CAPITULO 5. TRABAJO Y ENERGIA.

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1 CAPITULO 5. TRABAJO Y ENERGIA. El poblema undamental de la Mecánca es descb como se moveán los cuepos s se conocen las uezas aplcadas sobe él. La oma de hacelo es aplcando la segunda Ley de Newton, peo s la ueza no es constante, es dec la aceleacón no es constante, no es ácl detemna la velocdad del cuepo n tampoco su poscón, po lo que no se estaía esolvendo el poblema. Los conceptos de tabajo y enegía se undamentan en las Leyes de Newton, po lo que no se equee nngún pncpo ísco nuevo. Con el uso de estas dos magntudes íscas, se tene un método altenatvo paa descb el movmento, espacalmente útl cuando la ueza no es constante, ya que en estas condcones la aceleacón no es constante y no se pueden usa las ecuacones de la cnemátca anteomente estudadas. En este caso se debe usa el poceso matemátco de ntegacón paa esolve la segunda Ley de Newton. Ejemplos de uezas vaables son aquellas que vaían con la poscón, comunes en la natualeza, como la ueza gavtaconal o las uezas elástcas. 5.1 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE. S la ueza F que actúa sobe una patícula es constante (en magntud y deccón) el movmento se ealza en línea ecta en la deccón de la ueza. S la patícula se desplaza una dstanca x po eecto de la ueza F (gua 5.1), entonces se dce que la ueza ha ealzado tabajo W sobe la patícula de masa m, que en este caso patcula se dene como: W = F x Fgua 5.1 Fueza hozontal constante que ealza un desplazamento x. 143

2 S la ueza constante no actúa en la deccón del movmento, el tabajo que se ealza es debdo a la componente x de la ueza en la deccón paalela al movmento, como se ve en la gua 5.a. La componente y de la ueza, pependcula al desplazamento, no ealza tabajo sobe el cuepo. Fgua 5.a Fueza constante que oma un ángulo α con el desplazamento x. S α es el ángulo meddo desde el desplazamento x haca la ueza F, el valo del tabajo W es ahoa: W = ( F cosα) x De acuedo a la ecuacón anteo, se pueden obtene los sguentes conclusones: a) s α = 0º, es dec, s la ueza, como en la gua 5.1, o una componente de la ueza, es paalela al movmento, W = (F cos 0) x = F x; b) s α = 90º, es dec, s la ueza o una componente de la ueza es pependcula al movmento, W = (F cos90) x = 0, no se ealza tabajo; c) s la ueza aplcada sobe el cuepo no lo mueve, no ealza tabajo ya que el desplazamento es ceo; d) s 0 < α < 90º, es dec, s la ueza tene una componente en la msma deccón del desplazamento, el tabajo es postvo; e) s 90º < α < 180º, es dec, s la ueza tene una componente opuesta a la deccón del desplazamento, el tabajo es negatvo. De estas conclusones se deduce que el tabajo, paa una ueza constante, se puede expesa de la sguente oma: 144

3 W = F El tabajo es una magntud ísca escala, obtendo del poducto escala de los vectoes ueza y poscón. De la expesón anteo, po la dencón de poducto escala, queda clao que el tabajo puede se postvo, negatvo o ceo. Su undad de medda en el SI es N m que se llama Joule, símbolo J. Otas uezas actúan sobe el cuepo de masa m (peso, oce, nomal, etc.), po lo que la ecuacón anteo se eee sólo al tabajo de la ueza F en patcula; las otas uezas tambén pueden ealza tabajo. En la gua 5. las uezas peso y nomal no ealzan tabajo ya que son pependculaes al desplazamento y la ueza de oce ealza tabajo negatvo, ya que sempe se opone al desplazamento. El tabajo total sobe la patícula es la suma escala de los tabajos ealzados po cada una de las uezas. Ejemplo 5.1: Con una ueza de 50 N que oma un ángulo de 60º con la hozontal se empuja una caja de 50 kg, en una supece áspea hozontal (gua 5.a). La caja se mueve una dstanca de 5m con apdez constante. Calcula: a) el tabajo ealzado po cada ueza, b) el coecente de oce. Solucón: Las uezas que actúan sobe la caja son F, nomal, oce y peso, el dagama de cuepo lbe se muesta en la gua 5.b. Fgua 5.b. Ejemplo 5.1 a) La dencón de tabajo es W = F, que se aplca a cada ueza 145

4 Paa F: W F = (F cosα) x = 50 (cos60) 5 = 65 J Paa N: W N = (N cos90) x = 0 Paa mg: W P = (mg cos70) x = 0 Paa F R : W R = (F R cos180) x, Como no se conoce el valo de la ueza de oce, se debe calcula, del DCL y aplcando la pmea ley de Newton, ya que la caja se mueve con apdez constante, se obtene: Eje x: F cosα - F R = 0 (1) Eje y: F senα + N - mg = 0 () De (1) F R = F cosα = 50 cos60 = 15 N, eemplazando en el tabajo, W R = 15 cos180 5 = -65 J b) Po dencón, F R =µ N, despejando N de () se tene N = mg - F senα, entonces: F R = µ ( mg Fsenα ) µ = F R mg Fsenα µ = sen60 = TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE. S una ueza vaable F está movendo a un objeto a lo lago del eje x desde una poscón ncal a ota nal, ya no se puede usa la expesón anteo paa calcula el tabajo ealzado po la ueza. En este caso se puede hace que el 146

