DISEÑO Y MODIFICACION DE MOLDE INVERSO PARA PROTESIS MEDIANTE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

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1 ONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA DISEÑO Y MODIFICACION DE MOLDE INVERSO ARA ROTESIS MEDIANTE HERRAMIENTAS COMUTACIONALES MARÍA CONSUELO DÍAZ WICHMANN Tess aa ota al gado de Magíste en Cencas de la Ingeneía ofeso Suevso: LUCIANO CHIANG SÁNCHEZ Santago de Chle, (Agosto, 8) 8, Maía Consuelo Díaz Wchmann

2 ONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA DISEÑO Y MODIFICACION DE MOLDE INVERSO ARA ROTESIS MEDIANTE HERRAMIENTAS COMUTACIONALES MARÍA CONSUELO DÍAZ WICHMANN Tess esentada a la Comsón ntegada o los ofesoes: LUCIANO CHIANG SÁNCHEZ DIEGO CELENTANO LUIS CERDA ORTIZ ABLO IRARRAZAVAL aa comleta las exgencas del gado de Magíste en Cencas de la Ingeneía Santago de Chle, (Agosto, 8)

3 A ms ades

4 AGRADECIMIENTOS Agadezco a los otesstas del talle de ótess y otess de la Teletón quenes estuveon seme dsuestos a ayudanos y esolve nuestas dudas sobe la fabcacón de ótess. Tambén agadezco el aoyo constante de m ofeso guía Lucano Chang duante el desaollo de este tabajo. o últmo, qusea agadece a ms amgos y comañeos de Magíste o la ayuda y comañía duante este oceso.

5 INDICE GENERAL ág. DEDICATORIA... AGRADECIMIENTOS... RESUMEN... x ABSTRACT... x. INTRODUCCION.... MARCO CONTEXTUAL Adquscón de Datos Maco teóco y ate evo Análss de la solucón ouesta DESARROLLO DEL ALGORITMO Etaa : osconamento suefce secundaa Cálculo de nomales osconamento Incal Rotacón Tangencal Deslazamento según la nomal Etaa : Deslazamento de untos ntenos Cuva de nteseccón untos ntenos Deslazamento untos ntenos Etaa 3: Suavzacón de bodes Suefces de Beze Geneacón de mallas Deslazamento de untos de bode ROGRAMACION E INTERACCION CON EL USUARIO RESULTADOS CONCLUSIONES... 7 v

6 7. GLOSARIO BIBLIOGRAFIA ANEXOS... 8 Anexo A. Suefces Geométcas Defndas... 8 Anexo B. Cálculo matces M y M... 8 Anexo C. Códgo ogamacón funcón man v

7 INDICE DE FIGURAS Fgua -: Fabcacón tadconal de molde nveso de socket... 3 Fgua -: Scanne Fastscan. Izqueda: Scanne modelo Fastscan Coba. Deecha: suefce comutaconal 3D y tangulacón de Delaunay... 4 Fgua -: Dagama matces onts () y Facets(F)... 5 Fgua -3: Reesentacón gáfca de la nube de untos y de los untos Stylus en Matlab 6 Fgua -4: Esquema D solucón ouesta. Izqueda: suefce ognal. Deecha: suefce defomada... 8 Fgua -5: Etaas de defomacón... 9 Fgua 3-: unto Stylus selecconado como unto de efeenca del muñón... Fgua 3-: unto de efeenca, de la heamenta Stylus y unto de efeenca etenecente a la matz... Fgua 3-3: untos etenecentes al vecto tangulacón de,,... Fgua 3-4: Matz y vecto tangulacón... Fgua 3-5: Esquema etaa : osconamento de la suefce secundaa... 3 Fgua 3-6: Algotmo de Gouand... 5 Fgua 3-7: unto de efeenca y los untos etenecentes a su tangulacón... 5 Fgua 3-8: Ángulos de azmuth (θ) y elevacón (γ) aa un vecto cualquea Fgua 3-9: Izqueda: oscón ncal suefce. Deecha: oscón suefce luego de la mea otacón y taslacón... 8 Fgua 3-: Izqueda: oscón de esón o caga suefce. Deecha: oscón de descaga suefce... 9 Fgua 3-: osconamento ncal de un toode sobe el unto de efeenca... Fgua 3-: osconamento suefce, luego de otacón tangencal y taslado al unto de efeenca. Izqueda: unto de obsevacón lateal. Deecha: unto de obsevacón en deccón nomal... Fgua 3-3: Deslazamento en deccón nomal de un aabolode sobe el muñón (d n =7mm)... 3 Fgua 3-4: Deslazamento en deccón nomal de un toode sobe el muñón (d n =5mm)... 3 Fgua 3-5: Esquema etaa de defomacón: Deslazamento unto ntenos... 4 Fgua 3-6: n está lo sufcentemente ceca de CI s al menos un unto etenecente a su tangulacón se encuenta fuea de la suefce... 5 Fgua 3-7: unto tayectoa n... 8 Fgua 3-8: unto tayectoa n... 9 Fgua 3-9: unto 3 tayectoa n... 9 Fgua 3-: Coeccón de tayectoa n... 3 Fgua 3-: Izqueda: ejemlo unto c y los untos c j coesondentes a su tangulacón. Deecha: unto c y untos c j Fgua 3-: Ejemlo de dstbucón de untos C n Fgua 3-3: untos ntenos suefce Fgua 3-4: Cuva de nteseccón C n aoxmada ente las suefces y Fgua 3-5: Tayectoa n y vecto C n v ág.

8 Fgua 3-6: untos ntenos suefce. Nveles y Fgua 3-7: untos ntenos suefce. Izqueda: nveles, y 3. Deecha: nveles Fgua 3-8: Esquema matz, eemlazo unto o unto I Fgua 3-9: Esquema etaa 3 de defomacón: Suavzacón de la egón de bode Fgua 3-3: Regón de bode (RB) defnda o los vectoes C k... 4 Fgua 3-3: Suefce de Beze... 4 Fgua 3-3: Mallas de 4x4 sobe la Regón de Bode (RB) Fgua 3-33: Regón de Inteseccón, Detalles A, B y C Fgua 3-34: RB, detalle A. Odenamento meos 3 untos del vecto C Fgua 3-35: RB, detalle A. Odenamento vecto C, seleccón del me unto Fgua 3-36: RB, Seccón B, oblema Fgua 3-37: osbles camnos aa odena C 6 en el ejemlo de la Fgua Fgua 3-38: RB, detalle C. oblema... 5 Fgua 3-39: Vecndad o tangulacón de extendda Fgua 3-4: Geneacón de mallas de Beze... 5 Fgua 3-4: Malla y suefce de Beze Fgua 3-4: Deslazamento de untos etenecentes a RI haca la suefce de Beze 55 Fgua 3-43: Regón de nteseccón y mallas. Aba: mallas geneadas antes del deslazamento de untos. Abajo: mallas geneadas luego del deslazamento de untos Fgua 3-44: Inteseccón de aabolode sobe Suefce o muñón. Aba: Antes de suavzacón de bodes. Abajo: Desués de suavzacón de bodes Fgua 3-45: Inteseccón de aabolode sobe Suefce o muñón. Aba: Antes de suavzacón de bodes. Abajo: Desués de suavzacón de bodes Fgua 4-: Dagama de flujo ncal del softwae y los untos de nteaccón con el usuao Fgua 4-: Eleccón unto Stylus o unto de efeenca... 6 Fgua 4-3: Menú suefce secundaas... 6 Fgua 4-4: Ingeso de aámetos de un toode... 6 Fgua 4-5: Ingeso de la Magntud de deslazamento... 6 Fgua 5-: Modfcacón de descaga con foma de aabolode sobe suefce dgtalzada... 6 Fgua 5-: Modfcacón de caga con foma de esfea sobe suefce dgtalzada Fgua 5-3: Modfcacón de descaga con foma de elsode sobe suefce dgtalzada Fgua 5-4: Dgtalzacón muñón y molde nveso tadconal, vsualzacón softwae Fastscan Fgua 5-5: Dgtalzacón muñón y molde nveso tadconal, vsualzacón softwae Matlab Fgua 5-6: Modfcacones de caga y descaga sobe molde nveso tadconal Fgua 5-7: aámetos geométcos del toode Fgua 5-8: Etaa de osconamento de suefce y otacón tangencal. aámetos: α = Fgua 5-9: Etaa de deslazamento en deccón nomal. aámetos: d n = 8mm v

