MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN EL CAMPO GRAVITACIONAL REAL

Transcripción

1 MOVIMIENTO DE N PRTICL EN EL CMPO RVITCIONL REL Consdeaemos el movmento de una patícula en el campo gavtaconal Real donde el Sstema de Laboatoo es despecado poque se toma en cuenta la geodesa de la tea el Campo avtaconal a no es compenddo como un campo de gavedad constante a no tene sentdo habla del plano de la tea se debe consdea la uea de taccón avtaconal ente patículas según dcta el Concepto de avtacón nvesal. Según la le de avtacón nvesal dos patículas de masas m M se ataen con una fuea cua deccón coesponde con la línea que une los centos de ambas patículas su sentdo es detemnado po consdea que la fuea es de ataccón ente ellas. La magntud de esas fueas es dectamente popoconal al poducto de las masas e nvesamente popoconal al cuadado de la dstanca que sepaa los centos de esas patículas. La constante de popoconaldad ente la uea el poducto de las masas dvddo po el cuadado de la dstanca es una CONSTNTE NIVERSL denomnada CONSTNTE DE RVITCIÓN NIVERSL. Esa fueas aplcadas a cada patícula patcpante cumple la tecea le de Newton a que sus magntudes son déntcas sus sentdos contaos po lo tanto cumplen que s una de ellas es la accón la ota es la eaccón a que la fuea de ataccón gavtaconal puede consdease como una fuea de accón a dstanca. S se supone que una de las patículas está en el ogen de coodenadas la ota es colocada en el punto P de coodenadas cuo vecto de poscón es entonces la como se ve en la gua 46 La fuea que oba sobe la patícula m debdo a la pesenca de la patícula M es dada po: m M

2 Donde es el vecto untao en deccón del vecto de poscón multplcado po la magntud de la fuea da el vecto fuea. Sn embago el sgno negatvo apaece poque el vecto untao la fuea de ataccón tenen sentdos opuestos aún cuando tenen la msma deccón. La fgua 47 pesenta un Campo vectoal de smetía adal mu paecdo al que tatamos en este eemplo. Se puede ve la constanca que pesentan los vectoes de campo sobe la supefce de una esfea centada en el ogen se epesentan los vectoes de campo en una deccón ecuatoal cote con el plano XY se epesentan los vectoes de campo en una deccón medonal. Nuesto eemplo se paece mucho a la stuacón dbuada sólo que los vectoes de campo se dgen haca el cento de la esfea como lo muesta la gua 48. Hemos en esa fgua dbuado el campo paa los puntos en el ecuado de la esfea nteseccón con el plano XY asmsmo hemos dbuado los vectoes de campo paa un hemsfeo se obseva la constanca de los vectoes de campo sobe la esfea asmsmo se ve que la deccón de los msmos es adal. Podemos entonces asegua lo sguente: - El campo vectoal geneado po la fuea de ataccón gavtaconal es constante en magntud sobe todos los puntos de una msma esfea centada en el ogen. - Confome cambamos de ado de la esfea camba la magntud del vecto de ataccón gavtaconal dsmnue la magntud confome cece el ado de la esfea. En la gua 49 epesentamos el dececmento de la magntud del vecto al aumenta el ado.

3 Calculemos ahoa la ntegal de línea sobe una ceta taectoa de desplaamento de la patícula en el Campo de fueas avtaconal que tatamos: W d m M m M d d m M d m M m M d m M d d m M de tal manea que podemos asegua que el tabao ealado sobe la patícula es dado po:

4 mm mm m M W NLISIS DEL EJEMPLO PLICNDO EL TEOREM DEL TRJO Y L ENERI: El teoema del tabao la enegía nos pemte escb: W K de donde esulta: mm mm m v m v W NLISIS DEL EJEMPLO POR MEDIO DEL TRTMIENTO DEL CMPO COMO CMPO CONSERVTIVO : El campo m M debe mostase s es o no consevatvo. Paa ello se calcula su Rotaconal : mm mm mm mm mm mm mm