5 cuepo expemente pequeños desplazamentos dx, entonces la componente F x de la ueza en la deccón del desplazamento se puede consdea apoxmadamente constante en ese ntevalo dx y se puede calcula un tabajo dw en ese pequeño desplazamento como: dw = F x dx S se calcula el tabajo total en el desplazamento desde la poscón ncal a la nal, este es gual a la suma de todos los pequeños tabajos dw, esto es: W = dw W = x x Fxdx Matemátcamente, el valo de la ntegal es numécamente gual al áea bajo la cuva de F x vesus x (gua 5.3). S actúan más de una ueza sobe el cuepo, el tabajo esultante es el ealzado po la componente de la ueza esultante en deccón del desplazamento, entonces en témnos del poducto escala en tes dmensones, el tabajo total es: W TOTAL = F d (5.1) Fgua

6 Ejemplo 5.: Calcula tabajo ealzado po un esote. Cap. 5 Tabajo y Enegía. Un sstema ísco común en el que la ueza vaía con la poscón, es el de un cuepo conectado a un esote. S el esote, oentado en deccón del eje x, se deoma desde su conguacón ncal, es dec se esta o se compme, po eecto de alguna ueza extena sobe el esote, nstantáneamente actúa una ueza F poducda po el esote conta el objeto que ejece la ueza extena, cuya magntud es: F = - k x donde x es la magntud del desplazamento del esote desde su poscón no deomada en x = 0 y k una constante postva, llamada constante de ueza del esote, que es una medda de la gdez (dueza) del esote. Esta ecuacón se llama Ley de Hooke, y es válda paa pequeños desplazamentos, ya que s el esote se esta demasado, puede deomase y no ecupea su oma ognal. El sgno negatvo ndca que la deccón de esta ueza es sempe opuesta al desplazamento, como se lusta en la gua 5.4, donde F epesenta la ueza poducda po el esote. Fgua

7 S el cuepo se desplaza desde una poscón ncal a la nal, el tabajo ealzado po el esote es: W = x x 1 1 ( kx) dx = kx kx Po ejemplo, paa un esote de k = 100 N/m, que se esta 10 cm (= x ), el tabajo que ealza la ueza del esote paa ecupea su poscón ncal no deomada (x = 0) es 0.5 J. 5.3 ENERGÍA CINÉTICA. Cuando se hace tabajo conta el oce, se obseva que en la supece de los cuepos en contacto se poduce un aumento de tempeatua. Es poque se ha poducdo una tansomacón desde movmento a calo, es dec que se ha poducdo una tanseenca de enegía de movmento a enegía calóca. En otas tansomacones se poduce enegía en oma de luz, sondo, eléctca, nuclea, etc. En las tansomacones se mden cambos de enegía cuando se ealza tabajo, apaecen las uezas que ealzan tabajo, po lo tanto el tabajo es una medda de las tanseencas de enegía. El concepto de enegía se puede genealza paa nclu dstntas omas de enegía conocdas como cnétca, potencal, calóca, electomagnétca, etc. De esta oma, la mecánca de los cuepos en movmento se elacona con otos enómenos natuales que no son mecáncos po ntemedo del concepto de enegía. El concepto de enegía nvade toda la cenca y es una de las deas uncadoas de la Físca. Cuando una ueza actúa sobe un cuepo, le poduce una aceleacón duante su desplazamento. El tabajo ealzado po la ueza paa move al cuepo es: W TOTAL = F d Po la segunda Ley de Newton se tene: 149

8 dv dv d F ma m m mv dv = = = =, dt d dt d Cap. 5 Tabajo y Enegía. eemplazando en el tabajo total, se obtene: W TOTAL dv = mv d = m d v v 0 vdv = 1 mv 1 mv 0 La cantdad ½mv, se llama enegía cnétca, E c, es enegía que se obtene po el movmento, es sempe postva poque la apdez está al cuadado. Ec = 1 mv (5.) Po lo tanto, el tabajo ealzado po la ueza esultante sobe una patícula es gual al cambo de enegía cnétca, enuncado que se conoce como el Teoema del Tabajo y la Enegía. Cuando la apdez es constante, no hay vaacón de enegía cnétca y el tabajo de la ueza neta es ceo. La undad de medda de la enegía cnétca es el Joule, J. 5.4 POTENCIA. Paa nes páctcos nteesa tambén conoce la apdez con la cual se ealza tabajo. Esta nomacón la entega la potenca, que se dene como la apdez de tanseenca de enegía. S se aplca una ueza extena a un cuepo y se ealza tabajo dw en un ntevalo de tempo dt, la potenca nstantánea P (cudado de no conund con el peso de un cuepo) se dene como: 150

