UNIDAD I: CARGA Y CAMPO ELECTRICO

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1 UNN Facultad de Ingeneía Físca III UNIDAD I: CARGA Y CAMPO LCTRICO Caga eléctca. Induccón eléctca. Consevacón y cuantzacón de la caga. Conductoes y asladoes. Ley de Coulomb. Analogía ente la Ley de Coulomb y la Ley de Gavtacón Unvesal. Undades. Campo eléctco. Defncón. Ventajas de ntoduc este concepto. Undades. Líneas de fuezas. Flujo del Campo léctco. Ley de Gauss. Compaa la Ley de Gauss y la Ley de Coulomb. Cálculo de campos eléctcos ognados po dstbucones dscetas y contnuas de cagas eléctcas a pat de la Ley de Coulomb y a pat de la Ley de Gauss. Movmentos de patículas cagadas en campos eléctcos unfomes Ing. Atuo R. Castaño Año 8 de 49

2 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Índce Caga léctca... 3 Fenómenos electostátcos... 4 lectzacón... 4 La natualeza eléctca de la matea... 7 Conductoes, asladoes y semconductoes... 9 LA LY D COULOMB... Analogía ente la ley de Coulomb y la ley de Gavtacón Unvesal de Newton... Undades... 4 Pncpo de Supeposcón... 5 Aplcacones de la ley de Coulomb... 5 Cálculo de ado del átomo de hdogeno:... 5 l electoscopo... 6 Dstbucones de Caga... 7 Dstbucón de caga volumétca... 7 Dstbucones supefcal y lneal de caga jemplo de calculo... 9 L CAMPO LÉCTRICO... l concepto físco de campo... l campo eléctco... Undades... 4 Campo eléctco poducdo po patículas cagadas... 5 Sstema con una caga puntual... 5 Sstema de N cagas puntuales... 6 Dpolo eléctco... 8 Campo eléctco poducdo po una dstbucón contnúa de cagas... 3 Repesentacón del campo eléctco. Líneas de Fueza... 3 Ley de Gauss Intoduccón Concepto de Flujo Flujo eléctco nuncado de la ley de Gauss Ley de Gauss y la Ley de Coulomb Flujo a tavés de una supefce abtaa debdo a una patícula cagada exteo Flujo a tavés de una supefce abtaa debdo a una patícula cagada nteo... 4 Aplcacones de la Ley de Gauss Campo debdo a una dstbucón lneal de caga Popedades electoestátcas de un conducto Movmento de patículas cagadas en campos eléctcos unfomes Ing. Atuo R. Castaño Año 8 de 49

3 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Caga léctca l témno eléctco, y todos sus devados, tene su ogen en las expeencas ealzadas en la antgüedad donde se obsevo ue cuando detemnados cuepos ean fotados con un paño de lana aduían la popedad de atae haca sí peueños cuepos lgeos; los fenómenos análogos a los poducdos po Tales con el ámba o elekton se denomnaon fenómenos eléctcos y más ecentemente fenómenos electostátcos. l desaollo de la teoía atómca pemtó aclaa el ogen y la natualeza de los fenómenos eléctcos. Hoy sabemos ue exsten cagas eléctcas negatvas (electones descubetos expementalmente po Thomson en 896) y postvas (potones descubetos po Ruthenfod en 9). La nocón de fludo eléctco, ntoducda po Benjamín Fankln (76-79) paa explca la electcdad, fue pecsada a pncpos de sglo al descubse ue la matea está compuesta íntmamente de átomos y éstos a su vez po patículas ue tenen popedades eléctcas. La nteaccón electoestátca es la esponsable de ue los núcleos y los electones se mantengan undos fomando átomos, de ue los átomos se unan a otos paa foma moléculas y de ue las moléculas se unan ente s paa da luga a objetos macoscópcos. Los consttuyentes del cuepo humano, sus átomos y moléculas se mantenen undos gacas a las fuezas electomagnétcas. Muchos de los efectos natuales ue podemos obseva son en su ogen el esultado de fuezas electomagnétcas. Po ejemplo las plantas vedes absoben la luz del sol, es dec una onda electomagnétca y conveten su enegía potencal electomagnétca en foma de moléculas de hdatos de cabono, base de la vda en la Tea. Hasta ahoa nos hemos efedo a la palaba electomagnetsmo, como combnacón de las palabas eléctca y magnétca. sto es así poue loas fenómenos eléctcos y magnettos son poducdos po la msma popedad de la matea, popedad a la ue le damos en nombe de caga eléctca. Aunue los efectos eléctcos y magnétcos están íntmamente elaconados, no esultan nsepaables. S lmtamos el estudo a cagas en eulbo estable (electoestátca), podemos sepaa electcdad de magnetsmo. Peo de la msma manea ue la mecánca no nos dce ue ea la masa, sno solo como se compotaba, el electomagnetsmo nos dce como se compotan las cagas y no lo ue es. Consttuye una popedad fundamental de la matea. Se manfesta a tavés de cetas fuezas, denomnadas electostátcas, ue son las esponsables de los fenómenos eléctcos. Su nfluenca Ing. Atuo R. Castaño Año 8 3 de 49

4 UNN Facultad de Ingeneía Físca III en el espaco puede descbse con el auxlo de la nocón físca de campo de fuezas. l concepto de potencal hace posble una descpcón altenatva de dcha nfluenca en témnos de enegías. La electostátca es la pate de la físca ue estuda este tpo de compotamento de la matea, se peocupa de la medda de la caga eléctca o cantdad de electcdad pesente en los cuepos y, en geneal, de los fenómenos asocados a las cagas eléctcas en eposo Como sucede con otos capítulos de la físca, el nteés de la electostátca esde no sólo en ue descbe las caacteístcas de unas fuezas fundamentales de la natualeza, sno tambén en ue faclta la compensón de sus aplcacones tecnológcas. Podemos afma sn luga a dudas ue las aplcacones técncas devadas de los pncpos eléctcos son los ue evoluconaon al mundo en los últmos cento cncuenta años, desde el paaayos, los motoes eléctcos, la luz, las comuncacones, la televsón, la evolucón nfomátca, el desaollo de Intenet y la ampla vaedad de dspostvos centífcos y técncos están elaconados de alguna u ota manea con los fenómenos electostátcos. Fenómenos electostátcos lectzacón Cuando a un cuepo se le dota de popedades eléctcas se dce ue ha sdo electzado o cagado. La electzacón po fotamento pemtó, a tavés de unas cuantas expeencas fundamentales y de una ntepetacón de las msmas cada vez más completa, senta las bases de lo ue se entende po electostátca. S una baa de caucho, de plástco o PVC (hstócamente de ámba) se fota con un paño de lana o una pel, se electza. Lo msmo sucede s una valla de vdo se fota con un paño de seda. Aun cuando ambas vallas pueden atae objetos lgeos, como hlos o toctos de papel, la popedad eléctca aduda po fotamento no es euvalente en ambos casos. Así, puede obsevase ue dos baas de caucho electzadas se epelen ente sí, y lo msmo sucede en el caso de ue ambas sean de vdo. Sn embago, la baa de caucho es capaz de atae a la de vdo y vcevesa. ste tpo de expeencas se conocían ya desde la época de la Geca clásca. Fueon ealzadas po Tales de Mleto, un flósofo gego ue vvó en el sglo sexto antes de Csto. Tales estudó el compotamento de una esna fósl, el ámba. No se ealzo nngún pogeso notable en la ntepetacón de este fenómeno hasta los alededoes del 6, cuando Wllan Glbet (544- Ing. Atuo R. Castaño Año 8 4 de 49

