de un producto, de modo que

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1 Estas son ms notas para las clases del curso Mecánca Raconal (62.11) en la Facultad de Ingenería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tenen carácter de texto acabado, por el contraro seguramente contenen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean ndcadas por los alumnos, para quenes las publco. Adrán Fagón. afagon@f.uba.ar ultma revsón: El Lagrangano como herramenta teórca (contnuacón) Conservacón de la energía de un sstema de partículas Mostramos anterormente, cómo la formulacón Lagrangana da una perspectva dstnta a los teoremas de conservacón. La conservacón del momento lneal, que usualmente se da como consecuenca de la ausenca de fuerzas, la mostramos a partr de la hpótess de la homogenedad del espaco. La sotropía del espaco, veremos más adelante da lugar a la conservacón del momento angular. La conservacón de la energía procede de la unformdad del tempo. Teorema: S (para un sstema de partículas) el tempo es unforme, su energía mecánca se conserva. Aclaracón del sgnfcado de la hpótess de tempo unforme: Que el tempo sea unforme sgnfca que el comportamento del sstema dadas condcones ncales, será déntco hoy, hace 1000 años, y en cualquer momento. Esto sgnfca, que el Lagrangano no puede depender del tempo. OJO: No sgnfca esto que el Lagrangano sea constante en el tempo. No. Por el contraro el Lagrangano varía cas sempre con el tempo. (Toda vez que el potencal no sea constante y la energía (T+V) se conserve, el Lagrangano (T-V) varará su valor). Pero varía por el cambo de coordenadas y velocdades, no por el mero paso del tempo. Con más explctacón dremos que el Lagrangano no puede depender explíctamente del tempo. H) El tempo es unforme T) La energía mecánca se conserva D) Comenzamos calculando la dervada temporal del Lagrangano, dervando respecto de sus argumentos y éstos respecto al tempo: dl L L L q q q q t Usamos ahora la ecuacón de Lagrange para reemplazar la prmera dervada parcal, y usamos la defncón de momento conjugado para reemplazar la segunda: dl L t pq pq. Y ahora observamos que lo que está entre paréntess es la dervada de un producto, de modo que

2 Estas son ms notas para las clases del curso Mecánca Raconal (62.11) en la Facultad de Ingenería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tenen carácter de texto acabado, por el contraro seguramente contenen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean ndcadas por los alumnos, para quenes las publco. Adrán Fagón. afagon@f.uba.ar ultma revsón: dl d L t pq. O, juntando las dervadas temporales totales, d L pq L. t de modo que en el caso en que el Lagrangano no dependa explíctamente del tempo, es decr, usando la hpótess, el paréntess de la zquerda se conserva durante el movmento. Mostraremos que ese paréntess es la energía total del sstema. S las coordenadas generalzadas son las cartesanas, la demostracón es evdente pues p q 2T, dos veces la energía cnétca, luego pq L 2 T ( T V ) T V E. La demostracón general requere de dos pasos prevos: 1) Mostrar que la energía cnétca es sempre una funcón homogénea de segundo grado en las velocdades. 2) Mostrar el Teorema de Euler sobre funcones homogéneas. Energía cnétca en coordenadas generalzadas Partmos de la expresón conocda, en coordenadas cartesanas T 1 m r 2 2 y reemplazamos por las generalzadas, en las cuales las vejas coordenadas son r r q1, q2,..., qn y r r q j, q j j para obtener la expresón más general de la energía cnétca en coordenadas generalzadas,

3 Estas son ms notas para las clases del curso Mecánca Raconal (62.11) en la Facultad de Ingenería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tenen carácter de texto acabado, por el contraro seguramente contenen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean ndcadas por los alumnos, para quenes las publco. Adrán Fagón. afagon@f.uba.ar ultma revsón: T a ( q) q q 2 jk, jk j k donde r r a jk ( q) m q q k Se ve en las últmas, que la posble dependenca de la energía cnétca en las coordenadas, que habíamos dentfcado como característca de una descrpcón desde un referencal no nercal, provene de la posble dependenca de las dervadas en la expresón de a, en las coordenadas q. Esto sgnfca una relacón no constante entre las vejas y nuevas coordenadas sno que esta relacón la dervada- depende de la poscón. De otro modo, las nuevas coordenadas NO se obtenen de una transformacón lneal de las vejas. Funcones Homogéneas y Teorema de Euler sobre funcones homogéneas Se dce que una funcón es homogénea de grado k en sus varables x 1, x 2, etc, s dada una constante α cualquera, f (α.x 1, α.x 2, α.x 3, etc...) = α k.f (x 1, x 2, x 3, etc...) Ej: El volumen de un paralelepípedo es una funcón homogénea de grado 3 en sus dmensones lneares. La energía cnétca es una funcón homogénea de grado 2 en las velocdades. Teorema de Euler. S H) f (x 1,..., x n ) es una funcón homogénea de grado k, entonces T) n 1 f x x kf D) Dervando respecto de α, la expresón que defne las funcones homogéneas, se obtene f f f ( ax ) ( ax ) ( ax ) k1 x1 x2... xn ka f 1 2 n Especalzando la gualdad anteror para el caso en que a=1, resulta la tess.

