LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS. álgebra computacional. álgebra LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS. computacional LENGUAJES FORMALES Y AUTÓMATAS

Transcripción

1 . bblografía CONTENIDO Defncón de [G8.]. Estructuras algebracas: monodes, semgruos, gruos, [G8.], anllos, cueros [H.]. Subgruos, somorfsmo entre gruos [G8.]. Álgebras concretas y abstractas [H.3]. Álgebras cocentes y homomorfsmos canóncos [H.5]. Morfsmos sobre autómatas [A]. Autómata cocente [A]. Álgebras de Boole [G7.]. Crcutos dgtales [H.2]. GERSTING, JUDITH L. Mathematcal Structures for Comuter Scence: A Modern Aroach to Dscrete Mathematcs. W H Freeman & Co, 2. HEIN, JAMES. Dscrete Structures, Logc and Comutablty. Jones and Bartlett Publshers AUGUSTO, JUAN CARLOS. Fundamentos de Cencas de la Comutacón Notas de Curso. Unversdad Naconal del Sur, Argentna. 22. Un es una estructura consstente de un conjunto no vacío junto con una o mas oeracones defndas sobre dcho conjunto. Ejemlos [R;+,-,*,/] [Q;+,-,*,/] [R;+,-,*,/,,] [N;succ,] [ (S);, ] [R[x];+,*,,] En la lteratura se uede encontrar una defncón más general de : Un es una estructura consstente de uno o más conjuntos no vacíos junto con una o mas oeracones defndas sobre dchos conjuntos. Ejemlo El vectoral: [R,R n ;*,+] donde * se defne de R X R n R n estructuras algebracas estructuras algebracas Sea S un conjunto y sea una oeracón bnara sobre S. La oeracón es asocatva s ( x)( y)( z)[x (y z) = (x y) z] La oeracón es conmutatva s ( x)( y)(x y = y x) [S, ] tene elemento dentdad s ( )( x)(x = x = x) S [S, ] tene un elemento dentdad, entonces se dce ue cada elemento en S tene un nverso con resecto a s ( x)( x )(x x = x x = ) [S, ] es un gruo s S es un conjunto no vacío y es una oeracón bnara sobre S tal ue. es asocatva 2. exste un elemento dentdad (en S) 3. cada elemento en S tene nverso (en S) con resecto a Un gruo en el cual la oeracón es conmutatva se llama gruo conmutatvo.

2 estructuras algebracas estructuras algebracas Ejemlo Sea R + el conjunto de los números reales ostvos y sea la oeracón de multlcacón sobre reales ostvos. Entonces [R +, ] es un gruo conmutatvo: La multlcacón es asocatva y conmutatva. El número real ostvo srve de dentdad x = x = x. Todo x en R + tene nverso en R + /x, orue x /x = /x x = [S, ] es un monode s S es un conjunto no vacío y es una oeracón bnara sobre S tal ue. es asocatva 2. exste un elemento dentdad (en S) Ejercco Mostar ue el conjunto de cadenas formadas or los símbolos a y b con la oeracón bnara de concatenacón es un monode. estructuras algebracas resultados báscos sobre gruos [S, ] es un semgruo s S es un conjunto no vacío y es una oeracón bnara sobre S tal ue. es asocatva Ejercco Mostar ue el conjunto de los enteros ostvos ares con multlcacón es un semgruo conmutatvo. Mostrar ue no es monode. Ejerccos Probar las sguentes roedades:. En cualuer gruo (o monode) [G, ], el elemento dentdad es únco. 2. Para cada x en un gruo [G, ], x es únco. 3. Dados x e y membros de un gruo [G, ], (x y) = y x. estructuras algebracas estructuras algebracas Un conjunto S con una oeracón bnara satsface la ley de cancelacón a derecha s ara x, y, z S, x z = y z mlca x = y. Satsface la ley de cancelacón a zuerda s z x = z y mlca x = y. Ejercco Probar ue todo gruo [G, ] satsface las leyes de cancelacón a zuerda y a derecha. Un anllo es un [A;+, ] donde [A;+] es un gruo conmutatvo, [A; ] es un monode, y la oeracón es dstrbutva (a zuerda y a derecha) sobre +. Ejemlos [Z;+,*] [R[x];+,*] [M n (R); +,*] 2

3 estructuras algebracas subgruos Un cuero es un anllo [A;+, ] donde además se satsface ue [A-{}; ] es un gruo conmutatvo, donde es la dentdad ara [A,+]. Ejemlos [Q,+,*] [N 5,+ 5,* 5 ] Sea [G, ] un gruo y A G. Entonces [A, ] es un subgruo de [G, ] s [A, ] es un gruo. Sea [G, ] un gruo con dentdad y A G, [A, ] es un subgruo de [G, ] s: A es cerrado bajo. A. Todo x A tene nverso en A. homomorfsmos e somorfsmos Sean [S, ] y [T, +] gruos. Un maeo f: S T es un homomorfsmo de [S, ] a [T, +] s ara todo x, y S, f (x y) =f (x) + f (y). Sean [S, ] y [T, +] gruos. Un maeo f: S T es un somorfsmo de [S, ] a [T, +] s. la funcón f es una byeccón. 2. ara todo x, y S, f (x y)= f (x) + f (y). G = {,2,3,4,5,,7,8,9} H = {,,} G H G f K El núcleo f de un homomorfsmo son los elementos x tal ue f(x)= H 3