5 UNN Facultad de Ingeneía Físca III 63), medco de la ena Isabel I de Inglatea, comenzó un estudo detallado de las dstntas clases de sustancas ue se compotaban como el ámba, descbó tales caacteístcas como eléctcos (del nombe gego del ámba, elekton). Glbet llamo no eléctcos a los mateales en los cuales fue ncapaz de enconta esa fueza de ataccón, hay los llamamos a estos dos tpos de mateales como conductoes y aslantes espectvamente. La sguente etapa de mpotanca en el desaollo de las deas sobe las cagas eléctcas vno unos cen años más tades, Chales Du Fay ( ) demostó ue se podían dstngu, ente la electcdad ue aduee el vdo (vítea) y la ue aduee el ámba (esnosa). Posteomente Benjamín Fankln (76-79) al tata de explca los fenómenos eléctcos consdeó la electcdad como un fludo sutl, llamó a la electcdad «vítea» de Du Fay electcdad postva (+) y a la «esnosa» electcdad negatva (-). Tengamos en cuenta ue el sgno atbudo es abtao (y sn mpotanca), peo el establece un conveno de sgnos nos pemte ntoduc una fomulacón matemátca muy concsa paa los hechos expementales. Las expeencas de electzacón puseon en manfesto ue: Cagas eléctcas de dstnto sgno se ataen y cagas eléctcas de gual sgno se epelen. Una expeenca senclla svó de apoyo a Fankln paa avanza en la descpcón de la caga eléctca como popedad de la matea. Cuando se fota la baa de vdo con el paño de seda, se obseva ue tanto una como ota se electzan ejecendo po sepaado fuezas de dfeente sgno sobe un tece cuepo cagado. Peo s una vez efectuada la electzacón se envuelve la baa con el paño de seda, no se apeca fueza alguna sobe el cuepo anteo. llo ndca ue a pesa de esta electzadas sus pates, el conjunto paño-baa se compota como s no lo estuvea, mantenendo una neutaldad eléctca. Vallas de plástcos cagadas po fotamento con pel, se epelen ente s Ing. Atuo R. Castaño Año 8 5 de 49

6 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Vallas de vdo, cagadas po fotamento con seda, se epelen ente s Valla de plástco cagada, es ataída po la valla de vdo cagada ste fenómeno fue ntepetado po Fankln ntoducendo el pncpo de consevacón de la caga, según el cual cuando un cuepo es electzado po oto, la cantdad de electcdad ue ecbe uno de los cuepos es gual a la ue cede el oto, peo en conjunto no hay poduccón neta de caga. n témnos de cagas postvas y negatvas ello sgnfca ue la apacón de una caga negatva en el vdo va acompañada de ota postva de gual magntud en el paño de lana o vcevesa, de modo ue la suma de ambas es ceo. Cuando un cuepo cagado eléctcamente se pone en contacto con oto ncalmente neuto, puede tansmtle sus popedades eléctcas. ste tpo de electzacón denomnada electzacón po contacto se caacteza poue es pemanente y se poduce tas un epato de caga eléctca ue se efectúa en una popocón ue depende de la geometía de los cuepos y de su composcón. xste, no obstante, la posbldad de electza un cuepo neuto medante oto cagado sn ponelo en contacto con él. Se tata, en este caso, de una electzacón a dstanca S el cuepo cagado lo está postvamente la pate del cuepo neuto más póxmo se cagaá con electcdad negatva y la opuesta con electcdad postva. Ing. Atuo R. Castaño Año 8 6 de 49

7 UNN Facultad de Ingeneía Físca III La fomacón de estas dos egones o polos de caacteístcas eléctcas opuestas hace ue a la electzacón po nfluenca se la denomne tambén polazacón eléctca. A dfeenca de la anteo este tpo de electzacón es tanstoa y dua mentas el cuepo cagado se mantenga sufcentemente póxmo al neuto. Un modelo ue busca explca estos efectos eléctcos, muy smla al modelo popuesto po Benjamín Fankln, se lo podía esum como: La matea contene dos tpos de cagas eléctcas, llamadas postvas y negatvas. Los objetos no cagados poseen guales cantdades de cada tpo de caga, de manea ue la caga neta es ceo. Cuando son cagados po fotamento la caga se tansfee de un cuepo a oto. Cuando el poceso ha temnado uno de los objetos tene un exceso de caga postva y el oto un exceso de caga negatva. Objetos cagados con caga del msmo sgno se epelen. 3 Objetos cagados con caga de dstnto sgno se ataen. Apaece nheente a este modelo la llamada ley de consevacón de la caga: La caga eléctca no puede se ceada n destuda, úncamente puede se tansfeda. La natualeza eléctca de la matea La teoía atómca modena explca el po ué de los fenómenos de electzacón y hace de la caga eléctca una popedad fundamental de la matea en todas sus fomas. Un átomo de cualue sustanca está consttudo, en esenca, po una egón cental o núcleo y una envoltua extena fomada po electones. l núcleo está fomado po dos tpos de patículas, los potones, dotados de caga eléctca postva, y los neutones, sn caga eléctca aunue con una masa semejante a la del potón. Tanto unos como otos se hallan undos ente sí po efecto de unas fuezas mucho más ntensas ue las de la epulsón electostátca -las fuezas nucleaes- fomando un todo compacto. Su caga total es postva debdo a la pesenca de los potones. Los electones son patículas mucho más lgeas ue los potones y tenen caga eléctca negatva. La caga de un electón es gual en magntud, aunue de sgno contao, a la de un potón. Las fuezas eléctcas atactvas ue expementan los electones especto del núcleo hace ue éstos se muevan en tono a él en una stuacón ue podía se compaada, en una pmea apoxmacón, a la de los planetas gando en tono al Sol po efecto, en este caso de la ataccón gavtatoa. Ing. Atuo R. Castaño Año 8 7 de 49

