Cinemática y dinámica del Cuerpo Rígido (no se incluye el movimiento de precesión y el del giróscopo)

Transcripción

1 Cnemátca y dnámca del Cuerpo ígdo (no se ncluye el movmento de precesón y el del gróscopo) El cuerpo rígdo El cuerpo rígdo es un caso especal de un sstema de partículas. Es un cuerpo deal en el cual las partículas que lo componen no modfcan su poscón relatva entre ellas, cualquera sea la fuerza o torque a la que esté sometdo. Es decr, nnguna fuerza y/o torque que actúe sobre el sóldo rígdo será capaz de modfcar la dstanca que guarda cada una de las partículas que componen al sóldo con todas las demás. Esta es su característca dstntva. Comenzaremos por estudar la cnemátca del sóldo rígdo. Traslacón pura El cuerpo rígdo puede tener un movmento de traslacón pura; en este tpo de movmento, las velocdades de cada una de las partículas que componen al sóldo, en cada nstante de tempo, son guales (tener presente que la velocdad es un vector; esto mplca que el módulo, la dreccón y el sentdo de la velocdad son guales para todas las partículas en un nstante dado). En general, el movmento del sóldo será curvlíneo y, por lo tanto, tendrá componentes de aceleracón tangencal y normal. otacón pura S el únco movmento del cuerpo rígdo es de rotacón alrededor de un eje, decmos que el movmento es de rotacón pura; en este caso, las trayectoras de todas las partículas del sóldo son crcunferencas concéntrcas; la velocdad de cada partícula tendrá la dreccón y sentdo del versor tangente a la crcunferenca en cada nstante de tempo. Asmsmo, las velocdades de las dstntas partículas que ntegran el sóldo no serán las msmas; la únca velocdad común será la velocdad angular del cuerpo. Movmento roto-traslatoro El sóldo rígdo puede trasladarse y rotar smultáneamente. En esta crcunstanca, dremos que el movmento es roto-traslatoro; es el movmento más general que puede tener. Un típco ejemplo del movmento roto-traslatoro lo consttuye el movmento de la Terra 1 : se traslada en una órbta elíptca alrededor del Sol y smultáneamente gra en torno a un eje que pasa por sus polos. a) elocdad del movmento roto-traslatoro Supongamos que un cuerpo rígdo de forma cualquera esté efectuando, con relacón a un observador nercal fjo a su sstema de referenca, un movmento roto-traslatoro, como ndca la fgura 1. Desde este sstema de referenca, s es el vector poscón de 1 La Terra no es un sóldo rígdo debdo a las mareas, los movmentos del terreno por nteraccón gravtatora, el desplazamento de las placas tectóncas, etc.; en una prmera aproxmacón, podemos suponer que lo es.

2 una partícula del sóldo ubcada en el punto, la velocdad de esa partícula desde el sstema nercal será: v = d. dt Tomemos otro sstema de referenca, de orgen en el punto, con uno de sus ejes concdente, en todo nstante de tempo, con el eje de rotacón del sóldo. Es evdente que este sstema de referenca se trasladará con velocdad v 0, que es la velocdad de traslacón del eje, velocdad que tendrían todas las partículas del cuerpo rígdo s éste sólo tuvera movmento de traslacón. Hacemos = r 0 + r donde r 0 es el vector poscón del orgen del sstema de referenca móvl y r es el vector poscón del punto desde el sstema móvl. La expresón de la velocdad, desde el sstema del observador nercal, quedará entonces como: dr dr v = + + r dt dt 0. Nótese que s el eje de rotacón del sóldo no es uno de los ejes del sstema móvl, sempre se puede acomodar el sstema de referenca móvl de forma tal que uno de sus ejes sea el eje de rotacón del sóldo (por ejemplo, medante una transformacón de coordenadas al nuevo sstema más convenente). Fgura 1 v 0 Sstema Inercal r r 0

3 El punto del eje de rotacón no es un punto especal. S hubéramos tomado otro punto como orgen de coordenadas del sstema que se traslada con velocdad v 0, la velocdad del punto sería la msma: v + r + ' 0 ( + ' ) = v + ' + ' y como la velocdad angular y el vector son paralelos, o sea su producto vectoral es cero, queda: v + r + ' b) Condcón de rgdez Durante el movmento se debe verfcar la condcón de rgdez; es decr, que dos puntos cualesquera del sóldo mantengan nalterada, para todo nstante de tempo, la dstanca que los separa. Debemos entonces demostrar que la expresón de la velocdad con la que se mueve cada punto del sóldo rígdo recén obtenda, nos permte verfcar la condcón de rgdez a cumplr (ver la fgura en la que se prescnde del sstema de referenca nercal del observador). De acuerdo a lo vsto será: v1 + r1 v = v + r 0 estando membro a membro queda: 1 v 1 v ; ( r r1 ) = 1 v1 = r r 1 Multplcando escalarmente por r 1 se obtene: r 1 v r ( v v ) = r ( ) r1 El segundo membro de la ecuacón es cero pues el vector que surge de la operacón ndcada dentro del paréntess es perpendcular al vector r 1 y por lo tanto el producto escalar es cero. De aquí r 1 v = r1 v1 Esta ecuacón nos ndca que las proyeccones de las velocdades de ambos puntos sobre el vector r 1 son guales y que, en consecuenca, la dstanca entre ambos puntos no se modfcará con el movmento. Una conclusón es que la condcón de rgdez permte que la cnemátca del cuerpo rígdo, cuerpo al que podemos suponer como compuesto por un número nfnto de v 0 r 1 Fgura Los subíndces ndcan que el vector tene orgen en el punto 1 y extremo en el punto.

4 partículas, se exprese medante una expresón senclla para la velocdad: con sólo ses funcones del tempo (tres para cada una de las componentes de v 0 y tres para cada una de las componentes de ) queda determnada la velocdad de cualquer punto en funcón del tempo. c) Centro nstantáneo de rotacón (CI) Una propedad mportante del movmento del cuerpo rígdo es que todas las partículas que estén alneadas sobre una recta paralela al eje de rotacón, tenen guales velocdades. Esto se puede comprobar a partr de la determnacón de las velocdades de las partículas ubcadas en los puntos y Q, que están sobre una recta paralela al eje de rotacón como ndca la fgura 3. v + r vq + rq rq = r + rq, vq + ( r + rq ) = + r + rq es paralelo a rq rq = 0 v = v Q La gualdad de velocdades en las condcones enuncadas más arrba tene una consecuenca muy mportante. Eje de rotacón v 0 r Q r Q ecta paralela al eje de rotacón r Q Supongamos un clndro rígdo de rado que rueda sn deslzar sobre una superfce horzontal (fgura 4). Este movmento se lo puede consderar como una superposcón de una traslacón del eje con una certa velocdad v 0, con una rotacón alrededor del eje con velocdad angular. En cada Fgura 3 v 0 Fgura 4

5 nstante de tempo habrá una únca generatrz del clndro en contacto con el plano, que llamaremos generatrz de contacto. Q Fgura 5 r r Q r v 0 v sto de costado, fgura 5, la velocdad de una partícula del clndro ubcada en un punto cualquera, será: v = v + 0 r ara que el clndro ruede sn deslzar, la velocdad angular no puede ser arbtrara; quedará fjada por la condcón que los puntos de la generatrz de contacto con el plano tengan velocdad nula. or lo tanto, la velocdad del punto genérco Q (punto de la generatrz de contacto entre el clndro y el plano) debe anularse (fgura 6). vq + rq = 0 v0 = rq Dado que los vectores y r Q son perpendculares, su producto vectoral tendrá por módulo el producto de los módulos de dchos vectores. or lo tanto, el módulo de la velocdad angular será: v = 0. S la velocdad vq = 0, y tenendo en cuenta que esa es la velocdad de todos los puntos de la generatrz de contacto, entonces podemos suponer el movmento del clndro como una rotacón pura alrededor de dcha generatrz con la velocdad angular hallada. En un nstante de tempo posteror, el eje de la rotacón pura será otro, pues es otra la generatrz de contacto con el plano. A esta generatrz se la denomna eje nstantáneo de rotacón. La velocdad de un punto cualquera será ahora (fgura 7): r r Q Q v 0 Fgura C r C r Q C: centro del círculo : punto en el que se calcula la velocdad Q: centro nstantáneo de rotacón r v v Fgura 7

6 v + r + ( r ' rc ) + r' r v0 = rc v + r = r' En el ejemplo anteror hemos descrto el movmento rototraslatoro del cuerpo rígdo de dos formas dstntas. El resultado obtendo brnda la posbldad de generalzarlo. Supongamos que un sóldo rígdo descrbe un movmento rototraslatoro; en un nstante cualquera su velocdad de traslacón es v 0 y su velocdad angular (fgura 8). En la fgura se ha omtdo el sstema de referenca nercal del observador y sólo se ha dbujado el eje alrededor del cual gra el cuerpo del sstema de referenca que se traslada con él. Las velocdades de dos puntos cualesquera y Q del sóldo serán: v + r vq + rq ero como r = r + r Q Q será: vq + r + r = v + r + r 0 ( ) Q = Q = v + rq El últmo membro de la ecuacón representa un movmento rototraslatoro en torno a un eje que pasa por el punto y es paralelo al que pasa por, con la mmsma velocdad angular y velocdad de traslacón v. Q r Q r r Q : orgen de coordenadas del sstema móvl La línea de puntos que pasa por es paralela al eje de coordenadas alrededor del cual gra el cuerpo. v 0 En este caso se dce que la velocdad del punto Q (y por ser un punto cualquera, la velocdad del cuerpo rígdo) está referda al punto. Dado que el centro de masa es un punto notable del cuerpo rígdo, es muy útl tomarlo como punto de referenca del movmento del sóldo. or lo tanto, convene descrbr todo movmento rototraslatoro del sóldo como la superposcón de una rotacón alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y una traslacón del centro de masa. La velocdad de traslacón será entonces la suma de la velocdad del centro de masa más la velocdad lneal debda a la rotacón alrededor de un eje que pasa por el centro de masa (fgura 9): v = v + r Fgura 8 r v v Fgura 9

7 Momentum angular del sóldo rígdo Supongamos un cuerpo rígdo en movmento rototraslatoro: traslacón respecto de un sstema nercal de orgen y rotacón respecto de un eje que pasa por su centro de masa, como se ndca en la fgura 10. S en el punto del sóldo ubcamos un pequeño elemento de volumen d que contene una masa dm (suponemos elementos de volumen nfntesmales desde r un punto de vsta macroscópco de forma tal de no poner de manfesto el carácter dscreto de la matera, compuesta de r partículas separadas entre sí), su contrbucón dl al momentum angular del r sóldo será: dl = r p = r dm v = ( r + r ) dm( v + r ) = ( + r ) + r dm( v + r ) v Fgura 10 Dado que estamos suponendo la contnudad del sóldo, podemos suponer que dm=ρd dónde ρ es su densdad. eemplazando en la expresón anteror, podemos obtener el momentum angular total respecto del orgen por ntegracón sobre todo el volumen ocupado por el cuerpo rígdo: L = ρr v d + ρr ( r ) d + ρr v d + ρr ( r ) d = = r v ρd + r ρr d + ρr d v + ρr r d ( ) [ ] ( ) ( ) Como r y v no dependen del volumen del cuerpo, en la ntegral del prmer térmno del segundo membro, el producto vectoral entre ambas magntudes sale fuera de la ntegral; la ntegral queda entonces gual a la masa total M del sóldo. En la ntegral del segundo térmno tambén sale fuera la velocdad angular ; esta ntegral es cero pues su resultado es proporconal al vector poscón del centro de masa en el msmo sstema. or esta msma razón, tambén es cero la ntegral del tercer térmno. La expresón queda así: L = r Mv + ρ r r d = r + L ( ) En esta ecuacón, al prmer térmno del segundo membro se lo denomna momentum angular orbtal del cuerpo rígdo respecto del punto (en el cual ubcamos el orgen de coordenadas) porque representa el momentum angular que tendría un cuerpo puntual de la msma masa M que sga la msma trayectora que el centro de masa del cuerpo. El segundo térmno, momentum angular respecto del centro de masa, es denomnado momentum angular propo o de spn. En un sstema fjo al campo de juego, una pelota de fútbol mpulsada por un jugador adquere momentum angular orbtal (recordar el caso del proyectl en tro oblcuo al cual se suponía una partícula) y un momentum angular de spn al grar sobre un eje que pasa por su centro de masa.

