CI41A HIDRAULICA REPASO DE CI31A, MECANICA DE FLUIDOS. Prof. ALDO TAMBURRINO

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1 CI41A HIDRAULICA REPASO DE CI31A, MECANICA DE FLUIDOS Pof. ALDO TAMBURRINO 1. Intoduccón. 1.1 Tanspote de masa 1. Tanspote de calo 1.3 Tanspote de momentum 1.4 Analogías en el tanspote de masas, calo y momentum Tanspote de momentum 1.4. Tanspote de calo Tanspote de masa. Repaso de Mecánca de Fludos..1 Ecuacones deducdas medante el enfoque dfeencal.1.1 Ecuacones de contnudad.1. Ecuacones de movmento.1.3 Ecuacones de enegía. Ecuacones deducdas medante el enfoque ntegal...1 Teoema del tanspote de Reynolds.. Ecuacón de contnudad..3 Teoema de la cantdad de movmentos..4 Teoema geneal de la enegía Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 1

2 REPASO DEL CURSO CI31A, MECANICA DE FLUIDOS 1. INTRODUCCIÓN Cuando estudamos el compotamento dnámco de los fludos, usualmente estamos nteesados en algún aspecto de lo que se denomna "fenómenos del tanspote" del fludo, es dec la capacdad que tenen los fludos en movmento de tanspota matea y popedades de un luga a oto y el mecansmo po el cual es matea y popedades se dfunden y tansmten a tavés del medo fludo. Es convenente categoza los métodos análss dsponbles en témno de los dfeentes tpos de pocesos de tanspote. En otas palabas, el método de análss debe elegse de tal manea que se aplquen las leyes físcas que coespondan el poblema en estudo. Los fenómenos de tanspote fundamentales que están asocados con el movmento de un fludo son el tanspote de masa, de calo y momentum. Cada uno de estos pocesos están asocados con una ley físca básca que ha sdo fomulada como un esultado de la obsevacón y la expeenca. Los pocesos y leyes pueden esumse de la sguente manea: Poceso Ley obsevada Tanspote de Consevacón de masa. la matea. Tanspote de Consevacón de calo. la enegía (pmea ley de la temodnámca). Tanspote de Segunda ley de momentum. Newton (ecuacón del movmento) Las leyes anteoes no son las úncas. Tambén tenemos, po ejemplo, la segunda ley de la temodnámca, la que equee ntoduc una nueva popedad del sstema de fludo, la entopía. Ota ley es la dada po las ecuacones de la electodnámca de Maxwell. Estas leyes unvesales son de un "ango" compaable a las tes pmeas, peo su aplcacón es más estngda en las aplcacones de mecánca de fludo que Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág.

3 nos nteesan. Además de las leyes "unvesales" anteoes exsten leyes subsdaas paa las popedades del medo contnuo, las que nos pemten descb los fenómenos moleculaes en témnos de cantdades macoscópcas. Ejemplos de estas leyes subsdaas son las leyes que elaconan el esfuezo con la defomacón (ley de Hooke paa sóldos elástcos y la ecuacón de la vscosdad de Newton paa los fludos) o la ecuacón de estado paa un gas deal. 1.1 Tanspote de Masa En mecánca clásca, el movmento de todos los fludos debe satsface el pncpo de consevacón de la matea. S vamos a analza el movmento de un fludo, tendemos que peocupanos del tanspote de masa. Una dscusón más detallada equee que dstngamos ente fludos homogéneos y nohomogéneos. Un fludo homogéneo es aquel que exste como una espece únca en toda la egón de nteés. Po ejemplo, el ae puede expementa cambos de densdad, velocdad, tempeatua, peo se mantene dentfcable como una mezcla estable de gases que llamamos ae. Del msmo modo, el agua, benceno, o mecuo pueden se compmdos, calentados y aceleados, peo a menos que ocua su cambo de fase, los líqudos pueden consdease homogéneos. Un fludo nohomogéneo es uno en el que dos o más especes dentfcables exsten en la egón de nteés. Fludos nohomogéneos se caactezan po vaacones en la cantdad de una substanca elatva a la ota de punto a punto del sstema. Las especes pueden se de fases guales o dstntas. Po ejemplo, s un choo de dóxdo de cabono descaga en la atmósfea, la concentacón de CO en el ae vaía de punto a punto, y el fludo es nohomogéneo, peo de una sola fase. Oto ejemplo es la descaga de agua fesca en el océano. Una coente que lleva patículas de sedmento en suspensón es un ejemplo de un flujo nohomogéneos bfásco. Una mezcla de bubujas de ae y agua es oto ejemplo de flujo nohomogéneo bfásco. En los fludos homogéneos, la ley de consevacón de la Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 3

