( ) 2 3 a ( ) % τ ia. Solución:

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Raquel Eva María Prado Montoya
hace 5 años
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1 Problema 1: El clndro unforme de rado a de la fgura pesaba en un prncpo 80 N. Después de taladrársele un agujero clíndrco de eje paralelo al anteror su peso es de 75 N. Suponendo que el clndro no deslza sobre la mesa uál debe ser la tensón de la cuerda que le mpda moverse en la stuacón representada?. Determnar el coefcente de rozamento mínmo para que no deslce. O O " 2 3 a. " O O Solucón: lamemos P y P " al peso del clndro antes y después de hacerle el agujero. lamemos r al rado del agujero, H a la altura del clndro y ρ a su densdad. on los datos que nos dan en el enuncado podemos calcular r: P " [ πa 2 πr 2 Hρ]g π a 2 Hρ g 1 r 2 + P 1 r 2 + r a 1 P " P a 4 a 2 S ponemos el orgen de coordenadas en O podemos calcular donde se encuentra el.m. del clndro agujereado por smetría la coordenada y.m. será nula. El cálculo de la componente x del centro de masas puede realzarse descomponendo el clndro agujereado en dos elementos: un clndro maczo por smetría el centro de masas se encuentra en el orgen, y un agujero clíndrco es decr, suponemos que su masa es negatva que, por smetría, tene como coordenada x del centro de masas 2/3 a. a 2 x.m. 2 3 a 0 P P # P # $ 2 45 a plcando las condcones de la estátca: F τ 2a F roz. F roz. N P N P + P x.m. x.m.- P, 2a. N 1 45 N x.m. P " F roz. a fuerza de rozamento es estátca y debe ser menor que su valor máxmo: F roz. F roz.máx. µ N µ P # µ P #

2 Problema 3: Dos esferas de rado y masa M quedan en equlbro en la poscón ndcada. alcular las fuerzas ejercdas por el suelo sobre las esferas en los puntos de contacto,,, así como la que se ejercen entre s ambas esferas. Datos: 30º, 60º. D Solucón: Dbujando todas las fuerzas, planteando las ecuacones de la estátca para las esferas obsérvese que las fuerzas que actúan sobre cada esfera son concurrentes en el centro, por lo tanto el momento de fuerzas total sobre cada una de ellas es automátcamente nulo, según el teorema de Vargnon y tenendo en cuenta que la resultante en el equlbro debe anularse. demás, sabemos que N 21, y por lo tanto: F N N M g Esfera 1 N cos + N sen Mg, cos N sen sen + N cos Mg - N 21 M g N Esfera 2 sen cos N Mg 3 cos 2 Mg sen sen N 1 + Mg 3 cos 2 Mg cos N Mg Mg cos sen Mg Mg cos Para la resolucón del sstema de ecuacones, hemos partdo de la tercera ecuacón, cos N sn N cos sn, y susttudo este resultado en la cuarta ecuacón,

3 cos cos sn + Mg sn sn sn + cos cos Mg sn sn sn sn + cos cos Mg sn cos α Mg. Fnalmente se susttuye este valor de en el resto de ecuacones.

Problema 8: Un dsco homogéneo de peso W y rado se apoya en una pared vertcal lsa y sobre una barra de peso Q.

.I. 03 El trángulo es sósceles con lo que los otros lados del trángulo valen: π 2.

4 Problema 8: Un dsco homogéneo de peso W y rado se apoya en una pared vertcal lsa y sobre una barra de peso Q. Uno de los extremos de la barra puede grar alrededor de una rótula en y el otro extremo está undo a un hlo que tras pasar por una polea sn rozamento lleva en el otro extremo suspenddo un peso P. Determnar las dstntas reaccones entre los sóldos, así como el peso P para que la barra esté en equlbro formando un ángulo de 30º con la vertcal. 2. Solucón: I..I. 03 El trángulo es sósceles con lo que los otros lados del trángulo valen: π 2. S llamamos D al punto de contacto del dsco con la barra: D tg 2 D ctg 2 plcando las condcones de la estátca para cada uno de los cuerpos para la barra el cálculo de momentos se realza respecto del punto : P P P E E D cos $ D sen W W + D D W sen E W tg E D D Q,x + D cos sen,y D sen + cos Q 2sen Qsen D D # $ P Qsen 2 + W 2sen sen 2,x Qsen + # # $ 2 $ sen tg + ctg 2,- W,y Qcos sen - W,

