CAPITULO 8. DINAMICA DE ROTACIÓN.

Transcripción

1 CAPITULO 8. DINAMICA DE ROTACIÓN. Cuando un objeto eal ga alededo de algún eje, su movmento no se puede analza como s fuea una patícula, poque en cualque nstante, dfeentes pates del cuepo tenen velocdades y aceleacones dstntas. Po esto es convenente consdea al objeto eal como un gan númeo de patículas, cada una con su popa velocdad, aceleacón. El análss se smplfca s se consdea al objeto eal como un cuepo ígdo. En este capítulo se tataá la otacón de un cuepo ígdo en tono a un eje fjo, conocdo como movmento otaconal puo. 8. ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN. Paa un cuepo ígdo fomado po una coleccón de patículas que ga alededo del eje z fjo con velocdad angula ω, cada patícula del cuepo ígdo tene enegía cnétca de taslacón. S la patícula de masa m, se mueve con velocdad v, su enegía cnétca es: E c m v Cada patícula del cuepo ígdo tene la msma velocdad angula ω, peo dstntas velocdades lneales, poque estas dependen de la dstanca al eje de otacón, y se elaconan po v ω. Entonces la enegía cnétca de la patícula es: E m ( ω ) m ω La enegía cnétca total del cuepo ígdo en otacón es la suma de las enegías cnétcas de cada patícula ndvdual, esto es: 5

2 E ω m ω E m donde se factozó ω poque es la msma paa todo el cuepo ígdo. A la cantdad ente paéntess en la ecuacón anteo se la defne como el momento de neca, I, del cuepo ígdo: I m De la defncón momento de neca, sus undades de medda en el SI son kg m. Con esta defncón, se puede escb la enegía cnétca de otacón de un cuepo ígdo como: Ec Iω (8.) La enegía cnétca de otacón no es un nueva foma de enegía, sno que es el equvalente otaconal de la enegía cnétca de taslacón, se dedujo a pat de esa foma de enegía. La analogía ente ambas enegías ½ mv y ½ Iω es decta, las cantdades I y ω del movmento de otacón son análogas a m y v del movmento lneal, po lo tanto I es el equvalente otaconal de m (algo así como la masa de otacón), y sempe se consdea como una cantdad conocda, gual que m, po lo que genealmente se da como un dato. Peo exsten técncas del calculo ntegal paa calcula I, y teoemas asocados, que no se usaán en este cuso. El momento de neca I es una cantdad que depende del eje de otacón, el tamaño y la foma del objeto. En la sguente tabla 8. se dan los momentos de neca especto al cento de masa de fguas geométcas conocdas, de dstbucón de masa homogénea, cuando gan en tono al eje que se ndca. 6

3 TABLA 8. Objeto (de masa M) Ao o cascaón clíndco de ado R, eje de otacón po su eje de smetía Dsco o clndo sóldo de ado R, eje de otacón po su eje de smetía I cm MR MR Clndo hueco, de ados nteno R y exteno R, eje de M ( R ) otacón po su eje de smetía + R Esfea sólda de ado R, eje de otacón po su eje de smetía Cascaón esféco delgado de ado R, eje de otacón po su eje de smetía Baa delgada de lago L, con eje de otacón po el cento Baa delgada de lago L, con eje de otacón en el extemo MR 5 MR 3 ML ML 3 Placa ectangula de lados a y b, eje otacón en el cento pependcula a la M ( a + b ) placa 8. RELACIÓN ENTRE TORQUE Y ACELERACIÓN ANGULAR. Paa una patícula de masa m, que ga como se muesta en la fgua 8., en una ccunfeenca de ado con la accón de una fueza tangencal F t, además de la fueza centípeta necesaa paa mantene la otacón. La fueza tangencal se elacona con la aceleacón tangencal a t po F t ma t. El toque alededo del cento del cículo poducdo po F t es: τ F t (ma t ) Como la a t se elacona con la aceleacón angula po a t α, el toque se puede escb como: τ (m α) (m )α 7

4 Fgua 8. y como m es el momento de neca de la masa m que ga en tono al cento de la tayectoa ccula, entonces: τ Ια El toque que actúa sobe una patícula es popoconal a su aceleacón angula α, donde Ι es la constante de popoconaldad. Obseva que τ Ια es el análogo otaconal de la segunda ley de Newton F ma. Se puede extende este análss a un cuepo ígdo abtao que ota en tono a un eje fjo que pase po Ο, como se ve en la fgua 8.. El cuepo ígdo se puede consdea fomado po elementos de masa dm, que gan en tono a Ο en una ccunfeenca de ado, po efecto de alguna fueza tangencal extena df t que actúa sobe dm. Po la segunda ley de Newton aplcada a dm, se tene: df t (dm) a t El toque dτ poducdo po la fueza df t es: dτ df t (dm)a t (dm)α ( dm)α 8