9 dw P = dt La undad de medda de la potenca en el SI es J/s, que se llama Watt, símbolo W (cudado de no conund con el tabajo). Como dw = F d, se puede escb la potenca como: F d P = = F v (5.3) dt Se puede den una nueva undad de enegía en témnos de la undad de potenca, llamada klowatt-hoa. Un klowatt-hoa (kwh) es la enegía utlzada duante una hoa con una potenca constante de 1 kw. El valo de un kwh es: 1 kwh = 1000 W 3600 s = 3.6 x 10 6 J. El kwh es undad de enegía, no de potenca. Po ejemplo, paa encende una ampolleta de 100 W de potenca se equeen entegale 3.6 x 10 5 J de enegía duante una hoa, equvalente a 0.1 kwh. Notemos que esta es una undad de medda que nos ndca que la enegía es una magntud ísca que, aunque abstacta, tene valo comecal, se puede vende y compa, ya que po ejemplo, todos los meses pagamos po una detemnada cantdad de klowatt-hoa o enegía eléctca paa nuestos hogaes, en cambo no se pueden compa 50km/h de apdez, peo s compamos enegía en oma de gasolna paa hace que un vehículo pueda movese. Ejemplo 5.3: Un mueble de 40 kg que se encuenta ncalmente el eposo, se empuja con una ueza de 130 N, desplazándolo en línea ecta una dstanca de 5 m a lo lago de un pso hozontal de coecente de oce 0.3 (gua 5.1). Calcula: a) el tabajo de la ueza aplcada, b) el tabajo del oce, c) la vaacón de enegía cnétca, d) la apdez nal del mueble, e) la potenca nal de la ueza aplcada. 151

10 Solucón: El dagama de cuepo lbe paa el mueble de masa m de la gua 5.1 se muesta en la gua 5.5. a) W = F = F cos 0º x = Fx W F = (130N)(5m) = 650J b) F R =µ N = µ mg WR = FR = FR (cos180) x = µ mgx W R = = -600 J Fgua 5.5 Poblema 5.3 c) W Total = E c W F +W N +W R +W P = E c, peo W N = W P = 0, ya que las uezas nomal y peso son pependculaes al desplazamento, entonces: E c = W F +W R = = 50 J d) Paa calcula la apdez nal, usamos el esultado anteo E C = 1 0 mv 1 mv 1 = mv v = E m C v = E m = 50 = 40 C 1. 6 m s e) Usando la dencón de potenca: P P = F v = F cos 0º v = Fv = = 08( watt) 15

11 5.5 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS. Se llaman uezas consevatvas aquellas paa las cuales el tabajo ealzado po las uezas paa move un cuepo ente dos puntos po cualque tayectoa abtaa, no depende de la tayectoa que une los puntos. Las uezas que dependen de la poscón son consevatvas, po ejemplo: la gavtaconal, elástca, electomagnétca, etc. Supone que una patícula se mueve, po la accón de una ueza, desde una poscón ncal P hasta ota poscón nal Q, po tayectoas abtaas 1 y, como se ve en la gua 5.6a. S la ueza es consevatva, entonces el tabajo paa move la patícula desde P a Q sólo depende de las coodenadas ncal y nal de la patícula, esto es: W PQ (po tayectoa 1) = W PQ (po tayectoa ) Fgua 5.6a Fgua 5.6b S ahoa la patícula se mueve desde P hasta Q po la tayectoa 1 y luego egesa desde Q hasta P po la tayectoa (gua 5.6b), se obseva que en el egeso, W QP (po tayectoa ) = -W PQ (po tayectoa ), entonces: W PQ (po tayectoa 1) = -W QP (po tayectoa ) W PQ (po tayectoa 1) + W QP (po tayectoa ) = 0 153

12 Entonces, s la patícula se mueve desde una poscón ncal, ealza un ccuto donde egesa a la msma poscón ncal, el tabajo ealzado po una ueza consevatva en una tayectoa ceada es ceo. Po el contao, las uezas no consevatvas o uezas dspatvas son aquellas paa las cuales el tabajo ealzado po las uezas paa move una patícula ente dos puntos, depende de la tayectoa que se ealce paa un los puntos. Paa las uezas no consevatvas se tene que, W PQ (po tayectoa 1) W PQ (po tayectoa ). Las uezas de oce, que sempe se oponen al desplazamento, son no consevatvas o dspatvas, el tabajo de estas uezas es negatvo y le hacen pede enegía al sstema. 5.6 ENERGÍA POTENCIAL. El tabajo ealzado po una ueza consevatva es ndependente de la tayectoa y de la apdez con la que se mueve la patícula. En este caso el tabajo es sólo uncón de las coodenadas, po lo que se puede asoca con una vaacón de enegía uncón de la poscón, smla al caso de la enegía cnétca que es uncón de la velocdad. Las uezas que son uncón de la poscón genean enegía de poscón, a la que se llama enegía potencal. El tabajo ealzado po la ueza se almacena como enegía potencal en el objeto en movmento. Se dene la enegía potencal E P, a aquella que puede obtenese en vtud de la poscón del cuepo, tal que el tabajo ealzado po la ueza consevatva ente dos poscones, es gual a la dsmnucón de la enegía potencal, esto es, el tabajo ealzado po una ueza consevatva es gual al valo negatvo del cambo de enegía potencal asocada con la ueza: W = F d = E P = E P E P Se puede eleg una poscón de eeenca ncal y med las deencas de enegía potencal especto a ese punto y den una uncón enegía potencal en cualque poscón como: 154

