Vectores 4º Año Cód B e t in a C a t t á n e o Matemática N o e m í L a g r e c a Dpto. de Matemática

Transcripción

1 Vetores Mtemát 4º Año Cód B e t n C t t á n e o N o e m í L g r e Dpto. de M t emát

2 VECTORES EN EL ESPACIO En Fís mhos son los oneptos, tles omo ferzs, eloddes, desplzmentos, qe no peden ser determndos por n úno número rel qe es neesro onoer s dreón sentdo. Ests mgntdes, llmds mgntdes etorles, son representds por elementos geométros onodos on el nomre de etores. El estdo de etores en el plno lo hz desrrolldo nterormente en s form geométr en s form nlít. Ahor efetremos el estdo de los etores en el espo DEFINICIÓN: Un etor es n segmento orentdo. Todo etor posee n pnto orgen n pnto etremo. S por eemplo s orgen es el pnto s etremo el pnto, el etor se ndrá o on n sol letr mnúsl n rr rr o fleh. Es der: Los etores se rterzn por tener: Módlo: es l dstn entre el pnto orgen el etremo, es der l medd del segmento orentdo. Se smolz: sendo Dreón: es l de l ret qe ontene l etor o lqer de ss prlels. Sentdo: es el nddo por l pnt de n fleh. Por eemplo s el etor tene por etremo el pnto, l pnt de l fleh estrá en él. GENERALIDADES Al onnto de todos los etores del espo trdmensonl lo notremos V. P O L I T E C N I C O

3 Vetores Mtemát Ddo n segmento, se llm etor lre l onnto de todos los etores qe tenen gl módlo, dreón sentdo qe, nldo el propo. En lo seso será ndstnto trr on lqer de los elementos de dho onnto. Se llm etor nlo se smolz o, l etor o módlo es ero. Es der o. Este etor por tener módlo ero, se rede n pnto, por lo l ree de dreón sentdo. En símolos: o es el etor nlo o Dos etores no nlos son prlelos ndo tenen l msm dreón. En símolos: // dreón de dreón de Dos etores son gles ndo tenen módlo ero o ndo poseen gl dreón, sentdo módlo. Ddo n etor lqer no nlo, se llm etor opesto de se smolz otro etor qe tene gl módlo dreón qe pero sentdo opesto. Se llm ersor todo etor de módlo no. En símolos: es n ersor, OPERACIONES EN V SUMA DEFINICIÓN: Ddos los etores V se otene de l sgente mner: V A prtr de n pnto p lqer, se tom, denomnmos etor sm otro etor qe pq on orgen en q, se tom qs etor on orgen en p etremo en s, pq, se lo denomn etor sm de. Es der: pq, l P O L I T E C N I C O

4 Eemplo: Ddos los etores: El etor sm será: q s + p PROPIEDADES ; ; V S) Conmtt: + = + S) Asot: ( + ) + = + ( + ) S) Esten del elemento netro: o V / + o = S4) Esten del opesto: - V / + (- ) = o DIFERENCIA DEFINICIÓN: Ddos los etores V V, denomnmos etor dferen qe se otene smndo l prmero el opesto del segndo. Es der: Eemplo: Ddos los etores: El etor dferen será: otro etor PRÁCTICA. Ddos ; determn gráfmente de modo qe = o P O L I T E C N I C O

5 Vetores Mtemát. Ddos ; del gráfo epres ; w en fnón de ; = w = w = PRODUCTO DE UN VECTOR DE V POR UN NÚMERO REAL (O ESCALAR) DEFINICIÓN: Se denomn prodto de n etor por n eslr (o número rel) otro etor w tl qe: w w // s o w sentdo w sentdo s sentdo w sentdo s o s o Eemplo: w = - w - PROPIEDADES ; V ; R; R P) = P) ( + ) = + P) ( + ) = + P4) ( ) = ( ) 4 P O L I T E C N I C O