5 Fgua 8. El toque neto se obtene ntegando esta expesón, consdeando que α tene el msmo valo en todo el cuepo ígdo, τ t dτ α dm α dm Peo la ntegal es el momento de neca I del cuepo ígdo alededo del eje de otacón que pasa po Ο, entonces, τ t Iα (8.) Obseva que aunque la deduccón es compleja, el esultado fnal es extemadamente smple, como todas las ecuacones de la Físca. Ejemplo 8.. Una baa unfome de longtud L y masa M, que ga lbemente alededo de una bsaga sn fccón, se suelta desde el eposo en su poscón hozontal, como se muesta en la fgua 8.3. Calcula la aceleacón angula de la baa y su aceleacón lneal ncal de su extemo. Solucón. Como el toque de la fueza en la bsaga es ceo, se puede calcula el toque en tono a la bsaga poducdo po la ota fueza extena que actúa 9

6 sobe la baa, que es su peso, suponendo que la baa es homogénea y que el peso actúa en su cento geométco. Entonces: τ P LMg Fgua 8.3 Ejemplo 8. Como τ Ια, y el momento de neca de la baa (que se obtene de la tabla anteo) es I (/3) ML, se tene: Iα 3g α L LMg LMg α ML 3 Paa calcula la aceleacón lneal del extemo de la baa, usamos la ecuacón a t α, con L, eemplazando α: 3 a t Lα g Ejemplo 8.. Una ueda de ado R, masa M y momento de neca I, puede ga en tono a un eje hozontal sn oce (fgua 8.4). Una cueda deal se enolla alededo de la ueda y sostene un bloque de masa m. Cuando se suelta en bloque, la ueda comenza a ga en tono a su eje. Calcula la ace- 0

7 leacón lneal del bloque, la tensón de la cueda y la aceleacón angula de la ueda. Fgua 8.4. Ejemplo 8. Solucón: el peso de la ueda y la fueza del eje de otacón no poducen toque en tono al eje, po lo que el toque que actúa sobe la ueda en tono a su eje es poducdo po la tensón de la cueda, su valo es τ RT. Como τ Ια, gualando se obtene Iα RT T Iα R Ahoa se aplca la segunda ley de Newton al bloque que cae, del DCL se tene: T mg ma T mg ma Igualando las tensones y consdeando que a Rα α a/r, se obtene

8 mg ma Iα R Ia R Ia R + ma mg I a mr + g a g + I mr Con este valo de a se calculan T y α, estos cálculos dan: mg T + mr I g α R + I mr 8.3 TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA EN EL MOVIMIENTO DE RO- TACIÓN. Paa un cuepo ígdo que ga en tono a un eje fjo que pasa po Ο, como se ve en la fgua 8.5. S una fueza extena F se aplca en un punto Q del cuepo ígdo a un dstanca de Ο, el tabajo ealzado po F cuando el objeto ga una dstanca nfntesmal ds dθ es: Fgua 8.5

9 dw F ds ( F senφ) dθ F t dθ donde F senφ F t es la componente tangencal de F o la componente de la fueza a lo lago del desplazamento ds, que es la componente que ealza tabajo. La componente adal de F no ealza tabajo poque es pependcula al desplazamento. Como el toque es: τ F senφ, el tabajo se escbe: dw τ dθ, ntegando, se obtene: W f τ dθ f El tabajo de otacón es análogo el de taslacón W F d La potenca con la cual se ealza el tabajo es dw dθ τ Como dw/ P y dθ/ ω, la potenca nstantánea es: dw P τω, expesón análoga el cono del movmento lneal P Fv. Tomando ahoa la expesón del toque otaconal τ Iα, aplcando la egla de la cadena: dω dω dθ τ I α I I dθ dω Iω dθ 3

