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1 Mecánca Teórca Mao 009 Tema: Transformacones Canóncas Contactar: Una transformacón canónca es un cambo de las coordenadas generalzadas tal ue dan lugar a un nuevo amltonano ( amltonano (,; (,; [] Las nuevas coordenadas se defnen en funcón de las antguas, es decr:,,,, t t No cualuer cambo de coordenadas es canónco. La transformacón camba la forma del amltonano ero ha de reservar las ecuacones de amlton, o sea: ; [] *S la transformacón no nclue la coordenada temoral t, se le denomna transformacón canónca restrngda. Auí se tratarán este to. ara verfcar ue la transformacón es canónca, se emlean las denomnadas condcones drectas, ue consste en reconstrur las ecuacones de amlton ara al amltonano orgnal con las nuevas coordenadas, esto es: [3] [4] Luego ha ue gualar [3] con [4] (ecs. amlton. De gualarlas salen las condcones drectas: [5] [6] De la msma manera, a artr de la ecuacón de amlton condcones:, obtenemos las otras dos

2 [7] [8] A veces ara garantzar ue la transformacón es canónca, se recurre a una funcón generatrz de la transformacón ue ha de ser funcón de una coordenada generalzada antgua ( o, una coordenada generalzada nueva ( o oconalmente, del temo. Esta funcón satsface la sguente gualdad (fruto del teorema de Louvlle: (,, (,, d dt [9] En general, el factor ara una transf. Canónca se guala a. En caso contraro, se trata de una transformacón canónca extendda. A artr de combnacones de coordenadas antguas nuevas, exsten 4 tos fundamentales de funcones generatrces: Funcón (,, Dervadas,, 3, 4, t, t, t F or eemlo, s la funcón generatrz es del rmer to, la ecuacón [9] resulta en: (,, t,, t [0]

3 ara ue se cumla [9] se han de cumlr la sguentes relacones: ; ; t En la tabla aarecen las relacones ue ermten encontrar las dferentes funcones generatrces a artr de las coordenadas nuevas vceversa. Algunos eemlos de transformacones canóncas odrían ser: La transformacón smle (,, = En este caso, con = --- Mostrar s es canónca la transformacón cot( sn ln S lo es, entonces la ecuacón de amlton ha de cumlrse tambén ara las nuevas coordenadas. Así, or un lado tenemos ue [] Y or el otro, [] La matrz acobana de la transformacón sería ( cosec cot( cot(,, M

4 En este caso, M =. Esto uere decr ue la transformacón está ben defnda (el sstema es comatble a ue M no es cero La matrz nversa de esta transformacón vendrá dada or M, cosec ( cot(, cot( Esto nos auda a calcular [] [] resectvamente cot( cosec ( cot( cosec ( cosec ( cot( [3] [4] S gualamos las exresones [3] [4] e dentfcando térmnos, tenemos ue =, or lo tanto la transformacón es canónca. Cuál sería la funcón generatrz asocada? artmos de ue se trata de una transformacón canònca restrngda (no deende del temo 0, así ue = t Sendo esto así, tendremos ue el dferencal total de es d d d [5] or otro lado, odemos desarrollar [9] tenendo en cuenta ue auí = nuevamente ue 0 t

5 d dt d dt d d d (dvdmos entre /d dt dt dt d d d =d (agruando térmnos d d d d [6] El segundo térmno de [6] es lo msmo ue [5] e dentfcando térmnos entre sí: O sea d d d cot( d cot d cot d d cot d cot d [7] cot( cot( d Identfcando térmnos con la dferencal total, al fnal tenemos ue cot ; cot A artr de auí odemos hallar una exresón ara a artr de ntegrandos estos dos térmnos, o sea (ág. Sguente > cot cot ( cot f ( Análogamente * cot cot Así ues, fnalmente tenemos ue (, cot

6 * Ya ue cot xdx cot x x