4 matea lleva a una expesón conocda como la ecuacón de contnudad, que lga las vaacones espacotempoales de la densdad y velocdad. S el fludo homogéneo se consdea ncompesble, la ecuacón de contnudad se educe a una elacón paa las vaacones espacales de la velocdad. Paa un fludo nohomogéneo, el pncpo de la consevacón de la matea debe satsfacese paa cada componente o espece de la mezcla. Además del tanspote de masa debdo a la velocdad local del flujo de la mezcla, hay un poceso de tanspote de masa ndependente debdo a la tendenca de cada componente de la mezcla a movese en la deccón en que la concentacón dsmnuye. De este modo, cada espece ndvdual se mueve con una velocdad elatva a la velocdad local de la mezcla. Este poceso se conoce como dfusón molecula. Dento de las aplcacones de la teoía de tanspote de masa y dfusón se encuentan: poblemas de polucón atmosféca, de aguas supefcales y subteáneas po medo de contamnantes; evapoacón de océanos, lagos y embalses; aeacón (tansfeenca de oxígeno) de íos con un consumo de oxígeno debdo a pocesos bológcos, ntusón de agua salda de los océanos en estuaos, sepaacón de mezclas po destlacón, etc. 1. Tanspote de Calo Aplcando el pncpo de consevacón de enegía (tambén conocdo como la pmea ley de la temodnámca) a un flujo, devamos una ecuacón que nos da una elacón ente pesón, densdad, tempeatua, velocdad, cota, tabajo mecánco y calo. En el caso de líqudos y flujos de gases a baja velocdad, las leyes de consevacón temodnámca pueden smplfcase ya que la capacdad calóca del fludo es gande compaada con su enegía cnétca. De este como, la tempeatua y densdad pemanecen esencalmente constante aún cuando gandes cantdades de enegía cnétca puede se dspada po fccón. Las fomulacones más geneales basadas en las ecuacones de consevacón de enegía nvolucan vaacones de tempeatua de punto a punto en el flujo. De este modo, además de tansfeenca de calo po conveccón debdo a la velocdad del flujo, exste una tansfeenca de calo po conduccón, que es la tendenca que tene el calo de movese en la deccón en que la tempeatua decece. (Esto es análogo al Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 4

5 tanspote de masa en la deccón en que la concentacón dsmnuye). Todas las máqunas tales como compesoes, bombas, tubnas, nvolucan tansfeenca de enegía. En el campo de los ecusos hdáulcos, se encuenta el poblema de polucón témca y uso óptmo de agua como efgeante de plantas que utlzan vapo. Pocesos de cculacón y mezcla en océanos, lagos y embalses están nfludos en gan medda po pequeñas vaacones de densdad causados po estatfcacón témca. 1.3 Tanspote de Momentum El momentum se defne como el poducto de la masa de una patícula y su vecto velocdad. En mecánca clásca es la segunda ley de Newton la que povee la elacón fundamental ente la esultante de las fuezas que actúan sobe una patícula y la vaacón tempoal del cambo de momentum. Las ecuacones esultantes se conocen como las ecuacones del movmento. Los fenómenos de tanspote de momentum son de pmodal nteés en mecánca de fludos ya que ellos engloban los mecansmos de esstenca, esfuezos de cote ntenos y de fontea, populsón y fuezas en cuepos sumegdos. A modo de ejemplo, consdeemos el movmento poducdo po una placa plana que se deslza sobe ota (flujo de Couette Fg 1.1). Las patículas de fludo en contacto con las placas tenen la velocdad de las placas, de acuedo a la condcón de nodeslzamento. El fludo adyacente a la placa supeo adquee un momentum longtudnal, el que a su vez hace que las patículas de fludo contguos tambén se muevan. