Electromagnetismo. El campo de las cargas en reposo: el campo electrostático. Campo eléctrico

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Asunción Rubio Acosta
hace 6 años
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1 Electromagnetsmo El campo de las cargas en reposo: el campo electrostátco Andrés Cantarero. Curso ntroduccón. Propedades dferencales del campo electrostátco. Propedades ntegrales del campo electrostátco. Teorema de Gauss. El potencal electrostátco. Ecuacones del potencal. La condcón de equlbro para conductores homogéneos y sus consecuencas. Campo eléctrco nterpretacón de la ley de Coulomb: accón a dstanca: nfluenca local: concepto de campo Pero en cargas puntuales: problema del autocampo La defncón de campo eléctrco debdo a una dstrbucón de carga es: E(r) = r r 0 3 d 3 r 0 Campo eléctrco Renterpretacón de la ley de Coulomb en térmnos de un nuevo concepto: el campo eléctrco. La carga crea una nfluenca en el espaco que sente la carga 2, la cual sufre una fuerza F 2 = q 2 E Al stuar la carga 2 en un punto P del espaco, modfca la carga 2 el campo creado por la carga? F E =lm q 0 q Se solucona el problema defnendo el campo como la fuerza sobre una carga prueba cuando el valor de ésta tende a cero? Campo debdo a cargas El campo eléctrco debdo a una carga puntual en el orgn es, a partr de la ley de Coulomb, E = q u r = qr r 3 S la carga no está en el orgen sno en r, E(r) = q r r 0 2 u r r 0 = q(r r 0 ) r r 0 3 Generalzando para una dstrbucón de carga, E(r) = d 3 r 0 r r 0 3

Líneas de campo Las líneas de campo se defnen como tangentes al vector campo en cada punto del espaco El número de líneas es

sencllos S hay smetría puede aprovecharse ésta para la determnacón del campo eléctrco medante el teorema de Gauss, que en su

Líneas de campo entre dos conductores de dstnta forma S es una superfce cerrada (real o magnara) y q la carga total encerrada

las áreas: Geometría no eucldana y dferencal Estadístca Teoría del potencal Magnetsmo terrestre Uno de los pocos centífcos

superfce determnada Φ E = X AE cos θ En forma vectoral, Φ E = X A E La ntegral sobre una superfce cerrada es: Φ E = E da

2 Líneas de campo Las líneas de campo se defnen como tangentes al vector campo en cada punto del espaco El número de líneas es proporconal a la ntensdad del campo Teorema de Gauss La evaluacón del campo eléctrco parece complcada ncluso en problema sencllos S hay smetría puede aprovecharse ésta para la determnacón del campo eléctrco medante el teorema de Gauss, que en su forma ntegral nos dce que: E(r) ds(r) = q enc Líneas de campo de una carga puntual Líneas de campo en un condensador plano Líneas de campo entre dos conductores de dstnta forma S es una superfce cerrada (real o magnara) y q la carga total encerrada Johann Carl Fredrch Gauss ( ) Uno de los matemátcos más mportantes de la hstora Publcó sus trabajos más mportantes en las áreas: Geometría no eucldana y dferencal Estadístca Teoría del potencal Magnetsmo terrestre Uno de los pocos centífcos con su nombre en un bllete Flujo del campo eléctrco El flujo es proporconal al número de líneas de campo que atravesa una superfce determnada Φ E = X AE cos θ En forma vectoral, Φ E = X A E La ntegral sobre una superfce cerrada es: Φ E = E da Ángulo plano y ángulo sóldo Ángulo sóldo crcunferenca de rado r= superfce esférca de rado r= α Ω α = l r α Ω = S T =2π Ω T =4π Ω = A cos θ = An r 2

ntegral de superfce por la de volumen, Φ E = Φ E = (r r 0 ) ds(r) r r 0 3

flujo a través de cada superfce cerrada? S? S 2? S 3? S 4?

orgen Calculemos el flujo a través de la esfera Φ E = H E ds Φ E = H EdS

q = λl = E2πrl E = λ 2π r Plano ndefndo Flujo a través de la superfce del

3 Demostracón del T. Gauss Φ E = E(r) ds = ρ(r 0 )(r r 0 ) r r 0 3 d 3 r 0 ds ntercambando la ntegral de superfce por la de volumen, Φ E = Φ E = (r r 0 ) ds(r) r r 0 3 ρ(r 0 )d 3 r 0 dω(r 0 )ρ(r 0 )d 3 r 0 S no hay cargas Φ E =0 Cuál es el flujo a través de cada superfce cerrada? S? S 2? S 3? S 4? Carga puntual Superfce esférca de rado r que encerra una carga q en el orgen Calculemos el flujo a través de la esfera Φ E = H E ds Φ E = H EdS = E H ds q = E4π E = q Generalcemos a cualquer superfce Hlo ndefndo Φ E = q = λl = E2πrl E = λ 2π r Plano ndefndo Flujo a través de la superfce del clndro Φ E = σa =2EA Campo en la superfce del plano aslante E = σ 2 Forma dferencal del teorema de Gauss E ds = Ed 3 r = E(r) = ρ(r) ρd 3 r ρd 3 r 3