13 E P = ( ) F d + E P El valo de E P genealmente no se conoce, po lo que se elge una poscón abtaa, donde po convencón se le asgna el valo ceo a la enegía potencal ncal, E P = 0, ya que po su dencón, sólo tene sgncado ísco el cambo de enegía potencal. Esta poscón abtaa se llama nvel de eeenca y puede se cualquea; genealmente se toma como nvel de eeenca la supece de la Tea o cualque ota poscón convenente, peo una vez que se ha elegdo no debe cambase. Con esta eleccón, se dene la enegía potencal en una poscón como: E P ( ) = F d (5.4) Paa las uezas no consevatvas no exste una uncón de enegía potencal, ya que el tabajo, que depende de la tayectoa, no es uncón de la poscón ncal y nal de la patícula. Ejemplo 5.4. Calcula la enegía potencal de la ueza peso. Se calculaá el tabajo y la enegía potencal paa una patícula que se deja cae lbemente desde una poscón ncal y a ota poscón nal y (gua 5.7). La ueza que poduce el movmento de la patícula es la gavtaconal, que paa caída lbe es el peso P = mg, entonces el tabajo es: W y = F d = mg( ˆ) j dy( ˆj ) y W = mgy mgy Esto demuesta que la ueza gavtaconal es consevatva, ya que el tabajo ealzado po esa ueza depende sólo de las poscones ncal y nal de la patícula. 155

14 Fgua 5.7. Ejemplo 5.4. La vaacón de enegía potencal de la patícula es: E = W = ( mgy mgy ) = mgy P mgy Como las poscones ncal y nal son abtaas, se dene la enegía potencal de la ueza gavtaconal, o smplemente enegía potencal gavtaconal E g, válda en las condcones de caída lbe, po la expesón: E g = mgy (5.5) Ejemplo 5.5. Calcula la enegía potencal de la ueza elástca. Ota ueza consevatva es la que ejece un esote deomado sobe un cuepo jo a él. El tabajo ealzado po la ueza elástca del esote sobe el cuepo ya se calculó, y es: W = x x 1 1 ( kx) dx = kx kx = EP = EP EP 156

15 Esto pemte den la enegía potencal elástca E E almacenada en un esote como: EE = 1 kx (5.6) La enegía potencal elástca es ceo cuando el esote no está deomado, es máxma cuando alcanza su deomacón máxma y es sempe postva ya que es popoconal a x. 5.7 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA. Cuando una patícula se mueve po la accón de una ueza consevatva, po el teoema del tabajo y la enegía se tene que el tabajo ealzado po la ueza es gual a la vaacón de enegía cnétca de la patícula: W = E c Peo como la ueza es consevatva, entonces W = - E P, donde E P puede se la enegía potencal gavtaconal, elástca o cualque ota oma de enegía potencal mecánca. Igualando ambas expesones del tabajo se obtene: E c = E P E c + E P = 0 ( E c + E P ) = 0 esta ecuacón se puede escb tambén de la sguente oma: E + E = E + E c P c P 157

16 Se puede den la enegía mecánca total como la suma de la enegía cnétca y la enegía potencal: E = E c + E P entonces se obtene la ley de consevacón de la enegía mecánca, que se escbe como: E = E E = cte (5.7) La ley de consevacón de la enegía mecánca establece que la enegía mecánca total de un sstema pemanece constante s las úncas uezas que ealzan tabajo sobe el sstema son consevatvas. Cuando una cantdad ísca no camba, decmos que se conseva. Dec que la enegía se conseva sgnca que la cantdad total de enegía de un sstema natual no camba, no se puede cea n destu enegía, sólo se puede convet de una oma a ota. Es una de las leyes undamentales de la Físca, deducda a pat de una de las leyes undamentales de la mecánca, la segunda ley de Newton. S las uezas pesentes en un sstema mecánco no son consevatvas, como ocue en los sstemas eales, la enegía apaentemente no se conseva, poque se tansoma en oto tpo de enegía. Po ejemplo, la ueza de oce se dce que es dspatva poque dspa enegía, que se tansoma en calo en la supece de contacto ente los cuepos. En eecto, se puede aplca el teoema del tabajo y la enegía tomando en cuenta la exstenca de las uezas no consevatvas. S W NC es el tabajo sobe una patícula de todas las uezas no consevatvas y W C el tabajo de todas las uezas consevatvas, entonces: W NC + W C = E c Como W C = - E P entonces: 158

