Electromagnetismo: Electrostática

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1 lectomagnetsmo: lectostátca 1.1 Intoduccón La electcdad está pesente en nuestas vdas cotdanas. asta pensa en desaollos tecnológcos como la ed de alumbado eléctco o los electodoméstcos, o en fenómenos meteoológcos como los ayos. demás, muchos fenómenos químcos y bológcos son fundamentalmente debdos a nteaccones electomagnétcas. n este cuso sentaemos las bases paa el estudo de campos electomagnétcos y popagacón de ondas electomagnétcas. Se estudaán los aspectos báscos de las nteaccones eléctcas y magnétcas y de los campos electomagnétcos estátcos y dependentes del tempo. Sn embago, seá el objetvo de cusos posteoes el estudo de la popagacón de ondas electomagnétcas. 1. Caga eléctca unque el desaollo tecnológco asocado al uso de fenómenos electomagnétcos se ha dado pncpalmente a lo lago del sglo XX, las pmeas obsevacones de fenómenos de ataccón eléctca las ealzaon los antguos gegos. n este tema se defná el campo eléctco, qué lo poduce (cagas), y cómo pedec lo que sucede cuando vaas cagas nteactúan (leyes). ntes de defn qué es un campo eléctco se analzaá qué lo poduce. Ya en el sglo XIX, se sabía gacas a los epementos que se habían llevado a cabo que estían unas magntudes escalaes llamadas cagas y que poseían las sguentes popedades: La caga se conseva. La ley o pncpo de consevacón de la caga es una ley fundamental de la natualeza. La caga total de los objetos que componen un sstema no camba. Puede tansfese caga de unos objetos a otos e ncluso pueden genease nuevas cagas sempe y cuando la cantdad de cagas negatvas y postvas poducdas sean guales. La caga está cuantzada, es dec, una caga Q cualquea puede epesase como N veces (N N) la caga del electón e, Q = ± Ne (e = 1, C). La undad del sstema ntenaconal (SI) de caga es el culombo C. No es habtual obseva la cuantzacón de la caga poque N es nomalmente un númeo gande. La fueza ente dos cagas puntuales vaía de modo nvesamente popoconal al cuadado de la dstanca ente ellas Ley de Coulomb Chales Coulomb ( ) estudó la fueza ejecda po una caga sobe ota. Como es común en físca, dada una see de fenómenos, epementos u obsevacones, se fomulan leyes que los eplquen. Los esultados de los epementos de Coulomb (y otos centífcos) deon luga a la ley de Coulomb: La fueza ejecda po una caga puntual sobe ota está dgda a lo lago de la línea que las une. s epulsva s las cagas tenen el msmo sgno y atactva s las cagas tenen sgnos opuestos. La fueza vaía nvesamente con el cuadado de la dstanca que sepaa las cagas y es popoconal al valo de cada una de ellas.

2 La ley de Coulomb especfca cómo se elaconan dos cagas y qué efecto tene una sobe la ota. Su epesón matemátca es: F = q q q q k ˆ = ˆ e 4πε donde q 1 y q son las cagas puntuales, es el módulo del vecto que une ambas cagas, ˆ es el vecto untao en la deccón de la línea que une ambas cagas y k e es la constante de Coulomb. Típcamente se consdea el valo k e = 8, N m / C, aunque es necesao destaca que su valo depende del medo mateal en el que se consdea la nteaccón y el valo menconado coesponde al vacío. n el vacío, tomamos la pemtvdad del espaco lbe ε, cuyo valo es ε = C /(N m ). Como se puede obseva, la ley de Coulomb muesta claas smltudes con la ley de Gavtacón Unvesal. Gavedad lectcdad Popedad fundamental Masa M Caga q (±) M q CMPO g = G ˆ = k e FURZ F g = m g F = q n pme luga, esten dos constantes, G y k e ( N m /kg y 8, Nm / C, espectvamente). demás, tambén esten dos magntudes escalaes que cumplen el msmo papel: masa (M) y la caga (q). sí pues, paa avegua la fueza (magntud vectoal) este una msma ecuacón que elacona la masa y la caga (magntudes escalaes) con otas magntudes vectoales que ecben el nombe de campos: campo gavtatoo g y campo eléctco. mbos campos son dectamente popoconales a las magntudes escalaes (masa o caga) e nvesamente popoconales al cuadado de la dstanca a la que consdeamos el campo. Sn embago, tambén esten dfeencas ente ambas nteaccones. Cabe destaca que la masa sólo admte magntudes con sgno postvo mentas que las cagas admten magntudes con sgno postvo y negatvo. Como consecuenca, el campo gavtatoo sempe tendá un sentdo dado (atactvo), mentas que el sgno del campo eléctco dependeá del sgno de las cagas Campo eléctco y fueza eléctca Del msmo modo que al estuda el campo gavtatoo, en el estudo de la fueza eléctca se ntoduce el campo eléctco paa evta los poblemas conceptuales que genea la accón a dstanca. sí pues, el campo eléctco debdo a una caga puntual q se defne de gual manea que el campo gavtatoo geneado po una masa m, cambando la masa po la caga. Po tanto, una caga cea un campo eléctco en todo el espaco y este campo ejece una fueza sobe la ota caga, o dcho de oto modo, en aquella egón del espaco en la que al coloca una caga eléctca ésta epemente una fueza, este un campo eléctco. F = q q = k ˆ e

3 S se tene una see de cagas puntuales q en dvesos puntos del espaco y se coloca una caga testgo q en un punto detemnado P, la fueza sobe dcha caga es la suma vectoal de las fuezas ejecdas po las cagas ndvduales. Puesto que cada una de estas fuezas es popoconal a la caga q, la fueza esultante es tambén popoconal a q. l campo eléctco en el punto P se defne como el valo de esta fueza dvddo po q. Po tanto, cuando este más de una caga, el campo eléctco poducdo po un sstema de cagas se obtene sumando las contbucones (vectoes) de los campos ceados po cada una de las cagas. sto se conoce como el Pncpo de Supeposcón y su epesón matemátca es: = = kq ˆ = q + + q 1 q + q 3 (a) Fgua 1: Ilustacón del concepto de campo eléctco (a) Campo eléctco en dstntos puntos del espaco ceado po una caga eléctca postva, y (b) campo eléctco en dstntos puntos del espaco ceado po una dstbucón de cagas eléctcas Líneas de fueza y supefces equpotencales Las líneas de fueza son una epesentacón convenente del campo eléctco. l vecto campo eléctco es tangente a las líneas en cada punto e ndca la deccón de la fueza eléctca epementada po una caga de pueba. Las eglas paa dbuja las líneas de fueza eléctca son las sguentes: l númeo de líneas que abandonan una caga postva o entan en una caga negatva es popoconal a la caga. Las líneas se dbujan smétcamente salendo o entando en la caga puntual. Las líneas empezan o temnan sólo en las cagas. La densdad de líneas (númeo de ellas po undad de áea pependcula a las msmas) es popoconal al valo del campo. No pueden cotase nunca dos líneas de campo ya que tene una deccón únca en cualque punto del espaco (salvo en aquellos puntos ocupados po una caga puntual). (b)

4 (a) (b) Fgua : (a) squema de las líneas de campo eléctco poducdas po dos cagas eléctcas, una postva y ota negatva, y (b) líneas de fueza de dos cagas puntuales (azul negatva, amalla postva) Tal y como puede obsevase en la Fgua, en las pomdades de cada una de las cagas, las líneas de campo están sepaadas po una msma dstanca y convegen (cagas negatvas) o dvegen (cagas postvas) de ellas según el sgno de las cagas. Po el contao, en puntos alejados de la msma, la estuctua detallada del sstema no es mpotante y el sstema se compota como una únca caga puntual con la caga neta del sstema. La Fgua 3 muesta las supefces equpotencales, es dec, supefces que tenen el msmo valo del campo eléctco en cada punto de esa supefce y que se dstbuyen alededo de cagas eléctcas. Las líneas de fueza son en todos los puntos pependculaes a las supefces equpotencales. n seccones posteoes se analzaa el sgnfcado de estas supefces de modo más detallado. (a) Fgua 3: (a) Supefces equpotencales de una caga puntual q, y (b) supefces equpotencales de dos cagas puntuales. n la Fgua 4 se muesta un ejemplo de campo eléctco y supefces equpotencales en un sstema fomado po vaas cagas. (b)