9 Fgua 5-: oceso de caga sobe ótula. Aba: suefce ognal. Cento: osconamento suefce geométca. Abajo: suefce modfcada Fgua 5-: aámetos geométcos del aabolode ngesados o el usuao... 7 Fgua 5-: Etaa de osconamento de suefce y otacón tangencal. aámetos: α = Fgua 5-3: Etaa de deslazamento en deccón nomal. aámetos: d n = 7mm... 7 Fgua 5-4: oceso de descaga zonas óseas. Aba: suefce ognal. Cento: osconamento suefce geométca. Abajo: suefce modfcada... 7 Fgua 9-: Vectoes n y n y sus esectvos ángulos de azmuth (θ) y elevacón (γ)... 8 Fgua 9-: Rotacón de n en tono al eje Z... 8 Fgua 9-3: Cambo sstema de efeenca auxla Fgua 9-4: Rotacón de n en tono a Y Fgua 9-5: Cambo a sstema de efeenca absoluto v

10 RESUMEN Hoy en día, la fabcacón de ótess y ótess (O&) se ealza de foma manual, moldeando el muñón con el yeso aa cea un molde ostvo de éste, el que luego se modfca manualmente aa cea el molde nveso del socket. En aíses más desaollados, son utlzados softwae CAD (Comute Aded Desgn) que emten ealza el dseño de este molde nveso medante heamentas comutaconales. El uso de softwae de CAD aa el dseño de socket de O& emte o un lado educ los temos de toma de molde y de dseño, además de ahoa mateal y una alta caacdad de almacenamento de datos. Sn embago, una de las desventajas es que el oceso se ve desesonalzado al tabaja con lbeías de moldes edefndas evamente los que son ajustados a las dmensones del acente. El objetvo de este tabajo fue cea un algotmo que emtea modfca el molde dgtalzado del acente en cualque unto y con la foma que el usuao escoja entegando una mayo lbetad en el dseño del socket. Este tabajo se enfocó en las modfcacones de caga y descaga sobe el muñón. Usando dstntas suefces geométcas, las que son detemnadas o el usuao, se modfca el molde dgtal en la egón deseada. aa esto, se oscona la suefce geométca y los untos que quedan dento de la cuva geneada o la nteseccón ente ambas suefces se deslazan haca la suefce geométca geneando así la defomacón. o últmo se suavzan los boden aa elmna astas onuncadas. Medante este método se logaon ealza modfcacones en vaos untos de la suefce dgtalzada con la lmtacón de que al ntesecta las suefces debe genease una cuva ceada. En cuanto a la alcacón se logó el objetvo de entega lbetad al usuao de ealza modfcacones en cualque unto deseado. La utldad que estas modfcacones uedan esta al dseño fnal sólo odá evaluase a tavés del uso del socket o ate de un acente. x

11 ABSTRACT Today, the manufactue of osthetc and othotc ( & O) s done by hand, shang the stum wth laste to ceate a ostve mold of t, whch s manually modfy to ceate the nvese mold of the socket. In develoed countes s used CAD softwae (Comute Aded Desgn) allowng the desgn of ths nvese mold by comutatonal tools. The use of CAD softwae fo the desgn of socket of & O allows, on one hand, educe the tmes of moldmakng and desgn, n addton to savng mateal and hgh-caacty data stoage. Howeve, one dsadvantage s that the ocess looks mesonalzed to wok wth lbaes mold evously esets that ae adjusted to the dmensons of the atent. The objectve of ths wok was to ceate an algothm that would allows changng the scanned mold of the atent at any ont and wth the shae that the use chooses to gve geate feedom n desgnng the socket. Ths study focused on the changes of nstallaton and emoval on the stum. Usng dffeent geometc sufaces, whch ae detemned by the use, s modfy the mold n the dgtal desed aea. Fo ths uose, s ostoned geometc suface and onts nsde of the geneated cuve by the ntesecton between both sufaces ae movng towad the geometc suface, thus geneatng the deflecton. Fnally, t softened the edges to elmnate sha edges. By ths method s able to make modfcatons at vaous onts of the scanned aea, wth the lmtaton that when the sufaces ntesect must geneate a closed cuve. Wth egad to the alcaton, was able to delve feedom to make changes to the use at any desed ont. The utlty that these changes could gve to the fnal desgn wll only be assessed though the use of the socket by a atent. x

12 . INTRODUCCION A medados de la década de los 8, gacas al ádo avance y la dástca educcón de costos de la tecnología en mcochs, el dseño asstdo o comutado aa el dseño de ótess y ótess (O&), se convtó en una osbldad eal en la áctca de este ejecco (Mchael, 989; Lemae et al., 999; Roges et al., 7). La fabcacón tadconal de O& es ealzada a at de un molde de yeso del muñón o extemdad a coeg del acente. Este molde luego es modfcado medante la adcón de mateal en zonas delcadas o la emocón de yeso en zonas de ajuste, aa osteomente se utlzado aa modela el mateal lástco que confomaá el socket de la O& defntva (Cheng et al., 998). Este molde de yeso coesonde al molde nveso del socket de la ótess, el que consttuye la ate más motante en la fabcacón de una ótess, ya que es la ntefase ente el usuao y su nueva extemdad (Isozak et al., 6; Lee et al., 4). La técnca tadconal emte obtene un socket exclusvo y esonalzado aa cada acente, sn embago, el esultado deendeá ncalmente de la exeenca del otessta o otessta que tome el molde y luego lo modfque (Isozak et al., 6; Walsh et al., 989). Es sabdo, que el uso de CAD/CAM (Comute Aded Desgn / Comute Aded Manufactung) ha esultado en una fuete dsmnucón de los costos de fabcacón y temos de desaollo en la fabcacón de automóvles y otos oductos de consumo desde la ntegacón de estas tecnologías en sus ocesos oductvos. El dseño de O& tambén se benefca de esta tecnología educendo los costos y temos de fabcacón, así como en una mejoa en la estacón del sevco a los acentes (Cheng et al., 998; Lemae et al., 999). Esta tecnología dgtal emte además mantene almacenada la nfomacón, tanto de la suefce dgtalzada, como del oceso comleto de modfcacón (Obeg et al., 989). A esa de estas ventajas, esta tecnología no se ha masfcado en aíses en desaollo, donde este ocedmento contnúa hacéndose de foma tadconal.

