UNIDAD N 1 ESPACIOS VECTORIALES

Transcripción

1 UNIDAD N ESPACIOS VECTORIALES

2 ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN Nº : Un CUERPO F es un conjunto con dos operacones (denotadas por + y ) que satsface las sguentes propedades: + ) La adcón es conmutatva, o sea x + y = y + x x, y F. ) La adcón es asocatva, o sea ( x + y) + z = x + ( y + z ) x, y, z F 3) Exste un únco elemento 0 de F tal que x + 0 = x x F. 4) A cada elemento x F le corresponde un únco elemento - x F tal que x + ( x ) =0 5) La multplcacón es conmutatva, o sea x y = y x x, y F. 6) La multplcacón es asocatva, o sea ( x y) z = x ( y z ) x, y, z F 7) Exste un elemento no nulo únco de F, el, tal que x = x x F. - 8) A cada elemento no nulo x F le corresponde un únco elemento x = F tal que x - x x = + { La multplcacón es dstrbutva con respecto de la adcón, o sea x ( y + z) = x y + x z x, y, z F Por ejemplo ) Q y R son cuerpos porque verfcan las 9 propedades anterores. ) N no es cuerpo porque no se verfcan las sguentes propedades: 3: El elemento neutro para la adcón, 0, no es un número natural. 4: El opuesto de un número natural no es un número natural. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 7

3 8: El nverso de un número natural no es un número natural, excepto para el que es el únco natural nversble en N. 3) Z no es cuerpo porque no se verfca la propedad 8 ya que los úncos enteros nversbles en Z son y -. DEFINICIÓN Nº : Un ESPACIO VECTORIAL consta de lo sguente: ) Un cuerpo F de escalares. ) Un conjunto V de objetos llamados vectores. 3) Una regla u operacón, llamada adcón vectoral, que asoca a cada par de vectores α, β de V, un vector α + β de V, que se llama suma de α y β, de tal modo que: a) α + β = β + α α,β V (conmutatva) b) ( α β) δ α ( β δ ) + + = + + α,β,δ V (asocatva) c) Exste un únco vector 0 V, llamado vector nulo, tal que α + 0 = α α V (neutro adtvo) d) Para todo vector α V, exste un únco vector α V tal que α + ( α) = 0 (nverso adtvo). 4) Una regla u operacón, llamada multplcacón escalar, que asoca a cada escalar c de F y a cada vector α de V un vector cα de V, llamado producto de c y de α, de tal modo que: a) Exste un únco escalar en F, tal que α = α α V c c α = c c α c,c F α V b) c) c ( α + β) = cα + cβ c F α,β V c + c α = cα + c α c,c F α V d) INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 8

4 Para demostrar que un conjunto es espaco vectoral con las operacones que para él se defnen es necesaro verfcar que: La suma de dos elementos de ese conjunto pertenece a ese conjunto. Se cumplen las cuatro propedades de la adcón vectoral. El producto de un elemento del cuerpo por un elemento del conjunto pertenece al conjunto. Se cumplen las cuatro propedades de la multplcacón escalar. S alguna de estas condcones no se cumplera no es necesaro contnuar la verfcacón de las otras. Drectamente podemos afrmar que el conjunto no es espaco vectoral. En los sguentes ejemplos aplcaremos la defncón de espaco vectoral. ) Sea F un cuerpo cualesquera y V el conjunto de todas las n-uplas de escalares de F. Sean: ( ) α = x ; ;x con x F = ; ;n n ( ) β = y ; ;y con y F = ; ;n c F. n Se defnen: α β = ( x + y ; ;x + y ) cα = cx ; n n ( ;cx ) n INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 9

5 vectoral. Demostraremos que con estas operacones usuales, V es un F-espaco Demostracón: Como podemos observar, las operacones defndas son las usuales. A partr de ellas demostraremos las 8 propedades. α = x ; ;x n, β = y ; ;y n, δ = z ; ;zn V y sean c, c, c F. Sean. ( ) α β = x + y ; ;x + y por defncón de suma n n ( ) = y + x ; ;y + x por ser F cuerpo la suma es conmutatva = β α n n α β = β α α,β V. ( ) ( ) α β δ = x + y ; ;x + y + z ; ;z por defncón de suma n n n (( ) ( n n ) n ) = x + y + z ; ; x + y + z por defncón de suma ( ( ) n ( n n )) = x + y + z ; ;x + y + z por ser F cuerpo la suma es asocatva = α β δ ( α β) δ α ( β δ ) = α,β,δ V 3. Demostraremos la exstenca y la uncdad del elemento neutro adtvo. λ = a ; ;a V tal que α λ = α α V. Pretendemos probar que, en Sea este caso, λ = 0. n ( ) α λ = x + a ; ;x + a por defncón de suma n n ( ) = x ; ;x porque tomamos λ /α λ = α α V = α n x + a = x = ; ;n. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 0

6 x F = ; ;n x F / x + x = 0. Como Sumando membro a membro en x + a = x ( x + a ) + ( x ) = x + ( x ), obtenemos: a + x + x = 0 por la propedad conmutatva y del nverso adtvo en F a + x + x = 0 por la propedad asocatva en F a + 0 = 0 por la propedad del nverso adtvo en F a = 0 por ser 0 el elemento neutro en F x De esta forma, a = 0 = ; ;n λ = (0; ;0), con lo cual queda demostrada la exstenca y la uncdad del vector nulo.! 0 V / α 0 = α α V 4. Demostraremos la exstenca y la uncdad del nverso adtvo de un vector. θ = α. θ = b ; ;b V tal que α θ = 0 α V. Demostraremos que Sea n ( ) α θ = x + b ; ;x + b por defncón de suma n n ( ) = 0; ;0 porque tomamos θ /α θ = 0 α V = 0 x + b = 0 = ; ;n. x F = ; ;n x F/ x + x = 0. Como Sumando membro a membro en x + b = 0 ( x + b ) + ( x ) = 0 + ( x ), obtenemos: b + x + x = x por la propedad conmutatva en F y por ser 0 el elemento neutro en F b + x + x = x por la propedad asocatva en F x INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ

7 b + 0 = x por la propedad del nverso adtvo en F b = x por ser 0 el elemento neutro en F De esta forma, b = x = ; ;n θ = α = ( x ; ; x ) n demostrada la exstenca y la uncdad del nverso adtvo de un vector., con lo cual queda Dado α V,! α V / α ( α) = Por ser F cuerpo, F / x = x x F. Luego, ( ) α = x ; ; x por defncón de multplcacón n ( ) = x ; ;x por ser el neutro del producto en F = α n α = α α V 6. c c α = c c x ; ; c c x por defncón de multplcacón escalar n ( ( ) ( n )) = c c x ; ;c c x por la propedad asocatva del producto en el cuerpo F = c c x ; ;c x por defncón de multplcacón escalar n = c c x ; ;x n por defncón de multplcacón escalar ( c α) = c ( ) c c α = c c α c,c F α V 7. ( ) c α β = c x + y ; ;x + y por defncón de adcón vectoral n n ( ( ) ( n n )) = c x + y ; ;c x + y por defncón de multplcacón escalar ( ) = cx + cy ; ;cx + cy por la propedad dstrbutva de la multplcacón con n n ( ) ( ) n n respecto a la adcón en el cuerpo F = cx ; ;cx cy ; ;cy por defncón de adcón vectoral INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ

8 ( ) = c x ; ;x c y ; ;y por defncón de multplcacón escalar = cα cβ n n c α β = cα cβ c F α,β V 8. ( c + c ) α = ( c + c ) ( x ; ;x ) n (( ) ( ) n ) = c + c x ; ; c + c x por defncón de multplcacón escalar ( ) = c x + c x ; ;c x + c x por la propedad dstrbutva de la multplcacón n n ( ) ( ) n n ( ) n n con respecto a la adcón en el cuerpo F = c x ; ;c x c x ; ;c x por defncón de adcón vectoral = c x ; ; x c x ; ;x por defncón de multplcacón escalar = cα + cα c + c α = cα c α c,c F α V Al verfcarse las cuatro propedades de la adcón vectoral y las cuatro propedades de la multplcacón escalar, entonces V es un F espaco vectoral. Como podemos observar, cuando el conjunto junto con las operacones defndas para él es espaco vectoral, la demostracón no es dfícl s se tenen en claro las propedades, pero sí es extensa. En cambo, cuando el conjunto no es espaco vectoral la demostracón puede resultar mucho más corta s se logra detectar rápdamente cuál propedad es la que no se verfca y demostrar que esto es así o mostrar un contraejemplo para la msma. ) Sea F el cuerpo de los números reales y V el conjunto de pares ( x;y ) de números reales. Se defnen las sguentes operacones: ( x ;y ) ( x ;y ) = ( x + x ;0) = c x;y cx;0 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 3

9 Es V, con estas operacones, un R espaco vectoral? Demostracón: Para poder demostrar s un conjunto con unas determnadas operacones defndas es o no espaco vectoral, es mportante comprender en qué conssten esas operacones. Para este ejemplo, en el caso de la adcón vectoral, al sumar dos vectores, obtenemos un nuevo vector cuya prmera componente es la suma de las prmeras componentes de los vectores dados y cuya segunda componente es gual a cero, ndependentemente de cuáles sean los vectores sumados. Así, por ejemplo, s estuvésemos sumando los vectores ( 3;5 ) y ( 4; ) obtendríamos lo sguente: ( 3;5) ( 4; ) = ( 3 + 4;0) = ( 7;0) En el caso de la multplcacón escalar, al multplcar un escalar por un vector, obtenemos un nuevo vector cuya prmera componente es el producto entre el escalar dado y la prmera componente del vector dado y cuya segunda componente es gual a cero, ndependentemente de cuál sea el escalar y cuál sea el vector. Así, por ejemplo, s estuvésemos multplcando 3 por el vector ( 4; ) obtendríamos lo sguente: 3 4; = 3 4;0 = ;0 y 0. Dejando esto en claro, comenzaremos la demostracón. Sea ( x;y) V con y 0. Supongamos que exste 0 V tal que 0 es el neutro de la adcón vectoral. Luego, s V es un R espaco vectoral, se verfca que ( x;y) 0 = ( x;y ). Pero, de acuerdo a las operacones defndas, ( x;y) 0 = ( x;0) ( x;y) por ser Por lo tanto no exste un elemento neutro adtvo, con lo cual se puede conclur que V no es un R espaco vectoral. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 4

10 3) Sea V = R y F = R. Se defnen las sguentes operacones: x;y x ';y ' = x + x '; y + y ' c ( x;y) = ( cx;cy ) Es V, con estas operacones, un R espaco vectoral? Demostracón: Nuevamente, es mportante comprender en qué conssten las operacones defndas. Para este ejemplo, en el caso de la adcón vectoral, al sumar dos vectores, obtenemos un nuevo vector cuya prmera componente es la suma de las mtades de las prmeras componentes de los vectores dados y cuya segunda componente es la suma de las mtades de las segundas componentes de los vectores dados. Así, por ejemplo, s estuvésemos sumando los vectores ( 3;5 ) y ( 4; ) obtendríamos lo sguente: ;5 4; = + ; = ; En el caso de la multplcacón escalar, se trata de la multplcacón común entre un escalar y un vector, es decr, al multplcar el escalar por el vector se obtene un nuevo vector en el que cada una de sus componentes resulta de multplcar el escalar por las componentes del vector dado. Así, por ejemplo, s estuvésemos multplcando 3 obtendríamos lo sguente: 3 4; = 3 4; 3 = ;6 por el vector ( 4; ) Dejando esto en claro, comenzaremos la demostracón. α a ;a, β b ;b, δ d ;d = = = R y sean Sean c, c, c R. Comenzaremos a chequear s se verfcan las 8 propedades. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 5