5 (a) Fgua 4: (a) Líneas de fueza en un sstema de cagas puntuales (azules negatvas), y (b) supefces equpotencales de un sstema de cagas puntuales (azules negatvas) (b) 1.6. Potencal eléctco y enegía eléctca en dstbucones de caga dscetas a) Tabajo y enegía Cuando sobe un cuepo que se mueve actúa una fueza, en geneal, ésta ealza un tabajo. l tabajo depende de la tayectoa que sga el cuepo salvo que se tate de fuezas consevatvas. l tabajo que ealzan las fuezas consevatvas es ndependente de la tayectoa que sga el cuepo y sólo depende de las poscones ncal y fnal del msmo. l tabajo ealzado po una fueza sobe un cuepo que sgue una detemnada tayectoa es: W = lm F l = F dl l C ste tpo de ntegales se conocen como ntegales de camno. n el caso de fuezas consevatvas, se vefca que el tabajo que ealza la fueza s la tayectoa es ceada (bucle ceado) es nulo ya que los puntos ncal y fnal concden. Matemátcamente esto se epesa po medo de una ntegal ceada: F d l = l tabajo se mde en Joules (1 J = 1 N m) en el SI. De gual modo que el concepto de enegía potencal es de gan utldad en el estudo de la mecánca, es posble defn la enegía potencal en el caso de campos electoestátcos, así como la funcón potencal eléctco. l concepto de enegía potencal tene sentdo cuando se tabaja con fuezas consevatvas (como es el caso tanto de la fueza gavtatoa como eléctca). n geneal, los cuepos sometdos a campos de fuezas consevatvos tenen una popedad que denomnamos enegía potencal. La enegía potencal camba de valo cuando el cuepo camba

6 de poscón. La vaacón de la enegía potencal cuando un cuepo se desplaza del punto al punto se defne como: U = U U = d l F La enegía potencal U de un cuepo stuado en un punto detemnado del espaco se defne como la vaacón U que se poducía s el cuepo se desplazase desde un punto de efeenca (que elegmos po convenenca) hasta el punto en cuestón. Po tanto, s elegmos dos puntos de efeenca dfeentes, el valo de U vaía. Sn embago, los valoes de U que se obtenen cuando se calcula el ncemento de enegía potencan ente los puntos y no vaían. Po tanto, es la dfeenca de enegía potencal U lo que tene sentdo físco. Tenendo en cuenta esta defncón, podemos ntoduc el concepto de supefce equpotencal. Las supefces equpotencales se caactezan poque una patícula que se encuenta en cualquea de sus puntos tene la msma enegía potencal. S conocemos la enegía potencal U en todos los puntos del espaco, podemos detemna la componente de la fueza F en cualque deccón calculando la devada decconal de U. Cuando un vecto es tal que su componente en una deccón es gual a la devada decconal de una funcón en aquella deccón, se dce que este vecto es el gadente de esta funcón. sta condcón se cumple ente la fueza F consevatva y la enegía potencal. Matemátcamente: F = U donde utlzamos el opeado gadente que en coodenadas catesanas se epesa como: ˆ ˆ j kˆ = + + y z Se puede demosta que el gadente de la enegía potencal es pependcula a las supefces equpotencales, lo que quee dec que F, además de se pependcula a éstas, está oentado en el msmo sentdo que las enegías potencales dececentes. b) Potencal eléctco y enegía potencal eléctca Del msmo modo que una cuepo de masa m en pesenca del campo gavtatoo g tene una enegía potencal, una caga puntual q en pesenca de un campo ceado po otas cagas tambén tene una enegía potencal. La vaacón de enegía potencal electostátca de una caga puntual que se desplaza del punto al punto es el tabajo necesao que se ha de ealza en conta del campo paa lleva esta caga del punto al punto sn altea su enegía cnétca. La dfeenca del potencal eléctco ente dos puntos y se defne como: V V V F d d = = l = q l