13 La fabcacón tadconal de socket de ótess se hace medante la obtencón de un molde negatvo con yeso, el que luego es nuevamente ellenado de este msmo mateal y se obtene la élca ostva del muñón el que es modfcado manualmente aa obtene el molde nveso del socket de ótess. La Fgua - muesta la etaa de modfcacón manual del molde de yeso del muñón. Dada la exclusvdad del socket fabcado de foma tadconal es que la ntegacón del CAD en sus meos años fue echazada o sus fabcantes (Mchael, 989; Steele, 994), sn embago hoy en día los softwae CAD son mayomente acetados y utlzados dadas las ventajas que el dseño asstdo o comutado tene. Actualmente exste una vaedad de softwae que emten el dseño de ótess y ótess (McGay y McHugh, 7). A esa de la motanca que tene el socket en la ótess fnal, los softwae comecales, acetados amlamente, tabajan en base a un molde de socket edseñado, el que es modfcado o el otesísta aa acecase a la magen dgtal del muñón o a meddas estánda del msmo (Obeg et al., 989; Isozak et al., 6; Abogast et al., 7). Con un enfoque comletamente dstnto a los utlzados actualmente, el objetvo de este tabajo seá genea modfcacones dectamente sobe la magen dgtalzada del muñón, sn usa moldes evamente defndos. Este tabajo se acotaá a las modfcacones coesondentes a cagas y descagas sobe el muñón. Las meas se ven eflejadas en el socket en los untos donde debe ajustase éste al muñón, mentas que las descagas lbean al muñón del contacto con el socket, ncalmente en zonas óseas y démcas más delcadas.

14 Fuente: Talle de Otess y ótess, Teletón Fgua -: Fabcacón tadconal de molde nveso de socket 3

15 . MARCO CONTEXTUAL.. Adquscón de Datos aa obtene la magen dgtal del acente, se emleó el scanne modelo Fastscan Coba de la emesa olhemus. Se escogó este modelo debdo a la facldad y adez del oceso de escaneado; a una alta esolucón en la magen dgtal; y o ofece la osbldad de maca y dgtalza untos y líneas sobe la suefce escaneada. Fuente: Fgua -: Scanne Fastscan. Izqueda: Scanne modelo Fastscan Coba. Deecha: suefce comutaconal 3D y tangulacón de Delaunay Más esecífcamente, este scanne consta de una stola que emte un haz láse en foma de línea. Con esta stola se va baendo la suefce, y el esultado al fnal es un conjunto de bados que foman la suefce. El softwae que vene ncludo con el scanne vsualza la suefce como un sóldo, eo efectvamente, la suefce es un conjunto de untos con una tangulacón Delaunay. Esta tangulacón consste en una ed de tángulos, cuyos vétces son los untos menconados anteomente y que cumlen con la condcón de Delaunay. Esta dce que, la esfea ccunscta de cada tángulo de la ed no debe contene nngún vétce de oto tángulo (Elman y Zachman, 6). 4

16 5 Estos dos datos, el conjunto de untos y los vétces de cada tángulo, son los que ueden utlzase fuea del softwae Fastscan y son exotados como dos matces. onts (), matz de 3 N, donde N coesonde al númeo total de untos y cada columna contene las coodenadas catesanas de cada uno. Y Facets (F), matz de 3 N F, con N F el númeo total de tángulos de la ed. Cada columna coesonde a un tangulo y las flas coesonden a los untos que los foman. La matz Facets es un unteo haca la matz onts, es dec cada celda(,j) etenecente a esta matz ndca una columna de onts. o ejemlo, en la Fgua -, los untos, j y k confoman el tángulo m de la matz Facets. Matemátcamente: ( ) m F =, ( ) j m F =, ( ) k m F =, 3 Fgua -: Dagama matces onts () y Facets(F) Es motante mencona, que en el oceso de fabcacón del molde aa el socket de una ótess, los otesstas macan sobe el muñón del acente cetos untos de = F F F N m N m N m f f f f f f f f f F L L L L L L = z N z k z j z z y N y k y j y y x N x k x j x x L L L L L L L L L L L L tángulo m

17 efeenca con un láz esecal que tasasa aquellas macas a la coa ostva de yeso del muñón sobe la cual se tabaja desués. El objetvo de estas macas, es dale al otessta una efeenca ecsa donde debe hace las modfcacones, las que nomalmente coesonden a lbeacones de caga en sectoes óseos o esones sobe sectoes mas blandos. Estos untos son genealmente detectados manualmente o el otessta y con la ayuda del acente antes de comenza con la toma de molde. Es o esta azón que se escogó un escáne láse que de foma senclla tambén emtea ealza estas macas y quedaán megnadas en la vesón dgtal del muñón. La heamenta Stylus del scanne Fastscan emte maca untos y líneas, los que son almacenados en un achvo de texto. En este desaollo utlzaemos ambas matces onts y Facets y macas de untos obtendos medante la heamenta Stylus. La Fgua -3 muesta la gáfca de la matz onts, aa el muñón de un acente y algunos untos Stylus macados duante la dgtalzacón. Estos datos seán los utlzados duante el desaollo de este tabajo. untos Stylus Fgua -3: Reesentacón gáfca de la nube de untos y de los untos Stylus en Matlab 6

18 .. Maco teóco y ate evo El maco teóco de este tabajo uede dvdse en dos temas dstntos. meo se tene la alcacón que se desea loga, el dseño de socket de ótess asstdo o comutadoa y en segundo luga se tene el desaollo comutaconal de esta alcacón, esecífcamente en lo que se efee a modfcacón e nteseccón de suefces defndas o nubes de untos. En cuanto al me tema, ya se menconaba en la ntoduccón un oco de la hstoa de la nsecón del CAD en el dseño de socket de ótess y ótess. Hoy en día exsten tes ncales emesas en EEUU que desaollan este to de tecnología en la fabcacón de ótess y ótess, Seattle Lmb System, Oho Wllow Wood Comany y Bosculto. S ben las tes dfeen en el oceso de dgtalzacón de la magen y el mateal de fabcacón fnal, concden en la foma básca de modfcacón del molde. Las tes emesas utlzan lbeías de socket estánda los que son modfcados en sus longtudes, dámetos y alcacón de cagas y descagas en base al molde dgtalzado (Labayu, 7). Con esecto al segundo unto, la defncón de suefces a tavés de nubes de untos, ha tomado gan motanca dado el cecmento de las tecnologías en escaneado en 3D (Klen y Zachmann, 5, Ca et al., ; Goldsten y Flesg, 6). Una de las ncales alcacones de esta tecnología es la Ingeneía Invesa. Esta últma equee la nfomacón geométca ovenente de un objeto físco aa luego se ocesada a un fomato comutaconal aa utlzase en los ocesos que osguen (Adamson y Alexa, 3, Chu et al., 7). Exsten dos ncales técncas aa la ocesa la nfomacón obtenda de un escaneado 3D: (a) econstuccón de suefces medante funcones mlíctas, como funcones aamétcas o (b) modelacón de suefces medante mallas olédcas (Sun et al., ). La econstuccón de suefces a tavés de funcones mlíctas está acotada aa casos smles y esecales (Hoe et al., 99). o ota ate las mallas esentan une mejo defncón de suefce ya que conecta todos los untos, seme y cuando la densdad de la nube de untos sea la sufcente aa no deja hoyos en 7