11 . α β = ( a ;a ) ( b ;b ) = a + b ; a + b por defncón de suma = b + a ; b + a por ser F cuerpo la suma es conmutatva ( b ;b ) ( a ;a ) = = β α α β = β α α,β V. ( α β) δ = ( a ;a ) ( b ;b ) ( d ;d ) = a + b ; a + b ( d ;d ) por defncón de suma = a + b + d ; a + b + d por defncón de suma = a + b + d ; a + b + d Por otra parte: α β δ = a ;a b ;b d ;d = ( a ;a ) b + d ; b + d por defncón de suma = a + b + d ; a + b + d por defncón de suma a b d ; a b + d = α,β,δ V S observamos lo obtendo en ( ) y en ( ) podemos comprobar que exsten tal que ( α β) δ α ( β δ). que Por lo tanto, como no se verfca una de las propedades puede conclurse en R, con estas operacones defndas, no es un R espaco vectoral. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 6

12 Lo que se ha efectuado es una demostracón de que no se verfca la propedad asocatva de la adcón para las operacones defndas. Prevamente se ha probado la conmutatvdad, aunque esto no hubese sdo necesaro s de antemano hubésemos poddo determnar cuál era la propedad que no se cumplía. En este caso, bastaba con dedcarnos exclusvamente a ella. Tambén hubese sdo sufcente con dar un contraejemplo que mostrase que esa propedad no se verfcaba. Por ejemplo: sean α = ( ;3 ), β = ( 6;7 ) y δ = ( 8;4) R. Calcularemos ( α β) δ y α ( β δ) obtendo en el otro. y veremos s lo obtendo en un caso es o no gual a lo α β δ = ;3 6;7 8; = + ; + 8;4 ( ;5 ) ( 8;4) = = ; + 9 = 3; α β δ = ;3 6;7 8; = ( ;3 ) ; + = ( ;3 ) ; 3 ; = = ; 4 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 7

13 Como podemos observar, para los vectores tomados se tene que ( α β) δ α ( β δ). Por lo tanto, podría conclurse en que exsten α,β,δ R tales que ( α β) δ α ( β δ). Esto nos ndca que el conjunto no es espaco vectoral. Es mportante tener en cuenta que en la conclusón fnal dremos que exsten determnados vectores que no verfcan la propedad y no expresaremos que para todos no se cumple, puesto que sólo hemos tomado algunos de ellos para dar nuestro contrajemplo. Ahora es tu turno Te nvto a resolver los sguentes ejerccos Indca s se verfcan para cada uno de los sguentes conjuntos, con las operacones defndas, las ocho propedades correspondentes a los espacos vectorales. a) V = R 3, F = R, ( x;y;z ) ( x';y';z' ) = ( x + x';y + y';z + z' ), c ( x;y;z ) = ( cx;y;z ) b) V =, F =, ( x;y) ( x';y' ) = ( x + y';y + x' ), c ( x;y) = ( cx;y) R R. c) V = R 3, F = R, ( x;y;z ) ( x';y';z' ) = ( x + x';y + y';z + z' ), c ( x;y;z ) = ( 0;0;0 ) d) V =, F =, ( x;y) ( x';y' ) = ( x + x';y + y' ), c ( x;y) = ( cx;cy ) e) R R. n V =, F =, α β = α β, c α = cα R R. mxn mxn mxn f) V = F. S A, B F, A B = a + b. S c F y A F, c A = ca. j j j j j g) V =, F =, ( x;y) ( x';y' ) = ( x + x';y + y' ), c ( x;y) = ( cx;0) R R... RTA: Es espaco vectoral el del ítem f. En el sguente lema veremos dos propedades que se verfcan en un espaco vectoral. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 8

14 LEMA Nº : Sea V un F espaco vectoral. Entonces se cumple: ) S c F y α V, cα = 0 c = 0 ó α = 0 ) α = α α V. DEMOSTRACIÓN: ) Sean c F y α V. Sea c = 0, entonces cα = 0α = ( 0 + 0) α = 0α + 0α ( ) 4d Como 0α V, por 3d, -0α / 0α ( 0α) 0 + =. Entonces, sumando al segundo y últmo membro de la cadena de gualdades de ( ) 0α obtenemos: ( 0α) 0α + 0α = 0α + 0α + 0 = 0α + 0α + 0α por y por la propedad 3b de espaco vectoral 0 = 0α + 0 por 0 = 0α por 3c 0 = cα S c = 0 cα = 0 Sea α 0 =, entonces cα = c0 = c ( 0 + 0) = c0 + c0 ( ) 4b Como c0 V, por 3d, -c0 V / c0 + ( c0) = 0 ( ). Así, sumando al segundo y últmo membro de la cadena de gualdades de ( ) c0 obtenemos: INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 9

15 c0 + c0 = c0 + c0 + c0 0 = c0 + c0 + c0 por y por la propedad 3b de espaco vectoral 0 = c0 + 0 por 0 = c0 por 3c 0 = cα S α = 0 cα = 0 Sea cα = 0 ( ) Puede suceder que c = 0 o que c 0. S c = 0, la demostracón estaría termnada. S c 0, entonces, por ser F cuerpo, exste c F tal que Multplcando a ambos membros de la gualdad ( ) por c c =. c, obtenemos: c cα = c 0 4b c cα = 0 probado anterormente α = 0 4a α = 0 De acuerdo con lo demostrado, s cα = 0 y c 0, entonces α = 0. S cα = 0 c = 0 ó α = 0 ) 4d 4a ) Por ), 0 = 0α = + ( ) α = α + α = α + α ( ) Ahora, dado α V α V / α + α = 0, por 3d, exste Sumando α al prmer y últmo membro de la gualdad ( ) obtenemos: INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 30 α + 0 = α + α + α 3c α = α + α + α 3b α = 0 + α 3d

16 α = α α V α = ( α ) 3c DEFINICIÓN Nº 3: Un vector β de V se dce COMBINACIÓN LINEAL de los vectores α ; ;αn en V, s exsten escalares c ; ;cn de F tales que β = cα + + c α = cα. n n = n Buscaremos comprender la defncón anteror a través de los sguentes ejemplos. ) Sean β ( 3; 4 ); α ( 3; ) y α ( ;0 ) = = =. Es β combnacón lneal de α y α? Para poder responder a esta pregunta, deberemos plantearnos otra, equvalente a ella: Exsten escalares c,c F / β = cα + cα? S exsteran se verfcaría la sguente gualdad: ( 3; 4) c ( 3; ) c ( ;0 ) ( 3c c ; c ) = + = +, Esto últmo nos lleva a plantear el sstema de ecuacones 3c + c = 3 c = 4, cuya solucón es c =. c = 3 β = α + 3 α, con lo Así, podemos expresar a β de la sguente forma: cual, conclumos en que β combnacón lneal de α y α. ) Sean β ( ;; ); α ( ;;0 ) y α ( 3;;0 ) = = =. Es β combnacón lneal de α y α? INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 3