10 Al eagupa esta expesón y consdeando que τ dθ dw dw Iωdω. Integando se encuenta el tabajo total ealzado duante la otacón: W f τdθ Iωdω f Iω f Iω Po lo tanto, el tabajo neto ealzado po las fuezas extenas al hace ga un cuepo ígdo es gual a la vaacón de enegía cnétca otaconal del objeto. Ejemplo 8.3. Paa la baa gatoa del ejemplo 8., calcula su apdez angula, la apdez lneal de su cento de masa y del punto mas bajo de la baa cuando está vetcal. Solucón: Usando el pncpo de consevacón de la enegía, consdeando que la enegía potencal se calcula especto al cento de masa y la enegía cnétca es de otacón: E E f E c + E g E cf + E gf Cuando la baa esta ncalmente hozontal no tene E c y cuando esta vetcal tene solo E cf, entonces: MgL Iω ML 3 ω ω 3g L Paa calcula la apdez del cento de masa, se usa: v v cm cm L ω ω 3gL 4

11 En el punto mas bajo la apdez es v v cm 3 Lg. Ejemplo 8.4. Paa el sstema de la fgua 8.6, las masas tenen momento de neca I en tono a su eje de otacón, la cueda no esbala en la polea y el sstema se suelta desde el eposo. Calcula la apdez lneal de las masas después que una ha descenddo H y la apdez angula de la polea. Fgua 8.6 Ejemplo 8.4 Solucón: como no hay oce en la polea, se conseva la enegía, que aplcada a cada masa m y m, suponendo que m se encuenta ncalmente en la pate supeo del sstema, es: E E f E c + E c + E g + E g E cf + E cf + E gf + E gf 0 + mgh mv + mv + Iω + m gh m + m + I R v ( m m )gh donde se ha usado la elacón v Rω, despejando v se obtene: v m ( m m ) + m + I gh R 5

12 8.4 MOVIMIENTO DE RODADURA DE UN CUERPO RÍGIDO. Se consdeaá ahoa el caso más geneal de movmento de otacón, donde el eje de otacón no está fjo en el espaco, sno que en movmento, este se llama movmento de odadua. El movmento geneal de un cuepo ígdo es muy complejo, peo se puede usa un modelo smplfcado lmtando el análss a un cuepo ígdo homogéneo con gan smetía, como un clndo, una esfea o un ao, y suponendo que el cuepo tene movmento de odadua en un plano. Consdea un clndo unfome de ado R que ueda sn deslza en una tayectoa ecta, como en la fgua 8.7. El cento de masa se mueve en línea ecta, peo un punto en el bode se mueve en una tayectoa más compleja, llamada cclode. A medda que el clndo ga un ángulo θ, su cento de masa se mueve una dstanca s Rθ, po lo tanto, las magntudes de la velocdad y la aceleacón del cento de masa paa el movmento de odadua puo son: v cm ds dθ R Rω a cm dv cm dω R Rα Fgua 8.7 Las velocdades lneales en los dfeentes puntos P, Q, P y Q sobe el clndo en otacón se ven en los vectoes de la fgua 8.7. La velocdad lneal de 6

13 cualque punto está en deccón pependcula a la línea de ese punto al punto de contacto P, que en cualque nstante está en eposo, poque no hay deslzamento. Un punto geneal del clndo, como Q tene una velocdad con componente hozontal y vetcal. Peo los puntos P, CM y P tenen velocdades espectvamente ceo en P poque R 0, v cm Rω en el CM y (R)ω (Rω) ν cm en P, ya que todos los puntos del clndo tenen la msma ω. La enegía cnétca total del clndo odante es E c I P ω donde I P es el momento de neca alededo de un eje que pasa po P. Se puede demosta que I p I cm + MR y al eemplaza en E c se tene: peo v cm Rω, entonces: E MR ω, c I cmω + E c Icmω + Mv cm (8.3) Esto sgnfca que la enegía cnétca total de un objeto en movmento de odadua está dada po la enegía cnétca de otacón en tono al cento de masa y la enegía cnétca de taslacón del cento de masa del objeto. El movmento de odadua sólo es posble s exste oce ente el cuepo ígdo que se mueve y la supefce, ya que la fueza de oce poduce el toque necesao paa hace oda el cuepo ígdo en tono al cento de masa. A pesa del oce no hay pédda de enegía mecánca, poque el punto de contacto está en eposo especto a la supefce en cualque nstante. 7

14 Ejemplo 8.5: Usa la consevacón de la enegía paa descb el movmento de odadua de un cuepo ígdo de masa M que ueda po un plano nclnado α y ugoso, que se muesta en la fgua 8.8. Fgua 8.8. Ejemplo 8.5 Solucón: Se supone que el cuepo ígdo pate del eposo desde una altua h y que ueda po el plano sn esbala. La consevacón de enegía da: E cte E + E cte E + E E + E c g c g cf gf Peo E c 0 y E gf 0,entonces Mgh I cm ω + Mv cm Como v cm Rω ω v cm /R, se eemplaza en la ecuacón anteo Despejando v cm se obtene: vcm I cm + Mvcm Mgh R v cm + I gh cm / MR 8