19 la malla (Yu, 999). Las suefces o mallas de Delaunay coesonde a este últmo to de eesentacón de suefces, o lo tanto la nfomacón con la que se cuenta son las coodenadas de los untos y la conectvdad que hay ente ellos.}.3. Análss de la solucón ouesta Se tene una magen de la suefce en R 3 del muñón y hay que defomala medante heamentas comutaconales, de modo de elca el tabajo en yeso que hace el otesísta. Medante obsevacón se llegó a la conclusón que muchos de los cambos (cagas y descagas) que se hacen sobe el molde de yeso odían elcase ntesectando suefces (de tamaños y fomas a defn o el usuao) sobe la suefce ognal. Las fguas a contnuacón muestan el oblema equvalente en D, con una cuva defnda o un conjunto de untos (muñón dgtalzado) y una cuva secundaa (defnda geométcamente) que da la foma de la defomacón fnal. Fgua -4: Esquema D solucón ouesta. Izqueda: suefce ognal. Deecha: suefce defomada La defomacón se ealza en 3 etaas, meo hay que oscona la suefce secundaa sobe la ognal, luego hay que deslaza los untos que se encuentan dento de la suefce haca ésta y, o últmo, suavza los bodes de la egón ntesectada. De esta foma se logan defomacones suaves, tanto las que son haca adento como las que son haca fuea de la suefce ognal. 8

20 Fgua -5: Etaas de defomacón 9

21 3. DESARROLLO DEL ALGORITMO La defomacón de la suefce consta de tes etaas, el osconamento de la suefce secundaa, el deslazamento de los untos ntenos y la suavzacón de las egones de nteseccón. Antes de contnua es motante mencona algunas defncones desaolladas aa el algotmo a contnuacón. De aquí en adelante la suefce dgtalzada o muñón coesondeá a la suefce y la suefce secundaa o geométca coesondeá a la suefce. untos de efeenca El unto de efeenca de la suefce,, coesonde al unto, defndo o el otessta (medante la heamenta Stylus), donde se desea hace la modfcacón. Como éste no etenece a la suefce y o lo tanto, no esta elaconado con el esto de los untos etenecentes a esta suefce medante una tangulacón, debemos enconta un unto etenecente a lo más cecano osble a. Este unto seá aquel cuya dstanca eucldana con el unto es la meno. A este unto lo llamaemos. Usando como ejemlo el muñón de la Fgua -3, se escoge el unto cecano a la ótula como unto de efeenca el unto, ve Fgua 3-. S esta fgua se aumenta lo sufcente, es osble obseva, unto Stylus de efeenca y el unto más cecano (ve Fgua 3-). El unto de efeenca de la suefce es un unto defndo dento del softwae que sve de efeenca al momento de oscona la suefce secundaa sobe la suefce del muñón o suefce.

22 unto de efeenca Stylus, Fgua 3-: unto Stylus selecconado como unto de efeenca del muñón Fgua 3-: unto de efeenca, de la heamenta Stylus y unto de efeenca etenecente a la matz Vecto tangulacón un unto Se defne como vecto de tangulacón de ( ), aquel vecto que contene los untos que foman los tángulos que comaten el msmo vétce, menos éste últmo. El tamaño de ( N ), deendeá exclusvamente de la matz F y de cómo el softwae Fastscan ealzó la tangulacón.

23 Fgua 3-3: untos etenecentes al vecto tangulacón de,, A modo de ecodatoo, la matz F es un unteo haca las columnas de la matz, y o lo tanto, tambén lo seá, ve Fgua 3-4. Fgua 3-4: Matz y vecto tangulacón 3.. Etaa : osconamento suefce secundaa La defomacón de la suefce deendeá exclusvamente de la oscón que tome la suefce, ya que el objetvo es que la egón de contenda dento de la cuva de nteseccón, fomada o la suefce y, tome la foma de la suefce y así genea la defomacón. = z N z l z k z j z z y N y l y k y j y y x N x l x k x j x x L L L L L L L L L L L L L L L = N M 3 3 N

24 Suefce secundaa Suefce dgtalzada Fgua 3-5: Esquema etaa : osconamento de la suefce secundaa Este osconamento no es tan tval como odía suonese ya que mlca cetos cálculos que deenden de la foma de la suefce y del unto de efeenca se tabaja, además equee de la atcacón del usuao. donde meo, debe defnse, cuál seá la suefce que se utlzaá. Nuevamente, de la obsevacón, se defnó un conjunto de suefces defndas matemátcamente (es dec, su funcón mlícta ( x, y, z) = f es conocda). Estas son, una esfea, un elsode, un aabolode, un aabolode elítco y un toode. Las dmensones de todas estas deben se defndas o el usuao y cada una cuenta con un unto de efeenca aa usa. Incalmente, estas suefces se encuentan centadas en el ogen, y sus ejes ncales concden con los ejes coodenados X, Y y Z. aa faclta el tabajo del usuao, se museon cetas condcones que debe cuml la suefce, aa queda osconada sobe la suefce. El unto (unto de efeenca de la suefce ), debe concd con el unto (unto de efeenca de la suefce ). La nomal de la suefce, n, en el unto, debe se gual a la nomal de la suefce, n, en el unto. 3

25 3... Cálculo de nomales Conocendo la funcón mlícta de cualque suefce S, es osble enconta la nomal medante el cálculo del gadente de la funcón, en un unto 3 s R cualquea. () s f ( s) f ( s) () () f S S n S s = f S s =,, x y S z La nomal de la suefce se uede calcula usando este método, ya que la funcón de ésta, f, es conocda. aa una suefce S defnda o olígonos, cuya funcón mlícta es desconocda, es osble calcula la nomal en un unto s cualquea de foma aoxmada usando el algotmo de Gouand (Chu et al., 7). En cada vétce, es osble obtene la nomal omedando las nomales de los olígonos que comaten dcho vétce. o lo tanto, aa enconta la nomal en el unto s se tene que: n s = m j = m n j donde m es el númeo de olígonos que comaten el vétce s, y nomal del olígono j que comate el vétce s (ve Fgua 3-6). n j coesonde a la 4

26 n n n 3 n s s n 5 n 4 Fgua 3-6: Algotmo de Gouand Como la suefce está defnda o una nube de untos dada o la matz, y una tangulacón dada o la matz de la matz de, F, se calculaá la nomal con este algotmo. A at F es osble enconta los untos que etenecen al vecto de tangulacón = {, K },, Fgua 3-7: unto de efeenca y los untos etenecentes a su tangulacón 5

27 Luego, aa enconta la nomal de cada olígono de se tene que: aa el tángulo, fomado o los untos, y se calcula n ( ) ( ) = aa el tángulo, fomado o los untos, y 3 se calcula n ( ) ( ) = 3 El cálculo se ete aa el esto de los tángulos. o últmo se tene n 6 = = n 6 Resumendo, La nomal n en el unto de efeenca de la suefce secundaa o suefce, se calcula a at del gadente de la funcón que eesenta a esta suefce, la cual es conocda. La nomal n en el unto de efeenca de la suefce escaneada o suefce, se calcula medante el algotmo de Gouand osconamento Incal Incalmente, la suefce se osconaá automátcamente, cumlendo con las dos condcones ncales (unto de efeenca,, y nomal, n, de la suefce concdan con y n esectvamente). Se comenzaá otando la suefce de modo que la nomal n sea gual a la nomal n, aa esto debe encontase una matz M tal que: n = M n 6