17 W W W W NC NC NC NC = E = ( E = ( E = E C C C + E E + E E C P P ) + ( E ) ( E P C E + E P P ) ) = E E Es dec, el tabajo ealzado po todas las uezas no consevatvas es gual al cambo de enegía mecánca total del sstema. Ejemplo 5.6. Consevacón de la enegía en el movmento de caída lbe. Aplcando el pncpo de consevacón de la enegía paa un cuepo en caída lbe, se obtene a la sguente expesón: E = cte E + E = E + E c g c g 1 1 mv + mgy = mv + mgy S se conoce la apdez ncal y la poscón ncal y nal de la patícula, se puede calcula su apdez nal: v = v + g( y y ) expesón equvalente a la obtenda po métodos cnemátcos. Ejemplo 5.7. Paa el sstema de la gua 5.8, donde el cuepo de masa m deslza desde una altua h po la supece cuva sn oce, calcula la compesón máxma del esote de constante k, cuando la masa choca con él. Solucón: s no hay oce, se conseva la enegía mecánca, entonces: E = cte E + E + E = E + E + E c g E c g E 159

18 1 1 1 mv + mgy + kx = mv + mgy + 1 kx Fgua 5.8 Ejemplo 5.7 Elgendo el punto ncal en la pate supeo de la psta cuva y el punto nal en la poscón de la máxma compesón del esote (gua 5.8), la enegía cnétca ncal y nal es ceo, poque m pate del eposo, v = 0, y en la compesón máxma del esote v = 0 ya que se detene; la enegía gavtaconal ncal es mgy = mgh, ya que y = h y la nal es ceo en el suelo, poque se consdea que la altua y es ceo; la enegía elástca ncal es ceo poque en esa poscón no hay esote, entonces queda: mgh = 1 kx x = mgh k donde x es la compesón máxma del esote. 5.8 ENERGIA Y LA MAQUINA HUMANA. La magntud Físca tal vez más mpotante en la descpcón de la natualeza es la Enegía. Es un concepto dícl de den; no sempe se advete y camba de aspecto con acldad asombosa. Las omas bajo las cuales se pesenta la enegía, suelen se tan deentes que la humandad demoó sglos en econocela. Su mpotanca pncpal adca en su pemanenca; veemos que puede amase que la enegía es una magntud nceable e ndestuctble. Esta caldad de pemanenca consttuye un concepto uncado mpotante, poque 160

19 enómenos tan dvesos como el unconamento de un moto y el movmento del cuepo humano, puede analzase en uncón del paso contnuo de enegía de una a ota de sus omas y su smultánea tanseenca de un cuepo a oto. Son dvesas las omas bajo las cuales puede pesentase la enegía la enegía: un cuepo po el sólo hecho de esta en movmento posee enegía cnétca; el msmo cuepo u oto en vtud de su poscón especto a un ceto nvel de eeenca tene enegía potencal gavtaconal; un cuepo elástco que ha sdo deomado posee enegía potencal elástca. La lsta de omas de enegía no temna aquí. Se dce que los cuepos que otan, poseen enegía de otacón; los que vban, enegía vbaconal; las ondas como las ondas manas tanspotan enegía ondulatoa; las ondas lumnosas, enegía lumnosa; los cables eléctcos tanspotan enegía eléctca; en el nteo del átomo tenemos enegía atómca, enegía nuclea; en las eaccones químcas estamos en pesenca de enegía químca, etc. Es un hecho compobado que hay muchos casos en los que apaentemente no se mantene constante la suma de la enegía cnétca y potencal de un cuepo o cuando se aplcan uezas extenas sobe él, el tabajo ealzado no se nvete en su totaldad en aumenta la enegía cnétca o potencal. Po ejemplo, s dejamos cae un objeto al suelo, llega con ceta velocdad (con ceta enegía cnétca), peo al llega se detene y pede su enegía cnétca sn que gane enegía potencal. S aastamos un cuepo po el suelo, movéndolo con velocdad apoxmadamente constante, en ealdad tenemos que ealza una ueza y po tanto, al habe desplazamento, un tabajo, peo este tabajo no se emplea en aumenta la enegía potencal, poque el cuepo se desplaza hozontalmente, n enegía cnétca, poque la velocdad no aumenta. Qué ha pasado con la enegía cnétca en el pme caso? Qué ha ocudo, en el segundo, con la enegía que en oma de tabajo se le sumnstó al cuepo? La espuesta es: la enegía que ha desapaecdo se ha tansomado en enegía ntena del suelo o del cuepo que se mueve. Nótese que no decmos que se ha tansomado en calo, como se podía espea, sno en enegía ntena. En oto cuso de ísca se hablaá del calo y veemos la azón de esta dstncón. En conclusón, vvmos odeados de enegía. No sólo la enegía ntínseca de las moléculas, átomos y núcleos, sno tambén manestacones de la enegía a escala macoscópca como esultado de la oganzacón pacal del movmento molecula, tal como la enegía del vento en una tomenta, la enegía del agua en una cataata, de un ío o de las maeas, la enegía del vapo poducdo 161

