3.DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PUNTOS

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1 3.DINÁMICA DE OS SISTEMAS DE PUNTOS 3.1. Cento de masas. Detemnacón 3.. Movmento del cento de masas Cantdad de movmento. Consevacón de la cantdad de movmento 3.4. Sstema de efeenca del cento de masas 3.. Choque 3.6. Consevacón del momento angula.

2 3.1. DETERMINACIÓN DE CENTRO DE MASAS * El cento de masas de un cuepo o de un sstema de puntos mateales, es el punto de aplcacón de la esultante de todas las fuezas exteoes que actúan sobe el sstema. Suele dentfcase genealmente con el cento de gavedad del cuepo, peo esto sólo ocue cuando: a) E CUERPO ES UN SÓIDO HOMOGÉNEO b) AS FUERZAS EXTERIORES SON PRODUCIDAS POR E CAMPO GRAVITATORIO c) E CUERPO NO ES EXCESIVAMENTE EXTENSO d) SIEMPRE COINCIDE CON E CENTRO DE GRAVEDAD e) OS PUNTOS MATERIAES TIENEN TODOS A MISMA MASA El cento de masas de un sstema de puntos mateales es el punto donde se debe aplca la esultante de todas las fuezas exteoes que actúan sobe el sstema. S las fuezas exteoes que actúan sobe los puntos son úncamente debdas al campo gavtatoo, y el cuepo no es excesvamente extenso de foma que se puedan consdea como fuezas paalelas actuando sobe todos los puntos del sstema, o del cuepo, y dgdas haca el cento de la Tea, en éste caso concdá con el cento de gavedad. En defntva concdán cuando las fueza exteoes sean las debdas a un campo gavtatoo unfome, lo cual exge que el cuepo no sea extenso. as opcones coectas son b y c a masa de la Tea es 81 veces mayo que la de la una y la dstanca ente sus centos es sesenta ados teestes (6 R). El cento de masas del sstema Tea-una ocupa una poscón que está: a) POR ENCIMA DE A SUPERFICIE TERRESTRE b) POR DEAJO DE A SUPERFICIE TERRESTRE c) A A MITAD DE A DISTANCIA ENTRE AMOS CUER- POS CEESTES d) INDETERMINADA, YA QUE DEPENDE DE AS FASES DE A UNA Imagnemos una ecta que une los centos de la Tea y la una y stuemos el ogen en el cento de la Tea; la poscón del cento de masas es: x x, de lo que x M T. + M.6R M.6R M + M 81M + M, 73 T el valo numéco anteo ndca que el cento de masas dsta del cento de la Tea una dstanca que es nfeo al ado teeste, po lo que la solucón coecta de la pueba es la opcón b. R

3 El cento de masas de un sstema fomado po cnco masas puntuales guales colocadas en la foma que ndca la fgua, está en la bsectz del ángulo y a una dstanca del vétce de: a) b) 3 c) 6 d) 8 os vectoes de poscón de las cnco masas son,,, j, j y el vecto cento de masas es:, de lo que m. + m. + m. + m. j + m. j 3 3 j + m a dstanca al ogen de coodenadas es el módulo del vecto de poscón d m En los vétces de un cuadado de lado a se stúan cuato masas tal como ndca la fgua. S en el medo de la ecta que une las masas de 1 kg se stúa una masa de M klos, esulta que el cento de masas del sstema fomado está en el cento de dcho cuadado, po tanto el valo de M es: a) 1 b) c) 3 d) 4 e) El cento de masas está en el punto de coodenadas (a/, a/) y el a aj coespondente vecto de poscón es: + y aplcando la fómula a j 1. a + 1. a + M. a +. aj + 1. aj + M., a aj + M + 6 a (. a + Ma) + (3a + M. ) j, de donde a/ (a+ma)/(m+6); M kg M + 6 a cuestón se puede esolve ápdamente s obsevamos que las dos masas de kg equvalen a una de cuato en el punto de coodenadas (, a/) y que las otas tes masas (1+1+M) tenen su cento de masas en el punto (a, a/) y paa que el conjunto de las cnco masas esté en el cento M debe se kg ya que M. a solucón coecta seá la b.