8 UNN Facultad de Ingeneía Físca III l númeo de electones en un átomo es gual al de potones de su núcleo coespondente, de ahí ue en conjunto y a pesa de esta fomado po patículas con caga, el átomo completo esulte eléctcamente neuto. Un núcleo puede tene de a potones, dependendo del elemento uímco de ue se tate y nomalmente contene apoxmadamente gual numeo de neutones, un potón y un neutón tenen la msma masa, ue es del oden de dos ml veces mayo a la masa del electón, es dec ue la masa del núcleo es apoxmadamente cuato ml veces mayo a la masa del conjunto de sus electones. Una caacteístca eléctca mpotante de este modelo atómco es la cuantzacón de la caga. Cuando decmos ue una magntud esta cuantzada, sgnfca ue exste una cantdad mínma, ue es la más peueña cantdad posble de esa magntud. Cualue cantdad supeo de esa magntud contendá un númeo enteo de veces esa cantdad mínma. Paa la caga eléctca, la cantdad mínma o elemental es la caga del electón (o potón) y la desgnaemos con la leta e y es ndvsble. Aunue los electones se encuentan lgados al núcleo po fuezas de natualeza eléctca, en algunos tpos de átomos les esulta sencllo lbease de ellas. Cuando un electón loga escapa de dcha nfluenca, el átomo coespondente pede la neutaldad eléctca y se convete en un on postvo, al posee un númeo de potones supeo al de electones. Lo contao sucede cuando un electón adconal es ncopoado a un átomo neuto. ntonces el on fomado es negatvo. La electzacón po fotamento se explca del sguente modo. Po efecto de la fccón, los electones extenos de los átomos del paño de lana son lbeados y ceddos a la baa de ámba, con lo cual ésta ueda cagada negatvamente y auél postvamente. n témnos análogos puede explcase la electzacón del vdo po la seda. n cualuea de estos fenómenos se peden o se ganan electones, peo el númeo de electones ceddos po uno de los cuepos en contacto es gual al númeo de electones aceptado po el oto, de ahí ue en conjunto no hay poduccón n destuccón de caga eléctca. sta es la explcacón, desde la teoía atómca, del pncpo de consevacón de la caga eléctca fomulado po Fankln con anteodad a dcha teoía sobe la base de obsevacones sencllas. La electzacón po contacto es consdeada como la consecuenca de un flujo de cagas negatvas de un cuepo a oto. S el cuepo cagado es postvo es poue sus coespondentes átomos poseen un defecto de electones, ue se veá en pate compensado po la apotacón del cuepo neuto cuando ambos entan en contacto, l esultado fnal es ue el cuepo cagado se hace menos postvo y el neuto aduee caga eléctca postva. Aun cuando en ealdad se hayan tansfedo electones del cuepo neuto al cagado postvamente, todo sucede como s el segundo hubese ceddo pate de su caga postva al pmeo. n el caso de ue el cuepo Ing. Atuo R. Castaño Año 8 8 de 49

9 UNN Facultad de Ingeneía Físca III cagado ncalmente sea negatvo, la tansfeenca de caga negatva de uno a oto coesponde, en este caso, a una cesón de electones. La electzacón po nfluenca es un efecto de las fuezas eléctcas. Debdo a ue éstas se ejecen a dstanca, un cuepo cagado postvamente en las poxmdades de oto neuto ataeá haca sí a las cagas negatvas, con lo ue la egón póxma ueda cagada negatvamente. S el cuepo cagado es negatvo entonces el efecto de epulsón sobe los electones atómcos convetá esa zona en postva. n ambos casos, la sepaacón de cagas nducda po las fuezas eléctcas es tanstoa y desapaece cuando el agente esponsable se aleja sufcentemente del cuepo neuto. Conductoes, asladoes y semconductoes Una valla metálca sostenda en la mano y fotada con una pel, no manfesta en nngún momento esta cagada. Sn embago es posble caga esa valla s se la povee de un mango de vdo o plástco y s el metal no se toca con las manos al fotalo. La explcacón es ue tanto el metal, como el cuepo humano y la tea son conductoes de la electcdad y ue el vdo o el plástco son asladoes (o tambén llamados deléctcos). Cuando un cuepo neuto es electzado, sus cagas eléctcas, bajo la accón de las fuezas coespondentes, se edstbuyen hasta alcanza una stuacón de eulbo n los conductoes eléctcos, las cagas se pueden move lbemente a tavés del mateal, mentas ue en los asladoes no pueden hacelo o ponen muchas dfcultades a este movmento de las cagas eléctcas po su nteo y sólo pemanece cagado el luga en donde se depostó la caga neta. Aun cuando no hay asladoes pefectos, el pode aslante del cuazo funddo es apoxmadamente 5 veces mayo al del cobe, de modo ue paa muchos fnes páctcos, algunos mateales se compotan como s fuean asladoes pefectos. sta dfeenca de compotamento de las sustancas especto del desplazamento de las cagas en su nteo depende de su natualeza íntma. Así, los átomos de las sustancas conductoas poseen electones extenos muy déblmente lgados al núcleo en un estado de semlbetad ue les otoga una gan movldad, tal es el caso de los metales. n las sustancas asladoas, sn embago, los núcleos atómcos etenen con fueza todos sus electones, lo ue hace ue su movldad sea escasa. nte los buenos conductoes y los asladoes exste una gan vaedad de stuacones ntemedas. s de destaca ente ellas la de los mateales semconductoes po su mpotanca en la fabcacón de dspostvos electóncos ue son la base de la actual evolucón tecnológca, tal Ing. Atuo R. Castaño Año 8 9 de 49

10 UNN Facultad de Ingeneía Físca III es el caso del slco y el gemano. n condcones odnaas se compotan como malos conductoes, peo desde un punto de vsta físco su nteés adca en ue se pueden altea sus popedades conductoas con ceta facldad, ya sea medante peueños cambos en su composcón (po ejemplo al slco se le agegan tazas de boo o de azufe), ya sea someténdolos a condcones especales, como elevada tempeatua o ntensa lumnacón. l pncpo de funconamento de los semconductoes no se puede descb en foma adecuada sn tene conocmento de los pncpos fundamentales de la físca uántca. LA LY D COULOMB Aun cuando los fenómenos electostátcos fundamentales ean ya conocdos en la época de Chales Coulomb (736-86), no se conocía aún la popocón en la ue esas fuezas de ataccón y epulsón vaaban. Fue este físco fancés uen, en 785, tas pone a punto un método de medda de fuezas sensble a peueñas magntudes, lo aplcó al estudo de las nteaccones ente peueñas esfeas dotadas de caga eléctca. l esultado fnal de esta nvestgacón expemental fue la ley ue lleva su nombe y ue descbe las caacteístcas de las fuezas de nteaccón ente cuepos cagados. l dspostvo utlzado ecbó el nombe de balanza de tosón, constaba de dos esfeas ue se podían caga, suspenddas de manea se pudese med el ángulo de tosón de la fba ue las mantenía suspenddas, en ángulo gado ea popoconal a la caga de las esfeas. Los pmeos esultados expementales podemos expesalos como: F donde es la magntud de la fueza ue oba en cada una de las dos esfeas cagadas y es la dstanca ue las sepaa. stas fuezas, como lo euee la tecea ley de Newton oban en la línea ue une las cagas peo en sentdos opuestos. Coulomb tambén estudo como vaaba la fueza eléctca con el tamaño elatvo de las cagas aplcadas a cada esfea y llego a: F donde y son meddas de las cagas aplcada a cada esfea. Cuando se consdean dos cuepos cagados (supuestos puntuales), la ntensdad de las fuezas atactvas o epulsvas ue se ejecen ente sí es dectamente popoconal al poducto de sus Ing. Atuo R. Castaño Año 8 de 49