6 VERSOR ASOCIADO AL VECTOR DEFINICIÓN Ddo n etor no nlo, llmmos ersor sodo l etor lo smolzmos, l etor de módlo no qe tene gl dreón sentdo qe. TEOREMA S es n etor lqer no nlo,del espo, entones es s ersor sodo. Demostrón L demostrón fe relzd en ños nterores. CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE VECTORES TEOREMA Dos etores no nlos, son prlelos s sólo s este n número rel tl qe. En símolos: S o o : // R No se efetrá l demostrón en el presente rso ÁNGULO ENTRE VECTORES DEFINICIÓN: tl qe Ddos los etores no nlos se denomn ánglo entre los etores se nd l ánglo oneo entre ; (es der ) por ellos determndo l ser pldos on orgen en el msmo pnto. Eemplo: P O L I T E C N I C O 5

7 Vetores Mtemát PRÁCTICA. Complet según orrespond, sendo etores no nlos. son ánglos.... d. son ánglos son ánglos. son ánglos. 4. S o o o setrz de o ál es l medd de d no de los sgentes ánglos?. d.. w e. (-w). (-) f. ( )( ) w o 5. Epl por qé l sgente frmón es fls. os, Z VECTOR PROYECCIÓN DEFINICIÓN: Ddos los etores no nlos l ser pldos mos on orgen en n msmo pnto p es posle trzr por el etremo de no de ellos, n perpendlr l dreón del otro otenéndose el pnto q omo ndn ls fgrs. Cso ) Cso ) Cso ) 6 p ' q P O L I T E C N I C O p q ' q ' p

8 Al neo etor pq se lo denomn etor proeón de sore se nd: ' pq etor pro Podemos oserr qe: pr los sos, reslt: ' // R / ' ' // () pr el so, reslt: ' O () De () () podemos onlr qe: R / ' A dho número se lo llm proeón de sore Pr los sos nterores reslt: Complet según los sos nterores el sgno de Cso : Cso : Cso : TEOREMA Ddos los etores no nlos, l proeón de sore, es gl l prodto del módlo de por el oseno del ánglo determndo por. En símolos: S ' pro os No se efetrá l demostrón en el presente rso PRÁCTICA 6. Cll, en d so, l. 5º pro. 9º sendo qe. 45º 7. Sendo qe pro º determn. P O L I T E C N I C O 7

9 Vetores Mtemát PRODUCTO ESCALAR O INTERNO ENTRE VECTORES DEFINICIÓN: Ddos dos etores, se llm prodto eslr o nterno entre los etores, se smolz, l número: = os s s o o o o PROPIEDADES, R se mplen ls sgentes propeddes: PE ) Demostrón: () S o o () () S os () o o entones os () () () () Defnón de Prodto Eslr () Propedd onmtt de l mltplón () os (4) Defnón de potenón PE ) PE ).. PE 4) Demostrón: () S o () os (). (4) (4) S o entones () 8 P O L I T E C N I C O

10 P O L I T E C N I C O 9 PE 5) : S (ondón de perpendlrdd entre etores no nlos) Demostrón: os 9º ) 9º os os ) Qed pr el lmno ompletr ls stfones de l demostrón nteror Not: Pede demostrrse qe pro PRÁCTICA 8. Sendo, determn: Sendo qe, 4 6, ll:... d. e.

11 Vetores Mtemát. Epl por qé l sgente frmón es fls.. Determn el ánglo qe formn,sendo qe 5 5 ; 5 4. PRODUCTO VECTORIAL ENTRE VECTORES DEFINICIÓN: Ddos dos etores se lo smolz de V, se denomn prodto etorl entre, l etor tl qe: o dreón de sentdo de es el otendo sen perpendlr l plno sndo regl de l mno dereh () determnd o por s s o o o o () Regl de l mno dereh El sentdo de está ddo por l regl de l mno dereh. L msm onsste en: se olo l mno dereh etendd on el plgr seprdo de los tro dedos ndos, hendo ondr el prmer etor del prodto ( ) en dreón sentdo on esos tro dedos lego dhos dedos grn h trés del ánglo. El sentdo de está determndo por l dreón del dedo plgr. Es der, el etor pnt en el msmo sentdo qe el plgr. Gráfmente reslt: P O L I T E C N I C O