4 3.1.. Cuato masas puntuales de 1,, 3 y 4 kg espectvamente están stuadas sobe una ccunfeenca de ado undad tal como ndca la fgua. Se añade una qunta masa M, en un luga de la ccunfeenca de modo que el cento de masas de todo el sstema se encuente en el punto O. El valo de la masa añadda M, expesada en klogamos, es: a) / b) 3/ c) 6 d) 8//3 y las coodenadas del luga que ocupa M son: a) 1, ) b), c), d), Desgnamos con M la masa añadda, sendo sus coodenadas de poscón (x, y). Tenendo pesente que el ado de la ccunfeenca es 1, se cumple que x +y 1. El cento de masas del sstema está en O, po tanto a + M. x +. j 4. j + M. y j ( + Mx) + ( + M y) j, ; M + 1 M + 1 M + ; x y + Mx + My 1 x y xy, como x + y 1. Se deduce que, susttuyendo el valo de x + M M kg as solucones coectas seán la a en la pmea, y la c, en la segunda El luga geométco del cento de masas de todos los sstemas fomados po dos puntos mateales de masas m y m stuados espectvamente sobe los ejes X e Y y a gual dstanca del ogen, debeá se: a) A RECTA ISECTRIZ b) A RECTA DE ECUACIÓN yx c) UNA RECTA DE ECUACIÓN yx/3 d) UNA RECTA DE ECUACIÓN y3x/ e) NADA DE O DICHO Aplcando la defncón de vecto de poscón del cento de masas: y consdeando la masa m, con vecto de poscón 1 a, mentas que el de la masa m, es a j, el vecto de poscón del cento de masas del sstema seá: m. a + m. aj a aj +. m + m 3 3 y sus componentes seán : xa/3, ya/3. Elmnado a ente ambas, tendemos que : yx Esta ecuacón seá el luga geométco del cento de masas del sstema, paa cualque valo de a, lo que coesponde a la popuesta b.

5 Dos puntos mateales A y de masas guales están stuados en el plano XY. A vene detemnado po un vecto de poscón cuyo módulo vale y foma un ángulo de 3 gados con el eje X, mentas que se puede enconta en cualque punto del eje Y. Po ello dás que el luga geométco de las poscones del cento de masas del sstema debeá se: a) UNA RECTA QUE PASA POR E PUNTO, CON PENDIENTE /3 b) UNA RECTA PARAEA A EJE Y c) UNA CIRCUNFERENCIA d) UNA PARÁOA e) NADA DE O DICHO Consdeamos los vectoes de poscón de A, v cos3 + sen3 j 3 + j y y j A Aplcando las popedades del cento de masas del sstema, su vecto de poscón: v m 3 v + ( m + m y ) 3 v 1 y + + m En consecuenca, el c.d.m.del sstema, estaá en una ecta que cota al eje X, en el punto 3,paalela al eje Y, y cuya coodenada y seá (,+,y ), tal como ndca la solucón b, excluyéndose todas las demás popuestas. v j En los vétces A, y C del cubo de lado 1m de la fgua, se encuentan tes masas guales, m. Po lo tanto el cento de masas de la fgua debeá esta en: a) E CENTRO DE A DIAGONA DE A CARA SUPERIOR b) E CENTRO DE CUAQUIER DIAGONA DE CUO c) E CENTRO DE A DIAGONA DE A ASE DE CUO d) UNA PERPENDICUAR A CENTRO DE A ASE DE CUO e) E PUNTO (1/3, 1/3, 1/3) Obsevando el esquema de la fgua, las poscones de las masas stuadas en los vétces A,, y C, seán espectvamente: A(1,, ), (,,1) y C (,1,).Po lo tanto el vecto de poscón del cento de masas del sstema m A + m + m C, seá : m. + m. j + m. k j k + + 3m Sólo seá coecta la solucón e, puesto que el cento de la dagonal de la caa supeo del cubo (popuesta a),seía el cento del cuadado, que tendía po coodenadas (1/, 1/, 1),mentas que el de la caa opuesta( dagonal de la base del cubo y popuesta c),seía el punto (1/, 1/,). El cento de cualque dagonal del cubo (popuesta b) coespondeía a un punto de coodenada z1/,y po lo tanto no puede coesponde al dado, mentas que cualque punto de la pependcula a la base del cubo tendía las msmas coodenadas x e y,esto es (1/,1/).