7 La dfeenca de potencal epesenta la cantdad de tabajo ealzado po undad de caga paa move una caga de pueba desde a, sn camba su enegía cnétca. l potencal eléctco no debe confundse con la enegía eléctca potencal, aunque ambas cantdades están elaconadas po medo de la epesón: U = q V La undad del Sstema Intenaconal del potencal eléctco es el volto (V): 1volt = 1 joules/coulomb (1 V=1 J/C). s habtual epesa la enegía potencal eléctca en electón-voltos (ev) cuya elacón con los joules vene dada po la epesón: 1 ev = ( C) (1 V) = J Tal y como se ha vsto, el potencal eléctco está elaconado con el campo eléctco. n la sguente fgua se lusta la elacón ente la dfeenca de potencal y las líneas de campo. Fgua 5: (a) Una caga q la cual se mueve en la deccón de un campo eléctco constante. (b) Una masa m que se mueve en la deccón de un campo gavtaconal constante g. n patcula, la dfeenca de potencal eléctco, consdeando el campo eléctco constante, se calcula como: V V V d = = l = d l = d < lo que mplca que el punto está a un potencal más bajo compaado con. De hecho, las líneas de campo eléctco sempe apuntan desde el potencal más alto al más bajo. l cambo en la enegía potencal es U = U U = qd. S la caga es postva, entonces el ncemento es negatvo, lo que mplca que la enegía potencal de una caga postva dsmnuye mentas se mueve a lo lago del campo eléctco. n el caso de que el campo eléctco y la tayectoa de la patícula no sean paalelos (ve ejemplo en la Fgua 6), la dfeenca de potencal ente los puntos y se puede calcula como: V V V d = = l = d l cos θ

8 Fgua 6: Dfeenca de potencal ente dos puntos debdo a una caga puntual Q. n la Fg. 6 dl = ds, s tenemos en cuenta que el campo eléctco es el ceado po una patícula con caga Q, la dfeenca de potencal se calcula a pat de la sguente epesón: Q Q Q 1 1 V = V ˆ V = ds = d 4πε = 4πε 4πε donde se ha consdeado que: ˆ ds = ds cosθ = d n patcula, el potencal eléctco geneado po la caga Q en un punto del espaco a una dstanca de la msma, se defne como: Q V ( ) = 4 πε que es equvalente a toma la dstanca en el nfnto, o dcho de oto modo, a defn el potencal ceo a una dstanca nfnta de la caga. c) Relacón ente campo eléctco, potencal eléctco, fueza eléctca y enegía potencal eléctca. n el apatado anteo hemos elaconado el campo eléctco y el potencal eléctco medante la ecuacón. V V V d = = l = d l cos θ de foma análoga a como habíamos elaconado la enegía potencal eléctca que adquee una patícula cagada cuando una fueza electostátca ealza tabajo sobe ella. U = U U = d l F

9 Del msmo modo que es posble obtene estas magntudes escalaes ( U y V) a pat de las magntudes vectoales (F y ), es posble ecupea las vaables vectoales s conocemos las vaables escalaes. sto, de hecho, nos pemte tabaja con campos escalaes y ecupea los campos vectoales cuando lo necestemos. De este modo, la complejdad de los cálculos se educe notablemente. Podemos pensa que sempe que tenemos una caga (o una dstbucón de cagas) se genea un campo eléctco o un potencal eléctco y éstos están elaconados como se ndca en los esquemas. stos esquemas destacan que es ndstnto pensa en témnos de uno u oto ya que ambos están elaconados. Del msmo modo, la fueza eléctca y el campo eléctco se elaconan medante la caga de foma análoga a como lo hacen el potencal y la enegía potencal. Podemos pensa que una caga, o una dstbucón de cagas, genean un campo eléctco en todos los puntos del espaco y ota caga (q en el esquema) sente el efecto del campo, es dec, la fueza. Del msmo modo, una patícula cagada genea un campo escala de potencales. l coloca una caga en un punto (q en el esquema), ésta adquee una enegía potencal. stos conceptos se pueden entendese claamente s pensamos en témnos de la fueza gavtatoa y el potencal gavtatoo. Una patícula con masa M (po ejemplo la Tea) da luga a un campo gavtatoo (g) que sente ota patícula con masa m (po ejemplo cada uno de nosotos) de modo que adqumos un peso P = mg (es dec, sentmos el efecto del campo gavtatoo). Del msmo modo, podemos pensa en un potencal gavtatoo V g, de modo que cuando colocamos una masa a una altua h, ésta adquee una enegía potencal V g = p = mgh. Los esquemas que se pesentan a contnuacón ndcan cómo podemos pasa de unas magntudes a otas. F d F l U V F = q U p = q V d l d) Potencal eléctco y enegía potencal debdos de un sstema de cagas puntuales l msmo cteo de toma el potencal nulo en el nfnto se puede adopta cuando se estuda un sstema de cagas s éste tene un tamaño fnto. n ese caso, el potencal debdo a un sstema de cagas puntuales q se obtene como la suma del potencal coespondente a cada caga puntual. Po tanto: 1 q q V ( ) = ke 4 = πε p F U F = U q V p V = F = U q = V p p Del msmo modo, la enegía potencal electostátca del sstema fomado po un conjunto de cagas puntuales es gual al tabajo necesao paa tanspota las cagas desde una sepaacón nfnta a sus poscones fnales y es ndependente del oden con que las cagas son tanspotadas a tales poscones. dstancas sufcentemente gandes, cualque dstbucón de caga pesenta un compotamento equvalente al de una caga puntual con la caga neta q de la dstbucón.