15 Po ejemplo, paa una esfea sólda unfome, de momento de neca I MR cm, se puede calcula su v cm en el punto más bajo del plano y su 5 aceleacón lneal. v cm gh ( / 5) MR + MR gh gh v cm 0 7 gh La aceleacón lneal se puede calcula con la ecuacón v cm vcm + acmx acmx acm vcm x De la geometía de la fgua, se tene: h x senα, donde x es la longtud del plano, eemplazando en a cm : 0 gxsenα 5 a cm 7 gsenα x MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA. Una patícula de masa m, ubcada en una poscón desde el ogen O, que se mueve con velocdad v, tene momento lneal p. Se defne el momento angula L de una patícula especto al ogen, como el poducto vectoal ente la poscón y el momento lneal p, esto es: 9

16 L p (8.4) La undad de medda de L en el SI es kg m /s. La deccón de L es pependcula el plano fomado po y p y su sentdo dado po la egla de la mano deecha. En la fgua 8.9 se muesta los vectoes y p que están en el plano xy, po lo tanto L apunta en deccón del eje z. L es ceo cuando es paalela a p (α 0 ó 80 ), este es el caso cuando la patícula pasa po el ogen. S es pependcula a p, α 90, entonces Lmv. Como p m v, la magntud de L s α es el ángulo ente y p, es: L mvsenα Fgua 8.9 S se calcula la devada tempoal del momento angula, se obtene un esultado nteesante, en efecto: dl d ( p) d dp mv + 30

17 v Como d, el pme témno es ceo ya que es el poducto vectoal de vectoes paalelos; en el segundo témno se usa la segunda ley de Newton en la foma F dp /, entonces queda: dl F τ dl que es el análogo otaconal de la segunda Ley de Newton. Esta ecuacón ndca que el toque sobe una patícula es gual a vaacón tempoal del momento angula de la patícula. Paa un sstema de patículas, el momento angula total es la suma vectoal de los momentos angulaes de las patículas ndvduales, esto es: L L + L + LL + L n ΣL S el toque neto, Σ τ, es dstnto de ceo, entonces puede camba el momento angula total del sstema de patículas ya que se tene: dl d τ L dl que sgnfca que la vaacón tempoal del momento angula total del sstema de patículas en tono a algún ogen es gual al toque neto que actúa sobe el sstema. 8.6 ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO EN TORNO A UN EJE FIJO. Consdea un cuepo ígdo que ga alededo de un eje que tene una deccón fja y supongamos que esta deccón concde con el eje z, como se ve en la fgua 8.0. Cada patícula del cuepo ígdo ga en el plano xy en tono al 3

18 eje z con apdez angula ω. Entonces la magntud del momento angula de la patícula en tono al ogen Ο es L m v, ya que v es pependcula a. Peo como v ω, la magntud del momento angula paa una patícula se puede escb como: L m ω Fgua 8.0 El vecto L está en deccón del eje z gual que el vecto ω, po lo que se consdea como la componente z del momento angula de la patícula. Paa todo el cuepo ígdo, la componente z del momento angula total es la suma de L de cada patícula del cuepo ígdo: L m ω L Iω z z donde I es el momento de neca del cuepo ígdo alededo del eje z. Nota que L Iω es el análogo otaconal del momento lneal p mv. Se puede deva L z especto al tempo consdeando que I es constante: dl dω z I Iα 3

19 donde α es la aceleacón angula del cuepo ígdo. Peo dl z / es el toque neto, entonces se puede escb Σ τ Iα que dce que el toque neto sobe un cuepo que ga en tono a un eje fjo es gual al momento de neca po la aceleacón angula, ecuacón que ya había sdo deducda anteomente. Ejemplo 8.6: Una baa ígda de masa M y lago L ga en un plano vetcal alededo de un eje sn fccón que pasa po su cento. En los extemos de la baa se unen dos cuepos de masas m y m, como se ve en la fgua 8.. Calcula la magntud del momento angula del sstema cuando su apdez angula es ω y la aceleacón angula cuando la baa foma un ángulo φ con la hozontal. Fgua 8. Ejemplo 8.6 Solucón: El momento de neca po el eje de otacón del sstema es gual a la suma de los momentos de neca de los tes componentes del sstema: m, baa y m,, con los valoes de la tabla 8., se obtene: I ML + m + m + m + M L L L m