6 En los vétces A, y C del cubo de lado 1m de la fgua, se encuentan tes masas, m, m y 3m, espectvamente. Po lo tanto el cento de masas de la fgua debeá tene como vecto de poscón : 3 4 j k j k 4 j 3k a) + + b) + + c) d) UN VECTOR CUYAS COMPONENTES X,Y,Z SEAN UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA CUYO PRIMER TÉRMINO SEA 3/6, Y RAZÓN 1/6 e) NADA DE O DICHO Obsevando el esquema dado, los vectoes de poscón de las masas stuadas en v v v A, y C seán espectvamente A + k, j + k y C + j. Po lo tanto el vecto de poscón del cento de masas del sstema, m A + m + m C, seá : m.( + k ) + m.( j + k ) + 3m.( + j) j k + + m, que concde 6m 3 6 úncamente con la popuesta b. a pogesón atmétca mplcaía un punto con coodenadas: (3/6,4/6, /6),y pecsamente este oden no se sgue en el c.d.m. de la fgua(4/6,/6,3/6) S tomas un alambe de 7 cm y lo doblas en ángulo ecto de foma que uno de los lados sea de 3cm, dás que el cento de masas de la fgua fomada se encuenta en: a) A ISECTRIZ DE ÁNGUO RECTO b) E VÉRTICE DE ÁNGUO RECTO c) E PUNTO MEDIO DE A RECTA QUE UNE OS DOS EXTREMOS d) A RECTA QUE UNE OS PUNTOS MEDIOS DE OS DOS ADOS, A 14,3 cm DE DE 3 cm. En el esquema de la fgua se obseva que al doblase en ángulo ecto, podemos toma dos pocones de alambe A (la pequeña de 3cm) y (la gande de 4cm), y detemna el cento de masas del sstema fomado po A y, en el sstema de efeenca X/Y, dado. a masa de cada pocón seá la densdad lneal de masa, λ po la longtud coespondente, supuesto que sea homogéneo. Así: v v En A : 1 j, m A 3 λ y En :, m 4 λ A 4λ. + 3λ.1 j 8 4 j Po lo que + 7λ 7 7 El punto que detemna el c.d.m., P (8/7, 4/7), no va a encontase en la bsectz del ángulo ecto, cuya ecuacón xy, no contene a P. No puede esta en el vétce del ángulo ecto (,) n en el punto medo de la v v ecta que une los dos extemos ( + 1 j ), que tampoco contene a P. a dstanca ente P y el punto (,1), seá 8 4 d , 3 cm 7 7 a únca popuesta coecta seá la d.

7 En la fgua se encuenta una vesón smplfcada de la molécula de agua. a longtud del enlace O-H es,984 nm y el ángulo de enlace H-O-H 14,4E. El cento de masas de esta molécula especto a los ejes dbujados están en el eje Y sendo el valo de dcha coodenada expesada en nm: a) -6,3 1-3 b) -4,3 1-3 c) -3, d) -, as coodenadas de poscón de los tes átomos que foman la molécula de agua son: Oxígeno (, ) Hdógeno (3º cuadante): -,984sen(14, 4/), -,984cos(14,4/) Hdógeno (4º cuadante): +,984sen(14,4/), -,984cos(14,4/) a coodenada Y es: Y (m O +m H (-,984cos(14,4/)+ m H (-,984cos(14,4/))/(m O +m H ) a masa del átomo de oxígeno es apoxmadamente 16 veces mayo que la del átomo de hdógeno, po lo que susttuyendo en la fómula anteo esulta: Y (m O +m H (-,984cos(14,4/)+m H (-,984cos(14,4/))/(m O +m H ) m H (-,984cos(14,4/))/18m H -6,3 1-3 nm.es coecta la popuesta a Una baa clíndca de longtud tene una densdad que no es constante a lo lago de ella, sno que cece lnealmente desde un valo ρ en un extemo A hasta en el extemo. El cento de masas de dcha baa está a una dstanca de A gual a: a) / b) 3/7 c) 3/8 d) /8 e) /9 Puesto que la densdad de la baa aumenta lnealmente de un extemo a oto (en A, ρ y en, ρ), la vaacón de la densdad po undad de longtud es ρ /, po consguente la densdad en un luga que dste x del extemo A vale, la densdad en A más la vaacón coespondente, esto es, ρ +( ρ /)x. S consdeamos un tocto de baa que tenga po espeso dx, y dste x, del extemo A de la baa, tendá un volumen Sdx, sendo S la seccón nomal de la baa. a masa de ese tocto de baa es gual a su volumen po su densdad: dm Sdx( ρ + ρ /x) a coodenada x consdeada a lo lago de la baa es: ρ xdm S ρ + x xdx A x, po lo que A x ρ dm S ρ + x dx A A ρ 3 Sρ xdx + S x dx ρ + ρ 3 x, ρ 9 S x dx + S dx + ρ ρ ρ tal como se ndca en e.