8 Momento de Inerca Supongamos ahora un cuerpo rígdo (de densdad ρ) anmado de un movmento de rotacón, con velocdad angular, en torno a un eje fjo. Calculemos su momentum angular ubcando el orgen en algún punto del eje de rotacón (este punto no tene por qué ser el centro de masa del sóldo y el eje tampoco está oblgado a pasar por el centro de masa), como se ndca en la fgura 11. La contrbucón al momentum angular de un elemento de masa dm ubcado en un punto será: dl = r ( ρ d r ) donde d es el elemento de volumen en el punto. El momentum angular total se obtendrá por ntegracón sobre el volumen del sóldo: L ρ r ( r ) d = En general, el momentum angular y la velocdad angular tenen dreccones dferentes; esto dfculta resolver la últma ntegral. Se puede demostrar que hay sólo 3 dreccones perpendculares entre sí (que concden con los ejes de smetría del sóldo cuando estos exsten) para las cuales, s el cuerpo rota alrededor de alguna de ellas, el momentum angular total es colneal con el vector velocdad angular. Estas tres dreccones partculares se denomnan ejes prncpales de nerca (fgura 1). dl φ r Fgura 11 Calcularemos la proyeccón del momentum angular respecto del eje de rotacón (fgura 11). El vector dl está en el plano formado por el eje y r y es perpendcular a éste últmo. El módulo de su componente a lo largo del eje de rotacón será: π dl = r senϕρd cos ϕ = r sen ϕρd uesto que r.senφ= es el rado de la crcunferenca que descrbe el punto al rotar en torno al eje, la proyeccón sobre el eje de rotacón del dferencal de momentum angular quedará: dl = ρd La componente del momentum angular buscado resultará entonces: L cos π ϕ = Lsenϕ = dl = ρ d = I Leje = I expresón en la que hemos denomnado como I, al momento de nerca del sóldo respecto del eje de rotacón, dado por: I = ρ d El momento de nerca es adtvo: el momento de nerca respecto de un eje de dos cuerpos undos rígdamente entre sí es la suma de los momentos de nerca de cada uno de los cuerpos respecto de ese msmo eje. 3 S el eje de rotacón es un eje prncpal de nerca, el momentum angular es colneal con la velocdad angular, 3 Importante: hay que referr los momentos de nerca de cada parte al eje fnal para poder sumarlos.

9 L = I. En este caso, el momento de nerca se denomna momento prncpal de nerca. S el vector velocdad angular no es paralelo a alguno de los ejes prncpales de nerca, entonces tampoco lo será con relacón al momentum angular (fgura 1). En este caso, la relacón entre L y es más 3 compleja: la relacón entre ambos vectores se establece medante el tensor de nerca, que no estudaremos. Con relacón a la fgura 1, para los ejes prncpales de nerca 1, y 3 se I 3 3 cumple que: L L 1 = I11; L = I ; L3 = I 33; donde I y son los momentos de nerca y las componentes de la velocdad angular, respectvamente, a lo largo de los ejes I1 I 1 prncpales. Un ejemplo de lo dcho más arrba es el caso de dos masas guales puntuales undas 1 medante una varlla rígda de peso Fgura 1 desprecable, que rota alrededor de un eje que forma un ángulo φ con la varlla (fgura 13). De la fgura 13 se observa que: L = r mv d v = r r = r m L El módulo del vector momentum angular será: d/ d d d m L = m senϕ = m senϕ La componente del momentum angular a lo largo del eje de rotacón será entonces: π d L L cos ϕ Lsenϕ m sen eje = = = ϕ Fgura 13 d Como senϕ =, sendo el rado de la crcunferenca que descrbe cada masa. or lo tanto: L m eje = ; y como m = I Leje = I. El momento de nerca de ambas masas es m pues hemos supuesto que las masas son puntuales. S las masas no son puntuales, el cálculo del momento de nerca hay que efectuarlo con la expresón ntegral. Ejemplo: cálculo del momento de nerca de una varlla delgada homogénea de longtud L (fgura 14) en torno a: ) un eje perpendcular a ella que pasa por su centro de masa; ) un eje perpendcular a ella que pasa por su extremo. -L/ 0 L/ L Fgura 14 x Caso ): Tomamos un elemento de volumen d en algún punto entre x y x+dx. Dado que la barra es de seccón constante A, delgada y homogénea, el elemento de volumen estará dado por: ϕ