20 en un volcán o en el nteo de la Tea, etc. Uno de los gandes poblemas es dseña los medos paa que esa enegía pueda apovechase bajo contol en la oma que nos nteese, esto es, como enegía útl. Sn embago, sólo sabemos tansoma en enegía útl una pequeñísma accón de la enegía a nuesto alededo, debdo en gan pate a la alta de oganzacón en la matea y a que, paa poduc ceta oganzacón molecula, es necesao a su vez nvet ceta enegía Cómo camna la máquna humana? El movmento del cuepo humano se explca con los msmos pncpos de ueza y tabajo que descben todo movmento. Las máqunas smples, en oma de palancas, dan la capacdad paa camna y coe. Los sstemas de palanca del cuepo son complejos, peo en un modelo se pueden consdea cuato pates báscas que se muestan en la gua 5.9: 1 una baa ígda (un hueso), una uente de ueza (un músculo), 3 un punto de apoyo (atculacones móvles ente los huesos) y 4 una esstenca (peso del cuepo u objeto que se levanta o mueve). Los sstemas de palanca del cuepo humano no son muy ecentes, po esto camna y coe equee enegía (se queman caloías) y ayuda a que las pesonas bajen de peso. Fgua 5.9. Modelo del sstema de palanca del cuepo humano. 16

21 Cuando una pesona camna, la cadea actúa como punto de apoyo y se mueve a tavés del aco de un cículo centado en el pe. El cento de masa del cuepo se mueve como una esstenca alededo del punto de apoyo en el msmo aco. La longtud del ado del cículo es la longtud de la palanca omada po los huesos de la pena. Los atletas de macha ncementan su apdez balanceando las cadeas haca aba paa aumenta este ado Atculacones atcales. Se han logado gandes avances en el dseño y susttucón de atculacones lesonadas po atculacones atcales. Debdo a las nmensas tensones de las atculacones en los bazos y las penas, loa mateales con los cuales se elaboan las pates atcales y las unones deben se extemadamente uetes. El ttano es un mateal común usado paa elaboa atculacones atcales. Peo ahoa se está desaollando y pobando la esstenca de plástcos lgeos y mateales smlaes a los huesos. Las unones pemanentes en las atculacones atcales genealmente se hacen po medo de cementos especales, po jacón bológca con un sstema de ajuste pecso. En la jacón bológca se usa un mateal pooso que pemte al hueso cece dento de la paed atcal. Huesos de ajuste pecso son hechos de manea tan exacta que encajan en su sto alededo de los huesos natuales. Sn mpota el método usado, las atculacones atcales deben se capaces de sopota las cagas nomales. Las atculacones de la cadea y el codo son las áeas que sopotan el mayo esuezo. La atculacón edondeada de la cadea sopota la mayo pate del peso del cuepo y es esencal paa camna. Aunque el codo no es una atculacón que sopote mucho peso, es el punto de apoyo de la palanca del antebazo y debe sopota esuezos sgncatvos. Po ejemplo al sostene un peso de 10N (1kg) en la palma de la mano con el codo omando un ángulo de 90º, sobe el se ejece una ueza de 90N (9kg). 163

22 PROBLEMAS Una patícula de 4 kg. se mueve desde el ogen hasta la poscón C que tene coodenadas x=5m e y=5m con la nluenca de la ueza de gavedad, la cual actúa en la deccón y negatva (gua 5.10). Calcule el tabajo ealzado po la gavedad al de O a C a lo lago de las sguentes tayectoas: a) OAC, b) OBC, c) OC. R: -00 J. 5.. Una ueza que actúa sobe una patícula que se mueve sobe el plano hozontal xy está dada po F = ( yî + x ĵ)n, en donde x e y están en m. La patícula se mueve desde el ogen hasta una poscón nal C de coodenadas x=5m e y=5m, como en la gua Calcula el tabajo eectuado po la ueza a lo lago de a) OAC, b) OBC, c) OC. d) F es consevatva o no consevatva? R: a) 15 J, b) 50 J, c) 66.7 J d) No. Fgua 5.10 Poblemas 5.1 y 5. N actúa sobe una patícula de 4 kg. a) Calcule el tabajo eectuado po esta ueza s la patícula se mueve desde el ogen hasta un punto cuyo vecto de poscón es = ( î 3 ĵ) m. Este esultado depende de la tayectoa? Explca b) Cuál es la apdez de la patícula en s su apdez en el ogen es 4 m/s. c) Cuál es el cambo en la enegía potencal de la patícula? R: a) 9 J, b) 3.4 m/s, c) 9 J Una sola ueza constante F = ( 3î + 5 ĵ) 5.4. El Nco ecbe un sevco del Feña con una pelota de tens de 50 g, la cual al llega a la aqueta del Nco con una apdez de 00 km/h, la hunde cm, se detene y sale nuevamente dspaada (todo eso ocue en 164