28 La matz M (ve Anexo B) que cumle con esta condcón es: cosθ snθ cosγ sn γ cosθ snθ M = snθ cosθ snθ cosθ sn γ cosγ donde θ y θ son los ángulos de azmuth (ángulo que foma el eje X) con la oyeccón del vecto sobe el lano XY) de n y n esectvamente y los ángulos de elevacón de las nomales. γ = γ γ, con γ y γ, aa un vecto cualquea los ángulos de azmuth y elevacón se calculan esectvamente como tan θ = y x tanγ = x z + y Z γ Y θ X Fgua 3-8: Ángulos de azmuth (θ) y elevacón (γ) aa un vecto cualquea. 7

29 o lo tanto, aa ota la suefce de modo que su nomal n concda con la nomal n de la suefce se calcula aa cada unto de y aa. q = M q = M con =,,..., N Luego se taslada la suefce de modo que su unto de efeenca concda con el unto de efeenca de la suefce. Debe encontase un vecto de taslado tal que: = + = = M Entonces, aa cada unto de la suefce y su unto de efeenca, se tene que q q + = M q = + + = M = + Fgua 3-9: Izqueda: oscón ncal suefce. Deecha: oscón suefce luego de la mea otacón y taslacón 8

30 En la Fgua 3- se muesta la suefce (muñón) y la suefce (en este caso, un aabolode) ya osconada, como se obseva el sentdo de esta últma deendeá del sentdo de la nomal de la suefce, calculada en el unto 3... Aquí es el usuao quen debeá escoge cual de las dos ocones le seá de utldad, ya sea aa hace una esón (zqueda) o una descaga (deecha). Fgua 3-: Izqueda: oscón de esón o caga suefce. Deecha: oscón de descaga suefce Rotacón Tangencal Aquellas suefces, que no son smétcas con esecto a su nomal, como es el caso de una elsode, un aabolode elítco y un toode este osconamento no seme es el coecto. En la Fgua 3-, se obseva el msmo muñón que en los ejemlos usados anteomente, eo esta vez la suefce secundaa o suefce es un toode osconado en el msmo unto de efeenca. A la deecha el unto de obsevacón es en deccón de la nomal, en esta fgua se aeca que no cualque oentacón de la suefce entegaá el msmo esultado. 9

31 Fgua 3-: osconamento ncal de un toode sobe el unto de efeenca aa coeg este oblema, nuevamente se equeá la nteaccón con el usuao aa detemna cuanto debe ga la suefce (toode) en tono a la nomal aa queda en una oscón válda, es dec, que genee una defomacón útl. Esta vez debe encontase una matz de otacón M(α), donde α coesonde al ángulo que el usuao ngesa y además la nomal de la suefce debe contnua sendo gual a la nomal de la suefce, es dec, la otacón es en el lano tangencal a la nomal. 3 3 q ( a) q = M ( a) = M La matz M ( α ) (ve Anexo B) que emte ealza la otacón tangencal es ( α ) = M C M B( α ) M A M sendo

32 sn γ cosγ cosθ snθ M A = snθ cosθ cosγ sn γ cosα snα M B( α ) = snα cosα cosθ M C = snθ snθ cosθ sn γ 'cosγ cosγ sn γ Debdo a las dstntas otacones, uede ocu, que los untos de efeenca no se mantengan concdentes, o lo que, en caso que esto ocua, debe tasladase nuevamente la suefce. 4 4 = 3 3 q = q + = M α ( ) q + ( ) 3 = + = M α + La Fgua 3- muesta el toode otado en tono a su nomal con un ángulo α = 6º con esecto a la oscón ncal. El ángulo deendeá exclusvamente del usuao y detemnaá la foma de la defomacón fnal.

33 Fgua 3-: osconamento suefce, luego de otacón tangencal y taslado al unto de efeenca. Izqueda: unto de obsevacón lateal. Deecha: unto de obsevacón en deccón nomal Deslazamento según la nomal o últmo, cuando la suefce está osconada como el usuao desea, se deslaza según la deccón y sentdo de la nomal. La magntud del deslazamento d n nuevamente debe se ngesado o el usuao. 3 = d n n 5 q 4 = q = Las fguas 3-3 y 3-4 muestan la oscón antes y desués del deslazamento en deccón nomal de la suefce, aa el aabolode y toode de los ejemlos anteoes.

34 Fgua 3-3: Deslazamento en deccón nomal de un aabolode sobe el muñón (d n =7mm) Fgua 3-4: Deslazamento en deccón nomal de un toode sobe el muñón (d n =5mm) tene Resumendo todas las otacones y taslacones acales en una sola ecuacón se RT RT q ( M q + ) = M () ( M + ) = M. donde RT q coesonde al unto de la suefce osconada y RT al unto de efeenca de la suefce osconada. 3

35 o últmo, la funcón fnal que eesenta la suefce, luego de las sucesvas taslacones y otacones, seá RT f. 3.. Etaa : Deslazamento de untos ntenos Esta etaa consste en deslaza haca la suefce todos aquellos untos de la suefce (muñón) que se encuenten dento de la cuva de nteseccón geneada ente las suefce y. El objetvo de deslaza estos untos, y no smlemente eemlazalos o los de la suefce, es mantene la elacón de vecndad detemnada o la tangulacón de Delaunay. Esto emtá ealza futuas defomacones en la msma zona. Esta etaa es un oco más comleja que la anteo, ya que hay que tabaja con la suefce, o sea, con un conjunto de untos, cuyas coodenadas se encuentan en la matz y su tangulacón detemnada o la matz F. Fgua 3-5: Esquema etaa de defomacón: Deslazamento unto ntenos S se defnen como untos ntenos todos aquellos untos que se encuentan dento de la cuva de nteseccón geneada ente las suefce y, entonces se mone como equemento oblgatoo aa nuestos objetvos, que ambas suefces al ntesectase (etaa ) geneen una cuva ceada. La suefce es una suefce mlícta mentas que la suefce no lo es (es un conjunto de untos y una tangulacón), o lo que no es osble enconta la exesón matemátca aa la cuva de nteseccón, o esto, buscaemos un conjunto de untos ntenos C n, que aoxmen esta cuva. 4

36 3... Cuva de nteseccón unto aa enconta la cuva de nteseccón (CI), atemos o enconta un me n, etenecente a la suefce, que se encuente al nteo de la suefce, y lo sufcentemente ceca de esta suefce como aa etenece a una cuva de nteseccón aoxmada. Lo sufcentemente ceca se nteetaá como aquel unto que se encuenta al nteo de la suefce (o tanto dento de la CI), y al menos un unto etenecente a la tangulacón de n se encuenta afuea de CI, ndeendente de la esolucón que con que se haya escaneado la suefce. Al unto que se encuenta fuea de CI, lo llamaemos out. n out CI Fgua 3-6: n está lo sufcentemente ceca de CI s al menos un unto etenecente a su tangulacón se encuenta fuea de la suefce aa comenza tomaemos el unto, el cual, debdo a como se defnó el osconamento de la suefce, sabemos que se encuenta dento de ésta y odemos cooboa esto s se cumle. f RT ( ) < 5

37 donde f RT ( x, y, z) = coesonde a la funcón mlícta de la suefce luego de temnada la etaa, es dec, luego de osconada la suefce sobe la suefce. Esta últma condcón no es tan senclla de calcula ya que las funcones mlíctas están defndas en la mayoía de la lteatua en su foma más senclla, centadas en el ogen o en tono a un eje catesano y sus ejes ncales concdentes con estos ejes. En la etaa anteo, se ealzaon sobe la suefce vaas otacones y deslazamentos los que no son tan tvales de eesenta en una funcón mlícta, ncalmente en funcones comlejas como la de un toode. Cambando un oco el método de esolucón esta stuacón uede esolvese de manea muy senclla. Una foma de solucona esto odía se, mantene la suefce en la oscón ncal, es dec aquella donde sí tenemos defnda su funcón f y ota en tono a esta la suefce, el esultado de esto seía ealza las oeacones nvesas que se hacen en la ecuacón (). El oblema que esulta de hace esta oeacón, es el costo comutaconal que conlleva, ya que deendendo de la esolucón y la magntud de N (númeo total de untos de la suefce ), la que uede desde los 8. untos, en caso del muñón utlzado en este tabajo, aa una esolucón de mm, hasta 5. untos aa menoes esolucones o suefces más gandes. Comaando con los.5 que odía tene la suefce el costo comutaconal es mucho mayo. Este númeo odía se mucho meno ya que se utlza sólo aa vsualza esta suefce y osconala coectamente. eo, en vez de ota y taslada toda la suefce lo que haemos seá ota y taslada sólo el unto que queemos vefca, es dec, en vez de vefca f RT ( ) < vefcamos que se cumla ( ) < f 6

38 donde = M ( M ( 3) ) () o lo tanto, cada vez que se neceste vefca s un unto se encuenta dento o fuea de la suefce, se calculan las otacones y taslacones nvesas dadas en la ecuacón (). Retomando la dea de cooboa s el unto está dento o fuea de la suefce, vefcamos s se cumle f ( ) < = M M ( 3) ( ) Nuevamente, según como se osconó y deslazó la suefce, esta desgualdad debea se vedadea en todos lo casos. Entonces, se tene un unto que etenece a la suefce y que se sabe se encuenta dento de la suefce, o lo que a at de ese unto comenzaemos a acecanos a la cuva de nteseccón a tavés de la malla tangulada. Se ecoeá la malla en una deccón, unto o unto vefcando s este se encuenta dento de, hasta que encontemos uno que se encuente fuea. De la matz F, se obtene el vecto de tangulacón de ( abtaa se escoge un unto cualquea etenecente a la malla y calculamos la deccón d del ecodo como ). De foma, aa comenza a ecoe d = q 7

39 S se cumle que ( ) f, entonces se busca el sguente unto, ya que se < encontaía al nteo de la suefce. d Fgua 3-7: unto tayectoa n meo se detemna, luego aa cada unto se calcula su deccón con esecto al unto y el ángulo que foma esta con d = y cos β = d d d d entonces, aquel unto unto q y d ( q ) < que dé cómo esultado el meno ángulo θ seá el sguente la sguente deccón del ecodo d. Luego de vefca que se cumla f se contnúa con el unto sguente. 8

40 5 β 4 d 4 = d 4 = d 3 Fgua 3-8: unto tayectoa n 3 d 3 = d 3 4 d = 3 β 3 5 Fgua 3-9: unto 3 tayectoa n El algotmo a at de j = es el sguente: <. Vefca s se cumle ( ) untos -6.. Se detemna j f j, s no se cumle esta condcón, saltase los 9

41 d 3. ( j ) cos β = ( j ) ( j ) ( j ) ( j ) ( j ) = d d d d ( j ) ( j ) ( j ) ( j ) 4. j = ( j )a y d j = d ( j )a sendo a, el índce coesondente al meno β ( j ). 5. j = j + 6. Vuelve al unto. 7. n = j y out = j Obsevando el comotamento de la tayectoa aa dstntos casos, se alcó una coeccón al cálculo del ángulo β. cos β ( j ) = d ( j ) d d ( ) d j donde d coesonde al omedo de todos las deccones anteoes, es dec, d j d k k = = j Esta coeccón emte que todas las deccones anteoes sean tomadas en cuenta al momento de escoge el unto sguente, y o tanto la tayectoa sea más ecta. En la Fgua 3-, se obseva la dfeenca ente una tayectoa sn la coeccón menconada y una tayectoa con coeccón. Alcando esta coeccón no necesaamente el unto encontado seá el msmo, eo esto no afecta en el esultado fnal del tabajo. n 3

42 n n Fgua 3-: Coeccón de tayectoa n Contnuando con el objetvo de enconta un conjunto de untos que aoxmen la cuva de nteseccón ente las suefce y, comenzamos a ecoe ésta atendo o el unto n encontado. Recodemos que n coesonde a un unto en la cecanía de la cuva de nteseccón, cuya tangulacón contene al menos un unto que está fuea de la suefce (ve Fgua 3-6). Este conjunto de untos se almacenaá en el vecto C n y cada unto etenecente a este vecto lo llamaemos c. Cabe mencona que los untos que etenezcan a C n deben cuml con la msma condcón de cecanía a CI de n, es dec, todo c debe tene en su vecto tangulacón al menos un unto que se encuente fuea de CI. Como se comenzaá o n, se tene que c = n aa enconta el sguente unto, buscamos en la tangulacón de c, c, aquellos untos que se encuenten dento de la suefce, es dec, aquellos untos que cumlen con ( ) f c <. Encontados estos untos, buscamos entonces aquel que este más ceca de la suefce. aa esto esolvemos ( c ) esultado coesondeá a c. f y aquel unto que de el meno 3

43 c 3 c 4 c c 5 c c c 5 c 3 = c 4 c c c 3 c = c Fgua 3-: Izqueda: ejemlo unto c y los untos c j coesondentes a su tangulacón. Deecha: unto c y untos c j. c j c En el ejemlo de la Fgua 3-, zqueda, se obseva el unto c y los untos. c cumle con la condcón de cecanía defnda ya que tanto c 4 y c 5 se encuentan fuea de la CI. En este ejemlo c 3 es aquel unto que se encuenta más ceca de CI, o lo tanto este unto coesondeá a c. En esta msma fgua a la deecha se obseva entonces c y los untos c j c. aa enconta el sguente unto, c 3, ocedemos de la msma foma: buscamos la tangulacón de c, c, y, de los untos c que se encuentan dento de la suefce buscamos aquel que este más ceca de ésta. Además, monendo como condcón que c3 c, aseguamos un avance a tavés de la cuva, y no etocesos. De la Fgua 3-, deecha, se obseva que c, c 3 y c 4 están dento de la suefce, eo c = c, o lo tanto no se odía escoge este unto, aunque fuese el más cecano a la suefce de los tes, ya que no se estaía ecoendo la cuva coectamente. Luego, c 4 es el unto más cecano a la CI y o lo tanto este coesondeá a c 3. El esto de los untos se esuelven teatvamente, de la msma foma en que se esolvó c, monendo como condcón adconal que c c, con j =, K, k. k j 3

44 Cuando el algotmo se encuenta con que el sguente unto es c k = c sgnfca que se ecoó la cuva comleta, y o lo tanto hay que detene las teacones. c 4 c 3 c c c k Fgua 3-: Ejemlo de dstbucón de untos C n. En la Fgua 3-3, se obseva el muñón, ntesectado con un aabolode, a la deecha ueden obsevase los untos etenecentes a la suefce que quedan dento de la suefce. En la Fgua 3-4, ya se ha encontado el vecto aoxman la cuva de nteseccón ente ambas suefces. C n, cuyos untos Fgua 3-3: untos ntenos suefce. 33