12 P O L I T E C N I C O PROPIEDADES V ; R; R, se mplen ls sgentes propeddes: PV) Demostrón: () o o S reslt O O O, por defnón de prodto etorl, por lo tnto O () o ; o S no prlelo, reslt: Módlo: sen sen sen () Dreón: tenen l msm dreón por ser mos perpendlres l plno determndo por Sentdo: tene sentdo opesto por regl de l mno dereh, entones tene gl sentdo qe De lo epesto reslt qe tenen gl módlo, dreón sentdo, por lo tnto: () o ; o S prlelo, reslt: S sen sen 8º º // sen sen sen ()

13 Vetores Mtemát Por lo tnto De (); () () podemos onlr qe O PV ) PV ).. PV 4 ) S o o : prlelos no nlos) // (propedd de etores Demostrón: ) ) sen // º 8º sen sen o sen O / / TEOREMA 4 Ddos los etores o ; o no prlelo, entones es el áre del prlelogrmo pqrs, sendo pq ps Demostrón áre pqrs = ( ). h sen h () sen h. sen ( ) p q h s r () defnón de prodto etorl P O L I T E C N I C O

14 PRÁCTICA. S, determn:... d.. Sendo qe 5.,, ll:.. 4 d. 4. Ddos los etores o o, demestr qe el etor es perpendlr 5. Sendo qe 4, 4, ll PRODUCTO MIXTO ENTRE VECTORES DEFINICIÓN: Ddos dos etores ; de V, se denomn el prodto mto entre ; l número qe se otene hendo. Propeddes Notemos qe el prodto mto erf tods ls propeddes del prodto eslr. TEOREMA 5 S o ; o ; o ; no prlelo ; no oplnres entones olmen del prlelepípedo determndo por los etores ;. Demostrón etor pro P O L I T E C N I C O

15 Vetores Mtemát () () os, () os, sp. de l se ltr os, olmen del prlelepí pedo () () defnón de prodto eslr () propedd del lor solto () propeddes del prodto etorl defnón de rzones trgonométrs TEOREMA 6 S o o o no prlelo ; ; No se relzrá l demostrón en el presente rso son oplnres PRÁCTICA 6. Cll sendo ; ;, 6 ; 6 ;. SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO ORTONORMAL Ddo n pnto lqer del espo o (orgen de oordends), en él pldos tres ersores ; perpendlres dos dos, l onnto o ; ; ; se lo denomn sstem de referen ortonorml en el espo. Denomnremos omo: ees oordendos ; z d n de ls rets qe ontenen d no de los ersores ;, respetmente. plnos oordendos ; z e z, los plnos qe ontenen los ees e, los ee z los ee z, respetmente. Gráfmente reslt: z o pnto fo o o;; ; sstem de referen ortonorml en el espo 4 P O L I T E C N I C O

16 DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR DEFINICIÓN: Llmremos etor posón todo etor on orgen en el orgen de oordends. Ddo n sstem de referen o ;; ; n pnto p p ;p; p prlel, ést ort l plno en n pnto qe llmremos p. Como n msmo plno, reslt: Por otr prte, op' p p ()., s por p trzmos n ret op ', están en op op' p' p p'p // p'p p op op' p () De () (), podemos onlr qe: Gráfmente reslt: z p p p p o p p p op p p p p DEFINICIONES: Llmmos: o l epresón op p p p epresón nón o rtesn del etor op. o l tern ordend de números p ;p; p omponentes eslres del etor op en el sstem o ;; ;. o los etores p ; p p se los llm omponentes etorles de op. PRÁCTICA 7. En n sstem de referen ;; ; d (4; ; ). op 8. Ddo el etor posón p ;p ; o los pntos: (;; ) ; (; ;) ; ( ;;) p demestr qe op p p p P O L I T E C N I C O 5