10 L L L l d = Adx I = ρ x Adx = ρa I = ρa L 3 3 m m L uesto que ρ = =, queda I = m. AL 1 Caso ): Ahora la ntegral debe hacerse entre 0 y L, o sea, entre los extremos de la L 3 barra. El nuevo momento de nerca será: L L I = ρ A x dx = ρa = m Teorema de Stener eamos la relacón que hay entre el momento de nerca de un cuerpo rígdo con respecto a un eje que pasa por su centro de masa (I ) y el momento de nerca con respecto a un eje paralelo al anteror y separado por una certa dstanca a (I ). En la fgura 15, δm es la masa contenda en un pequeño elemento de volumen del cuerpo rígdo. Se observa que el momento de nerca respecto del eje se puede escrbr como: X = x Y = y + a I I = = [ ] δm = ( X + Y ) δm = x + ( y + a) ( x + y ) δm + a yδm + a δm = X r δm + a M I = I + Ma donde M es la masa total del cuerpo. El resultado es entonces que el momento de nerca de un sóldo rígdo respecto de un eje cualquera es gual al momento de nerca del cuerpo respecto de un eje paralelo al anteror sumado al producto de la masa total del cuerpo por el cuadrado de la dstanca que separa a ambos ejes. bsérvese que s los ejes no son paralelos el teorema no se aplca. Tampoco se aplca s nnguno de los dos ejes pasa por el centro de masa del cuerpo. En el caso del cálculo del momento de nerca de la varlla, la dstanca entre los ejes (el que pasa por el centro de masa y el que pasa por el extremo), es L/. Con I =ml /1, aplcando el teorema de Stener para el eje que pasa por el extremo de la varlla se obtene: X x δm Z x a Fgura 15 z r δm Y =y +a I L 1 1 = I + m = ml + ml = ml 3 resultado déntco al obtendo medante el cálculo drecto de la ntegral que nos da el momento de nerca.

11 ado de gro La forma que adquere el momento de nerca para el caso de una masa puntual I =mr donde r es la dstanca de la masa puntual m hasta el eje de rotacón, permte establecer una analogía para calcular el momento de nerca de un cuerpo rígdo. Se puede suponer que toda la masa M del cuerpo se encuentra concentrada a una dstanca K del eje de forma tal que I=MK. A esta dstanca K se la denomna rado de gro. ara la varlla, cuyo momento de nerca respecto de un eje que pasa por su centro de masa es I =ML /1, el valor de K será K =L /1. De gual forma se determnan los valores de K para otros cuerpos rígdos de dferentes formas: clndro, esfera, etc. Dnámca del cuerpo rígdo La aplcacón de una fuerza a un cuerpo rígdo no vnculado (por ejemplo, no tene ejes de rotacón fjos preestablecdos) provocará una traslacón de su centro de masa y una rotacón en torno a un eje que lo contenga. Esto últmo es así debdo a la condcón de rgdez: dado que las partículas que componen al cuerpo rígdo deben conservar constantes sus dstancas relatvas, el únco movmento que se puede superponer al de traslacón del centro de masa y compatble con esta exgenca, es el de una rotacón en torno a un eje que pase por el centro de masa. S el cuerpo rígdo está realzando un movmento rototraslatoro y F es la fuerza resultante que actúa sobre él, será: dl F = Ma ; = τ donde τ y L son el torque resultante sobre el sóldo dt rígdo y el momentum angular (ambos con respecto al centro de masa) respectvamente. En las ecuacones precedentes se da por supuesto que el eje de rotacón contene al centro de masa; tene un movmento de traslacón y las magntudes nvolucradas se referen al centro de masa. En el caso en que el movmento del cuerpo rígdo no vnculado se estudara ubcando el orgen de coordenadas en el CI (centro nstantáneo de rotacón), el movmento sería de rotacón pura; entonces, tanto el torque como el momentum angular deben ser calculados con respecto a dcho punto (el CI). En este caso, la ecuacón que vncula al dl momentum angular con el torque queda: = τ. L y τ deben estar referdos al msmo dt punto; punto que debe estar en reposo nstantáneo. En el caso en que la velocdad angular del sóldo concda con un eje prncpal de nerca (es decr, que el cuerpo rígdo rote alrededor de un eje prncpal de nerca), el momentum angular será colneal con la velocdad angular y, por lo tanto será: L=I, lo dl d( I ) que lleva a que: = = τ. Y s el eje de rotacón no camba de poscón respecto dt dt del cuerpo, el momento de nerca será constante y por propedades de la operacón de dervacón, se puede escrbr: d( I ) d d = I Iα = τ, pues = α sendo α la aceleracón angular del cuerpo. dt dt dt La expresón I α=τ es formalmente gual a la expresón ma=f en la que el papel de la masa lo juega el momento de nerca; el de la aceleracón lneal, la aceleracón angular y el de la fuerza, el torque. Analzaremos dos ejemplos.