10 asándonos en la defncón de enegía potencal a pat del tabajo ealzado en conta del campo electostátco, vamos a deva la epesón de la enegía potencal eléctca de un sstema de cagas eléctcas. Paa ello, se consdea el tabajo ealzado po un agente eteno paa tae la caga q desde el nfnto a P dado el campo geneado po q 1, cuya epesón es W = q V 1. Debe destacase que no es necesao ealza tabajo paa lleva la pmea caga W 1 = cuando el esto de cagas se encuentan ognalmente a dstanca nfnta. Como q 1 es una caga puntual, tenemos que V 1 q 4πε 1 =, 1 de modo que la enegía potencal vene dada po: U q1 q = W = 4πε 1 1 S aumentamos el númeo de cagas, tal y como se ndca en la sguente lustacón, el tabajo necesao paa añad una tecea caga es : q q q W = q3 ( V1 + V ) = + 4πε La enegía potencal de la confguacón de 3 cagas, es entonces: U= W + W = 1 q q q q + q + q = U + U + U πε Paa un sstema de N cagas, la epesón genealzada de la enegía potencal es: U N N 1 q q 4πε = = > = 1 j 1 j j j s necesao destaca que la enegía potencal de una patícula en un campo geneado po dstntas patículas cagadas es dstnta a la enegía potencal del sstema que contene a todas las patículas. Po defncón, la enegía potencal electostátca del sstema es gual al tabajo necesao paa tanspota las cagas desde una sepaacón nfnta a sus poscones fnales, mentas que la enegía potencal de una de las cagas en el sstema se calcula a pat del potencal que genean las otas en el punto donde tenemos la patícula. Po supuesto, en el cálculo

11 de la enegía potencal del sstema, tenemos en cuenta cuál es la enegía potencal de cada una de las patículas en pesenca de las otas a medda que vamos confguando el sstema. 1.7 Campo eléctco en dstbucones de caga contnuas Hasta ahoa sólo hemos calculado el campo eléctco y la fueza eléctca paa cagas puntuales, sn embago en los sguentes apatados vamos a tabaja con dstbucones de caga contnua. Paa ello seguemos utlzando la Ley de Coulomb, peo debe pestase especal atencón a cómo epesenta las cagas contnuas. Fgua 7: Dstbucón de caga contnua n pme luga es necesao eplca qué se entende po una dstbucón de caga contnua. La Fgua 7 lusta un ejemplo de una dstbucón de caga contnua confnada en el objeto azul. La dstbucón de caga se caacteza a pat de ncementos o pequeños toctos de caga que se smbolzan con q. l gual que en el caso de las cagas puntuales, nos nteesa calcula el campo eléctco y la fueza de esta dstbucón de caga. De este modo, debe calculase la contbucón al campo eléctco y a la fueza eléctca de cada elemento de caga q sobe un punto P. S se suman todos los ncementos de la caga en un sumatoo, se obtene la caga total. n geneal, s se tata de una dstbucón contnua, se utlza una ntegal paa suma los ncementos de caga (en geneal seía un volumen), que s son lo sufcentemente pequeños se epesentan po medo de dfeencales (dq). Q = q V dq Paa calcula el campo eléctco ceado po una dstbucón contnua de caga se tenen en cuenta todos los campos eléctcos ceados po los ncementos de caga q. De modo que con la anteo equvalenca: q = k e ˆ a) Densdad de caga d = dq k ˆ e Las dstbucones de caga pueden dsponese fomando líneas, supefces o volúmenes. s habtual defn en tales casos los conceptos de densdad lneal de caga ( λ ), densdad supefcal de caga ( σ ), y densdad volúmca de caga (ρ ), de modo que el elemento dfeencal de caga se caacteza po: dq = λ dl dq = σ ds dq = ρ dv