23 un ntevalo de tempo muy pequeño). Calcula: a) la enegía cnétca de la pelota antes que golpee la aqueta, b) el tabajo ealzado sobe la pelota duante el golpe, c) la ueza meda sobe la pelota. R: a) 77J, c) 3850N 5.5. Sobe un cuepo de kg que se movía ncalmente con una apdez de 5 m/s haca la deecha, en una supece hozontal, se aplca una ueza de 10 N nclnada 30º especto a la hozontal. El desplazamento mentas se ejece la ueza ue de 5 m, y el coecente de oce es 0.5. Calcula a) el tabajo ealzado po cada ueza sobe el cuepo, b) la vaacón de enegía cnétca, c) la velocdad nal del cuepo. R: b) 4.5 J, c) 7 m/s Sobe un cuepo de masa M que se movía ncalmente con una apdez v 0 haca la deecha, en una supece hozontal de coecente de oce µ, se aplca una ueza de magntud F nclnada α sobe la hozontal. El desplazamento mentas se ejece la ueza ue D. Calcula: a) el tabajo ealzado po F sobe el cuepo, b) el tabajo ealzado po la ueza de oce, c) la vaacón de enegía cnétca, d) la apdez nal del cuepo. Expesa los esultados en uncón de los valoes conocdos M, v 0, µ, F, α y D. R: b) -µ(mg-fsenα)d, d) v o ( D M )[ F α µ ( Mg Fsenα )] + cos 5.7. Una ueza F paalela a un plano nclnado en 37º, se aplca sobe un bloque de masa 50 kg. El bloque se mueve con una apdez constante de 10 m/s haca aba del plano, una dstanca de 0 m. El coecente de oce cnétco ente el bloque y el plano nclnado es 0.. Calcula el tabajo eectuado sobe el bloque po las uezas a) F, b) oce y c) de gavedad. R: a) 7.5 kj, b) 1.6 kj, c) 6 kj Un bloque de 5 kg. se pone en movmento subendo po un plano nclnado en un ángulo de 30 especto a la hozontal, con una apdez ncal de 8 m/s. El bloque alcanza el eposo después de ecoe 3 m a lo lago del plano nclnado áspeo. Detemne: a) el cambo en la enegía cnétca. b) el cambo en la enegía potencal. c) la ueza de oce sobe el bloque. d) el coecente de oce cnétco. R: a) 160 J, b) 73.5 J, c) 8 N, d)

24 5.9. Algunos alumnos de Físca, después de sabe el esultado de su pme cetamen, se peman subendo vaas veces al ceo del EULA. a) Cuánto tabajo ealzan en n subdas? b) Compaa la potenca cuando suben el ceo coendo con la potenca cuando bajan lentamente. c) Un klo de gasa entega unos 10 kwh de enegía, s se convete gasa en enegía con un endmento del 0%, a un ceo de que altua tendían que sub paa baja klos de peso? R: a) n(mgh), c) s m=7 kg, 0 km Po una seccón untaa del Salto del Laja luye agua a azón de Q kg/s. Suponendo que de la potenca geneada po la caída del agua en el salto se apovecha un 58%, Cuántas ampolletas de 100 W se podían encende con esa potenca? R: depende de valoes estmados Se tene un sstema omado po 5 esetas de masa M undas po cuedas tensas de masa despecable, sepaadas L ente sí, colocado ncalmente en oma hozontal. Calcula el tabajo necesao paa pone una a una todas las esetas en poscón vetcal. R: 10 MgL Un bloque de masa m se suelta desde la pate supeo de una psta lsa omada po un cuadante cóncavo de ccuneenca de ado R po la cual deslza. Cuando llega al extemo neo choca con un esote de constante k que se encuenta ubcado sobe una supece hozontal. Calcula: a) la enegía cnétca del cuepo justo antes de choca con el esote, b) la compesón máxma del esote. R: a) mgr, b) mgr / k Una esea de 0.5 kg deslza po un el cuvo a pat del eposo en el punto A de la gua El tamo de A a B no tene oce y el de B a C s tene oce. a) Calcula la apdez de la esea en B. b) S la esea llega al eposo en C, calcula el tabajo po el oce en el tamo BC. R: a) 4.5 m/s, b).5 J Un bloque de masa m comenza a movese desde una altua H sobe un plano nclnado en 30. Al llega a la pate neo del plano, el bloque se deslza po una supece hozontal. S el coecente de ccón en ambas supeces es µ, calcula la dstanca hozontal que deslzaá el bloque antes de llega al eposo. 166

25 Fgua 5.11 Poblema Desde el extemo supeo de un plano nclnado α especto a la hozontal, de coecente de oce de µ, deslza desde el eposo, un bloque de masa M. El bloque se mueve una longtud L antes de compm a un esote de constante K ubcado en la pate neo del plano. a) Calcula, en uncón de los valoes conocdos M, L, K, µ, α y g, la apdez del bloque justo antes de toca al esote. b) Deduc (no esolvela) la expesón que pemte calcula la máxma compesón del esote Desde la base de un plano nclnado 30º especto a la hozontal, se lanza en subda un cuepo de 1 kg. El cuepo ecoe 0.5 m y después compme 0.1 m un esote de constante 100 N/m ubcado en la pate supeo del plano antes de detenese. a) S el plano es lso, detemne la apdez ncal del cuepo. b) S la apdez con la que el cuepo nca la subda del plano uea el doble de la calculada en a) y el coecente de oce ente el cuepo y el plano uea de 0., cuánto se compmá el esote? c) y s la apdez se educe a la mtad? R: a).64 m/s, b) 0.38 m. c) no hay compesón Un bloque de 1kg que cuelga po el costado de una mesa se conecta po una cueda que pasa po una polea deal a un esote de constante 100 N/m, ubcado hozontalmente sobe la mesa, jo en el oto extemo. Se sostene ncalmente al bloque en eposo mantenendo al esote sn esta y luego se suelta. Calcula: a) el estamento máxmo del esote. b) la apdez del bloque cuando el esote se ha estado la mtad del alagamento máxmo. R: a) 0. m, b) 1 m/s Una pelota descbe una ccuneenca vetcal en el extemo de una cueda. S la enegía total de la pelota pemanece constante, demueste 167