20 Como el sstema ga con apdez angula ω, la magntud del momento angula es: L L M Iω m + m + ω 4 3 Paa calcula la aceleacón angula usamos la elacón τ t Iα α τ t /I, al calcula el toque total en tono el eje de otacón, se obtene: τ t L L m g cosφ m g cosφ gl ( m m ) cosφ Reemplazando en α los valoes de I y de τ t, se obtene la aceleacón angula: τ t α I L ( m m ) g cos ( m + m + M 3) φ Ejemplo 8.7. En la fgua 8. las masas m y m se conectan po una cueda deal que pasa po una polea de ado R y momento de neca I alededo de su eje. La mesa no tene oce, calcula la aceleacón del sstema. Solucón: pmeo se calcula en momento angula del sstema de las dos masas mas la polea: L m vr + m vr + I v R Fgua 8. Ejemplo

21 Luego se calcula el toque exteno sobe el sstema, la únca fueza extena que contbuye al toque total es m g, el valo de este toque es: τ m gr. Entonces se tene: τ dl m gr d ( m + m ) vr + I v R m gr ( m + m ) R dv + I dv R a m + m m g + I R 8.7 CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. De la ecuacón: dl τ s el toque neto que actúa sobe el sstema es ceo, entonces: dl 0 L cte (8.5) Esta ecuacón dce que el momento angula total de un sstema es constante s el toque neto que actúa sobe el sstema es ceo: es el pncpo de consevacón del momento angula. 35

22 S un cuepo ígdo expementa una edstbucón de su masa, entonces su momento de neca camba, en este caso la consevacón del momento angula se escbe en la foma: L L f S el cuepo ga entono a un eje fjo, entonces L Iω, y se puede escb I ω I ω f f Esta es la tecea Ley de consevacón que hemos deducdo. Entonces ahoa podemos afma que paa un sstema aslado, la enegía, el momento lneal y el momento angula pemanecen constantes. Son los pncpos de consevacón en Físca. Ejemplo 8.8. Un poyectl de masa m y velocdad v o se dspaa conta un clndo sóldo de masa M y ado R (fgua 8.3). El clndo está ncalmente en eposo montado sobe un eje hozontal fjo que pasa po su cento de masa. El poyectl se mueve pependcula al eje y se encuenta a una dstanca D < R sobe el eje. Calcula la apdez angula del sstema después que el poyectl golpea al clndo y queda adhedo a su supefce. Fgua 8.3 Ejemplo

23 Solucón: el momento angula del sstema se conseva, entonces L L : f mv D o Iω MR + mr ω ω mv MR o D + mr Ejemplo 8.9. Un dsco de masa M y ado R ga en un plano hozontal en tono a un eje vetcal sn oce. Un gato de masa m camna desde el bode del dsco haca el cento. S la apdez angula del sstema es ω o cuando el gato está en el bode del dsco, calcula: a) la apdez angula cuando el gato ha llegado a un punto a R/4 del cento, b) la enegía otaconal ncal y fnal del sstema. Solucón. Llamando I d al momento de neca del dsco e I g al momento de neca del gato, el momento de neca total ncal y fnal del sstema es: I I d + I g ½ MR +m R I f ½ MR +m ½ MR +m (R/4) a) Como no hay toques extenos sobe el sstema en tono al eje de otacón, se puede aplca la consevacón del momento angula I ω I ω f f (½ MR +m R )ω o (½ MR +m (R/4) )ω f ω f MR MR + mr + mr ω o 6 M + m ω o M + m 6 37

24 38 b) o o C mr MR I E ω ω o Cf f f f Cf m M m M R m MR E R m MR I E ω ω ω La enegía otaconal aumenta.