17 Nuevamente, para poder responder a esta pregunta, deberemos verfcar s exsten escalares c,c F / β = cα + cα. Supongamos que exsten tales escalares. Luego: ( ;; ) c ( ;;0 ) c ( 3;;0 ) ( c 3c ;c c ;0) = + = +, con lo cual resulta = 0. Absurdo: el absurdo provene de suponer que β combnacón lneal de α y α. Por lo tanto, β no es combnacón lneal de α y α. 3) En este caso, expresaremos al polnomo A ( x) = 3x + x como combnacón lneal de los polnomos P x = + x + 4x P x = x + 3x P3 x = 3 + x + 5x Aquí no se nos pregunta s A es combnacón lneal de P, P y P 3, sno que drectamente se pde que se arme esa combnacón, lo que permte asegurar que esto es posble. Sean a, b y c escalares tales que se verfca la sguente gualdad: = + + A x ap x bp x cp x 3 Entonces: 3x + x = ap x + bp x + cp3 x = a + x + 4x + b x + 3x + c 3 + x + 5x = a + ax + 4ax + b bx + 3bx + 3c + cx + 5cx = a + b + 3c + a b + c x + 4a + 3b + 5c x Se tene una gualdad entre dos polnomos. Uno de ellos es otro es ( a + b + 3c) + ( a b + c ) x + ( 4a + 3b + 5c) x. 3x + x y el Para que la gualdad entre ellos se verfque deben ser guales sus térmnos ndependentes, sus coefcentes lneales y sus coefcentes prncpales. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 3

18 De esta manera: a + b + 3c = a b + c = 3 4a + 3b + 5c = Resolvemos el sstema armando la matrz correspondente al msmo y reducéndola hasta encontrar los valores de a, b y c Por lo tanto a =, b = y c = Es decr que, A ( x) = P ( x) + P ( x) + P ( x) 3 4) Expresaremos los sguentes vectores como combnacón lneal de α = ( ; ;0 ), β ( 0;;3 ) y δ ( 4; ;) = =. a)( 4;; 3) b) ( 5;0; ) c) ( ; 3;) En este caso, no se nos pde determnar s los vectores de los ítems a, b y c son o no son combnacón lneal de α, β y δ. Se sobreentende por el enuncado que sí lo son y lo que se nos pde es que armemos la combnacón lneal correspondente. Para hacerlo habría que construr las matrces aumentadas en tres oportundades. Ahorraremos trabajo procedendo de la sguente manera: INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 33

19 tal que: 3 Sea ( x;y;z ) R combnacón lneal de α, β y δ. Entonces, exsten a, b, c R ( x;y;z ) = aα + bβ + cδ = a ; ;0 + b 0;;3 + c 4; ; ( a; a;0 ) ( 0;b;3b ) ( 4c; c;c ) = + + ( a 4c; a b c;3b c) = De acuerdo con esto, resulta el sguente sstema: a + 4c = x a + b c = y 3b + c = z Armamos la matrz aumentada del sstema y la reducmos hasta obtener los valores de a, b y c en funcón de los de x, y, z. 0 4 x 0 4 x 0 4 x y 0 6 x + y 0 6 x + y 0 3 z 0 3 z x 3y + z x y + z a x y z 0 4 x = x y 0 0 x y z + + b = x y + z x + y z x y z + c = x + y z Por lo tanto: x; y;z = x y + z α + x y + z β + x + y z δ Escrbremos ahora cada una de las combnacones lneales peddas. a)( 4;; 3) En este caso, x = 4, y = y z = 3. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 34

20 Entonces: a = x y + z = 4 + ( 3) = b = x y + z = 4 + ( 3) = c = x + y z = 4 + ( 3) = Por lo tanto, ;; 3 = α β + δ b) ( 5;0; ) En este caso, x = 5, y = 0 y z =. Entonces: a = x y + z = = b = x y + z = = c = x + y z = = Por lo tanto, ;0; = α β + δ c) ( ; 3;) En este caso, x =, y = 3 y z =. Entonces: a = x y + z = ( 3) + = b = x y + z = ( 3) + = c = x + y z = + ( 3) = Por lo tanto, ; 3; = α + β δ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 35

21 Es hora de practcar! Resuelve los sguentes ejerccos. ) Cuáles de los sguentes vectores son combnacón lneal de α = ( ; ;3 ) y β = ( ;4;0 )? Justfca. a)( 3;3;3 ) b) ( 4;;6 ) c) ( ;5;6 ) d) ( 0;0;0 ) RTA: Son combnacón lneal los vectores de los ítems b y d. b) ( 4;;6 ) = α + β d) 0;0;0 = 0α + 0β ) Expresa los sguentes vectores como combnacón lneal de α = ( ;;4 ), β = ( ; ;3 ) y δ = ( 3;;5 ). a)( 5;9;5 ) b) ( ;0;6 ) c) ( 0;0;0 ) d) ( ;;3 ) RTA: a) 3α 4β + δ b) 4α + 0β δ c) 0α + 0β + 0δ d) α β + δ 3) Expresa cada uno de los sguentes vectores como combnacón lneal de α = ( ; ;3;5 ), β ( ; ;;6 ), δ ( ;4;0;3 ) y λ ( ;;; ) = = =. a) ( 3;0; 3;6) b) 3;;5; 4 c) ( 3;8;7; 3) d) ( 0; 4; ; ) RTA: a) c) α + β δ + λ b) α β + δ λ d) α β + δ λ α + β δ + λ ) Expresa cada uno de los sguentes polnomos como combnacón lneal de P ( x) = + x + 4x, P ( x) = x + 3x y P3 ( x) 3 x 5x = + +. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 36