5 mm mm mm mm mm mm mm mm Este calculo nos ndca que el Campo es Iotaconal o Consevatvo En consecuenca el Campo Vectoal es devable de un potencal es dec este una uncón potencal tal que su gadente negatvo se guala con el Campo Vectoal: Esa funcón potencal se puede conoce a pat de la solucón de las ecuacones dfeencales: que en el caso patcula de nuesto eemplo se conveten en las ecuacones: mm mm mm las cuales se esuelven po ntegacón pacal smple: H mm d mm d d

6 d d d mm mm d d d mm mm Estas últmas ecuacones nos dan la funcón al compaalas tenemos: m M C en la cual al susttu que la dstanca de sepaacón ente las dos patículas es entonces: L M m M C donde la constante de ntegacón esulta poque a lo sumo las tes ecuacones que dan la solucón geneal dfeen en una constante. Debemos ahoa enconta el valo de la Constante de Integacón po medo de una Condcón Incal. Esa condcón es dada po: cuando la dstanca es nfnta la funcón potencal tene valo nulo es dec: s mm C 0 C entonces 0 En consecuenca la uncón potencal toma el valo: m M que se denomna Enegía Potencal avtaconal paa las condcones ncales que acabamos de mpone. Es mpotante hace ve que se cumple la elacón: calculando el gadente de la funcón potencal: m M m M m M m M

7 mm m M mm m M m M de tal manea que calculando tenemos: m M que sgnfca que en ealdad el campo de fueas es el gadente negatvo de la funcón potencal. Mu nteesante esulta demosta que el tabao efectuado sobe la patícula al del punto al punto tene la popedad sguente: [ ] [ ] d d w d W aplcando la epesón de la enegía potencal tenemos: m M m M W que sgnfca que el tabao efectuado sobe la patícula guala al cambo negatvo en la enegía potencal m M m M W esultado que habíamos obtendo po medo de calcula el tabao po la ntegal de línea del campo po medo de aplca el teoema del tabao la enegía.

8 NLISIS DE L ENERI MECNIC TOTL Paa un campo consevatvo la Enegía mecánca Total es una constante del movmento es dec: E E que nos ndca que la enegía mecánca total en el punto es déntca a la enegía mecánca total en el punto. En foma conceta: K K susttuendo los valoes espectvos de la enegía cnétca de la potencal esta últma déntca a los valoes de la funcón potencal tenemos: m M m v m v m M * ecuacón en la cual podemos dea en el membo quedo la enegía potencal en el deecho la cnétca llegando a: m M m M m M [ ] mv mv m M ndcándonos que el cambo negatvo de la enegía potencal se guala al cambo postvo de la enegía cnétca. K Es necesao anala la deccón de los vectoes tascendenca. Paa ello tenemos que toma en cuenta lagua 0: paa establece esultados de

9 En esa fgua el potencal cece desde el cento de las esfeas equpotencales haca fuea poque s los ados de las esfeas equpotencales son los potencales cumplen: cecmento del potencal que concde con < < mm mm mm φ < φ < φ φ po ello la deccón de va del cento haca el eteo como se cumple la elacón φ la fuea se dge haca el ogen del sstema coodenado donde se supone que esta pesente la masa M. En la fgua se epesentan de las esfeas centadas en el ogen que consttuen las supefces equpotencales de la uncón Potencal en ellas se ven epesentados algunos de los vectoes paa cada supefce equpotencal se dbua el vecto paa cada uno de los puntos donde se ha dbuado. Estos dos últmos vectoes tenen sentdos opuestos e gual magntud. El potencal cece en deccón de la fuea que eece el campo de fueas es dgda haca la deccón opuesta de cecmento de la uncón potencal.

10 La deccón del vecto de fuea soltada desde el eposo. ndca la deccón en que se desplaaía una patícula s ella fuea Señala tambén la fgua que la patícula se mueve de manea natual de las egones de mao potencal a las de potencal nfeo.