OBJETIVO. La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado.

Transcripción

1 1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO VECTORIAL Y MULTIVARIADO TALLER 1 CAMPOS VECTORIALES CAMPOS CONSERVATIVOS ROTACIONAL Y DIVERGENCIA BIBLIOGRAÍA SUGERIDA CALCULO JAMES STEWART CALCULO THOMAS INNEY OBJETIVO Loga la compensón conceptual desaolla la habldad paa plantea aplca modelos matemátcos con el uso de los campos vectoales el otaconal la dvegenca CRITERIOS DE EVALUACIÓN La guía debe se esuelta de manea gupal o ndvdual tendá un valo según lo pactado TIEMPO: 4 HORAS Un campo vectoal en tes dmensones es una funcón cuo domno D es un subconunto de R cuo contadomno es un subconunto dev S D entonces M N P donde M N P son funcones escalaes de tes vaables cuo contadomno consttue un subconunto de V Un campo vectoal en dos dmensones es una funcón cuo domno D es un subconunto de R cuo contadomno es un subconunto dev S D entonces M N donde M N son funcones escalaes de dos vaables cuo contadomno consttue un subconunto de V Po eemplo podemos epesenta la velocdad V de un fludo medante un vecto dbuado en cada punto del domno del fludo la coleccón de vectoes que esulta es un campo de velocdades Paa hacese una dea vsual de un campo vectoal se dbuan vectoes V en foma de flechas en puntos selecconados de D Un dagama de este tpo es la gáfca del campo EJEMPLO Vamos a dbua la gáfca del campo hallamos el valo de en vaos puntos: paa esto 4 4 ; 1 ; ; 01 0 escobal@ecceduco Calculo Vectoal 016-I

2 Podemos calcula tantos valoes de como queamos La sguente fgua muesta vaos de ellos fue obtenda con MATHEMATICA: Se utlo los comandos <<Gaphcs`Ploteld` PlotVectoeld[{-}{-11}{-11} Aes- >Tue AspectRato->Automatc PlotPonts->15 ame->tue Scaleuncton- >5#&] Gáfca del campo vectoal Paece que cada vecto es tangente a un cículo con cento en el ogen Paa confma esto tomamos el poducto punto del vecto de poscón con el vecto el cual da ceo Obseve que el ado del cículo es gual a la magntud del vecto La gáfca de un campo vectoal sumnsta nfomacón nteesante sobe las popedades del campo Po eemplo supongamos que epesenta la velocdad de un fludo compesble po eemplo un gas en un punto del plano Entonces asgna un vecto velocdad a cada punto del plano la gáfca de es una magen del fluo del gas Paa un fluo constante como 5 Y un fluo ccula como 5 tenemos las sguentes gáfcas: 5 5 escobal@ecceduco Calculo Vectoal 016-I

3 EJEMPLO La sguente gáfca epesenta el campo vectoal de fluo del ae Campo vectoal de fluo del ae EJEMPLO Vamos a dbua la gáfca del campo 0 0 paa esto hallamos el valo de en vaos puntos: ; ; ; Podemos calcula tantos valoes de como queamos La sguente fgua muesta vaos de ellos fue obtenda con MATHEMATICA: Se utlo los comandos <<Gaphcs`PloteldD` PlotVectoeldD[{00} {-}{-}{-} Aes->Tue AspectRato->Automatc PlotPonts->8 ame->tue VectoHeads->Tue AesLabel->{}]; 0 0 El campo vectoal anteo se puede gafca a mano gacas a la senclle de su fómula peo esulta páctcamente mposble taa a mano la mao pate de los campos vectoales tdmensonales es necesao emplea un sstema algebaco de cómputo escobal@ecceduco Calculo Vectoal 016-I

4 4 EJEMPLOS 4 Nótese que las fomulas de los dos pmeos campos vectoales tenen fomulas semeantes peo los vectoes de la segunda fgua en geneal apuntan en la deccón negatva del ee Y poque su segunda componente es sempe S el campo vectoal de la tecea fgua epesentaa un campo de velocdades entonces el movmento de una patícula sea haca aba en foma de espal alededo del ee Z vsto desde aba en el sentdo de las manecllas del elo EJERCICIOS 1 Dbue algunos vectoes epesentantes del campo vectoal dado A ; B ; C ; D ; E ; ; G CAMPO DE VARIACION INVERSA AL CUADRADO DE LA DISTANCIA Sea el vecto de poscón de un punto Se dce que un campo vectoal es un campo de vaacón nvesa al cuadado de la c dstanca sí u donde c es un escala u es un vecto untao que tene la msma deccón que está dada po u escobal@ecceduco Calculo Vectoal 016-I

5 5 EJEMPLO Descbamos el campo c u con c < 0 c c c Como u entonces u = = Obsevamos que es un múltplo escala negatvo de la deccón de c es haca el ogen Además la magntud de es nvesamente popoconal al cuadado de la dstanca del punto al ogen Esto sgnfca que cuando el punto se alea del ogen la longtud del vecto asocado dsmnue En la fgua sguente se ndcan algunos vectoes típcos de este campo La fuea de la gavedad detemna un campo de tpo de vaacón nvesa al cuadado Según la le de gavtacón unvesal de Newton s una patícula de masa M se coloca en el ogen de un sstema de coodenadas ectangulaes entonces la fuea que eece sobe una patícula de masa m Mm localada en es G u donde G es la constante de gavtacón unvesal es el vecto de poscón del punto u Tambén en la teoía de la electcdad apaecen los campos de tpo de vaacón nvesa al cuadado La le de coulomb afma que s una caga eléctca puntual Q en coulombs se encuenta en el ogen entonces la fuea que eece sobe ota caga q en coulombs localada en Qq es c u donde c es una constante u Obseve que la le de coulomb tene la msma foma que la le de gavtacón unvesal de Newton escobal@ecceduco Calculo Vectoal 016-I

