Matemáticas I - Anaya

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Enrique Sáez Santos
hace 5 años
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1 ! 0 "# Representa gráfcamente los resultados que obtengas al hallar y calcula el lado del trángulo formado al unr esos tres puntos. Para hallar las raíces prmero pasamos el número a forma polar : r ( ) ( ) 8 α arctg º pues 80º < α < 70º º Y ahora hallamos la raí : 8 º 8 º 60kº 6 7º 0kº k 0 k k 7º 9º º Para hallar la longtud de los lados aplcamos el teorema del coseno al trángulo AOB, de Característcas : Lados OA OB y el ángulo comprenddo α 0º AB OA OB OA OB cos α ( ) ( ) cos0º 6 "$ Los afjos de las raíces cúbcas de 8 son los vértces de un trángulo equlátero. Compruébalo. Determnan el msmo trángulo los afjos de 8, 8 o 8? Representa gráfcamente esos cuatro trángulos que has obtendo. Hallemos las cuatro raíces cúbcas : Matemátcas I - Anaya

! 8 ( 8 ) 8 90 60k 0º 0kº k 0 k 0º 0º 70º ( 8 ) 8 8 70 60k 70º 0kº k 0 k 0º 0º 8 ( 8 ) 8 0 0º 60k 0kº k 0 k 0º 0º 0º ( 8 ) 8 8 80 60k 80º 0kº k 0 k 80º 00º Observamos que en los cuatro casos, las

2 ! 8 ( 8 ) k 0º 0kº k 0 k 0º 0º 70º ( 8 ) k 70º 0kº k 0 k 0º 0º 8 ( 8 ) 8 0 0º 60k 0kº k 0 k 0º 0º 0º ( 8 ) k 80º 0kº k 0 k 80º 00º Observamos que en los cuatro casos, las tres raíces tenen el msmo módulo y están separadas ángulos de 0º luego formarán trángulos equláteros : "% Pueden ser,, y, las raíces de un número complejo? Justfca tu respuesta. Como son cuatro serían raíces cuartas y para que sean raíces cuartas de un número han de estar separadas ángulos de /, la forma más rápda de comprobarlo es representándolos y vemos que no forman ángulos de ( s cupera alguna duda, lo adecuado sería hallar los módulos, que sí son guales y los argumentos de los cuatro números y comprobar que los ángulos no se dferencan en, lo que, en este caso no es necesaro pues es evdente en el dbujo ) : Matemátcas I - Anaya

3 ! Matemátcas I - Anaya "& Halla los números complejos que corresponden a los vértces de estos hexágonos: ' Tomamos un número que sea evdente y vamos sumando /6 que es el ángulo que forman : ( ) sen00º ) (cos 00º sen0º ) (cos 0º 0 sen80º ) (cos80º sen0º ) (cos0º sen ) (cos sen0º ) (cos 0º 00º 0º 6 0º 80º 80º 0º 0º 0º 0º ( Tomamos el número que concde con la parte postva del eje vertcal, que es el º número y vale : ( ) sen0º ) (cos 0º 0 sen70º ) (cos 70º sen0º ) (cos 0º sen0º ) (cos0º sen0º ) (cos 0º ) (0 sen ) (cos 0º 70º 6 70º 0º 0º 0º 0º 0º

4 ! 6º? ") Pueden ser las raíces de un número complejo, los números 8º, 00º, 7º, º y Tenen gual módulo, luego sólo hay que comprobar que dferen en 7º : ; ;7 7 ; 7 6 Sí son las raíces quntas de un número complejo. Lo hallamos elevando a la qunta cualquera de ellas: ( 8º ) 0º "* El complejo 0º es vértce de un pentágono regular. Halla los otros vértces y el número complejo cuyas raíces quntas son esos vértces. Al formar un pentágono regular, el resto de los vértces se obtenen multplcando el anteror por 7º o lo que es lo msmo, sumando 7º al argumento del anteror : 0º, 0º7 º, º7 8º, 8º7 6º, 6º7 8º Como son raíces quntas de un certo número complejo, para hallarlo elevamos uno de ellos a la qunta potenca : ( ) ( 0º ) ( ) 0º 00º # Una de las raíces cúbcas de un número complejo es. Halla y las otras raíces cúbcas. Hallemos : ( ) Para hallar las otras dos raíces, podemos hallar las raíces o pasar la conocda a forma polar y sumar / 0º : r º º 0º 6º ; 6º 0º α rctg º 8º Ecuacones en C #, Resuelve las sguentes ecuacones y expresa las solucones en forma bnómca: Matemátcas I - Anaya