4 teorema del trangulo teorema del trángulo G φ f h G/K H f(g) Sean G y H gruos; sea f: G H un homomorfsmo de gruos; sea K el núcleo de f; sea φ el homomorfsmo sobreyectvo natural G G/K. Entonces exste un homomorfsmo únco h: G/K H tales ue f = hoφ. Por otra arte, h es nyectvo y roorcona un somorfsmo entre G/K y la magen de f. homomorfsmos sobre AF homomorfsmos sobre AF Sean M= (S, Σ, δ, s, f ) y M = (S, Σ, δ, s, f ) dos AFDs. Un homomorfsmo g del AF M en el AF M es una funcón g: S S, tal ue ara cualuer a Σ, y s S, se cumle lo sguente: g(s ) = s S a g() g() Q n a g(δ (s,a)) = δ (g(s ),a) S k Q m f (s ) = f (g(s )) M M g(δ (s,a)) = δ (g(s ),a) autómata fnto cocente autómata fnto cocente Sea g un homomorfsmo de un autómata M= (S, Σ, δ, s, f ) en un autómata M = (S, Σ, δ, s, f ). Defnmos la relacón bnara ρ sobre S de la sguente forma: s ρ s j solo sí g(s ) = g(s j ). s y Dos estados de M están relaconados or ρ cuando or el homomorfsmo tenen asocado el msmo estado en M. Como ρ es una relacón de congruenca sobre S, artcona a S en clases de euvalenca. S consderamos a cada clase como un nuevo estado, odemos defnr un autómata M/g denomnado autómata cocente. S S S 2 S 3 S 4 S S 5 S S S 2 S 3 S 4 S S 5 [S 2 ] [S ] [S 4 ] [S 3 ] 4

5 autómata fnto cocente autómata fnto cocente S S S 2 S 3 S 4 S5 S a [S ] a [S 3 ] δ(s,a) = s δ ([s ],a) = [s 3 ] S f(s )=z, entonces debe ser f ([S 3 ])=z Sean M= (S, Σ, δ, s, f ) y M = (S, Σ, δ, s, f ) dos AFR y g un homomorfsmo entre los AF M y M. Denomnaremos autómata cocente al autómata M/g = (S, Σ, [s ], δ, f ) donde: S = conjunto de estados de M/g, tal ue cada uno es una clase de euvalenca [s] de estados de M, determnada or g. Σ = alfabeto de entrada de M. [s ] = estado ncal f = funcón de salda tal ue f ([s ]) = f (s ) δ = funcón de róxmo estado, δ ([s j ], a) = [δ(s j,a)] autómata fnto cocente teorema de homomorfsmos ara AF s s s 2 [s ] [s ] M/g = AF cocente g() s a s b g= def g(s )=s a g(s )=s b g(s 2 )= s b [s ]= {s s 2 } [s ]= {s } Teorema Sea g: S S un homomorfsmo sobreyectvo de un AF M en otro AF M. Entonces M (la magen homomorfa de M) es somorfa al AF cocente M/g. mnmzacón de autómatas fntos estados nalcanzables La mnmzacón es un roceso ue nos ermte encontrar, ara un dado autómata fnto M, un autómata fnto M con las sguentes roedades: S M y M comenzan or sus estados ncales, roducrán las msmas saldas ara las msmas entradas. De ser osble M tendrá menos estados ue M. S esto no es osble, entonces M ya es un autómata mínmo. Los estados nalcanzables son auellos ue no ueden alcanzarse desde el estado ncal, ndeendentemente de los símbolos de entrada. Los estados nalcanzables ueden ser removdos. 5