25 PROBLEMAS. 8.. El cento de masa de una pelota de ado R, se mueve a una apdez v. La pelota ga en tono a un eje que pasa po su cento de masa con una apdez angula ω. Calcule la azón ente la enegía otaconal y la enegía cnétca de taslacón. Consdee la pelota una esfea unfome. 8.. Un volante en la foma de un clndo sóldo de ado R 0.6 m y masa M 5 kg puede llevase hasta una velocdad angula de ad/s en 0.6 s po medo de un moto que ejece un toque constante. Después de que el moto se apaga, el volante efectúa 0 ev antes de detenese po causa de la fccón (supuesta constante). Qué pocentaje de la potenca geneada po el moto se emplea paa vence la fccón? R:.8% Un bloque de masa m y uno de masa m se conectan po medo de una cueda sn masa que pasa po una polea en foma de dsco de ado R, momento de neca I y masa M. Asmsmo, se deja que los bloques se muevan sobe una supefce en foma de cuña con un ángulo θ como muesta la fgua 8.4. El coefcente de fccón cnétco es µ paa ambos bloques. Detemne a) la aceleacón de los dos bloques y b) la tensón en cada cueda. R: a) (m senθ - µ)(m + m cosθ)g/(m + m + M), b) T µm g + m a, T T + ½Ma Una masa m y una masa m están suspenddas po una polea que tene un ado R y una masa m 3 (fgua 8.5). La cueda tene un masa despecable y hace que la polea ge sn deslza y sn fccón. Las masas empezan a movese desde el eposo cuando están sepaadas po una dstanca D. Tate a la polea como un dsco unfome, y detemne las velocdades de las dos masas cuando pasan una fente a la ota Un dsco sóldo unfome de ado R y masa M puede ga lbemente sobe un pvote sn fccón que pasa po un punto sobe su bode (fgua 8.6). S el dsco se lbea desde el eposo en la poscón mostada po el cículo. a) Cuál es la apdez de su cento de masa cuando el dsco alcanza la poscón ndcada en el cículo punteado? b) Cuál es la apdez del punto más bajo sobe el dsco en la poscón de la ccunfeenca punteada? c) Repet paa un ao unfome. R: a) (Rg/3) ½, b) 4(Rg/3) ½, c) (Rg) ½. 39

26 Fgua 8.4 Fgua 8.5 Fgua Un peso de 50 N se une al extemo lbe de una cueda lgea enollada alededo de una pelota de 0.5 m de ado y 3 kg de masa. La polea puede ga lbemente en un plano vetcal en tono al eje hozontal que pasa po su cento. El peso se lbea 6 m sobe el pso. a) calcula la tensón de la cueda, la aceleacón de la masa y la velocdad con la cual el peso golpea el pso. b) Calcula la apdez con el pncpo de la consevacón de la enegía. R: a).4n, 7.6 m/s, 9.5 m/s, b) 9.5 m/s Una lgea cueda de nylon de 4 m está enollada en un caete clíndco unfome de 0.5 m de ado y kg de masa. El caete está montado sobe un eje sn fccón y se encuenta ncalmente en eposo. La cueda se ta del caete con una aceleacón constante de.5 m/s. a) Cuánto tabajo se ha efectuado sobe el caete cuando éste alcanza una velocdad angula de 8 ad/s? b) Suponendo que no hay la sufcente cueda sobe el caete, Cuánto tada éste en alcanza esta velocdad angula? c) Hay sufcente cueda sobe el caete? R: a) 4 J,.6 s, c) sí Una baa unfome de longtud L y masa M ga alededo de un eje hozontal sn fccón que pasa po uno de sus extemos. La baa se suelta desde el eposo en una poscón vetcal (fgua 8.7). En el nstante en que está hozontal, encuente a) su apdez angula, b) la magntud de su aceleacón angula, c) las componentes x e y de la aceleacón de su cento de masa, y d) las componentes de la fueza de eaccón en el eje. R: a) (3g/L) ½, b) 3g/L, c) (3/î + ¾ĵ)g, d) (-3/î + ¼ ĵ)mg Los bloques mostados en la fgua 8.8 están undos ente s po una polea de ado R y momento de neca I. El bloque sobe la pendente sn fccón se mueve haca aba con una aceleacón constante de 40

27 magntud a. a) Detemne las tensones en las dos pates de la cueda, b) encuente el momento de neca de polea. R: a) T m (a + gsenθ), T m (g-a), b) m R g/a - m R - m R - m R ( g/a)senθ. Fgua 8.7 Fgua Un caete clíndco hueco y unfome tene ado nteo R/, ado exteo R y masa M (fgua 8.9). Está montado de manea que ga sobe un eje hozontal fjo. Una masa m se conecta al extemo de una cueda enollada alededo del caete. La masa m descende a pat del eposo una dstanca y duante un tempo t. Demueste que el toque debdo a las fueza de oce ente el caete y el eje es: τ y 5 R m g M t 4 y t Fgua Un clndo de 0 kg de masa ueda sn deslza sobe una supefce hozontal. En el nstante en que se su cento de masa tene una apdez de 0 m/s, detemne: a) la enegía cnétca taslaconal de su cento de masa, b) la enegía otaconal de su cento de masa, y c) su enegía total. R: a) 500 J, b) 50 J, c) 750 J. 4