17 Vetores Mtemát VECTORES IGUALES Los etores ; ; son gles. En símolos: ; ; son gles s solo s ss omponentes OPERACIONES ENTRE VECTORES EN FUNCIÓN DE SUS COMPONENTES SUMA Ddos los etores ( ; ; ) ( ; ; ), el etor sm se otene: PROPIEDADES ; ; ; ; ; ; ; V S) Conmtt: S) Asot: = = o S) Esten del elemento netro: ; ; V / o S4) Esten del opesto: - V / o DIFERENCIA Ddos los etores ( ; ; ) ( ; ; ), el etor dferen se otene: ; ; ; - ; - ; ; PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Ddos el etor ( ; ; ) el número, el etor prodto de por se otene: ; ; ; ; 6 P O L I T E C N I C O

18 PROPIEDADES ; V ; R; R P) P) ( ) = + Demostrón Ddos los etores ( ; ; ) ( ; ; ) el número : () ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; () () Sm de etores en omponentes () Prodto de n eslr por n etor en omponentes () Propedd dstrt del prodto on respeto l sm en los números reles () () () P) ( + ) = + P4) ( ) = ( ) PRÁCTICA 9. Sendo (; ; ) ; (4; ; ) ( 5; ;5), determn:.. 5. d. ( ) COMPONENTES ESCALARES DE UN VECTOR NO POSICIÓN TEOREMA Ddos los pntos p (;;z ) p (;;z) entones ls omponentes eslres de son ; ; z. z p p P O L I T E C N I C O 7

19 Vetores Mtemát Demostrón Reordndo l defnón propeddes de l sm entre etores l epresón nón de n etor posón, reslt: z op pp op pp op op pp ( z) ( z) pp ( ) ( ) (z z ) de donde ls omponentes eslres de p p son: ; ; z z o p p PRÁCTICA. Sendo ( ;5; ) (; ; ), determn:. Ls omponentes etorles de.. Ls oordends del pnto medo del segmento.. Un etor olnel on de módlo. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DETERMINADO POR DOS PUNTOS TEOREMA Ddos los pntos p (;;z ) ; p (;;z) el pnto m, pnto medo m del segmento p p, entones ls oordends de m son z z ; ; Demostrón p Como m es el pnto medo de p p pm mp, reslt: Llmndo ( m ;m;zm) ls oordends de m tlzndo el teorem, podemos esrr: ( m ; m ; zm z ) ( m ; m ; z zm ) Lego, dos etores son gles s ss omponentes son gles, es der: p m 8 P O L I T E C N I C O

20 z m m m z z z m m m z m m m z z z m m m z z Reemplzndo en Eemplo m ( m ; m ; z m ) reslt m ; z ; z Ddos los pntos p (; ; ) p (; 5; ), entones: Ls omponentes eslres de p p son p p ( ; 7; 4). L epresón nón de p p es p p 7 4. L dstn entre los pntos p p o el módlo de p p es d(p ;p ) p p ( ) 7 ( 4) 66. Ls oordends del pnto medo del segmento p p son m ; ;. PRÁCTICA. Determn ls omponentes del etor en d so... z z ( ; 4 ; ) ( 4 ; ; ) ( ; 5 ; ) ( 4 ; ; o ) o. Cll ls medds de los ldos del tránglo pqr os értes son los pntos p(; ; ) ; q(5; ; ) r ( ;; ) es el tránglo pqr sóseles? Jstf l respest.. Determn ls oordends de los pntos smétros de (; ; 4) ; (; ; ) (;; ). respeto l plno oordendo.. respeto l ee.. respeto l orgen de oordends. P O L I T E C N I C O 9

21 Vetores Mtemát 4. Ddos los pntos (4; ; ) ( ; ;) en n ;; ; o determn:. ls omponentes eslres de /.. ls oordends de m, sendo m el pnto medo del segmento. 5. Ddo los pntos (; 4; ) ( ; ;5), determn el pnto medo del segmento. 6. Un etor tene módlo ss dos prmers omponentes son 4, en ese orden; Cál es l terer omponente? este ún solón? 7. Un etor de módlo 5 tene ls tres omponentes gles áles son? PRODUCTO ESCALAR se otene de l sgente mner: Ddos los etores ; ; ; ;, el prodto eslr entre Aplndo propeddes del prodto eslr, podemos demostrr l fórml nteror de l sgente mner:. ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () plndo propeddes del prodto eslr. () Condón de prlelsmo perpendlrdd de etores / / ( ) ( ) / / / / PRÁCTICA 8. Ddos los etores (; ; ) ( ; ; 4).. el ánglo qe formn dhos etores, determn: 9. Cáles de los sgentes pres de etores son perpendlres?. ( ; ;) (;; 5). ( ; ;) (; ;). ( 5;;) (;;) P O L I T E C N I C O