4 Estas son ms notas para las clases del curso Mecánca Raconal (62.11) en la Facultad de Ingenería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tenen carácter de texto acabado, por el contraro seguramente contenen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean ndcadas por los alumnos, para quenes las publco. Adrán Fagón. afagon@f.uba.ar ultma revsón: Completando la demostracón de la conservacón de la energía Retomamos la expresón pq y recordamos p L q T q pues el potencal no depende de las velocdades. Así, reemplazamos en la suma el p por la últma expresón, recordamos que T es homogénea de grado 2 en las velocdades, y aplcamos el teorema de Euler para obtener pq 2T. luego, la magntud que se conserva por ser nula L/t es pq L 2 T ( T V ) T V E, la energía mecánca del sstema. La funcón de Hamlton y sus ecuacones canóncas El membro de la zquerda de la últma, cuyo valor -se acaba de mostrar- es la energía mecánca del sstema se denomna la funcón de Hamlton o Hamltonano del sstema. H p q L Las varables de las que depende el Hamltonano son las q, los p, y eventualmente el tempo, como se ve de dferencar la anteror: L L L dh pdq qdp dq dq q q t. El prmer y cuarto termno en el paréntess cancelan por defncón de momento, mentras que en el tercero la dervada es reemplazable por p por la ecuacón de Lagrange. Así:

5 Estas son ms notas para las clases del curso Mecánca Raconal (62.11) en la Facultad de Ingenería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tenen carácter de texto acabado, por el contraro seguramente contenen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean ndcadas por los alumnos, para quenes las publco. Adrán Fagón. afagon@f.uba.ar ultma revsón: L dh q dp p dq t. De esta últma se obtenen las sguentes expresones q H y p p H q denomnadas por su smetría las ecuacones canóncas de Hamlton, y que son en todo equvalentes a la ecuacón de Euler-Lagrange, es decr son otro set de ecuacones de movmento del sstema. Dado H(q,p), las ecuacones dan por resultado q(t). Fnalmente puede obtenerse H t o, más nteresante, L t, dh L, t como surge de un paso ntermedo en la demostracón de la conservacón de la energía, d L pq L, y la defncón de H. La últma dce que lo que varía el t Hamltonano, y por ende la energía, en el tempo, es exactamente lo que varía el Lagrangano por su dependenca explícta en el tempo, o, equvalentemente, por el mero paso del tempo (congelando las restantes varables), cambado de sgno. Segunda aclaracón respecto de la hpótess de homogenedad del tempo. La últma expresón, es más completa en sgnfcado que el teorema de conservacón demostrado arrba. No solo dce que s el membro de la derecha es 0 la energía se conserva, sno que dce cuánto camba la energía en caso de que no se conserve. Preguntamos: Cuándo puede ocurrr que el Lagrangano dependa del tempo? Dado que la energía cnétca es exclusva funcón de las velocdades (descrpto el sstema desde un referencal nercal), una dependenca con el tempo podría ntroducrse vía el potencal. Por ejemplo magnando que un cuerpo masvo se aproxma al sstema bajo estudo de modo que las condcones gravtatoras se alteran conforme el tempo pasa. Hay una alternatva a esta descrpcón: ncorporar las coordenadas del cuerpo masvo y todos los otros que nteractúen con el sstema bajo estudo, en el potencal, que pasará a depender, entonces, de las coordenadas del sstema que estábamos estudando y de todos los que ncorporamos Cuál será el resultado?