5 Problema 9: Una barra homogénea de masa M y longtud gra alrededor de una rótula stuada en su extremo superor con velocdad angular constante ω, descrbendo una superfce cónca. alcular: a Qué fuerzas actúan sobre la barra? b El ángulo dstnto de cero que forma la barra con la vertcal en la poscón de equlbro c eaccón en la rótula. ω Solucón: a Para que el problema sea un problema de estátca debemos colocarnos en un sstema de referenca no nercal con orgen en el eje de rotacón y grando con la msma velocdad angular que la barra. Desde ese punto de vsta la barra permanecerá estátca formando un ángulo con la vertcal y sometda a las sguentes fuerzas: Fuerza centrífuga nfntesmal sobre un dferencal de longtud dl a dstanca l de con l varando entre 0 y : df cent. dmω 2 r λ dlω 2 l sen Integrando para toda la barra tenemos la fuerza centrífuga total equvalente a todas las fuerzas mcroscópcas: F cent. 0 λω 2 lsen dl 1 2 λω2 2 sen 1 2 M ω2 sen El momento de fuerzas respecto de de una fuerza centrífuga nfntesmal será: dτ cent., df cent. lcos dmω 2 r λω 2 l 2 sen cos dl Integrando para toda la barra tenemos el momento centrífugo total equvalente a todos los momentos mcroscópcos: y x M g Fuerzas centrífugas actuándo sobre cada una de las partes de la barra τ cent., λω 2 l 2 sen cos dl λω2 3 2 sen cos F cent. 3 cos y 2 3 F cent. x

odas las fuerzas mcroscópcas centrífugas se pueden susttur por

aplcada en un punto de la barra a 2 de : 3 b plcando la

3 cos Mg 2 sen 1 3 Mω 2 2 sen cos Mg 2 sen sen solucón trval

6 odas las fuerzas mcroscópcas centrífugas se pueden susttur por lo tanto por una únca fuerza F cent. aplcada en un punto de la barra a 2 de : 3 b plcando la condcón de la estátca para los momentos: τ 2 F, cent. 3 cos Mg 2 sen 1 3 Mω 2 2 sen cos Mg 2 sen sen solucón trval cos 3g 2ω 2 c plcando la condcón de la estátca para las fuerzas: F x + F cent. y Mg x 1 2 M ω2 sen y Mg

7 Problema 10: a varlla de la fgura puede rotar lbremente alrededor de. En el extremo se le ata una cuerda lgada a un muelle de constante elástca k, el cual no estaría estrado s la varlla adoptase una poscón horzontal. a Determnar el valor de correspondente al ángulo de equlbro del sstema en funcón de la masa m y la longtud de la varlla y la constante elástca k del muelle. b alcular el valor de todas las fuerzas que actúan sobre la varlla en funcón de m,, k y el ángulo de equlbro. Solucón: I..I. 03 a El trángulo es un trángulo sósceles con lo que un sencllo cálculo trgonométrco ndca que el ángulo que forma la tensón con la vertcal es / 2, el msmo ángulo que forma con la dreccón perpendcular a la barra. Dcha tensón será gual a la constante elástca del muelle multplcada por lo que éste se ha alargado que es justamente la dstanca sen 2 / 2 m g. omando momentos respecto de y aplcando las condcones de la estátca: b omo ya hemos utlzado en el apartado anteror: 2k sen 2 plcando las condcones de la estátca para las fuerzas: F x sen 2 sen x 2 2k sen 2 2 y + cos 2 mg mg cos y 2 mg ksen

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