12 1) Un clndro maczo de masa M y rado tene arrollada una cuerda deal sobre su superfce lateral. Uno de los extremos de la cuerda está sobre la superfce y el otro está fjo a un techo (fgura 16). El clndro, vnculado por la cuerda, cae vertcalmente y sn deslzar. Se quere conocer tanto la aceleracón del centro de masa como la tensón en la cuerda. El clndro gra alrededor de su eje (que contene al centro de masa y es un eje prncpal de nerca) y se traslada vertcalmente haca abajo. El sstema de coordenadas del observador nercal se ubca de forma tal que la aceleracón lneal del clndro sea postva. Las ecuacones a utlzar, sendo T la tensón en la cuerda serán: T T = Ma 1 I α = τ = T I = M a = α Se ha qutado el símbolo de vector a las magntudes vectorales consderando, en las ecuacones, su =Mg dreccón y sentdo. El alumno debe verfcar que es correcta la ecuacón Fgura 16 que vncula a la aceleracón angular con el torque. Dado que el clndro cae sn deslzar respecto de la cuerda, la aceleracón del centro de masa a = α r ; donde r es el vector poscon del centro de masa respecto CI del centro nstantaneo de rotacon, que para este problema concde con el punto donde la soga toca al clndro en cada nstante, resolvendo el sstema de ecuacones queda: 1 a 1 M = T T = Ma 1 1 Mg Ma = Ma a = g, T = Mg 3 3 Debe observarse que el cuerpo cae con una aceleracón menor que la gravtatora y que hay tensón en la cuerda. ) El segundo caso es el de un clndro de masa M y rado que rueda sn deslzar sobre un plano horzontal. Supondremos que hay una fuerza F horzontal (conocda) que lo mpulsa, aplcada en su centro de masa (en el eje del clndro, que es eje prncpal de nerca) como se ndca en la fgura 17. El clndro tampoco está totalmente lbre en este ejemplo sno que tene un vínculo, la superfce horzontal, que lmta su movmento. La fuerza de roce F r tene, en este caso el sentdo F ndcado en la fgura, para contrarrestar el Fgura 17 4 odría nterpretarse el movmento como una rodadura sn resbalar del clndro sobre la cuerda; esto es: el clndro cae sn deslzar respecto de la cuerda, la aceleracón de cada punto del clndro se puede nterpretar como una superposcón de la aceleracón del más la aceleracón tangencal del movmento de rotacón de los puntos del C respecto del (alrededor del ). F r 4