11 UNN Facultad de Ingeneía Físca III cagas e nvesamente popoconal al cuadado de las dstancas ue las sepaa, dependendo además dcha fueza de la natualeza del medo ue les odea. Como fuezas de nteaccón, las fuezas eléctcas se aplcan en los espectvos centos de las cagas y están dgdas a lo lago de la línea ue los une y su sentdo depende de los sgnos de las cagas. Cagas de gual sgno se epelen y de sgno contao se ataen. Tenendo pesente la constante de popoconaldad, la cual depende del medo en el cual plantemos las cagas, podemos escb la Ley de Coulomb como: F ε 8,854 Donde ε es la pemtvdad del vacó y su valo expemental es C N m De tal manea ue podemos escb la constante de popoconaldad como: k 4 πε 9 9 N m C Fnalmente, la expesón matemátca de la ley de Coulomb es, escbéndola en foma vectoal F k 3 con caga, debda a la patícula, con caga Auí F es la fueza ue actúa sobe la patícula,, son los vectoes de poscón de las cagas y, es el vecto ue va desde la caga hasta, y es la dstanca ente las cagas, según se ve en la fgua Ing. Atuo R. Castaño Año 8 de 49

12 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Z F k 3 X Y Analogía ente la ley de Coulomb y la ley de Gavtacón Unvesal de Newton La compaacón ente la ley de Newton de la gavtacón unvesal y la ley de Coulomb de la electostátca muesta la exstenca ente ellas de una ceta analogía o paalelsmo. l campo gavtatoo clásco po excelenca es el llamado campo newtonano, es dec, un campo de fuezas ue cumple la ley de Newton de la popoconaldad nvesa ente la ntensdad y el cuadado de la dstanca al cento. Se denomnan campos gavtatoos newtonanos auellos ue cumplen la ley de Newton de la gavtacón unvesal, según la cual la fueza con ue se ataen dos cuepos es dectamente popoconal al poducto de sus masas e nvesamente popoconal al cuadado de la dstanca ente sus centos. S tenemos dos cuepos como los de la fgua Ing. Atuo R. Castaño Año 8 de 49

13 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Donde la nteaccón ente dos cuepos de masa M y m se descbe en témno de una fueza atactva, cuya deccón es la ecta ue pasa po el cento de los dos cuepos y cuyo módulo vene dado po la expesón: F g G M m 3 m m 6.67 y es la Donde G es la constante de la gavtacón unvesal dstanca ente los centos de los cuepos G Nm Kg Tengamos en cuenta ue la ley de Coulomb paa nteaccones ente patículas cagadas vene a dec algo paecdo a "la fueza con ue se ataen / epelen dos cagas de dstnto / gual sgno es dectamente popoconal al poducto de sus cagas e nvesamente popoconal al cuadado de la dstanca ente sus centos" F sta analogía no supone una dentdad ente la natualeza de ambos tpos de fuezas, sólo ndca ue los fenómenos de nteaccón ente cagas y los de nteaccón ente masas podán se estudados y tatados de un modo smla. A pesa de esta analogía fomal, exsten algunas dfeencas ue cabe destaca. La pmea se efee al valo de las constantes G y K. l valo de G esulta se mucho meno ue K : G 6.67 Undades del sstema Intenaconal 9 K 9 Undades del Sstema Intenaconal (en el vacío) Po tal motvo, las fuezas ente cagas seán mucho más ntensas ue las fuezas ente masas paa cantdades compaables de una y ota magntud. Debemos destaca ente las analogías ue las deccones de las fuezas actuantes están en ambos casos sempe contendas en la línea de unón de las patículas Una dfeenca mpotante, G es una constante unvesal y no depende del medo donde se encuenten los agentes ue nteacconan; K es una constante ue depende del medo donde se encuenten las patículas nteactuantes. Ing. Atuo R. Castaño Año 8 3 de 49

14 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Además, las fuezas gavtatoas son sempe atactvas, mentas ue las eléctcas pueden se atactvas o epulsvas en funcón de los sgnos de las cagas ue nteactúan. Undades La undad de caga en el sstema MKS es el coulomb, ue se lo abeva como coul La ley de Coulomb popocona una dea de la magntud del coulomb como cantdad de electcdad. Así, hacendo en la en la ecuacón de la ley de Coulomb: F Dando los valoes guales a: coul y m y Resulta la fueza eléctca F K 9 9 N; es dec, dos cagas de un coulomb stuadas a una dstanca de un meto, expementaían una fueza electostátca de nueve ml mllones de newtons. La magntud de esta fueza descomunal ndca ue el coulomb es una cantdad de caga muy gande, de ahí ue se empleen sus submúltplos paa descb las stuacones ue se plantean en el estudo de los fenómenos electostátcos. Los submúltplos del coulomb más empleados son: l mlcoulomb: mcoul 3 Coul l mcocoulomb: μ Coul 6 Coul l nanocoulomb: η Coul 9 Coul xpesada en culombos la cantdad fundamental de caga, es dec la caga del electón o del potón tene el valo de e,67 9 coul Ing. Atuo R. Castaño Año 8 4 de 49

15 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Po azones páctcas elaconadas con la pecsón de las medcones, la undad de caga en el sstema MKS no se defne usando una balanza de tosón, sno ue se la deva de la undad de coente eléctca. La undad de coente eléctca es el ampe, se defne el coulomb como la cantdad de caga ue pasa po una seccón tansvesal dada de un alambe en segundo s ccula po el alambe una coente constante de Ampe. Sobe esta defncón tabajaemos más adelante Pncpo de Supeposcón Se ha compobado -tambén expementalmente- ue las fuezas eléctcas se compotan en foma adtva, es dec; la fueza eléctca sobe una caga, debda a un conjunto de cagas n F F + F + F F n F... n es gual a la suma de las fuezas ue F, ue cada caga, ejece sepaadamente sobe la caga, es dec: en ue las fuezas F están dadas po F ( ) 4 πε ( ) 3 n la ecuacón anteo las cagas ( ),...n y la caga está en el punto. ocupan las poscones dadas po los vectoes con Aplcacones de la ley de Coulomb La ley de Coulomb elacona la magntud de las fuezas electostátcas con las caacteístcas del medo, eflejadas en su constante K, con el valo de las cagas nteactuantes y con la dstanca compendda ente sus centos. Po tal motvo es posble avegua uno de estos elementos s se conoce el esto, veamos po ejemplo Cálculo de ado del átomo de hdogeno: Un átomo de hdógeno está fomado po un potón y un electón ue se mueve en tono a él; sabendo ue sus cagas, guales y de sgno contao, euvalen a Ing. Atuo R. Castaño Año 8 5 de 49