45 Fgua 3-4: Cuva de nteseccón C n aoxmada ente las suefces y c = q n c c 3 c Fgua 3-5: Tayectoa n y vecto C n Un cálculo smla uede hacese aa enconta una cuva de nteseccón aoxmada o fuea de la suefce, C out. 34

46 3... untos ntenos Una foma senclla de enconta los untos de la suefce que se encuentan dento de la suefce, seía oba aa cada unto s cumle con f ( ) < El oblema de hace este cálculo, es nuevamente el costo comutaconal que esto conlleva, ya que sgnfca, ealza este cálculo alededo de 5. veces, aa el caso del muñón estudado, o más s se tata de una suefce más gande o de mayo esolucón Una foma de enconta estos untos, sn ecoe la suefce comleta es encontando untos o nveles. Al conjunto de untos C n lo consdeaemos como el nvel, ya que estos untos son los que se encuentan más ceca de la CI. Contnuando con el ejemlo del unto anteo, la Fgua 3-6, muesta los untos etenecentes a C n, y el nvel lo comonen todos aquellos untos que etenezcan a la tangulacón de un unto cualquea lo llamaemos c C y que cumlan con esta dento de la suefce. Este segundo nvel j n C n. Matemátcamente el algotmo es el sguente:. unto c j Cn enconta su vecto tangulacón, c j. unto c j c j, s cumle ( ) < f c j y j Cn c, entonces c j C n 35

47 C n, nvel C n, nvel Fgua 3-6: untos ntenos suefce. Nveles y Adconalmente, se geneaá un vecto I donde se án almacenando todos los untos nteoes que se encuenten. Encontado C n, se tene I Cn = C n aa enconta los untos que etenecen al nvel 3, se toman todos los untos c j C n, y aa cada uno de ellos, se encuenta su vecto tangulacón c j, los untos c y que además cumlan con c j I se almacenan en un tece vecto C n. Es j c j motante almacena este vecto junto con C n y C n, ya que más adelante se tabajaá con éstos aa suavza la egón de nteseccón. Fnalzado el ecodo o todos los untos c se agega C n a I. j I Cn = C n C n 36

48 aa un nvel x C n, se tene entonces C x x x x = x Cn c c c y c I con I = M x Cn n x cuando C = { } n untos ntenos., es dec, no encuenta nngún unto, se da o comleta la búsqueda de La Fgua 3-7 muesta a la zqueda los 3 meos nveles, mentas que a la deecha muesta todos los nveles (sendo en este caso, 5 en total). Fgua 3-7: untos ntenos suefce. Izqueda: nveles, y 3. Deecha: nveles Deslazamento untos ntenos Luego de enconta los untos etenecentes a la suefce que se encuentan dento de la suefce, deben deslazase haca esta suefce aa genea la defomacón. aa ealza este deslazamento, se tazaá aa cada unto nteno, I, 37

49 una ecta con deccón nomal n, y se calculaá el unto de nteseccón con la suefce. Matemátcamente, I RT {( ) n = f } = donde I es el unto de nteseccón ente la ecta y la suefce, es un unto cualquea de la ecta y RT f es la funcón mlícta de la suefce ya osconada. Nuevamente nos encontamos con el oblema de que RT f no es osble defnla aa todas las suefces geométcas utlzadas en este desaollo. aa solucona esto se calcula n ( M ( 3) ) ( M ( n 3) ) {( ) n = f } = M = M = I donde f es la funcón mlícta de la suefce defnda en el sstema absoluto. aa obtene las coodenadas de I, volvemos a ealza todas las otacones ( M + ) + 3 = M I I + Como algunas suefces son ceadas, de este cálculo ueden esulta dos solucones, I y I. Aquella que se encuente en el sentdo de la nomal con esecto al unto, coesondeá a las coodenadas de deslazamento. 38

50 39 Luego, es eemlazado o I en la matz onts o. De esta foma, la elacón de vecndad defnda o la tangulacón de Delaunay y la matz Facets se mantene. Fgua 3-8: Esquema matz, eemlazo unto o unto I Etaa 3: Suavzacón de bodes En esta etaa se suavzan los bodes esultantes de la defomacón ealzada en la etaa anteo. El objetvo es elmna los osbles bodes onuncados que den como esultado astas flosas en el socket fnal. Fgua 3-9: Esquema etaa 3 de defomacón: Suavzacón de la egón de bode = z N z z y N y y x N x x L L L L L L = z N z I z y N y I y x N x I x L L L L L L fla

51 meo, deben detemnase cuales son los untos que confoman o bode o egón de bode y el alcance que tendá ésta. Anteomente, se encontaon los vectoes y C n, C n que contenen los tes meos nveles de untos ntenos. De la msma foma se encuentan C out, C out y C out, mentas más nveles sean consdeados, mayo seá el alcance de la suavzacón. De aquí en adelante, aa una mayo comensón de los algotmos, se nombaán a estos ses vectoes como vecto coesondente al nvel mas nteno, o sea, exteno, k C con = K6 C n y C n k, sendo C el 6 C el vecto del nvel más C out (ve Fgua 3-3). Y la egón de bode (RB) coesondeá a la unón de todos estos vectoes. RB = { C C C 3 C 4 C 5 C 6 } La Fgua 3-3 a contnuacón, coesonde a la nteseccón ente un aabolode y el muñón usado en este tabajo, en este caso el aabolode esta geneando una descaga ya que este se oyecta haca fuea de la suefce y no haca adento como los ejemlos k anteoes. En la fgua de la deecha se muestan los untos de los vectoes C, al gual que los tángulos que los unen. Recodemos que la cuva de nteseccón se encuenta ente los vectoes 3 C, que coesonde a C n y 4 C, coesondente a C out. Tenendo defnda ya la egón de bode y su alcance, habá que detemna como se haá la suavzacón. Las suefces de Beze ofecen una buena solucón aa este to de oblemas, ya que son suefces defndas y fáclmente contolables. 4

52 6 C 5 C 4 C 3 C C C Fgua 3-3: Regón de bode (RB) defnda o los vectoes C k Suefces de Beze Las suefces de Beze, son el esultado de la aoxmacón matemátca de un conjunto de untos dstbudos en una malla de n m untos. Esta malla es denomnada el olnomo caacteístco de la suefce, mentas que los untos que la foman coesonden a los untos de contol. La ventaja de este to de aoxmacón es que la suefce esultante es una suefce contolada, edecble y suave en su foma. La ecuacón geneal aa una suefce de Beze es m n ( u, w) = B ( u) B ( w) = j= j, m j, n donde B, m n ( u) = C( m, ) u ( u) y C ( m, ) coesonde al coefcente bnomal 4

53 C ( m, ) m! =!( m )! Fgua 3-3: Suefce de Beze aa un olígono de 4 4 untos, la ecuacón aamétca coesondente es 3 [ u ] 3 ( u, w) = ( u) 3u( u) 3u ( u) ( w) w( w) w ( w) w 3 donde = y el vecto j caacteístco. coesonde a las coodenadas de los untos de contol del olnomo 4