8 Se sueldan, una a contnuacón de ota, dos vallas homogéneas A y de la msma longtud peo hechas de dos mateales dfeentes, sendo la densdad de A doble que la de. El cento de masas del conjunto se encuenta a una dstanca del extemo de A gual a: a) / b) 3/7 c) 3/8 d) /6 e) /9 El cento de masas de una baa homogénea se encuenta en el punto medo de la msma. S tomamos como ogen de dstancas el extemo lbe de la baa A, el cento de masas se encuenta a una dstanca /. Como la baa está conectada a contnuacón de la A y tene la msma longtud su cento de masas se encuenta a una dstanca 3/ del extemo lbe de la baa A. Podemos escb paa la poscón del cento de masas del conjunto de las dos baas: x (m A /+m 3/)/(m A +m ) Como la densdad de la baa A es doble que la de, se deduce que la masa de la baa A es doble de la de. Susttuyendo en la ecuacón anteo: x (m /+m 3/)/(m +m ) (+3/)/3 /6. a espuesta coecta es la d Con un alambe fno de seccón constante se moldea una semccunfeenca de ado R. El cento de masas se encuenta en el eje de smetía a una dstanca del cento de la ccunfeenca a la que petenece la fgua gual a: a) R/ b) R/p c) R/p d) R/ Desgnemos con λ la densdad lneal del alambe fno. Consdeemos sobe el msmo un aco nfntesmal que está sustentado po un ángulo d β. a masa de ese tocto nfntesmal es dm densdad longtud, y la longtud está elaconada con el ángulo medante la expesón aco ángulo ado, po tanto: dm λ R d β a poscón del cento de masas sobe el eje Y es: y ydm Peo, sen by/r, despejando yrsenb, sendo y la odenada de dm, fnalmente, ydm λ. Rsenβ. R dβ y R dm R. λdβ a espuesta válda es la b. [ cos β ] R [ β ] dm

9 Calcula el cento de masas de una valla de longtud, no homogénea, cuya densdad lneal vaía con la longtud según la elacón (4-x/) kg/m, sendo x la dstanca desde el extemo más denso a cualque punto de la valla. a densdad lneal mínma de esta valla es de kg/m. El c.d.m. de la valla se encuenta a una dstanca del extemo de mayo densdad lneal. gual a: a),m b) 4,4m c) 6,6m d) 8,8m e) NINGUNO DE OS VAORES DADOS a densdad máxma de la valla se obtene hacendo x, y vale 4 kg/m. a densdad mínma de dcha valla se obtene cuando x 4 1m S tomamos un sstema de efeenca centado en el extemo de la baa de mayo densdad, tal como se muesta en el dbujo, en estas condcones el c.d.m. de la baa, tendá una coodenada 1 x 3 x dm x 4 dx x x 1 1 x x dm 4 dx 4 x 1 la popuesta coecta seá la b , 4 1 m Con un alambe de seccón unfome se moldea una fgua fomada po dos semccunfeencas de ados R y R 1 sendo R 1 R, especto de los ejes dbujados en la fgua dada, la coodenada X del cento de masas es: a) R/ b) R c) R d) 3R e) 4R y la coodenada Y es: a) -R/ b) -R/ c) -R/ d) -3R/ Paa la semccunfeenca de ado R la abscsa de su cento de masas está en la poscón R y paa la de ado R 1 está en la poscón R+R 1 4R S desgnamos con λ a la densdad del alambe, se deduce que las masas son: m 1 Rλ paa la fgua meno y m R 1 λ Rλ paa la mayo. m1r + m 4R R λ + 8 R λ x 3R m + m 3 Rλ 1 Paa calcula la odenada del cento de masas debemos ecoda tal como se hzo en el ejecco que su valo es Rado/. Paa la ccunfeenca meno vale R/ y paa la mayo -R 1 / -4R/ R 4R R 4R m1 m Rλ Rλ R y m + m 3Rλ 1 solucones coectas son la d en la pmea, y la c, en la segunda.