28 8.. Una esfea sólda tene un ado de 0. m y una masa de 50 kg. Cuánto tabajo se necesta paa loga que la esfea uede con una apdez angula de 50 ad/s sobe una supefce hozontal? (Suponga que la esfea pate del eposo y ueda sn deslza) Un dsco sóldo unfome y un ao unfome se colocan uno fente al oto en la pate supeo de una pendente de altua h. S se sueltan ambos desde el eposo y uedan sn deslza, detemne sus apdeces cuando alcanzan el pe de la pendente Qué objeto llega pmeo a la pate nfeo? 8.4. Una bola de bolche tene una masa M, ado R y un momento de neca de (/5)MR. S ueda po la psta sn deslza a una apdez lneal v, Cuál es su enegía total en funcón de M y v? R: 0.7Mv Un anllo de.4 kg de masa de ado nteo de 6 cm y ado exteo de 8 cm sube odando (sn deslza) po un plano nclnado que foma un ángulo de θ 37 con la hozontal. En el momento en que el anllo ha ecodo una dstanca de m al ascende po el plano su apdez es de.8 m/s. El anllo contnua ascendendo po el plano ceta dstanca adconal y después ueda haca abajo. Suponendo que el plano es lo sufcentemente lago de manea que el anllo no uede fuea en la pate supeo, qué tan aba puede llega? 8.6. Una baa ígda lgea de longtud D ga en el plano xy alededo de un pvote que pasa po el cento de la baa. Dos patículas de masas m y m se conectan a sus extemos. Detemne el momento angula del sstema alededo del cento de la baa en el nstante en que la apdez de cada patícula es v. R: ½( m + m )vd Un péndulo cónco consta de masa M que se mueve en una tayectoa ccula en un plano hozontal. Duante el movmento la cueda de longtud L mantene un ángulo constante con la θ vetcal. Mueste que la magntud del momento angula de la masa especto del punto de sopote es: 4

29 L 3 4 gm L sen θ cosθ 8.8. Una patícula de masa m se dspaa con una apdez v o fomando un ángulo θ con la hozontal. Detemne el momento angula de la patícula especto del ogen cuando ésta se encuenta en: a) el ogen, b) el punto más alto de su tayectoa, c) justo antes de choca con el suelo. R: a) 0, b) -mv o 3 sen θ cosθ/g, c) -mv o 3 sen θ cosθ/g Un dsco sóldo unfome de masa M y ado R ga alededo de un eje fjo pependcula su caa. S la apdez angula es ω, calcula el momento angula del dsco cuando el eje de otacón a) pasa po su cento de masa, y b) pasa po un punto a la mtad ente el cento y el bode Una patícula de 0.4 kg de masa se une a la maca de 00 cm de una egla de 0. kg de masa. La egla ga sobe una mesa hozontal sn fccón con una velocdad angula de 4 ad/s. Calcula el momento angula del sstema cuando la egla se atculan tono de un eje, a) pependcula a la mesa y que pasa po la maca de 50 cm, b) pependcula a la mesa y que pasa po la maca de 0 cm. R: a) 0.43 kgm /s, b).7 kgm /s. 8.. Una muje de 60 kg que está paada en el bode de una mesa gatoa hozontal que tene un momento de neca de 500 kg m y un ado de m. La mesa gatoa al pncpo está en eposo y tene lbetad de ga alededo de un eje vetcal sn fccón que pasa po su cento. La muje empeza a camna alededo de la olla en sentdo hoao (cuando se obseva desde aba del sstema) a una apdez constante de.5 m/s en elacón con la Tea. a) En qué deccón y con qué apdez angula ga la mesa gatoa b) Cuánto tabajo ealza la muje paa pone en movmento la mesa gatoa? R: a) 0.36 ad/s, anthoao. 8.. Una baa unfome de masa M y longtud d ga en un plano hozontal en tono de un eje vetcal fjo sn fccón que pasa po su cento. Dos pequeñas cuentas, cada una de masa m, se montan sobe la baa de manea tal que pueden deslza sn fccón a lo lago de su longtud. Al pncpo las cuentas se fjan po medo de etenes ubcados en las poscones x (donde x < d/) a cada lado del cento, tempo duante el cual el sstema ga una apdez angula ω. Repentnamente, los etenes se qu- 43