12 b) Cálculo del campo eléctco en el eje de un anllo unfome de caga S ealzamos una epesentacón esquemátca del poblema, tenemos la sguente lustacón. Supondemos que ncalmente conocemos que la cantdad de caga del anllo, es dec, de la dstbucón contnua de caga es Q. Fgua 8: squema del anllo cagado de ado a e lustacón de las componentes del campo eléctco sobe el eje. n pme luga, es mpotante destaca que todas las componentes pependculaes del campo eléctco se cancelan poque el anllo tene un elemento smétco paa cada dq. De manea que se obtene po smetía: = Se asume que el anllo es una dstbucón lneal de caga, con lo cual cada dfeencal de caga se puede epesa como el poducto de la densdad lneal de caga po el dfeencal de longtud. De este modo, el dfeencal de caga puede epesase en funcón del ado del anllo (a) y del dfeencal del ángulo ( d ϕ ). La dstanca ente el dfeencal de caga y el punto donde se calcula el campo eléctco vene dada po, y se calcula po medo del teoema de Ptágoas aplcado al tángulo fomado po el ado a y la dstanca del punto P hasta el cento del anllo. dq = λ dl = λ ( a dϕ) = a + La ecuacón que caacteza el campo eléctco paa el dfeencal de caga es: ˆ d = kedq = kedq 3 Recodemos que no hace falta calcula el dfeencal del campo eléctco en ambos ejes ya que po smetía sólo es necesao calculalo sobe el eje. d = kedq 3 De oto modo, se puede susttu el vecto desplazamento po, que esulta de calcula la poyeccón en el eje. Como puede compobase, el esultado es el msmo en ambos casos.

13 d cosθ 1 d = k dq = e = k dq e 3 Fnalmente, paa enconta el campo eléctco total debemos suma (ntega) las contbucones de todos los campos eléctcos sobe el eje. Dado que tanto como son constantes en la ntegal, sólo es necesao ntega los dfeencales de caga. n el caso que nos ocupa, éste es un paso que se puede obva ya que la caga total es un dato del poblema- = d = kedq = ke dq 3 3 dq = π λadϕ = λa π dϕ = λaπ = Q Susttuyendo el valo obtendo en la epesón del campo eléctco en un punto del eje, se obtene: = k eq 3 = k Q e = k Q e ( a + ) 3 ( a + ) 3 Del msmo modo que al esolve el poblema de cagas puntuales se ndcó la necesdad de ntepeta geométcamente los esultados es, en geneal, muy útl analza los esultados obtendos de la esolucón de poblemas en los límtes. Puesto que estas stuacones descben nomalmente poblemas más sencllos (paa los que se conoce el esultado), la vefcacón de los esultados obtendos de este modo ndecto es una foma de valda los cálculos. n patcula, en este ejemplo, en el caso en el que a tende a ceo se obtene el campo ceado po una caga puntual. lm a = k Q e ( ) 3 = k Q e 1.8. Ley de Gauss: Concepto de flujo eléctco y cálculo del campo eléctco en dstbucones con un alto gado de smetía Fnalmente, se va a mosta un método más sencllo paa calcula el campo eléctco que no equee el uso decto de la ley de Coulomb (de mayo complejdad cuando se tatan dstbucones contnuas de caga). cambo, seá necesao un alto gado de smetía paa que ealmente se pueda aplca oto pocedmento que faclte los cálculos. sta nueva ley es conocda como la ley de Gauss. a) Flujo eléctco La ley de Gauss elacona el campo eléctco sobe una supefce ceada con la caga neta ncluda dento de la supefce. sta ley pemte calcula fáclmente los campos eléctcos que