22 . Ddos los etores m sen:. Prlelos. Ortogonles - 4 m, hll m pr qe los etores. Determn s los pntos p(; ;) ; q (;;) r(4; 7; 6) están lnedos.. Demestr: es n etor del espo, entones ;. qe s ; ; o. qe l proeón de n etor sore los ersores de n ;; ;. S en ;; ; omponentes del etor en dho sstem. o es (; ;), determn:. etor pro o. etor pro o. etor pro o 4. Ddos q( ;; ) p (; ;) en o ;; ;. L epresón nón de qp.. qp pq, determn: / ( ; ; ) es perpendlr pq d. pro pq sendo ( ; ;) o COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR DEFINICIONES: Llmremos: ánglos dretores de n etor, respeto de n sstem o ;; ; qe el etor form on d no de los ersores del sstem. osenos dretores de n etor, respeto de n sstem o ;; ; los osenos de los ánglos dretores. o son ls, los ánglos, d no de Eemplo: z Ddos el etor, tenemos: ánglos dretores de : osenos dretores de : ; os ; os os o P O L I T E C N I C O

23 Vetores Mtemát PRÁCTICA 5.. Demestr qe: S ; ; o, entones os ; os os. Determn ss osenos dretores del etor ( ; ; ). 6. Pre qe:. S ; ;. S ; ; o, entones os os os o, entones os ; os ; os 7. Determn el etor de módlo 5 qe form ánglos gles on los ersores ;. 8. Sendo qe los osenos dretores de n etor son os módlos 5, ll ls omponentes del etor. 6 os ; os ; PRODUCTO VECTORIAL se otene de l sgente mner: Ddos los etores ; ; ; ; ( - ) ( - ) ( ), el prodto etorl entre Aplndo propeddes del prodto etorl, podemos demostrr l fórml nteror de l sgente mner:. ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (-) ( - ) ( - ) ( ) P O L I T E C N I C O

24 P O L I T E C N I C O () plndo propeddes del prodto etorl. () Defnón de prodto etorl // // // A modo de eemplo demostrremos qe. Pr esto deeremos pror qe tene gl dreón, sentdo módlo. Módlo: sen Dreón: dr dr // plno l perpendlr plno l perpendlr dreón Sentdo: Aplndo l regl de l mno dereh podemos onlr qe: sentdo entdo s De lo nteror podemos onlr qe qe tenen gl módlo, dreón sentdo. Como regl nemotén pr reordr l últm fórml podemos empler el sgente esqem: ) ( ) ( ) ( () () () Cd n de ls epresones ndds en ) ( se denomnn determnntes de orden dos s állo se relz de l sgente mner: d d

25 Vetores Mtemát PRÁCTICA 9. Ddos los etores (; ; ) (; ; ). Ls omponentes de. determn:. ( ) ( ) d. ( ) ( ) 4. Ddos los etores, hll. Ls omponentes de n etor perpendlr mos.. El áre del prlelogrmo qe ellos determnn. 4. Hll ls omponentes del ersor perpendlr los etores ( ;; 5) ( ;; ) smltánemente. este ún solón? 4. S w ; w º 4, determn:. w w e. w w. w f. w. ( w ) ( w) g. w d. ( w ) (w ) h. w w 4 4. Hll el o los etores de módlo perpendlr los etores (; - ; ) d (; 4 ; ) smltánemente. 44. Ddos los etores (; ;) (; ; 4). pro. pro, determnr: 45. Determn ls omponentes de ; ; sendo ; ; ; ; 5 sendo qe es prlelo l etor,, 64 es otso. 46. Determn s los etores ;; ; ; ; w ;9; son oplnres. 47. Hll el lor de pr qe los etores ; - 5; ; 7; 4; ;4; oplnres. w sen 4 P O L I T E C N I C O