26 que la tensón en la cueda en la pate más baja es mayo que la tensón en el punto más alto en ses veces el peso de la pelota A la masa de 1 kg de un péndulo de 1 m de longtud, se la mpulsa con una apdez ncal de m/s en su poscón más baja. Cuando la cueda oma un ángulo de 30º con la vetcal, calcula: a) la vaacón de enegía gavtaconal de la masa, b) la apdez de la masa, c) la altua máxma alcanzada po la masa po sobe su poscón más baja. R: a) 1.3J, b) 1.m/s, c) 0.m Tazán de masa M, paa mpesona a Jane, se balancea de una lana de longtud L (como un péndulo) alcanzando una apdez v o en su poscón más baja, esto es cuando la lana se encuenta vetcal. Luego, cuando la lana oma un ángulo α con la vetcal, calcula en uncón de los valoes conocdos M, L, v o, α y g: a) la apdez de Tazán, b) la tensón en la lana. c) altua máxma alcanzada po Tazán desde su poscón más baja La esea de masa m de un péndulo de longtud L se mantene ncalmente en poscón vetcal. Cuando sopla un vento con una ueza constante F no consevatva, demueste que s la esea comenza a movese L desde el eposo, la altua máxma que alcanza es H =. 1+ ( mg F) 5.. Una masa de peso P se amaa a un hlo de pesca que puede sopota hasta un peso de 4P. S la masa se suelta desde el eposo en la poscón hozontal, calcula el ángulo especto a la vetcal al cual se ompe el hlo Se lanza una pelota en un ángulo α especto a la hozontal, desde una altua h, con una apdez ncal v o. Usa el método de la enegía paa calcula, cuando su altua es h/ la velocdad de la pelota Un poyectl de 1 kg se lanza desde la supece con una apdez ncal de 180 km/h en un ángulo de 30º sobe el suelo. Calcula a) el tabajo paa que alcance su altua máxma, b) su enegía cnétca cuando se encuenta en su altua máxma, c) la potenca meda ente la supece y su altua máxma. 168

27 5.5. Un bloque de 0.5 kg. se mueve haca la deecha sobe una supece hozontal áspea y choca conta un esote hozontal, de constante 100 N/m. La apdez del bloque justo antes del choque es 10 m/s. Después que el esote hace ebota al bloque haca la zqueda, su apdez justo cuando deja el esote es 5 m/s. S el coecente de azonamento cnétco ente el bloque y la supece es de 0.4, detemne: a) el tabajo ealzado po la ccón mentas el bloque se encuenta en contacto con el esote y b) la máxma compesón del esote Se coloca un bloque de masa 0.5 kg sobe un esote vetcal de constante k=5000 N/m y se empuja haca abajo, compmendo el esote una dstanca de 0.1 m. Cuando el bloque se suelta, deja el esote y contnua su camno haca aba. A qué altua máxma po encma del punto de lbeacón llega el bloque? R: 10 m Se conectan dos masas po una cueda lgea que pasa po una polea de masa despecable, sn ccón, como se muesta en la gua 5.1. Una masa de 5 kg se lbea desde el eposo, de una altua de.5 m sobe el suelo. Utlzando la ley de la consevacón de la enegía detemna: a) la velocdad nal de la masa de 5 kg, b) la velocdad de la masa de 3 kg justo cuando la masa de 5 kg choca con el pso, c) la altua máxma a la cual se elevaá la masa de 3 kg. R: b) 4.5 m/s, c) 5 m El coecente de ccón ente el objeto de 3 kg y la supece de la mesa que se ve en la gua 5.13, es 0.4. cuál es la apdez de la masa de 5 kg que cuelga, cuando ha caído una dstanca vetcal de 1 m? R: 3.1 m/s Un bloque de kg sobe un plano áspeo nclnado en 37º, se conecta a un esote lgeo de constante 100 N/m (gua 5.14). El bloque se suelta del eposo cuando el esote no está estado y se mueve 0 cm haca abajo del plano antes de detenese. Calcula el coecente de oce. R: Suponga que el plano nclnado del sstema descto en el poblema anteo es lso. El bloque se lbea a pat del eposo con el esote ncalmente no estado. a) Cuánto se desplaza haca abajo del plano antes de queda en eposo? b) cuál es la aceleacón del bloque al llega a 169

28 su punto más bajo? Su aceleacón es constante? c) Descba las tansomacones de enegía que ocuen duante el descenso del bloque. Fgua 5.1. Fgua Poblema 8 Fgua Poblema 9 170