Campo gravtatoro y electrostátco Fuerza entre dos masas Fuerza entre dos cargas F G = G mm Campo gravtatoro F C = K qq Campo eléctrco F g = mg F e = qe Trabajo como dferenca de energía potencal

el potencal eléctrco como la energía potencal por undad de carga,.e. W = R f = U q R f F ds = q 0 E ds = U = f = R f E ds d = Eds = Edscos θ = E s ds E = Superfces equpotencales El campo y el

Esto, en térmnos ntegrales ndca que la crculacón del campo eléctrco es nula, sea cual sea la trayectora: E dl =0 El prncpo de superposcón de aplca de forma más convenente al potencal Dado que cuando

4 Campo gravtatoro y electrostátco Fuerza entre dos masas Fuerza entre dos cargas F G = G mm Campo gravtatoro F C = K qq Campo eléctrco F g = mg F e = qe Trabajo como dferenca de energía potencal (gravtatora o electrostátca) f f W f = F ds = m g ds = U = U U f f f W f = F ds = q E ds = U = U U f Potencal eléctrco De la defncón de potencal, En forma dferencal, Por lo tanto E s = d ds Se defne el potencal eléctrco como la energía potencal por undad de carga,.e. W = R f = U q R f F ds = q 0 E ds = U = f = R f E ds d = Eds = Edscos θ = E s ds E = Superfces equpotencales El campo y el potencal De la expresón del campo eléctrco en térmnos del potencal, E = E =0 se deduce que el campo electrostátco (el de las cargas en reposo) es rrotaconal. Esto, en térmnos ntegrales ndca que la crculacón del campo eléctrco es nula, sea cual sea la trayectora: E dl =0 El prncpo de superposcón de aplca de forma más convenente al potencal Dado que cuando E y ds son perpendculares no hay varacón de potencal, las superfces equpotencales son perpendculares a las líneas de campo. E = E + E 2 + = 2... E = ( ) Expresón ntegral para Pero E(r) = r r 0 r r 0 3 = 0 r r 0 r r 0 3 d 3 r 0 = r r 0 Ecuacones de Posson y Laplace De la ley de Gauss, E = ρ y la defncón en térmnos del potencal E = Luego E(r) = ρ(r 0 ) r r 0 d3 r 0 Ecuacón de Posson Ecuacón de Laplace Por tanto (r) = ρ(r 0 ) r r 0 d3 r 0 = ρ =0 4

Conductores (perfectos) El campo es cero en el nteror del conductor Las cargas en un conductor están en la superfce La superfce de un conductor es una superfce equpotencal: el campo eléctrco es

= EA por el teorema de Gauss, luego el campo en la superfce del conductor es: E = σ Fuerza sobre la superfce de un conductor cargado El campo sobre la superfce del conductor (fuera del conductor)

5 Conductores (perfectos) El campo es cero en el nteror del conductor Las cargas en un conductor están en la superfce La superfce de un conductor es una superfce equpotencal: el campo eléctrco es perpendcular a la superfce de un conductor En regones con más curvatura hay más acumulacón de carga Campo eléctrco en la superfce de un conductor El flujo a través del clndro de la fgura es Φ E = σa = EA por el teorema de Gauss, luego el campo en la superfce del conductor es: E = σ Fuerza sobre la superfce de un conductor cargado El campo sobre la superfce del conductor (fuera del conductor) sabemos que vale E a = σ por el teorema de Gauss, mentras que el campo en el nteror es nulo, E b =0 La fuerza sobre un elemento de carga es fds = σdse El campo en a y b lo podemos escrbr como E a = E resto + σ E b = E resto σ 2 2 Cargas nducdas Al ntroducrse una carga q dentro de una superfce conductora hueca, debe nducrse una carga en la superfce nterna del conductor de manera que se anule el campo en el volumen del msmo. La densdad de fuerza sobre la superfce de un conductor cargado es: f = σ2 2 5

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