54 3.3.. Geneacón de mallas Como nos nteesa suavza la zona de nteseccón debemos genea mallas en esta zona, la cual está detemnada o los vectoes C k, los que ecoen la suefce cculamente y van de adento haca fuea (ve Fgua 3-3). En este caso se geneaán mallas de 4 4 que baeán toda esta suefce. Fgua 3-3: Mallas de 4x4 sobe la Regón de Bode (RB) La Fgua 3-3 zqueda muesta una confguacón osble aa la mea malla usando los untos de los vectoes C, C, C y C. Como la suefce fnal debe se contnua, las mallas de Beze tambén deben selo. o esto, la segunda malla debemos geneala a at de la últma fla de la mea malla. Lo msmo se hace aa el esto de las mallas hasta cub toda la egón de nteseccón. La fomacón de la mallas debe se automátca. o lo que es necesao genea un algotmo que esuelva este oblema, geneando mallas elatvamente unfomes que no se entecucen ente sí y que ecoan toda la suefce de nteseccón. 43

55 La Fgua 3-33 coesonde al msmo ejemlo de las fguas 3-3 y 3-3, en ésta se ndcan los detalles A, B y C los que utlzaemos aa ejemlfca el desaollo del algotmo de geneacón de mallas. A B C Fgua 3-33: Regón de Inteseccón, Detalles A, B y C meo, comenzaemos odenando sucesvamente los untos del me vecto C. Se comenzaá a at de un unto abtao cualquea y el segundo coesondeá a cualquea de sus vecnos. Este segundo unto, debe cuml con condcones, meo, que etenezca al vecto C y segundo, que etenezca a la tangulacón del me unto. S exste más de un unto que cumla con estas condcones, se escoge cualquea de ellos. A medda que los untos de C se vayan odenando, se án guadando en un vecto auxla B, s el me unto coesonde a b entonces es segundo coesondeá a b y así sucesvamente. Contnuando con el ejemlo anteo, la Fgua 3-34, detalle A, muesta los tes meos untos, b, b y b 3, en este caso b tene solo vecno que etenece a C. aa enconta el tece unto, se monen las sguente condcones: b 3 debe se vecno del segundo, es dec, debe etenece a la tangulacón de b ( debe se dstnto a b. b ) y a la vez 44

56 Bajo estas msmas condcones se contnúan encontados los untos sguentes. Matemátcamente, aa n se tene que, cada unto b n+ debe cuml con: bn+ bn + con m =, L, n bn bm Cuando el unto que encuenta este algotmo es gual al unto ncal se detene la búsqueda, ya que la cuva se ceó. b, entonces Detalle A b 3 b Deccón de avance b Fgua 3-34: RB, detalle A. Odenamento meos 3 untos del vecto C. aa odena el vecto C el algotmo es smla al anteo, eo la eleccón del me unto y la deccón de avance ya no es abtaa, s no que deende de me unto de la cuva odenada tanto, b debe etenece al vecto B debe se vecno del me unto de B. El B. o lo C y a la tangulacón de b. Estas dos condcones ueden se cumldas o vaos untos, nomalmente dos o tes. En el caso de se dos, se escoge cualquea de ellos, y en el caso de se tes, se usa el de al medo como unto de 45

57 atda. En el caso de la Fgua 3-35, detalle A, exsten 3 osbles untos, a, b y c aa comenza a odena el vecto ncal C, en este caso se escoge el de al medo, b, como el unto b. El segundo unto es el que daá el sentdo de avance del ecodo y aa que sea gual al del vecto tangulacón de B, el segundo unto del vecto B, debe, además de etenece a la b, etenece a la tangulacón del segundo o tece unto de contnuamos al gual que con el me vecto con el oden del vecto C, donde B. Luego, bn+ bn + con m =, L, n bn bm Detalle A a b = b c b 3 b b Fgua 3-35: RB, detalle A. Odenamento vecto C, seleccón del me unto aa el esto de los vectoes, el algotmo es el msmo, deendendo seme del vecto anteo. Este algotmo es bastante smle en su desaollo, eo se genean eoes en dstntos casos. 46

58 oblema : S obsevamos la Fgua 3-36, detalle B, exste una nteseccón de tangulacones donde no hay unto macado, en esta zona efectvamente hay un unto que etenece al vecto unto lo llamaemos 6 C, eo no se consdeó al momento de odena los untos. A este 6 c. El oblema se genea dado que los untos 6 c h y 6 c k tambén son vecnos ente sí (aunque no este mostado en la fgua), es dec etenecen a una msma tangulacón. Cuando se está odenando este vecto, o cualque oto donde suceda el msmo oblema y este unto es consdeado, el algotmo se encuenta en la sguente stuacón: Se tene el unto b = etenecente al vecto odenado B 6, y necestamos 6 6 n c j enconta el sguente, b 6 n+. Exsten untos etenecentes a 6 C que cumlen con se vecnos de b 6 n y a la vez son dstntos a b 6 n, estos seían c 6 y c 6 k. Como el algotmo admte sólo uno, escogeá cualquea de los dos. Ocón A: S el algotmo escoge b + = c, luego, aa enconta 6 6 n b 6 n+, exste un sólo unto que cumle con etenece a 6 C y a la tangulacón de 6 b n+ y es dstnto de este unto seía c 6 k, luego seguía con c 6 j y el vecto se odenaía coectamente, ve Fgua b n, 47

59 Detalle B 6 c h 6 6 c c k 6 c j unto elmnado Fgua 3-36: RB, Seccón B, oblema Ocón B: S el algotmo escoge 6 6 b n+ = ck, luego, hay que enconta b 6 n+. Nuevamente nos encontamos con dos untos, 6 c y 6 c j, que cumlen con etenece a la tangulacón de 6 b n+ y son dstntos de 6 b n. Ocón B.: S se escoge b + = c el vecto seguá odenándose coectamente, ya 6 6 n j que 6 c no etenece a la tangulacón de c 6 j y o lo tanto no se escogeá aa contnua con el oden del vecto. Ocón B.: S se escoge b + = c el algotmo contnuaá con la búsqueda de 6 6 n b 6 n+3, y no exste nngún unto que cumla con las condcones muestas 6 6 ( b b y n + 3 n + b + b ). De esta foma, el algotmo se detene y esulta un 6 6 n 3 m vecto 6 B ncomleto. 48

60 Se adotó como solucón elmna el unto 6 c, de esta foma el únco camno del algotmo es toma la ocón B.. La caacteístca ncal de este unto es que sólo tene 4 vecnos, o esta azón se elmnaon todos los untos con N = 4. Ocón A Ocón B 6 b n 6 c h 6 b n+ 6 c 6 c k 6 b n+ 6 c k 6 c j 6 c 6 b n+3 6 c j 6 b n+3 B. B. Fgua 3-37: osbles camnos aa odena C 6 en el ejemlo de la Fgua 3-3 oblema : Lamentablemente, la solucón al oblema genea un segundo eo en el códgo. S obsevamos el detalle C en la Fgua 3-38, veemos que se oduce un nuevo eo debdo a la elmnacón de untos. Al odena el vecto 5 C, cuando ya se han elmnado los untos con 4 vecnos, nos toamos con vacíos. Al llega al unto b 5 n, debemos enconta el sguente b 5 n+, obsevando la fgua, vemos que nnguno de los untos de C 5 cumle con las condcones muestas. aa solucona este oblema, debemos enconta el unto que sgue. aa esto extendeemos la vecndad del unto La Fgua 3-39 muesta en una malla cualquea un unto, sus vecnos nmedatos y una extensón de su vecndad. Esta extensón la confoman todos aquellos untos que etenecen a la tangulacón de los untos vecnos, menos estos últmos. Al extende el alcance de la vecndad de 5 b n, odemos enconta el sguente unto 5 b n+. 5 b n. 49