26 48. Hll n etor de l msm dreón qe ; ; w ; 4; n prlelogrmo de áre gl 5. TEOREMAS DE ADICIÓN tl qe forme on Mednte el állo del prodto eslr en omponentes se pede otener, trndo on etores en el plno, n onodo resltdo de trgonometrí qe relon el oseno de l dferen de dos ánglos on el oseno el seno de esos ánglos. Coseno de l dferen de dos ánglos Consderemos n sstem de oordends en el plno los ánglos, on értes en el orgen ldo nl sore el sentdo posto del ee, omo mestr l fgr. Con entro en el orgen del sstem trzmos n rnferen de rdo (rnferen trgonométr). Ést nterse los ldos fnles de en los pntos ( ; ) ( ; ), respetmente. De este modo resltn: os ; sen ; os ; sen o os α sen α o os sen Como es el ánglo entre los etores o o, tenemos: os o o o o os os sen sen Es der: os os os sen sen P O L I T E C N I C O 5

27 Vetores Mtemát Oserón: s en los ánglos, qe fgrn en el gráfo qe relzmos, son del prmero segndo drnte, ls onlsones son ndependentes de es stón. Al trr lgermente l relón qe otmos pr el oseno de l dferen de dos ánglos, se peden otener los sgentes resltdos. Todos ellos el nteror, en trgonometrí se denomnn Teorems de dón. Coseno de l sm de dos ánglos: os Seno de l dferen de dos ánglos: sen Seno de l sm de dos ánglos: sen os os sen sen sen os os sen sen os os sen PRÁCTICA: 49. A prtr de ls epresones onods del sen ( ) os ( ) otene n epresón pr tg ( ) en fnón de tg tg. 5. Verf ls sgentes dentddes: ) sen =. sen.os ) os = 4 sen.os ) os = os - sen 5. Verddero o flso?.jstf l respest. ) tg 5º = - ) sen( +) sen (- ) = os. sen ) + sen = (sen + os ) 5. Cll os( ), s sen =-, tg =,sendo del terer drnte 6 P O L I T E C N I C O

28 TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO En rsos nterores plste ls defnones de seno, oseno tngente de n ánglo gdo en l resolón de tránglos retánglos. S emrgo se peden presentr prolems en los qe se neesro otener medd de ánglos ldos de n tránglo no retánglo(olánglos) En estos sos son útles los teorems del seno del oseno En : TEOREMA DEL SENO En todo tránglo ls longtdes de los ldos son proporonles los senos de los ánglos opestos sen sen sen sendo ; Demostrón Consderemos el prlelogrmo p determndo por on l dgonl. Como Áre p el ondente α β δ Entones Áre () El áre del tmén se pede llr sí: Áre sen sen sen () Iglndo () () sen de donde sen (*) sen sen P O L I T E C N I C O 7

29 Vetores Mtemát De l msm form se pede llr el áre del : Áre sen sen () Lego se gl () on () se otene sen (**) sen TEOREMA DEL COSENO Fnlmente de (*) (**) sen sen sen El drdo de l longtd de n ldo de n tránglo es gl l sm de los drdos de ls longtdes de los otros dos ldos, menos el dole prodto de ss longtdes por el oseno del ánglo qe determnn En el :, os os os Demostrón Se demostrrá l prmer de ls glddes nterores En : Por lo tnto : Aplmos propedd dstrt del prodto eslr respeto de l sm 8 P O L I T E C N I C O