22 a) A ( x) = 9 7x 5x b) B( x) = 6 + x + 6x c) C( x) = 0 d) D( x) = 7 + 8x + 9x RTA: a) A = P + P P3 b) B = 4P 5P + P3 c) C = 0P + 0P + 0P3 d) D = 0P P + 3P3 DEFINICIÓN Nº 4: Sea V un espaco vectoral sobre el cuerpo F. Un SUBESPACIO de V es un subconjunto W de V que, con las operacones de adcón vectoral y multplcacón escalar sobre V, es él msmo un F espaco vectoral. Para demostrar que W es un subespaco de V hay que probar que es un espaco vectoral él msmo con las operacones defndas sobre V. Pero, es necesaro verfcar todas las propedades? Veamos una a una. Dados α, β en W... α + β W? Como no podemos asegurar que α + β W (sí que α + β V ), esta deberá ser una de las cosas a demostrar. V α β W α + β? α + β? α + β = β + α α,β W? La respuesta a esta pregunta es sí, puesto que s α,β W, como W V, entonces α,β V y por ser V espaco vectoral se verfca que α + β = β + α. Por lo tanto no deberemos probar la conmutatvdad de la adcón en W. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 37

23 ( α + β) + δ = α + ( β + δ ) α,β,δ W? La respuesta a esta pregunta es sí, puesto que s α,β,δ W, como W V, entonces α,β,δ V y por ser V espaco vectoral se verfca que ( α + β) + δ = α + ( β + δ). Por lo tanto no deberemos comprobar la asocatvdad de la adcón en W. Exste un únco vector 0 V, llamado vector nulo, tal que α + 0 = α α V. Ahora, 0 W? No necesaramente, por ello, que 0 pertenezca a W es otra de las cosas que deberemos verfcar. V α W 0? 0 Dado α W exste un únco vector, sabemos que α V, con lo cual, por ser V espaco vectoral, α V tal que α + ( α) = 0. Ahora, α W? No necesaramente Por ello, que deberemos demostrar. α pertenezca a W es otra de las cosas que V α W α? α Dados c en F y α en W... cα W? Como no podemos asegurar que cα W (sí, que cα V ), esta deberá ser una de las cosas a chequear. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 38

24 V α W cα? cα? Por ser V espaco vectoral, exste un únco escalar en F, tal que α = α α V. Luego, s α W, entonces α V. Por lo tanto α = α α W, con lo cual no deberemos demostrar esta propedad. c c α = c c α c,c F α W? La respuesta a esta pregunta es sí, puesto que s α W, como W V, entonces α V y por ser V espaco vectoral se verfca que ( c c ) α c ( c α) comprobar esta propedad. =. Por lo tanto no deberemos c ( α + β) = cα + cβ c F α,β W? La respuesta a esta pregunta es sí, puesto que s α,β W, como W V, entonces α,β V y por ser V espaco vectoral se verfca que c ( α + β) = cα + cβ. Por lo tanto no deberemos demostrar la dstrbutvdad en el producto de un escalar por una suma de vectores de W. c + c α = cα + c α c,c F α W? La respuesta a esta pregunta es sí, puesto que s α W, como W V, entonces α V y por ser V espaco vectoral se verfca que c + c α = cα + c α. Por lo tanto no deberemos probar la dstrbutvdad en el producto de un vector de W por una suma de escalares. CONCLUSIÓN: Por lo tanto, para demostrar que un subconjunto W de V es subespaco de V basta con probar: INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 39

25 ) α, β W α + β W. ) 0 W. 3) α W α W. 4) α W c F cα W. En los sguentes ejemplos veremos cómo analzar s algunos conjuntos son o no subespacos de usuales. 3 R, con las operacones { a;0;0 / a } ) Sea W = R. Para poder determnar s W es o no subespaco deberemos consderar elementos que pertenezcan a este conjunto. Pero. qué característca tenen estos elementos? S observamos cómo está defndo el conjunto, podemos ver que W está consttudo por vectores de tres coordenadas. La prmera es un número real cualesquera y las dos últmas son nulas. Gráfcamente, W queda representado medante los puntos del eje x. Tenendo en cuenta las observacones anterores, tomaremos un vector α y un vector β en W. Sean α ( a;0;0 ), β ( b;0;0 ) = = W, c R. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 40

26 Veremos s se cumplen las cuatro condcones enumeradas anterormente y necesaras para que W sea un subespaco de ) α + β = ( a;0;0 ) + ( b;0;0 ) = ( a + b;0;0 ) 3 R. Este últmo vector pertenece a W pues su prmer componente es suma de dos números reales y, por tanto, es un número real y su segunda y tercer componente es gual a 0. Por lo tanto, α, β W se verfca que α + β W. ) El vector ( 0;0;0 ) W pues sus dos últmas componentes son 0 y su prmer componente tambén es 0, que es un número real. 3) Sea α ( a;0;0 ) y sea α ( a;0;0 ) = =. Se verfca entonces que α + ( α) = 0 y además α W pues su prmer componente es el opuesto de un número real y, por tanto, es tambén un número real y sus dos últmas componentes son 0. Por lo tanto, α W α W. 4) cα = c ( a;0;0 ) = ( ca;0;0 ) W pues su prmer componente es gual al producto entre dos números reales y, por tanto, es un número real y sus dos últmas componentes son 0. Por lo tanto, α W c R se verfca que cα W. Por lo demostrado en ), ), 3) y 4), W es un subespaco de 3 R. { a;; / a } ) Sea W = R. En este caso, el conjunto W está formado por vectores de tres componentes. La prmera de ella es un número real cualesquera y las dos últmas son. En el sguente gráfco podemos observar la representacón de W. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 4

27 Sean α ( a;; ), β ( b;; ) = = W, c R. Veremos s se cumplen las cuatro condcones enumeradas anterormente y necesaras para que W sea un subespaco de 3 R. ) α + β = ( a;; ) + ( b;; ) = ( a + b;; ) W pues su prmer componente es suma de dos números reales y, por tanto, es un número real, pero su segunda y tercer componente no son guales a, sno a. Por lo tanto, α, β W se verfca que α + β W. α,β W W. Gráfcamente, podemos observar que, tomando dos vectores cualesquera, la suma de ellos, a la cual se ha nombrado δ en el gráfco, no pertenece a ejemplo. Con esto, alcanza para afrmar que W no es un subespaco de 3 R. Sn embargo, seguremos verfcando las demás propedades a modo de INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 4