30 tan y las pequeñas cuentas se deslzan salendo de la baa. Encuente, a) la apdez angula del sstema en el nstante en que las cuentas alcanzan los extemos de la baa, y b) la apdez angula de la baa después de que las cuentan han saldo de ella Un bloque de madea de masa M que descansa sobe una supefce hozontal sn fccón está undo a una baa ígda de longtud L y masa despecable. La baa ga alededo de un pvote en el oto extemo. Una bala de masa m que se desplaza paalela a la supefce hozontal y nomal a la baa con apdez v golpea el bloque y queda ncustada en él. a) Cuál es el momento angula del sstema bala-bloque? b) Qué faccón de la enegía cnétca ognal se pede en la colsón? R: a) mvl, b) M/(M+m) Una cueda se enolla alededo de un dsco unfome de ado R y masa M. El dsco se suelta desde el eposo con la cueda vetcal y su extemo supeo amaado a un sopote fjo. A medda que el dsco descende, demueste que a) la tensón en la cueda es un teco del peso del dsco. b) La magntud de la aceleacón del cento de masa es g/3, y c) la apdez del cento de masa es (4gh/3) ½. Vefque su espuesta a la pegunta c) utlzando métodos de enegía Una pequeña esfea sólda de masa m y de ado ueda sn deslza a lo lago de la psta mostada en la fgua 8.0. S pate del eposo en la pate supeo de la psta a una altua h, donde h es gande compaada con a) Cuál es el valo mínmo de h (en funcón de R) de modo que la esfea complete la tayectoa? b) Cuáles son las componentes de fueza de la esfea en el punto P s h 3R? 8.6. Un poyectl de masa m se mueve a la deecha con apdez v o. El poyectl golpea y queda fjo en el extemo de una baa estaconaa de masa M y longtud D que está atculada alededo de un eje sn fccón que pasa po su cento (fgua 8.). a) Encuente la apdez angula del sstema justo después de la colsón. b) Detemne la pédda facconaa de enegía mecánca debda a la colsón. 44

31 Fgua 8.0 Fgua A una bola de bolche se le da una apdez ncal v o en una canal de manea tal que ncalmente se deslza sn oda. El coefcente de fccón ente la bola y la canal es µ. Demueste que duante el tempo en que ocue el movmento de odamento puo, a) la apdez del cento de masa de la bola es 5v o /7, y b) la dstanca que ecoe es v o /49µg. (Sugeenca: Cuando ocue el movmento de odamento puo, v cm Rω. Puesto que la fueza de fccón popocona la desaceleacón, a pat de la segunda ley de Newton se concluye que a cm µg.) 8.8. El alambe de un caete de masa M y ado R se desenolla con una fueza constante F (fgua 8.). Suponendo que el caete es un clndo sóldo unfome que no deslza, mueste que, a) la aceleacón del cento de masa es 4F/3M, y b) la fueza de fccón es haca la deecha y su magntud es gual a F/3. c) S el clndo pate del eposo y ueda sn deslza, Cuál es la apdez de su cento de masa después que ha odado una dstanca D? R: c) (8FD/3M) ½ Suponga un dsco sóldo de ado R al cual se le da una apdez angula ω o alededo de un eje que pasa po su cento y después se baja hasta una supefce hozontal y se suelta, como en la (fgua 8.3). Suponga tambén que el coefcente de fccón ente el dsco y la supefce es µ. a) Calcula la apdez angula del dsco una vez que ocue el odamento puo. b) Calcula la pédda facconaa de enegía cnétca desde el momento en que el dsco se suelta hasta que ocue el odamento puo c) Mueste que el tempo que tada en ocu el movmento de odamento puo es Rω 0 /3µg. d) Mueste que el tempo que ecoe el dsco antes de que ocua el odamento puo es R ω 0 /8µg. 45

32 8.30. La fgua 8.4 muesta un caete de alambe que descansa sobe una supefce hozontal. Cuando se ta, no se deslza en el punto de contacto P. El caete se ta en las deccones ndcadas po medo de los vectoes F, F, F 3 y F 4. Paa cada fueza detemne la deccón en que ueda el caete. Adveta que la línea de accón de F pasa po P El caete mostado en la fgua 8.4 tene un ado nteo y un ado exteno R. El ángulo θ ente la fueza aplcada y la hozontal puede vaa. Demueste que el ángulo cítco paa el cual el caete no ueda y pemanece estaconao está dado po cosθ /R. (Sugeenca: En el ángulo cítco la línea de accón de la fueza aplcada pasa po el punto de contacto.) Fgua 8. Fgua 8.3 Fgua