30 De donde os Oserón En el so prtlr en qe es reto, el resltdo nteror se trnsform en el onodo Teorem de Ptágors os por ser Por este moto el Teorem del oseno se lo onoe on el nomre de Teorem de Ptágors Generlzdo. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Qé sgnf resoler n tránglo lqer? Enontrr ls medds de los ldos ánglos del tránglo, prtr de determndos dtos tlzndo fórmls de l Trgonometrí qe nlen los dtos. En est oportndd nos dedremos llr medds de ldos ánglos de tránglos olánglos, qe en ños nterores se h trdo on tránglos retánglos. Pr estos tránglos son útles dos propeddes qe hemos sto: Teorem del seno Teorem del oseno. S en pr resoler n tránglo neestmos tener determnd nformón sore ss ldos ánglos, los rteros de ongren de tránglos nos permtrán segrr qé dtos, en prtlr, deemos onoer pr resoler el tránglo: Cso : n ldo dos ánglos dentes él. Cso : dos ldos el ánglo opesto l mor de ellos. C A Cso : dos ldos el ánglo omprenddo. Cso 4 : tres ldos. B Vemos, prtr de n stón prolemát, qé orre s tenemos por dtos dos ldos el ánglo opesto l menor de ellos? Pedes onstrr n tránglo, sendo qe tene n ánglo, el ldo 6 A, opesto dho ánglo mde otro ldo B = 8? Intentemos onstrrlo: Comenemos trzndo el Pr determnr el érte, llemos, plndo el Teorem de los senos, sí reslt: P O L I T E C N I C O 9

31 Vetores Mtemát 8 sen 8 A B B sen. 6 4 sen sen sen sen sen A Qé orre?, En est stón nos h qeddo B.sen A Es der: A B.sen Geométrmente: d B. sen Lego pr determnr el érte, qe es n pnto de l d trzmos n ro de rnferen de rdo de medd A on entro en Como A B.sen, nos qed: El no se pede onstrr A B. sen Entones qé ondón dee mplr A on respeto B.sen pr qe est Desde qe A B.sen? Consderemos hor, ddos el gdo ls medds A B de dos segmentos. Pr onstrrlo, en d so, proederemos trzr el. Lego pr determnr el érte, trzmos n ro de rnferen on entro rdo de medd A. S: B. sen = A, este n tránglo, retánglo en A B. sen P O L I T E C N I C O

32 B.sen < A, en est stón, esten dos tránglos A A En síntess, osermos qe en este so, se peden presentr stones en ls qe esten dos tránglos, n tránglo o nngún tránglo, por tl moto se lo onoe on el nomre de Cso mgo B. sen PRÁCTICA 5. Se n prlelogrmo s dgonles mden m 5 m respetmente formn entre ells n ánglo de 4º. Cll el perímetro el áre del prlelogrmo. 54. Pr hllr l ltr de n gloo erostáto, relzmos ls medones ndds en l fgr. ) Cánto dst el gloo del pnto? ) Cánto dst el gloo del pnto? ) A qé ltr está el gloo? 9º h 55. Dos rreters rets dergen formndo n ánglo de 65º. Dos tomóles slen de l nterseón ls 4 hs, no 5 m/h el otro m/h. Qé dstn los sepr ls 4: hs? 56. Determn el áre de n tránglo de ldos m; 8 m 4 m. 75º 7º 57. Jlo Aníl tenen ss ss en el mpo n dstn de 5m. Amos dsn n helóptero olndo en líne ret entre ellos. Jlo lo e on n ánglo de eleón de 8º Aníl está n dstn de 6m del helóptero. En ese nstnte qé ltr está el helóptero qe dstn se enentr de Jlo? 58. Dos páros qe están sore dos rms dstnts de n árol dsn n frto del selo. Al msmo tempo se lnzn sore él en líne ret pero on dstnts eloddes llegn los dos ntos. El de l rm más lt est 6m del frto el otro, 4m. S el ánglo qe formn ls tretors de d no es de 6º, on estos dtos se pede ergr qe dstn sepr los páros ándo estn en ls rms?. Jstf g 6º m P O L I T E C N I C O

33 Vetores Mtemát 59. Determn l medd de del trpeo sóseles, según los dtos de l fgr º d 6m 5º BIBLIOGRAFÍA Apnte de Vetores en el Espo. Ators: Noemí Lgre Betn Cttneo Mtemát II. Edtorl Sntlln. Ators: Bshzzo,Fong,González L Lgre Leones de Alger Geometrí Anlít. Atores: Ad Msó Roerto López P O L I T E C N I C O