5 ! a) x 0 b) x x 0 b) x x 7 0 d) x x 0 a) x 0 x x ± ± ± ± ± ± b) x x 0 x ± ± 7 ± 9 ± 9 9 c) x x 7 0 x ± d) x ± ± ± x 0 x ± #- Resuelve las ecuacones: a) x 0 b) x 7 0 a) x 0 x ( ) 80 60k 80º 6º 7kº k 0,x k,x k,x k,x k,x 6º 08º 80º º º c) x 7 0, multplcando por : x - 70, - x 7 0, x 7 0, x º, luego hemos de hallar las raíces cúbcas de 7 70º : ( 7 ) x k 70 º 0kº k k x k 0 x x 0º (cos sen ) (cos 0º sen0º ) 0º (cos 0º sen0º ) Matemátcas I - Anaya

6 ! #" Resuelve las sguentes ecuacones en C : a) 0 b) 0 c) 0 0. a) 0 ± ± ± 0 6 b) ± ± ± 0 ± c) 0 0 ± ± ## Obtén las cuatro solucones de las sguentes ecuacones: a) 0 b) 6 0 c) 8 0 a) 0 0º 0º 60kº 90k k 0 0º cos0º sen0º k cos sen k 80º cos80º sen80º 70º cos 70º sen70º b) k 0 º (cos º senº ) k (cosº senº ) º 80º 80 60k º 90k k (cos º senº ) º k º (cos º senº ) c) 8 0 ( 8) º 0 k 0, 0º 0kº k, 0º, 0º #$ Resuelve estas ecuacones y expresa las solucones en forma bnómca: a) 8 0 b) 0 Matemátcas I - Anaya

7 ! 6 a) k 0 (cos sen ) º 70 60k 0kº k 0º (cos 0º sen0º ) k 0º (cos 0º sen0º ) b) 0, multplcando por : - 0 y cambando de sgno - 0, es decr : k 0 'º (cos 'º sen'º ) ' 0' ( ) k (cos'º sen'º ) 0' ' 90 60k 'º 'º 90kº k 0'º (cos 0'º sen0'º ) ' 0' k 9'º (cos 9'º sen9'º ) 0' ' #% Escrbe una ecuacón de segundo grado que tenga por solucones: y En ve de cómo propone el lbro vamos a usar la forma canónca de la ecuacón de º grado : x sx p 0, en donde s suma de solucones y p producto de solucones : s - y p ( )( - ), luego la ecuacón es : x sx p x ( )x (- ) 0 #& Escrbe una ecuacón de segundo grado cuyas solucones sean y. Ecuacón canónca : x sx p 0, hallemos s y p : s y p ( ) ( ) ( ) 9 9 x sx p x x 0 Interpretacón gráfca de gualdades entre complejos #) Representa los números complejos tales que. x y ; x y, luego Recta que representada es: x y x y x x Matemátcas I - Anaya

8 ! 7 #* Representa los números complejos que verfcan: a), b), c) Sean x y, x-y a) x y x y x 0 x 0, el eje vertcal o de ordenadas x x b) x y x y x, dos rectas vertcales x x Matemátcas I - Anaya

9 ! 8 y c) x y x y y y, dos rectas horontales. y $ Escrbe las condcones que deben cumplr los números complejos cuya representacón gráfca es la sguente: a) La parte real del número ha de ser gual a, Re() - b) La parte magnara ha de ser gual a, Im() c) La parte real comprendda entre - y, - Re() Matemátcas I - Anaya

! 9 d) La parte magnara comprendda entre 0 y, 0 Im( ) < d) Parte magnara comprendda entre. y y la parte real entre < Re() < y :. < Im() < f) Módulo del número, CUESTIONES TEÓRICAS (!

10 ! 9 d) La parte magnara comprendda entre 0 y, 0 Im( ) < d) Parte magnara comprendda entre. y y la parte real entre < Re() < y :. < Im() < f) Módulo del número, CUESTIONES TEÓRICAS (!,#* ) $, Se puede decr que un número complejo es real s su argumento es 0? No, tambén son reales los números negatvos cuyo argumento es 80º. $- Prueba que Sea a b. (a b)(a b) a a b b a b Matemátcas I - Anaya

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