6 6 CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO ndependenca del camno S w f entonces el gadente de la funcón w f w f f f es un campo vectoal Po un teoema anteo la deccón del vecto w en cualque punto es nomal a la supefce de nvel S de f que pasa po además la magntud de w es gual a la aón máma de cambo de f en el punto Se dce que un campo vectoal es un campo vectoal consevatvo s es el gadente de una funcón escala es dec s f paa una funcón f S es consevatvo entonces la funcón f es una funcón de potencal paa w f se llama potencal en el punto EJEMPLO Compobemos que el campo vectoal tene potencal escala con es consevatvo f En efecto f el cual concde Una egón D se llama conea s se pueden un cualesquea dos de sus puntos po un aco enteamente contendo en D s además toda cuva ceada encea solo puntos de D se dce que D es smplemente conea Sea M N donde M N tenen pmeas devadas pacales contnuas en una egón D abeta smplemente conea entonces M N M N es consevatvo en D s solo s EJEMPLO Dado el campo vectoal e sen e cos M N Sea M e sen N e cos entonces luego es consevatvo Ahoa hallemos una funcón potencal f tal que f obsevemos que debe se M f N f hacemos una ntegacón pacal es dec ntegamos con especto a tomamos a como escobal@ecceduco Calculo Vectoal 016-I

7 7 constante: f M d e sen d e sen c como tambén debe se f N calculamos la devada pacal con especto a dc así obtenemos: f e sen c e cos gualando a d dc N e cos despeando tenemos d dc dc e cos e cos así ntegando hallamos que d d c c luego f e sen c Cualque funcón de esta famla es un potencal escala de luego podemos toma f e sen EJERCICIO Demueste que todo campo vectoal del tpo de vaacón nvesa al cuadado o de tpo gavtaconal es consevatvo Demueste que el campo vectoal es consevatvo halle un potencal escala f A C B Cos e Cos Sen e Sen Defnmos el opeado dfeencal vectoal S actúa sobe una funcón escala f da como esultado el gadente de f gd f f f f f ROTACIONAL DE Sea una funcón vectoal en tes dmensones dada po M N P donde M N P tenen devadas pacales en alguna egón El Rotaconal de esta dado po P N M P N M ot X Se usaá el símbolo ot X paa denota el vecto ot o X asocado a La fómula paa ot se puede consdea como el desaollo de un detemnante con especto al pme englón escobal@ecceduco Calculo Vectoal 016-I

8 8 ot X M N P EJEMPLO Encontemos el otaconal de 4 ot X S es el campo de velocdades en un fludo lqudo o gas que se mueve a tavés de un sstema de coodenadas ectangulaes entonces ot X da nfomacón aceca del aspecto gatoo o otatvo del movmento S se consdea un punto alededo del cual el fludo ga entonces ot X concde con el ee de otacón se puede emplea paa descb las popedades otaconales del campo INTERPRETACION ISICA DEL ROTACIONAL S un fludo se mueve en una egón del plano se puede magna el otaconal como la cculacón del fludo Una buena manea de med el efecto de la cculacón módulo deccón sentdo es coloca una pequeña ueda con aspas en el fludo el otaconal mde la tasa de otacón del fludo en el punto en el que se coloca la ueda con aspas en la deccón de su ee El otaconal es postvo paa la otacón en el sentdo contao a las manecllas del elo negatvo en el sentdo de las manecllas del elo Sea M N P la velocdad de un fludo ncompesble supongamos que ntoducmos una ueda con aspas en el escobal@ecceduco Calculo Vectoal 016-I

9 9 fludo de tal manea que su ee es el ee Despecamos el peso de las aspas El fludo tende a aemolnase alededo del ee hacendo que gen las aspas Podemos estuda el movmento del fludo medante el de las aspas Se puede ve que la velocdad angula del líqudo: P N Alededo del ee es popoconal a M P Alededo del ee es popoconal a N M Alededo del ee es popoconal a Así la tendenca del fludo a foma un emolno vene medda po ot X S ot X =0 el fludo no tene movmento otaconal se dce que es otaconal DIVERGENCIA DE Sea M N P donde M N P tenen devadas pacales en alguna egón La Dvegenca de esta dado po M N p Dv Se usa el símbolo paa la dvegenca po que la fomula puede establecese tomando lo que paece se el poducto escala de EJEMPLO Encontemos la dvegenca 4 Dv S es el campo de velocdades en un fludo entonces Dv da nfomacón aceca del fluo o desplaamento de la masa S Dv 0 en un punto entonces la masa flue haca el punto se dce que ha un sumdeo en S Dv 0 entonces la masa flue desde el punto se dce que ha una fuente en La condcón Dv 0 es caacteístca de los fludos ncompesbles EJERCICIOS Sea f una funcón escala una funcón vectoal Poba que 4 f f f 5 G G escobal@ecceduco Calculo Vectoal 016-I

10 Calculo Vectoal 016-I 10 6 G G 7 f f f 8 G G G En un campo vectoal P N M donde M N P son funcones escalaes de tes vaables pueden defnse lmtes contnudad devadas pacales e ntegales múltples usando las componentes de P N M tal como se ho paa las funcones vectoales de una vaable EJERCICIOS Halle la dvegenca el otaconal de: 1 Cos Sen 4 e e e en 0