14 esultan de las dstbucones smétcas de caga. n este cuso se ntoducá la ley de Gauss hacendo uso de las popedades de las líneas de campo. La ley de Gauss elacona el númeo de líneas de fueza que atavesa una supefce ceada con la caga en el nteo de la msma. La magntud matemátca que defne el númeo de líneas de fueza que atavesa una supefce ecbe el nombe de flujo eléctco. Se defne el flujo eléctco ( Φ ), que atavesa una supefce pependcula al campo como el poducto del campo eléctco que la atavesa po el áea. Puesto que la ntensdad del campo es popoconal al númeo de líneas de fueza que atavesan la supefce, el flujo eléctco es po tanto popoconal al númeo de líneas de fueza que atavesan el áea. Las líneas anteoes pueden fomulase matemátcamente como: Φ = = n ˆ = donde la supefce se ha epesentado po medo de un vecto untao nomal a la msma (nˆ ), que po conveno apunta haca fuea de la supefce, y cuya magntud es el áea de la supefce (). Sn embago, en geneal el campo eléctco no es pependcula a la supefce sno que foma un ceto ángulo con la ésta. n este caso, la epesón anteo se convete en: Φ = = cosθ = n donde = nˆ n es el componente de pependcula a la supefce. Fnalmente, el caso más geneal, vene dado cuando la supefce que se consdea es cuvada. n la Fgua 1 se muesta un ejemplo en el que además la supefce es ceada. S se toma un dfeencal de esta supefce ceada y cuvada ( ) es posble defn un vecto que epesenta este pequeño ncemento de supefce y que es pependcula a la msma: = n ˆ Fgua 9: (a) Ilustacón de un campo eléctco que atavesa una supefce de áea pependcula al msmo, y (b) lustacón de un campo eléctco que atavesa una supefce de áea que no es pependcula al msmo.

15 De este modo, el flujo que atavesa este ncemento de áea es: Φ = = cos θ Fgua 1: Supefce cuvada en la que este un campo eléctco. l flujo total se encuenta sumando todos los flujos asocados a los pequeños ncementos de áea. Cuando los ncementos son muy pequeños, es dec, cuando se tenen dfeencales, el flujo eléctco se defne como: Φ = lm = d S b) Ley de Gauss Consdeemos una caga puntual Q ubcada en el cento de una esfea de ado R tal y como se lusta en la Fgua 11. Po la ley de Coulomb, tenemos que esta caga cea un campo eléctco en cada uno de los puntos stuados a dstanca R, gual a: n = kq ˆ R S se susttuye esta últma epesón en la ecuacón que pemte el cálculo del flujo a tavés de la esfea, se obtene: Φ = lm = d = k = d = Q R = Q k = n 4π 4π R S 1 Q = Q4π = 4πε ε S Fgua 11: Campo eléctco ceado po una caga puntual donde k e se ha epesado como 1 k e =, y ε ecbe el nombe de pemtvdad del espaco 4πε lbe que tene como valo ε = 8, C /Nm. demás se ha consdeado que 4πR es el áea de una esfea. Como puede obsevase, el esultado sólo depende de la caga ntena a la supefce de ado R y de la pemtvdad del medo. demás cabe destaca que el esultado es ndependente del ado. De este modo, la ley de Gauss se esume en la sguente fómula Q Φ = d = ε S nt donde la caga que se debe toma es la caga que encea la supefce de ntegacón escogda.

16 l númeo neto de líneas de fueza que atavesa cualque supefce que encea las cagas es popoconal a la caga enceada dento de la supefce y es el msmo ndependentemente del ado y, po tanto, de la supefce que se escoja. Fgua 1: l flujo eléctco es sempe el msmo ndepen-dentemente del ado y, po tanto, de la supefce. 1) Cálculo del campo eléctco ceado po una supefce (dstbucón contnua supefcal de caga con densdad supefcal σ ) S se consdea un plano nfnto (o muy gande paa pode obva el efecto de los bodes), se puede constu una supefce de Gauss tambén, tal y como se lusta en la Fgua 13. (a) (b) Fgua 13: (a) Campo eléctco ceado po una supefce con una densdad supefcal de caga σ, (b) esquema de la seleccón de una supefce de Gauss paa el cálculo del campo eléctco geneado po una supefce nfnta. Tal y como se puede obseva, se tenen tes supefces. l poducto escala ente el campos eléctco y el vecto nomal a las supefce se anula en la supefce lateal. De este modo, sólo se tene flujo en las tapas del clndo. n este caso, el cálculo del flujo a tavés de cada supefce puede ealzase a pat de las sguentes ecuacones: Φ = d = d + d + d = d + d + = n n S S1 S S 3 S1 S = + = ( + ) S se supone además que 1 =, y que el campo eléctco es el msmo en ambas supefces, se tene la sguente epesón paa el flujo eléctco:

17 Φ = ( + ) = 1 S se aplca la ley de Gauss paa avegua el valo del campo eléctco, se tene: Qnt 4πkQ σ = = = z ε nt ε slando el campo eléctco: z z σ = ε N/C que tambén puede epesase en elacón al vecto untao en la deccón z, es dec kˆ : Fgua 14: Gáfca del módulo del campo eléctco en funcón de la dstanca (z) a la dstbucón contnua supefcal de caga. σ kˆ ε = z σ kˆ ε z > N/C z < ) Cálculo del campo eléctco geneado po un alambe nfnto (dstbucón de caga lneal) con densdad lneal λ n este apatado se utlzaá la ley de Gauss paa calcula el campo eléctco geneado po un alambe nfnto. s mpotante destaca que el poblema sólo se smplfca s el alambe es consdeado nfnto, o muy lago fente a los puntos donde se va a calcula el campo eléctco, ya que sólo así no habá un cambo de campo eléctco debdo al efecto de los bodes. n este caso, po smetía, el campo eléctco seá pependcula al elemento de caga en todos los puntos del alambe. De este modo, la eleccón deal de la supefce es una supefce clíndca que odee el alambe, tal y como se muesta en la Fgua 15. Fgua 15: Dstbucón lneal de caga (alambe) y constuccón de supefces que la odean.

18 La supefce clíndca puede dvdse en tes supefces: dos tapas (S 1 y S ), es dec, seccones pependculaes al campo eléctco ceado po la dstbucón y una supefce lateal S 3. Po tanto, el cálculo del númeo de líneas de campo eléctco que atavesan estas supefces se lleva a cabo esolvendo tes ntegales de supefce. Como el campo eléctco es pependcula a las supefces 1 y, su poducto escala seá, y po tanto no se tene flujo en las tapas del clndo. Sn embago, en la supefce lateal del clndo el campo eléctco y la supefce son paalelos. demás, el campo eléctco tene el msmo valo en cada punto de la supefce, de este modo, la magntud del campo se puede saca de la ntegal, y sólo es necesao calcula la ntegal de la supefce, es dec, suma todos los pequeños elementos de supefce. sí pues, el flujo eléctco es: Φ = d = d + d + d = + + d = πl n n S S1 S S3 S 3 donde πr L epesenta el áea lateal del clndo. S se consdea la ley de Gauss, sabemos que el flujo neto a tavés de cualque supefce es gual a: Q nt = 4 π kq nt ε S se gualan las dos epesones que se han obtendo paa el flujo, se puede detemna el valo del campo eléctco. Q λl =, ε ε nt πrl = 4πkQ = n nt de donde se deduce que: λ n = N / C πr ε Obtenemos el campo eléctco de un alambe (una dstbucón lneal nfnta de caga) a una dstanca R que esponde al compotamento lustado en la Fgua 16. Fgua 16: Repesentacón del módulo del campo eléctco en funcón de la dstanca ente la línea de caga y el punto donde se calcula el campo. 3) Cálculo del campo eléctco ceado po una coteza esféca n pme luga, es necesao eplca qué se entende po coteza esféca. Intutvamente, se tene una coteza esféca en casos como la pel de cueo de un balón o de una pelota de tens en

19 cuyo nteo se tene ae. n el caso que nos va a ocupa en este tema, en el nteo de la coteza se tene el vacío. La dstbucón de caga en el caso de la coteza esféca es smétca y puede epesase como: σ = Q nt π 4 R Fgua 17: Campo eléctco ceado po una coteza esféca s convenente esolve el poblema consdeando dos egones dstntas, tal y como se lusta en la Fgua 18: Fgua 18: Supefces gaussanas paa enconta el campo eléctco paa los casos (a) < a y (b) > a, espectvamente. Caso < a Puesto que no este caga en el nteo de la coteza esféca, la supefce de Gauss no enceaá nnguna caga y, po tanto, el campo eléctco en su nteo seá nulo. Caso > a S se consdea la ley de Gauss y se toma como supefce de Gauss una esfea, se tene: Q Φ = d = d = d = = = kq nt n n 4π 4π S S S ε nt Que tambén puede epesase en funcón de la densdad de caga supefcal: Q kq σ a σ a N C N C nt nt ˆ n( ) = = = / ( ) / n = u 4π ε ε ε