6 estados nalcanzables estados nalcanzables Tabla ara la funcón de transcón: salda S S S3 S S3 S S2 S S3 S3 S S Exste algún estado nalcanzable? estados euvalentes mnmzacón Dos estados s y s j de M son euvalentes s ara cualuer α Σ*, f O (s, α) = f O (s j, α), donde Σ* denota el conjunto de cadenas de longtud fnta sobre el alfabeto de entrada. De esta manera, estados euvalentes roducen saldas euvalentes ara una cadena de entrada dada. Los estados de M ueden ser artconados en clases de euvalenca tal ue: Todos los estados de la msma clase tenen la msma salda. La funcón de transcón es tal ue ara cada símbolo de entrada, todos los estados de la msma clase roceden a estados ue están todos en la msma clase. El roblema de mnmzar autómatas se reduce al roblema de encontrar dchas clases de euvalenca. El roblema se resuelve de manera teratva, dentfcando lo ue se conoce como clases de estados k-euvalentes. Dos estados s y s j de M son k- euvalentes s ara todo α Σ*, tal ue α k, f O (s, α) = f O (s j, α). ejemlo: estados k-euvalentes algortmo de mnmzacón -euvalentes: {, 2, 5} y {, 3, 4, }. -euvalentes: {, 2},{5},{, 3, 4, }. 2-euvalentes: {, 2},{5},{, },{3, 4}. 3-euvalentes: {, 2},{5},{, },{3, 4}. Entrada: un AFD comleto M=(S,Σ,δ,s,f) Salda: un AF M euvalente a M mnmzado ) T S - {estados nalcanzables en S} 2) Partconar T en dos clases formadas or estados - euvalentes 3) k 4) Reetr Determnar clases (k+)-euv. como refnamento de las k-euvalentes s, sj son (k+)-euvalentes sss s, sj son k-euvalentes y δ(s,a),δ(sj,a) son k- euvalentes a Σ k k+ Hasta Clases((k+)-euv.)=Clases(k-euv.) 5) Defnr M usando las clases k-euvalentes halladas

7 ejemlo ejemlos La máuna resultante de reducr M del ejercco anteror tendrá los sguentes estados A = {, 2}; B = {5}; C = {, }; D = {3, 4} Tendrá 4 estados en lugar de 7 y la sguente tabla de transcón: A = {}, B = {2, 4}, C = {, 3} -euvalentes: {, 2, 4}, {, 3} -euvalentes: {}, {2, 4}, {, 3} 2-euvalentes: {}, {2, 4}, {, 3} s de Boole s de Boole Un de Boole es un conjunto B sobre el cual están defndas dos oeracones bnaras: + y, una oeracón unara, y se dstnguen dos elementos y tal ue las sguentes roedades se verfcan ara todo x, y, z B: x+y=y+x x y=y x conmutatva (x+y)+z=x+(y+z) (x y) z=x (y z) asocatva x+(y z)=(x+y) (x+z) x (y+z)=(x y)+(x z) dstrbutva x+=x x =x dentdad x+x = x x = comlemento La formalzacón de una estructura de de Boole nos ayuda a focalzarnos en las característcas esencales comunes a todos los ejemlos de s de Boole, ermténdonos utlzar estas característcas ara robar otras característcas. Denotaremos a las algebras de Boole [B, +,,,, ]. s de Boole s de Boole Ejercco Consdere los sguentes conjuntos S = {,2,3,5,,,5,3} S 2 = ({,2,3}) S 3 = ({P, P 2, P 3, P 4 }) donde las P s son sentencas (rooscones). Prooner oeracones bnaras, unaras y elementos y ara defnr s de Boole en base a los conjuntos S,S 2 y S 3. Ejerccos Probar ue la roedad de demotenca, es decr x +x =x, se verfca ara toda de Boole. Para un elemento x de un de Boole el elemento x se denomna el comlemento de x. El comlemento de x satsface: x +x = y x x =. Probar ue en un de Boole el comlemento de x es únco. 7

8 elementos lógcos báscos exresones booleana Una comuerta lógca (logc gate) es un dsostvo electrónco ue es la exresón físca de un oerador booleano. Una exresón booleana con n varables, x, x 2,..., x n, es una cadena fnta de símbolos formada alcando las sguentes reglas:. x, x 2,..., x n son exresones boolenas 2. S P y Q son exresones booleanas, tambén lo son (P + Q), (P Q), y (P ). comuerta OR comuerta AND nversor Ejemlos x 3, (x + x 2 ) x 3, (x x 3 + x 4 )x 2, y (x x 2 ) x redes y exresones redes y exresones Combnando comuertas AND, OR e nversores, odemos construr una red lógca ue reresente cualuer funcón. Ejemlo Red lógca ara la exresón Booleana x x 2 + x 3 : Ejemlo Red lógca ara la exresón Booleana (x x 2 + x 3 ) + x 3 redes y exresones formas canóncas Ejercco Dar la exresón Booleana ara la sguente red lógca: Suma de roductos 8

9 suma half-adder Exresón ara suma de dígtos bnaros (s=suma, c= acarreo) s = x x 2 + x x 2 (s = (x + x 2 )(x x 2 ) ) c = x x 2 full-adder otros elementos lógcos Un full-adder está formado or dos half-adders y una comuerta OR adconal. Comuerta NAND. otros elementos lógcos otros elementos lógcos Comuerta NOR Las comuertas NAND son sufcentes ara exresar cualuer funcón de verdad Ejercco Mostrar ue las comuertas NOR son sufcentes ara exresar cualuer funcón de verdad. 9