28 ) El vector ( 0;0;0 ) W pues sus dos últmas componentes no son. 3) Sea α = ( a;; ), entonces α ( a; ; ) componentes son dstntas de. Por lo tanto, dado α W, α W. = W pues sus dos últmas Podemos observar que s tomamos un vector α en W (señalado en rosa), su opuesto α no pertenece a W (señalado en grs). 4) cα = c ( a;; ) = ( ca;c;c ) W c. Por lo tanto, α W c R, c, se verfca que cα W. Por lo demostrado en ), ), 3) y 4), W no es un subespaco de 3 R. A partr de la conclusón obtenda anterormente, podemos enuncar el sguente teorema, en el cual se caracterza a los subespacos. El msmo reduce las cuatro propedades que demostramos a tan solo una y facltará la resolucón de aquellos ejerccos en los cuales se nos pregunte s un conjunto es o no subespaco de un espaco vectoral dado. TEOREMA Nº : α, β W y c F, cα + β W. Un subconjunto no vacío W de V es un subespaco s y sólo s INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 43

29 DEMOSTRACIÓN: Sean α, β W c F. Por ser W subespaco de V se verfca 4, entonces cα W. Como cα W y β W, por, cα + β W. Sabendo que α, β W y c F se verfca que cα + β W, queremos demostrar que W es subespaco de V. Para ello deberemos probar las condcones a 4. ) Sean α, β W α + β = α + β W por hpótess. ) Como W δ W δ + δ W por hpótess. Luego, δ + δ = δ + δ = 0. lema nº Por lo tanto, 0 W. 3) Sea α W. Ya se demostró que 0 W α + 0 = α W por hpótess. 4) Sean α W y c F. Como 0 W cα + 0 = cα W por hpótess. Por lo probado en ), ), 3) y 4), W es subespaco de V. Veamos algunos ejemplos. ) S V es un espaco vectoral cualesquera: V es subespaco de V. El subconjunto que consta sólo del vector nulo es un subespaco de V llamado SUBESPACIO NULO. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 44

30 ) Verfcaremos que W { x;0 / x } = R es un subespaco de R. Para ello se debe demostrar que s α, β W y c R, entonces cα + β W. Es necesaro comprender entonces cómo son los vectores que están en W. Estos vectores tenen la prmera componente que es un número real cualquera y la segunda componente que es gual a cero. Gráfcamente, la representacón es el eje x. Sean α ( x;0 ), β ( y;0) = = W (por tanto, x,y R ) cα + β = c ( x;0) + ( y;0) = ( cx + y;0) W pues la prmera componente de cα + β es un número real y la segunda es gual a 0. Por lo tanto, W es un subespaco de R. 3) Es ( ) n { n R Q} W = a,,a / a subespaco de n R ( n 3)? En prmer lugar, debemos comprender que cualquer vector de W tene n componentes reales, pero entre ellas, la segunda no puede ser rraconal, la segunda es sí o sí un número raconal. α = a,a,,a W y sea c =. Sea entonces n Luego, cα = ( a,a,,an ) = ( a, a,, an ) INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 45

31 De esta manera, la segunda componente de cα es a, es decr, es el producto entre un número rraconal y uno raconal, con lo cual resulta rraconal. Así no se verfca que cα W α W c F. Por lo tanto W no es un subespaco vectoral de n R. Resuelve los sguentes ejerccos. ) Cuáles de los sguentes conjuntos de { } 3 R son subespacos de { ;a;0 / a } a) W = ( a;b;a + b ) / a,b R b) W 3 { } c) W = a;b;c / b = a + c = R R d) 3 R? 3 { R } W = a;b;c / c = a + b + RTA: Son subespacos a y c. ) Cuáles de los sguentes conjuntos de vectores de n R ( n 3)? n { n } a) ( ) W = a,,a / a 0 n { n } c) ( ) W = a,,a / a = a R b) ( ) R d) ( ) n R son subespacos de n { n R 3} W = a,,a / a + 3a = a n { n R } W = a,,a / a a = 0 RTA: Son subespacos b y c. TEOREMA Nº : Sea V un F espaco vectoral. La nterseccón de una famla arbtrara de subespacos de V es un subespaco de V. DEMOSTRACIÓN: INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 46

32 Sea { } W una famla de subespacos de V y sea I { } (es decr, W es la nterseccón de todos estos W = W = x / x W I I subespacos). Se debe demostrar que W es un subespaco de V. Como cada W es subespaco de V, entonces y así podemos ver que W y aplcar el teorema anteror. 0 W I, con lo cual 0 W Sean α, β W c F. Como α, β W α, β W I cα + β W I (por ser W subespaco de V) cα + β W W es subespaco de V. Por lo tanto, la nterseccón de una famla arbtrara de subespacos de V es un subespaco de V. SUBESPACIO GENERADO Sea V un F espaco vectoral y S un conjunto de vectores de V. S V Nos preguntamos exste un subespaco de V que contenga a S? La respuesta a esta pregunta es SÍ. Ese subespaco es el msmo V puesto que V es subespaco de V y V contene a S. Sea entonces = { L : L es subespaco de V y S L} F pues V F. F. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 47

33 F, entonces W es subespaco de V pues es nterseccón de Sea W = { L : L } subespacos. Tenemos entonces que: S L L F S W. S L F (L es subespaco de V tal que S L ), entonces W = L L. Por lo tanto, exste un subespaco mínmo que contene a S y que está contendo en cada uno de los otros subespacos que contenen a S, y que denotamos por <S>. DEFINICIÓN Nº 5: Sea S un conjunto de vectores de un espaco vectoral V. El SUBESPACIO GENERADO por S se defne como la nterseccón W de todos los subespacos de V que contenen a S. Cuando S es un conjunto fnto de vectores, S { α ; ;α } =, se dce que W n es el subespaco generado por los vectores α ; ;αn y se denota por <S>. El sguente teorema nos permte extraer conclusones respecto de cómo construr el subespaco generado por un subconjunto de un espaco vectoral. TEOREMA Nº 3: El subespaco generado por un subconjunto no vacío S de un espaco vectoral V es el conjunto de todas las combnacones lneales de los vectores de S. DEMOSTRACIÓN: Sea L = { combnacones lneales de elementos de S} INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 48