6 Estas son ms notas para las clases del curso Mecánca Raconal (62.11) en la Facultad de Ingenería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tenen carácter de texto acabado, por el contraro seguramente contenen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean ndcadas por los alumnos, para quenes las publco. Adrán Fagón. afagon@f.uba.ar ultma revsón: ) Que el tempo desaparece como argumento del Lagrangano 2) Que el Lagrangano descrbe ahora un sstema cerrado, esto es, un sstema que no nteractúa con el exteror (pues le metmos adentro todo lo que nteractuaba). De ésto se desprende que, por el contraro, un Lagrangano dependente explíctamente del tempo descrbe un sstema aberto. Así vsta, la hpótess de tempo unforme es equvalente a la hpótess de sstema aslado que conduce a la condcón más general (termodnámca) de conservacón de la energía Semejanza mecánca Vamos a hacer uso del Teorema de Euler, ya que dsponemos de la herramenta, para mostrar de qué modo se escala un sstema mecánco, al modo como se escala una fgura geométrca conservando su forma. A esto últmo se lo llama semejanza, por lo cual le cabe el nombre de semejanza mecánca al problema del escalamento en mecánca. Lo que se buscan son nuevas dmensones/undades (espacales y temporales) de modo que la ecuacón de movmento no se altere, y valgan las msmas solucones en las nuevas undades. La clave para la conservacón de las ecuacones será, que la modfcacón ntroducda resulte en que el Lagrangano nuevo guale al anteror multplcado por una constante. Modfquemos todas las dmensones lneales del sstema (dstancas) multplcándolas por una msma constante a, de modo que s las nuevas varables son con astersco, r* = a.r. Y los tempos de modo que t* = b.t. Así, las velocdades, resultarán v* = (a/b).v. El nuevo lagrangano es L(r*, v*) = L(a.r, a/b.v) = T(a/b.v) - V(a.r) y, recordando que T es homogénea de grado 2 en las velocdades,... = (a/b) 2.T(v) V(a.r)

7 Estas son ms notas para las clases del curso Mecánca Raconal (62.11) en la Facultad de Ingenería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tenen carácter de texto acabado, por el contraro seguramente contenen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean ndcadas por los alumnos, para quenes las publco. Adrán Fagón. afagon@f.uba.ar ultma revsón: Ahora, s, como sucede frecuentemente, V es homogénea de grado k en sus varables, entonces L(r*, v*) = (a/b) 2.T(v) a k.v(r) que será una constante por L(r, v), --es decr, la msma dependenca de r* en t*-- s a k = (a/b) 2 (1- k/2), o, equvalentemente, b = a La conclusón: Dos sstemas son semejantes mecáncos s ) el potencal es homogéneo en sus varables, ) los factores de escala espacal (a) y temporal (b), satsfacen la últma relacón, donde k es el grado de homogenedad del potencal. Ejemplos: -Potencal homogéneo de grado 1 en las coordenadas, como V=mgz. El escalamento de tempos y coordenadas resulta en b=a (1/2), que dce que los tempos característcos de un movmento bajo la accón gravtatora en superfce terrestre será proporconal a la raíz cuadrada de la altura recorrda. En consonanca con lo que sabemos, por ejemplo, de los tempos de caída, 2h t. g -Potencal homogéneo de grado 2 en las coordenadas, como V = ½.k.r 2, correspondente a una fuerza elástca, o potencal armónco. La regla de escalamento da b=1, ndependente del a Qué sgnfca? Cuál es la dmensón lneal característca del movmento? Su ampltud. Así, b=1, dce que los períodos se mantenen guales, con ndependenca de la ampltud de la osclacón. La ley de socronía del péndulo, de Galleo. -Potencal gravtatoro: homogéneo de grado k=-1. Resulta: b=a (3/2) o ben, b 2 = a 3, que se lee las relacones entre los cuadrados de los períodos (tempos característcos) del movmento guala a la relacón entre los cubos de las dmensones característcas. Que es otra forma de enuncar la 3 ley de Kepler que da la proporconaldad entre el cuadrado de los períodos y el cubo de la dmensón lneal (p.e. semejes) de las órbtas.

8 Estas son ms notas para las clases del curso Mecánca Raconal (62.11) en la Facultad de Ingenería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tenen carácter de texto acabado, por el contraro seguramente contenen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean ndcadas por los alumnos, para quenes las publco. Adrán Fagón. afagon@f.uba.ar ultma revsón: Síntess de las leyes de Kepler A lo largo de nuestro estudo sobre movmentos en campos centrales hemos redescuberto las leyes de Kepler. Habendo llegado a la tercera, hacemos un repaso: La prmera, que dce que los planetas se mueven en orbtas elíptcas con el sol en uno de los focos, la encontramos resolvendo la ecuacón de órbta, y mostrando que para movmentos acotados y con momento angular dstnto de cero-- como es el de los planetas, la cónca correspondente es una elpse. La segunda, dce que el rado-vector que une el sol con un planeta barre áreas guales en tempos guales. La encontramos como resultado de que el Lagrangano de un sstema en movmento en un campo central no depende de los ángulos. Sendo los ángulos varables mudas, sus momentos conjugados se conservan. Y sendo el momento angular proporconal a la velocdad areal, tambén ésta se conserva. La tercera, proporconaldad del cuadrado del período con el cubo de los rados de las órbtas, la acabamos de encontrar utlzando la condcón de semejanza mecánca.