16 UNN Facultad de Ingeneía Físca III 9 e,6 coul y ue la ntensdad de la fueza atactva ue expementan es de F 8 e 8, coul se puede detemna el valo de la dstanca meda ue los sepaa (ado de Boh). De acuedo con la ley de Coulomb: F La dstanca ente dos cagas puede expesase en funcón de la fueza de nteaccón en la foma: K susttuyendo los valoes seá gual a: F e Nm Coul 9 9 9,6 8 8, coul,6 N 9 coul,8 m l electoscopo l electoscopo consta de dos lámnas delgadas de oo o alumno A ue están fjas en el extemo de una valla metálca B ue pasa a tavés de un sopote C de ebonta, ámba o azufe. Cuando se toca la bola del electoscopo con un cuepo cagado, las hojas adueen caga del msmo sgno y se epelen sendo su dvegenca una medda de la cantdad de caga ue ha ecbdo. La fueza de epulsón electostátca se eulba con el peso de las hojas. S se aplca una dfeenca de potencal ente la bola C y la caja del msmo, las hojas tambén se sepaan. Se puede calba el electoscopo tazando la cuva ue nos da la dfeenca de potencal en funcón del ángulo de dvegenca. Ing. Atuo R. Castaño Año 8 6 de 49

17 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Dstbucones de Caga Dstbucón de caga volumétca Consdeemos el poblema sguente: Se tene un cuepo macoscópco, de volumen V, cagado. Queemos calcula la fueza ue este objeto ejece sobe una caga puntual, localzada en un punto. Supongamos ue el volumen V del cuepo se dvde en un númeo N de peueños 'cubos', de volumen V Δ. Δ y caga Q Δ + Δ + Δ Δ La caga total del cuepo seá 3 N y V Δv + Δv + Δv Δv N es su volumen. ΔV S el númeo de los elementos de volumen tende a nfnto, mentas su tamaño tende a ceo, mantenendo las elacones anteoes, entonces la fueza ue el cuepo ejece sobe la caga puntual puede apoxmase po la suma o supeposcón de auellas fuezas a los elementos de caga Δ. N Δ F ( ) 3 ( )( ) ΔF debdas Ing. Atuo R. Castaño Año 8 7 de 49

18 UNN Facultad de Ingeneía en ue se ha puesto Δ ( ) elemento de volumen v elemento de volumen en cuestón. Δ V depende de Físca III paa hace esalta el hecho ue la caga contenda en el ; en otas palabas, depende de la poscón del Defnamos la densdad de caga -volumétca- en la vecndad del punto como ρ sta es, tambén, la densdad de caga pomedo en un volumen muy peueño, es dec, 'tende a un punto'; po lo tanto ρ( ) caga en le vecndad del punto S se eemplaza ( ) tene F ( ) T Δ ΔV V () Δlm ( ) d( ). Δ v po ( ) ΔV V ( ) dv ρ dv Δ V, cuando este se hace se ntepeta como la densdad de ρ en la ecuacón. Po lo tanto, pasando al límte se Dstbucones supefcal y lneal de caga. Densdad supefcal de caga σ : Suponemos ahoa ue la caga se halla dstbuda sobe una supefce S, entonces σ ( ) lm Δ ΔS ΔS ( ) d( ) ds Dstbucón lneal de caga λ : S la caga se dstbuye sobe una línea L, entonces defnmos λ ( ) lm Δ ΔL ΔL ( ) d( ) dl Ing. Atuo R. Castaño Año 8 8 de 49

19 UNN Facultad de Ingeneía Físca III jemplo de calculo jemplo: calcula la fueza ejecda po una valla de longtud nfnta cagada con una dstbucón lneal constante λ, sobe una caga puntual stuada en un punto P a una dstanca a λ Paa pode aplca la Ley de Coulomb consdeamos un elemento d a df y d df z z d λdl df x df F T F + T x FT y FT y FT x Fy F x Fy + F x F d d df dfx cosα cosα z πε z x z df dfx d cosα πε z Ing. Atuo R. Castaño Año 8 9 de 49

20 UNN Facultad de Ingeneía Vemos ue F F T T F T L df L d df cosα L dfx πε z d df cosα L dfx πε z Físca III Tenendo en cuenta ue: d λdl L a tgα L a tgα dl dα a cos α cos a a z z z cosα a cos α α F T πε d cosα z πε λdl cosα z λ πε dl cosα z Reemplazando las ecuacones anteoes F T F T λ dl λ cosα πε z πε a λ a cos dα πε cos α a a cos dα cos α α cosα α cosα π L α L α π F T λ πε π π a cos dα cos α a α cosα λ πε π π cosαdα Ing. Atuo R. Castaño Año 8 de 49

21 UNN Facultad de Ingeneía Físca III F T λ π λ π π cosαdα sen sen π aπε aπε λ λ F T aπε aπε F T λ aπε L CAMPO LÉCTRICO l concepto físco de campo Las cagas eléctcas no pecsan de nngún medo mateal paa ejece su nfluenca sobe otas, de ahí ue las fuezas eléctcas sean consdeadas fuezas de accón a dstanca. Cuando en la natualeza se da una stuacón de este estlo, se ecue a la dea de campo paa faclta la descpcón en témnos físcos de la nfluenca ue uno o más cuepos ejecen sobe el espaco ue les odea. La nocón físca de campo se coesponde con la de un espaco dotado de popedades medbles. Po ejemplo, la tempeatua del ae en una habtacón ( el salón de clase po j.) posee un valo detemnado en cada punto de la msma. S T epesenta la tempeatua, exste una funcón T(x, y, z) ue da la tempeatua en cada punto (x, y, z) de la habtacón. S la tempeatua camba con el tempo, debemos nclulo como vaable T(x, y, z, t). Como la tempeatua es una magntud escala, T(x, y, z, t) es un ejemplo de campo escala. Además de campos escalaes exsten campos vectoales, es dec magntudes vectoales ue están defndas en cada punto del espaco. l vento en la atmósfea teeste es un ejemplo. n cada punto de la atmósfea el ae tendá una velocdad V. Cada una de las tes componentes de este campo vectoal seá funcón de la poscón y del tempo. n coodenadas catesanas podemos escb estas tes componentes como Vx (x,y,z,t); Vy (x,y,z,t); Vz (x,y,z,t) n el caso de ue se tate de un campo de fuezas éste vene a se auella egón del espaco en donde se dejan sent los efectos de fuezas a dstanca. Así, la nfluenca gavtatoa sobe el espaco ue odea la Tea se hace vsble cuando en cualuea de sus puntos se stúa, a modo Ing. Atuo R. Castaño Año 8 de 49