34 Debemos probar que < S >= L. Para ello habrá que demostrar la doble contencón. Probaremos que L es subespaco de V y que S el mínmo subespaco de V tal que S L. Luego, como < S > es < S >, entonces resultará que < S > L. ) Veamos que L es subespaco de V. Sean α, β L. Como L es gual al conjunto de combnacones lneales de elementos de S, entonces m = y = α aα n = l l con a l= β bβ F y α S = ; ;m y bl F y βl S l = ; ;n. Sea además c F. m n m n l l ( ) l l pues es combnacón lneal de cα + β = c aα + bβ = ca α + bβ L elementos de S. = l= = l= Por lo tanto L es subespaco de V. ) Veamos que S L. Sea α S. α = α, o sea, α es combnacón lneal de elementos de S, con lo cual α L y entonces conclumos en que S L. Por lo demostrado en ) y ), resulta que < S > L. Sea α L, entonces n = con c = α cα cα < S > = ; ;n (por ser < S > subespaco). F y α S = ; ;n, entonces INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 49

35 De esta manera, n por ser S = α = cα < S > < > subespaco. Por lo tanto L < S > Por todo lo demostrado se concluye en que < S >= L. Trataremos de comprender el concepto de subespaco generado a través de los sguentes ejemplos. ) Sea { } V = R y S ( ;3 );( 0;0) =. Determnaremos < S >. Por lo vsto en el teorema anteror, el subespaco generado por S es el conjunto de todas las combnacones lneales de elementos de S. Armaremos estas combnacones. Sean a, b R. a ( ;3 ) + b ( 0;0) = ( a;3a ) = a ( ;3 ). { } Por lo tanto < S >= a ;3 : a R. Gráfcamente, podemos observar que el subespaco generado por S es la recta que pasa por el punto ( ;3 ) y por el orgen de coordenadas. Observa el archvo SUBESPACIO GENERADO EJEMPLO.ggb. En el msmo se muestra cómo, al varar el valor de a, se van generando los dstntos puntos de la recta. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 50

36 ) Sea { } V = R y S ( ;3 );( 3;) =. Nuevamente, determnaremos < S >. Sean a, b R. a ( ;3 ) + b ( 3;) = ( a + 3b;3a + b). { } Por lo tanto < S >= a + 3b;3a + b / a,b R Pero, a qué es gual veremos la doble contencón. < S >? Vamos a demostrar que < S >= R. Para ello Trvalmente < S > R (pues todo elemento de S < > es un par ordenado con dos coordenadas reales). Sea ( x;y) R. x;y < S > a,b R / x = a + 3b e y = 3a + b AX = Y tene solucón donde 3 A = 3, a X = b e x Y = y. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 5

37 Resolvemos el sstema de ecuacones por el método que deseemos. En este caso, lo haremos aplcando operacones elementales de flas sobre la matrz aumentada 3 x A ' = 3 y. 3 x 3 x 3 3 x 0 x + y 3 x 5 5 A' = 3 y y 0 x y 0 x y 0 x y Por lo tanto, 3 3 a = x + y y b = x y Así, para cada ( x;y) R, x = a + 3b e y = 3a + b. 3 3 a = x + y R y b = x y R tal que a = = 5 y b = 5 5 = Por ejemplo, dado ( x;y) = ( 5; 5), tal que 5 ( ;3 ) + 5 ( 3;) = ( x;y) = ( 5; 5). Como < S > R y R <S>, entonces < S >= R. S tuvésemos que representar gráfcamente el subespaco generado por S deberíamos marcar entonces todo el plano (señalado en celeste). INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 5

38 Observa el archvo SUBESPACIO GENERADO EJEMPLO.ggb. En el msmo se muestra cómo, al varar los valores de a y de b, se van generando los dstntos puntos del plano de. 3) Determnaremos ahora s los sguentes vectores pertenecen al subespaco 3 R generado por α ( 3; 5;) = y β ( ; ;4 ) =. a) ( 5; 8; ) b) ( 4; 7;0) Para resolver este ejercco debemos tener en cuenta que para que un vector pertenezca al subespaco generado por α y β debe ser combnacón lneal de x;y;z α;β a, b R / x;y;z = aα + bβ. α y β. Es decr, Veamos qué mplca esto. ( x;y;z ) = aα + bβ = a 3; 5; + b ; ;4 ( 3a; 5a;a ) ( b; b;4b ) = + ( 3a b; 5a b;a 4b) = + + De acuerdo con esto: 3a + b = x x; y;z α;β a, b R / tene solucón el sstema 5a b = y a + 4b = z Armamos la matrz aumentada del sstema y la reducmos. 4 0 y z 4 z 3 x 4 z 4 z y 5 y 0 8 y 5z 0 y z 0 y z z 3 x 0 x 3z 0 x 3z 0 0 x y z INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 53

39 4 a = y z b = y + z 8 8 x + y + z = Luego, el sstema tene solucón s y sólo s x;y;z α;β x + y + z = 0 x = y z que x + y + z = 0. Esto sgnfca 8 8 S esto ocurre: ( x;y;z ) = aα + bβ 4 5 = y z α y z β Por lo tanto: < S >= x;y;z R / x = y z. 8 8 Gráfcamente, la representacón del subespaco generado por S es la sguente: Veremos s los vectores de cada uno de los ítems pertenecen al subespaco generado por α y β. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 54

40 a) ( 5; 8; ) En este caso x = 5, y = 8 y z =. Veamos s se verfca la condcón bajo la cual el sstema tene solucón. x + y + z = 5 + ( 8) + ( ) = Por lo tanto ( 5; 8; ) α;β. Esto sgnfca que ( 5; 8; ) lneal de α y β. Calcularemos a y b para armar dcha combnacón. es combnacón 4 4 a = y z = ( 8) ( ) = b = y + z = ( 8) + ( ) = De esta manera: ( 5; 8; ) = α β. b) ( 4; 7;0) En este caso x = 4, y = 7 y z = 0. Veamos s se verfca la condcón bajo la cual el sstema tene solucón. Por lo tanto ( 4; 7;0) α;β. 5 x + y + z = 4 + ( 7) + 0 = En el sguente gráfco podemos observar cómo el vector ( 5; 8; ) se encuentra en el plano determnado por α y β, mentras que el vector ( 4; 7;0), señalado en línea de puntos, se encuentra fuera de este plano. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 55