10 * Como ees muy afconado a la físca, has convetdo tu habtacón en una espece de laboatoo de mecánca, con constuccones y dsposcones de objetos en aos equlbos. Paa ematalo decdes hace una mayúscula ecotándola de una catulna, de foma que su pate vetcal sea 4 veces el ancho b, mentas que la base hozontal sólo lo sea 3, y después clavala po su cento de masas, con una chncheta en el maco de madea. Sn embago esta opeacón te va a esulta extemadamente dfícl poque: a) E EQUIIRIO ES INDIFERENTE SI SE CAVA EN CUAQUIER PUNTO DE A PARTE VERTICA b) QUEDARÍA EN EQUIIRIO EN E CENTRO DE A ASE HORIZONTA c) E CENTRO DE MASAS DE A FIGURA NO ESTÁ DENTRO DE EA d) EN UN SISTEMA DE REFERENCIA CENTRADO EN E VÉRTICE INFERIOR IZQUIERDA DE A, E CENTRO DE MASAS TENDRÍA UNA POSICIÓN DADA POR E VECTOR: b +1,b j Paa que el equlbo sea estable es necesao que el cento de gavedad de la fgua, esté po debajo del punto donde se clave la chncheta. Inestable s lo está po encma, e ndfeente s concde con el c.d.g., po lo tanto es necesao detemna dcho punto. Paa ello: a) Fjamos la, en un sstema de efeenca, centado en el vétce de la leta, como ndca la fgua b) Patmos la leta en dos fagmentos A, vetcal y hozontal de foma que la detemnacón de sus c.d.m. sea lo más senclla posble. Consdeando que m supefce po densdad supefcal de masa, detemnaemos tambén las masas de A y. b En A : A b j +, m 4b σ A bj En : b +, m b σ c) Detemnamos el cento de masa del sstema fomado po las masas de A y, conocendo éstas y sus espectvos vectoes de poscón, dado que: Así: b b v 4b σ. + bj + b σ. b + j v b + 1,bj 6b σ as coodenadas del c.d.m. o del c.d.g son: P(b, 1,b) Este luga coesponde a un punto del bode de la en la pate vetcal, po lo cual seá muy dfícl engancha po dcho punto la leta, po lo tanto las solucones a y b, no son coectas, puesto que mplcaía clava la chncheta, po fuea o po debajo de la poscón del c.d.g. S lo son la c, pues P no está dento de la, y la d.

11 De una plancha de catón peda ecotas un cuadado de lado a y un tángulo sósceles de lados guales, y cuya base se adapta al cuadado. a elacón que debeá exst ente y a paa que el cento de masas del sstema esté stuado en el punto medo de la unón de ambas fguas, tal como ndca el esquema debeá se : a) 1 b) 1, c)1,8 d) e)ninguno DE OS VAORES DADOS Como son fguas geométcas planas y homogéneas, un cuadado C y un tángulo T, detemnaemos fundamentalmente el c.d.m. del sstema, que al elmnase la densdad, cumple la condcón:: v SC. C + ST. T (I) ( S supefce) S total Tomamos el sstema de efeenca, de foma que smplfque al máxmo los cálculos de detemnacón del c.d.m. Paa ello, su ogen O, seá el punto medo del lado que une el cuadado con el tángulo sósceles, tal como muesta el dbujo. De esa foma, po las condcones del enuncado, el c.d.m. de la fgua seá O (,) Así paa el cuadado C : c.d.m (, a/). S C a². paa el tángulo T: c.d.m (,-h/3) S T ah/ a altua h del tángulo, se detemnaá a pat del teoema de Ptágoas: h a a 4 4 Aplcando la ecuacón (I). a a. + a. a 4 4 a. 4 6 Supefce total Smplfcando, y sepaando vaables: a²/ (4²-a²)/4, concde con la popuesta c. 13 a 1, 8a que 4, tendemos: S a la plancha cuadada anteo, le ecotas un tángulo sósceles cuya base es un lado a y el vétce un punto P tal que sea el cento de masas de la nueva fgua, la supefce de ésta seá: a) E DOE DE A PARTE EXTRAÍDA b) MENOS DE DOE DE A PARTE EXTRAÍDA c) MÁS DE DOE DE A PARTE EXTRAÍDA d) IGUA A A DE A PARTE EXTRAÍDA e) NINGUNO DE OS VAORES DADOS Esta cuestón la planteaemos como la anteo, con la dfeenca que al se extaída la masa del tángulo sósceles, ésta se consdeaá negatva. Paa smplfca el cálculo, stuaemos el sstema de efeenca de foma que po azones de smetía el c.d.m de la fgua tenga como abscsa, tal como se obseva en la fgua, denomnado h la altua del tángulo. De esta foma el punto P, seá el (,h). Así paa el cuadado C: c.d.m. (,a/); S C a². Paa el tángulo T: c.d.m.(,h/3); S T ah/ S y S aplcamos la fómula y tendemos: S h [a².a/ + (-ah/).h/3]/(a²-ah/). Smplfcando y esolvendo: h²-6ah+3a². S nvaldamos la solucón en la que h>a, tendemos que h,634a. Po lo tanto la supefce extaída (tángulo) seá: a.,634a/,317a², mentas que la de la nueva fgua: a²-,317a²,683a², que es más del doble de la extaída, lo que hace válda sólo la popuesta b.