22 UNN Facultad de Ingeneía Físca III de detecto, un cuepo de pueba y se mde su peso, es dec, la fueza con ue la Tea lo atae. Dcha nfluenca gavtatoa se conoce como campo gavtatoo teeste. De un modo análogo la físca ntoduce la nocón de campo magnétco y tambén la de campo eléctco o electostátco. l campo eléctco l espaco ue odea a una valla cagada paece esta afectado po la valla y a esta espaco lo llamaemos campo eléctco. Podemos dec tambén ue el campo eléctco asocado a una caga aslada o a un conjunto de cagas es auella egón del espaco en donde se dejan sent sus efectos. Así, s en un punto cualuea del espaco en donde está defndo un campo eléctco se coloca una caga de pueba o caga testgo, se obsevaá la apacón de fuezas eléctcas, es dec, de ataccones o de epulsones sobe ella. l campo juega un papel ntemedo en las fuezas ue oban ente las cagas. Podemos dec ue hay dos poblemas sepaados, uno es el cálculo de campos establecdos a pat de dstbucones de cagas dadas y el oto el calculo de las fuezas ue campos dados ejezan soba cagas colocadas en ellos. Todo campo físco ueda caactezado po sus popedades. n el caso del campo eléctco, una foma de descb las popedades del campo seía ndca la fueza ue se ejeceía sobe un msmo cuepo de pueba ue tenga una caga. La caga de efeenca más smple es la caga puntual (masa despecable) con caga postva. l efese a la msma caga de pueba pemte compaa los dstntos puntos del campo en témnos de ntensdad.. La fueza eléctca ue en un punto cualuea del campo se ejece sobe la caga de pueba postva, tomada como elemento de compaacón, ecbe el nombe de ntensdad del campo eléctco y se epesenta po la leta. Po tatase de una fueza (vecto) po undad de caga (escala) la ntensdad del campo eléctco es una magntud vectoal ue vene defnda po su módulo y po su deccón y sentdo. La defncón de campo eléctco es smla a la de campo gavtatoo. Supongamos ue una patícula ue denomnaemos patícula de pueba tene una caga peueña postva, se encuenta en las cecanías de un gupo de patículas cagadas Ing. Atuo R. Castaño Año 8 de 49

23 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Z P F Dstbucón de cagas X Y Se defne al campo eléctco en el punto P del espaco ue ocupa la caga, debdo al gupo de patículas como el cocente ente la fueza total patícula de pueba y la caga de la msma. F F Q Q F ejecda po el gupo sobe la Q donde estaá aplcada en el punto P y su deccón estaá a lo lago de la ecta ue une la caga cental Q y el punto genéco P, en donde se stúa la caga de pueba, y su sentdo seá atactvo o epulsvo según Q sea negatva o postva espectvamente. n lo ue sgue se consdeaán po sepaado ambos aspectos del campo. La expesón del módulo de la ntensdad de campo puede obtenese fáclmente paa el caso sencllo del campo eléctco ceado po una caga puntual Q sn más ue combna la ley de Coulomb con la defncón de. Ing. Atuo R. Castaño Año 8 3 de 49

24 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Q Conocdo el campo eléctco es posble detemna la fueza eléctca ue actuaá sobe una caga abtaa en cualue punto del espaco medante la ecuacón: F xpesón ue ndca ue la fueza aplcada a es gual a veces el valo de la ntensdad de campo en el punto P. sta foma de descb las fuezas del campo y su vaacón con la poscón hace más sencllos los cálculos, patculamente cuando se ha de tabaja con campos debdos a muchas cagas. Undades La undad de ntensdad de campo es el cocente ente la undad de fueza y la undad de caga; Newton en el Sstema Intenaconal euvale, po tanto, al Coulomb [ ] [ F] Newton N [] Coulomb Coul Ing. Atuo R. Castaño Año 8 4 de 49

25 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Campo eléctco poducdo po patículas cagadas Sstema con una caga puntual La fueza F ejecda sobe una patícula de pueba con caga po ota patícula con caga stuada en el ogen de coodenadas está dada po la ley de Coulomb F Q La ecuacón anteo nos da el campo eléctco ceado po una patícula puntual de caga Las pncpales caacteístcas de este campo son: es popoconal a es popoconal a Apunta haca fuea paa una caga postva y haca la caga s esta es negatva, según se ve en las fguas sguentes Z P F + + X Caga Postva Y Z F P + Caga Negatva + X Y Ing. Atuo R. Castaño Año 8 5 de 49

26 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Ing. Atuo R. Castaño Año 8 6 de 49 Sstema de N cagas puntuales Supongamos ue tenemos ahoa un sstema de N cagas puntuales. La fueza F ue actuaá sobe una caga de pueba stuada en un punto P del espaco estaá dada po F πε πε πε πε F n F donde es la caga de la patícula, es la dstanca de la patícula al punto P y es el vecto untao ue apunta desde la patícula al punto P. Dvdendo po la caga se obtene el campo eléctco en el punto P n n 4 πε l campo eléctco poducdo po dos o más cagas puntuales es el vecto suma de las contbucones ndvduales al campo debdas a cada caga po sepaado. La obtencón del campo eléctco poducdo po una dstbucón de cagas puntuales se educe esencalmente a un poblema de suma de vectoes, como podemos ve en los ejemplos sguentes, donde se calcula la debda a cada caga como s fuea la únca ue exstea y luego se suman vectoalmente esos campos calculados sepaadamente paa enconta el campo esultante total Consdeemos el sstemas de dos cagas de la fgua con dos cagas

27 UNN Facultad de Ingeneía Físca III y, ambas postvas y de valoes tales ue Donde T n + ntonces podemos calcula el campo eléctco debdo a la caga,como cuyas componentes seán x cosα en el eje de las X y senαj en el eje de las Y De gual manea el campo eléctco debdo a la caga, como cuyas componentes seán Ing. Atuo R. Castaño Año 8 7 de 49

28 UNN Facultad de Ingeneía Físca III x cos β en el eje de las X y senβj en el eje de las Y Dpolo eléctco Consdeemos ahoa un caso especal de dstbucón de cagas, llamado dpolo el eléctco, donde tenemos dos cagas de gual valo, peo de sgno contao. Calculaemos el campo eléctco en la pependcula bsectz ue une las cagas como se ndca en la fgua. T n + po smetía en la fgua podemos ve ue x T n x x + x n yt y y + y y Ing. Atuo R. Castaño Año 8 8 de 49

29 UNN Facultad de Ingeneía Físca III n consecuenca en campo esultante total es, con deccón del eje Y y apuntando haca abajo, su magntud la podemos calcula como y cosθ T y cosθ, donde sabemos ue valo de eemplazando X + a, además de la fgua podemos ve ue: cosθ Q x, donde el a a +, T Q cosθ 4 πε a + a a + πε aq T 4 + S consdeamos 3 ( a ) >> a, podemos smplfca la ecuacón y ueda T 4 πε aq 3 llamamos momento del dpolo eléctco ρ a ρ aq, de manea tal ue la ecuacón de campo eléctco paa un dpolo eléctco paa puntos dstantes a lo lago de la pependcula bsectz ueda T ρ 3 l dpolo esta consttudo po dos cagas guales y opuestas, colocadas muy cecanas ente s, de tal manea ue sus campos sepaados en puntos alejados cas se anulan, peo no totalmente. ( ) Desde este punto de vsta vemos ue la vaacón T en un dpolo vaía popoconalmente a T () 3 ue es popoconal a ( ), mentas ue paa una caga puntual T vaa más lentamente, puesto () T Ing. Atuo R. Castaño Año 8 9 de 49