41 Podrías completar, a modo de conclusón, los sguentes enuncados? En R el vector nulo y otro vector cualesquera α, dstnto de cero, generan... s consderamos la recta que pasa por cero y por un vector α no nulo y otro vector β que no se encuentra en esa msma recta, podemos decr que α y β generan... s consderamos la recta que pasa por cero y por un vector α no nulo y otro vector β que se encuentra en esa msma recta, podemos decr que α y β generan... INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 56

42 En 3 R el vector nulo y otro vector cualesquera α, dstnto de cero, generan... s consderamos la recta que pasa por cero y por un vector α no nulo y otro vector β que no se encuentra en esa msma recta, podemos decr que α y β generan... s consderamos la recta que pasa por cero y por un vector α no nulo y otro vector β que se encuentra en esa msma recta, podemos decr que α y β generan... s consderamos tres vectores no nulos α, β y δ no alneados, el subespaco generado por ellos es gual a... s consderamos tres vectores no nulos α, β y δ, sendo que β se encuentra en la recta que pasa por el orgen de coordenadas y por α y δ no se encuentra en esa recta, el subespaco generado por α, β y δ es... A trabajar! Te nvto a resolver los sguentes ejerccos ) En cada caso, determna s los vectores dados generan a) α = ( ;; ); β = ( 0;0;3 ); δ = ( 0;; ) b) α = ( ; ;3 ); β = ( 4;; ); δ = ( 8; ;8 ) c) α = ( 3;;4 ); β = ( ; 3;5 ); δ = ( 5; ;9 ); θ = ( ;4; ) d) α = ( ;;6 ); β = ( 3;4; ); δ = ( 4;3; ); θ = ( 3;3; ) 3 R. RTA: a) Generan INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 57 3 R. b) No generan R, sólo generan x;y;z R / x y + z =

43 c) No generan R, sólo generan x;y;z R / x + y + z = 0 d) Generan 3 R. ) Determna s los sguentes polnomos generan P : A x = x + x B x = 3 + x C x = 5 x + 4x D x = x + x RTA: Los polnomos no generan P. Sólo generan a + bx + cx P / a + b + c = ) Indca cuáles de los sguentes vectores pertenecen al subespaco de generado por α = ( ; ;3; ), β ( ;;; 3 ) y δ ( ;;9;5 ) = =. Justfca. 4 R a) ( 3; ;0; ) b) ( ; 5; 7;) c) ; ; ; RTA: a) No b) ; 5; 7; = α β δ c) 3; ; ; α β 0δ = DEFINICIÓN Nº 6: Sean S ;S ; ;Sk subconjuntos del F espaco vectoral V. Llamamos SUMA DE S ;S ; ;Sk al conjunto k { } S + S + + S = S = α V /α = α + α + + α con α S = ; ;k k k = INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 58

44 PROPOSICIÓN Nº : S W,W,...,W k son subespacos del espaco vectoral V y W k = W, entonces: = ) W W = ; ;k. ) W es subespaco de V 3) W k = W = DEMOSTRACIÓN: ) Veamos prmero que W W = ; ;k. Sea α W. Podemos expresar a α de la sguente forma: α = α Esto nos permte conclur en que α W pues 0 Wj j = ; ;k por ser W j subespaco de V. W W = ; ;k. ) Sean c F; α,β W. Para verfcar que W es subespaco de V se debe demostrar que cα + β W. k α W α = α con α W = ; ;k = k = β W β = β con β W = ; ;k por ser W por ser W = = k W. = k W. = k k k Luego: cα + β = c α + β = ( cα + β ) = = = W INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 59

45 Como W es subespaco de V, c F y α W, entonces cα W. Además, β W, entonces de V. cα + β W = ; ;k. Por lo tanto, cα + β W, con lo cual queda demostrado que W es subespaco 3) En ) probamos que W W = ; ;k, entonces k W W. = Además, por lo probado en ), W es subespaco de V, entonces k W W. = Sea α W k es combnacón lneal = α = α con α W = ; ;k α de elementos de k = W k k. = = α W W W W = W k = CONCLUSIONES: Dado un espaco vectoral V y dos subespacos W y W de V: ) W W ) W W 3) W W es subespaco de V (teorema nº ) + es subespaco de V (proposcón anteror) no es necesaramente subespaco de V. Por ejemplo, sean { R} R W = a ;3 / a W = a 5; / a { } INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 60

46 Podemos observar que W es el conjunto de todos los múltplos del vector ( ;3 ) (geométrcamente, es la recta que pasa por el orgen de coordenadas y por el punto ( ;3 ) ). De esta manera, el vector ( 4;6) W por al vector ( ;3 ) ) y por lo tanto, el vector ( 4;6) W W (pues se obtene de multplcar. Asmsmo, W es el conjunto de todos los múltplos del vector ( 5; ) (geométrcamente, es la recta que pasa por el orgen de coordenadas y por el punto ( 5; ) ). De esta manera, el vector ( 5; 3) W (pues se obtene de multplcar por 3 al vector ( 5; ) ) y, por lo tanto, el vector ( 5; 3) W W. Ahora, s W W fuese subespaco, debería verfcarse que la suma de dos elementos cualesquera de esa unón pertenecera a ella. Pero, como podemos observar, esto no sucede: ( 4;6) + ( 5; 3) = ( ;3 ) W W pues ( ;3 ) ( ;3 ) n del vector ( 5; ). no es múltplo n del vector Con esto hemos mostrado que la suma de dos subespacos no es necesaramente un subespaco. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 6

47 Esta suma sólo será subespaco cuando uno de ellos esté contendo en el otro, es decr: s W y W son subespacos de un espaco vectoral V tales que W W, entonces, W W es subespaco de V. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 6