13 deslzamento que tende a provocar la fuerza F sobre el clndro. A su vez, es la fuerza que mprme un torque respecto del eje del clndro y es la responsable de la rotacón de éste. Esta fuerza de roce puede ser caracterzada como de tpo estátco. Así como las fuerzas de roce estátcas por deslzamento ya estudadas varían desde cero hasta un valor máxmo, lo msmo ocurre con las que se manfestan en los problemas de rodadura sn deslzamento. En el caso del clndro que rueda sn deslzar, el módulo de la fuerza de roce y su sentdo deben ser determnados a partr de las condcones concretas del problema en estudo. Determnaremos la aceleracón y la fuerza de roce para el clndro de la fgura 17. Las ecuacones serán: F Fr = Ma, Iα = Fr, a = α Iα 1 a Fr = = M = Ma F = Ma F 1 a = Fr = F 3 M 3 Los resultados son smlares a los del caso anteror, del clndro que cae. En ese caso, el papel de F lo hace el peso y el de la fuerza de roce, la tensón en la cuerda. Energía Supongamos un cuerpo rígdo de forma cualquera que tene un movmento de rotacón pura alrededor de un eje fjo, caso smlar al descrto en la fgura 11. La contrbucón a la energía cnétca de un elemento de volumen d que contene un dm, ubcado medante el vector poscón r será: 1 1 dec = dmv = dm 1 1 EC = dec = ρ d = I donde es el rado de la crcunferenca que descrbe en torno al eje el elemento de volumen y la ntegral de volumen es el momento de nerca del cuerpo que gra. S el cuerpo rígdo tene un movmento de rototraslacón, su energía cnétca será, de 1 acuerdo a lo vsto para un sstema de partículas: = Mv + E en la cual, el E C C, prmer térmno del segundo membro es la energía cnétca de traslacón del cuerpo de masa M y E C, es la energía cnétca de las partículas que componen al cuerpo respecto de su centro de masa. or la condcón de rgdez, la últma parte de la energía cnétca es la energía cnétca de rotacón alrededor de un eje que pasa por su centro de masa, ya que las partículas del cuerpo no pueden modfcar su dstanca relatva entre ellas. or lo 1 1 tanto, la energía cnétca del cuerpo rígdo será: E C = Mv + I. La msma condcón de rgdez mpone que la energía potencal nterna del sstema de partículas que conforma al sóldo rígdo sea constante. Al gual que para un sstema de partículas tendremos que el trabajo de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo provocará un ncremento de la energía cnétca, E = W y, s esas fuerzas externas son conservatvas, entonces ncal: E E = E E C, f C,,, f ext EC = E EC, f + E, f E 1 1 ext = Mv + I + E = cons tan te C ext. Esto mplca que, s f ndca el estado fnal e el = EC, + E, = E

14 S hay fuerzas externas no conservatvas que realzan trabajo será, al gual que para un ext sstema de partículas: E = W NC. Analcemos el caso de un cuerpo de seccón crcular de rado, masa M, que cae rodando sn deslzar por un plano nclnado (fgura 18). De las fuerzas que actúan, la normal al plano es una fuerza no conservatva que no realza trabajo; el peso es una fuerza conservatva externa que realza un trabajo gual a la varacón de energía potencal gravtatora y la fuerza de rozamento es una fuerza externa no conservatva que no realza trabajo pues el punto de aplcacón de esta fuerza es el CI que, s ben es dferente en cada nstante durante el movmento, no se desplaza pues su velocdad nstantánea es cero. Es decr, la únca fuerza que realza trabajo mecánco es el peso, que es conservatva. or lo tanto se debe cumplr que la energía mecánca se conserve. Suponendo que y 0 es la altura ncal (respecto del pe del plano nclnado) del centro de masa del cuerpo (altura a la que su velocdad ncal es cero) e y es la altura del centro de masa luego de transcurrdo un certo tempo t (altura a la que éste tendrá una certa velocdad v), será: 1 1 E Mv + I + Mgy = Mgy0 =. Dado que el momento de nerca respecto del eje del cuerpo rígdo se puede escrbr como I = MK sendo K el rado de gro, y que la v velocdad angular está relaconada con la velocdad del centro de masa por =, ( y0 y) operando en la ecuacón de la energía se obtene: v = g. ecordando la K 1+ expresón de la cnemátca v = v + ad en la que d es la dstanca recorrda, se observa que, en nuestro caso, y0 y = d. senϕ 0 senϕ a = g K 1+ esolvendo el msmo problema a partr de las ecuacones dnámcas para el cuerpo rígdo, y recordando que el momento de nerca respecto de un eje que pase por su centro de masa se puede escrbr como I=MK, tendremos: senϕ Fr = Ma, K Fr = M a, gsenϕ a = K 1+ MK α = Fr, a = α K Mgsenϕ M a = Ma Como no podía ser de otra forma, la expresón de la aceleracón es la msma. Esta expresón de la aceleracón ndca que no todos los cuerpos redondos (clndro maczo, aro, esfera) caen a lo largo del plano con la msma aceleracón, sno que su valor depende del valor de K, que es dferente para cada cuerpo. F r N φ

15 Bblografía 1.- Marcelo Alonso, Edward J. Fnn Físca, vol. I: Mecánca, Addson-Wesley Iberoamercana S.A. (1988)..- Juan G. oederer Mecánca elemental Eudeba (1966) 3.- chard Feynman Físca, vol. I: Mecánca, radacón y calor, Addson-Wesley (1987)