30 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Campo eléctco poducdo po una dstbucón contnúa de cagas n los objetos macoscópcos, como se las vallas cagadas ue vmos anteomente, la caga es debda a una dfeenca ente el númeo de potones y electones. Como las cagas tanto del electón como del potón son muy nfeoes a los valoes de caga ue nomalmente encontamos en los objetos macoscópcos, tales cagas macoscópcas están poducdas po un gan númeo de cagas elementales e o electones ya sea en exceso o en defecto. Po tanto podemos tata estas cagas macoscópcas como una dstbucón contnua de elementos nfntesmales de d caga. S aplcamos la ecuacón obtenda paa el campo de una caga puntual a uno de estos elementos obtenemos el campo nfntesmal d caga d geneado po un elemento nfntesmal de d d donde es la dstanca del elemento de caga d al punto P donde evaluamos el campo eléctco. l campo esultante T en P se encuenta entonces sumando (es dec ntegando) las contbucones al campo debdas a todos los elementos de caga d, o sea T d d d πε 4 donde los lmtes de ntegacón están detemnados po la extensón de la dstbucón de caga en el espaco. Cuando tenemos una dstbucón volumétca y contnua de caga podemos expesa el elemento d nfntesmal de caga en funcón de la densdad de caga. S la dstbucón de caga es unfome, la densdad de caga es el cocente ente la caga total y el volumen ue ocupa la msma, Ing. Atuo R. Castaño Año 8 3 de 49

31 UNN Facultad de Ingeneía Físca III ρ Q V dq ρ dv, donde tomamos s la densdad no es unfome podemos defn elementos volumétcos los sufcentemente chcos paa consdealos puntuales, la caga dento d ρ dv de ese volumen seá entonces, de tal manea ue d d ρdv o l campo esultante debdo a toda la dstbucón se obtene ntegando la expesón anteo T T ρdv ρdv d πε ρdv V 4 Cuando tenemos ahoa una dstbucón supefcal y contnua de caga podemos expesa el d elemento nfntesmal de caga en funcón de la densdad de caga. S la dstbucón de caga es unfome, la densdad de caga es el cocente ente la caga total y la supefce de la msma, γ Q S, donde S es el áea de la supefce cagada, s la densdad no es unfome γ d ds podemos defn, donde tomamos elementos supefcales los sufcentemente chcos d γ ds paa consdealos puntuales, la caga dento de esa supefce seá entonces, de tal manea ue d γds o ntegando obtenemos T γds S De gual manea a los casos anteoes cuando una dstbucón lneal y contnuas de caga d podemos expesa el elemento nfntesmal de caga en funcón de la densdad de caga. S la dstbucón de caga es unfome, la densdad de caga es el cocente ente la caga total y la longtud de la msma, λ Q L,donde L es el áea de la supefce cagada, s la densdad no Ing. Atuo R. Castaño Año 8 3 de 49

32 UNN Facultad de Ingeneía Físca III λ d dl es unfome podemos defn, donde tomamos elementos lneales los sufcentemente chcos paa consdealos puntuales, la caga dento de ese volumen seá entonces d λ dl, de tal manea ue anteoes, ntegando d λdl o Al gual ue en los casos T λdl L Repesentacón del campo eléctco. Líneas de Fueza l concepto de campo eléctco como vecto no fue apecado ente los pmeos físcos, de ellos uno de los más mpotantes fue Mchel Faaday (79 867), uen pensó sempe en funcón de líneas de fueza. Las líneas de fueza sguen sendo una manea convenente de epesentase en lamente la foma de los campos eléctcos. Se las usa con este fn, peo en geneal no se las usa cuanttatvamente. s posble consegu una epesentacón gáfca de un campo de fuezas empleando las llamadas líneas de fueza. Son líneas magnaas ue descben, s los hubee, los cambos en deccón de las fuezas al pasa de un punto a oto. n el caso del campo eléctco, las líneas de fueza ndcan las tayectoas ue seguían las patículas postvas s se las abandonase lbemente a la nfluenca de las fuezas del campo. Le elacón ente las líneas de fueza y el vecto ntensdad de campo es la sguente: - l campo eléctco seá un vecto tangente a la línea de fueza en cualue punto consdeado. Las líneas de fueza se dbujan de modo ue el númeo de líneas po undad de supefce de seccón tansvesal sea popoconal a la magntud de campo. n donde las líneas están muy cecanas, el campo es gande y en donde están sepaadas es peueño. Una caga puntual postva daá luga a un mapa de líneas de fueza adales, pues las fuezas eléctcas actúan sempe en la deccón de la línea ue une a las cagas nteactuantes, y dgdas haca fuea poue las cagas móvles postvas se desplazaían en ese sentdo (fuezas epulsvas). n el caso del campo debdo a una caga puntual negatva el mapa de líneas de fueza seía análogo, peo dgdas haca la caga cental. Como consecuenca de lo anteo, en el caso de los campos debdos a vaas cagas las líneas de fueza nacen sempe de las cagas Ing. Atuo R. Castaño Año 8 3 de 49

33 UNN Facultad de Ingeneía Físca III postvas y mueen en las negatvas. Se dce po ello ue las pmeas son «manantales» y las segundas «sumdeos» de líneas de fueza. Las líneas de fueza de una lámna unfome de caga postva, de gandes dmensones unfome seán gualmente espacadas, ectas y paalelas n los dbujos de ejemplo las epesentamos en D, peo podemos magnalas en 3D. Ing. Atuo R. Castaño Año 8 33 de 49

34 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Ley de Gauss Intoduccón l campo eléctco poducdo po cuepos cagados estátcos puede obtenese po medo de dos pocedmentos: la ley de Coulomb o medante la ley de Gauss. La Ley de Gauss se la debemos a Kal F. Gauss ( ), el cual ceo muchos de los fundamentos matemátcos de gan pate de la Físca Teóca ue se desaollo a fnales del sglo XIX y comenzos del sglo XX. Ya hemos vsto el método de la ley de Coulomb, veemos ahoa la ley de Gauss. La ley de Coulomb es una foma smple y decta de expesa la fueza eléctca. Po oto lado la ley de Gauss es más sutl, más elegante y muchas veces más útl, euee una sofstcacón matemátca mayo ue la Ley de Coulomb. La ley de Gauss se expesa en témnos de flujo del campo eléctco o flujo eléctco paa ello es fundamental entende pevamente el concepto de flujo. Concepto de Flujo ste concepto se ogna en la Teoía de los Fludos, donde flujo sgnfca la apdez con ue n fludo pasa a tavés de una supefce magnaa. l flujo Φ de un campo vectoal nvoluca: el campo vectoal y una supefce en la cual el flujo es evaluado. Paa obtene el flujo a tavés de una supefce epesentamos a la supefce Δ S medante el vecto supefce. Paa una supefce plana el vecto supefce tendá un modulo Δ S gual al áea de la supefce y como deccón pependcula a esta supefce paalela al plano detemnado po los ejes X e Y, de dmensones a b y el flujo de un vecto cualuea po ejemplo g (po ejemplo el campo gavtatoo). l flujo Φ seá el poducto Φ gxδs escala ente ambos vectoes g ΔS cosα vectoes ente s, como en este caso ceo gado. l flujo seá Φ g ΔS cosα g a b cos g a b sendo α el ángulo ue foman los dos Ing. Atuo R. Castaño Año 8 34 de 49

35 UNN Facultad de Ingeneía Físca III el vecto de supefce pesenta la ambgüedad den su defncón, poue pefectamente podíamos habe tomado el vecto ue apunta haca abajo. Como tabajaemos con supefces ceadas, po ejemplo la supefce de una esfea o un cubo, demos ue el vecto supefce es po costumbe sempe salente, es dec apunta sempe haca fuea de la supefce ceada. Flujo eléctco Defnmos entonces el flujo eléctco como una supefce ΔS como: Φ xδs Φ ΔS cosα de un campo eléctco unfome a tavés de esto es valdo paa supefces planas l poducto escala tene en cuenta la oentacón de la supefce con especto a la deccón del campo, sendo α el ángulo ue foman el vecto campo eléctco y el vecto de supefce jemplo : Ing. Atuo R. Castaño Año 8 35 de 49

36 UNN Facultad de Ingeneía Físca III Φ xδs ΔS cosα ΔS cos Δ jemplo : Φ xδs ΔS cosα ΔS cos9 jemplo 3: Φ xδs ΔS cosα ΔS cosθ l flujo eléctco es una magntud escala, y su undad en el Sstema Intenaconal es [ Φ] N m Coul S la supefce es cuva o el campo eléctco vaía punto a punto sobe la supefce, el flujo se obtene dvdendo la supefce en peueños elementos, tan peueños ue puedan consdease planos, y ue el campo eléctco no vaíe en su supefce. l flujo total seá la suma de todas las contbucones de flujo a tavés de cada uno de los elementos de supefce. n el lmte en ue el tamaño de cada elemento se apoxma a ceo y el numeo de elementos a nfnto, la suma se convete en una ntegal: Φ xds Ing. Atuo R. Castaño Año 8 36 de 49

37 UNN Facultad de Ingeneía po lo tanto Φ xds cosα ds Físca III La ntegal anteo se llama ntegal de supefce, poue se extende a toda la supefce consdeada. ntonces, el flujo de campo eléctco a tavés de una supefce es gual a la ntegal de supefce de extendda a toda la supefce. Consdeamos el flujo a tavés de una supefce ceada, en este caso seá Φ xds La supefce ceada paa la cual se calcula el flujo es genealmente magnaa o hpotétca y se la conoce como supefce gaussana, no coesponde necesaamente a la supefce de un objeto. Cuando usamos la Ley de Gauss podemos dseña una supefce de cualue foma y tamaño paa usala como supefce gaussana. l seleccona la foma y el tamaño adecuados de una supefce gaussana es una de las claves pncpales paa la utlzacón coecta de la Ley de Gauss. nuncado de la ley de Gauss La ley de Gauss puede se enuncada de la sguente manea: el flujo eléctco Φ a tavés de una supefce ceada abtaa es gual a la caga neta enceada po la supefce dvdda po ε. xpesada matemátcamente: Φ ε xds ε ó donde la supefce ceada (supefce gaussana) puede tene cualue foma y tamaño y el temno epesenta la caga neta contenda en el volumen ue encea la supefce. S no hay nnguna caga dento de la supefce gaussana se puede peve ue Φ seá gual a ceo. Lo ue tenemos ue tene pesente es ue la caga neta, tomando en cuenta su sgno algebaco tene ue se ceo. S una supefce gaussana encea cagas guales y opuestas, el Ing. Atuo R. Castaño Año 8 37 de 49

38 UNN Facultad de Ingeneía Físca III flujo Φ es ceo. Las cagas ue estén fuea de la supefce no ntevenen paa nada en el valo de, n tampoco ntevne el luga exacto donde se encuenten las cagas dento de la supefce. La ley de Gauss se puede aplca paa evalua a, s la dstbucón de cagas es lo sufcentemente smétca paa ue se pueda evalua fáclmente la ntegal. De gual manea s se conoce paa todos los puntos de una supefce ceada se puede usa paa calcula la caga nteo. S tene una componente haca afuea paa cada punto de la supefce ceada, se deduce ue debe habe una caga postva neta dento de la supefce ceada. S tene una componente haca adento paa cada punto de la supefce ceada, se deduce ue debe habe una caga negatva neta dento de la supefce ceada. Ley de Gauss y la Ley de Coulomb La ley de Coulomb se puede deduc de la Ley de Gauss y de cetas condcones de smetía. Apluemos la Ley de Gauss a una caga punto aslada como la ue vemos en la fgua Aun cuando la ley de Gauss es válda paa una supefce cualuea, la nfomacón puede obtenese sencllamente s consdeamos una supefce esféca de ado con cento en la caga. La ventaja de esta supefce ue, po smetía, debe se nomal a ella y tene la msma magntud en todo los puntos de la supefce. n la fgua tanto, como ds están dgdos adalmente haca fuea, el ángulo ente ellos es ceo, entonces Ing. Atuo R. Castaño Año 8 38 de 49

39 UNN Facultad de Ingeneía Físca III ε xds ε ds cosθ ε ds cos ε ds como es constante paa todos los puntos de la esfea, puede sal de la ntegal, uedando ε ds donde la ntegal es el áea de la esfea S 4π ( ) ε 4π de donde despejando La deccón de campo ya se la conoce po smetía. S ahoa colocamos una caga a una dstanca, la magntud de la fueza F ue oba sobe ella es: F, eemplazando nos ueda F ue es la expesón de la ley de Coulomb. Así hemos deducdo la ley de Coulomb de la Ley de Gauss. La ley de Gauss es una de las ecuacones fundamentales de la teoía electomagnétca. Flujo a tavés de una supefce abtaa debdo a una patícula cagada exteo Consdeemos el flujo paa la supefce gaussana en foma de bloue edondeado ue vemos en la fgua Ing. Atuo R. Castaño Año 8 39 de 49

40 UNN Facultad de Ingeneía Físca III l campo eléctco esta ceado po una patícula cagada exteo al bloue, y la supefce ceada esta fomada po dos casuetes esfécos con cento en la patícula y cuato planos lateales alneados adalmente con la patícula. De este foma el flujo es pependcula a Φ L, a tavés de las cuato paedes lateales es nulo poue, ds en todos los puntos, el flujo Φ a tavés del casuete nteo es negatvo (suponendo ue la caga exteo es postva), ya ue la deccón de es opuesta a la de ds en todos los puntos de este casuete, es dec Φ xds cos8 msmo paa todos los puntos de esta supefce y vale ds ds, como es el, po lo tanto Φ ds ΔS donde ΔS es el áea del casuete nteo. De la msma manea calculamos el flujo a tavés del casuete exteo, uedando Φe ds ΔS e e e, peo en este caso postvo, ya ue la deccón de es la msma ue la de ds en todos los puntos de este casuete. Como los dos casuetes están lmtados po los msmos planos adales, la elacón ente sus áeas es gual a la elacón ente el cuadado ente sus ados, es dec Ing. Atuo R. Castaño Año 8 4 de 49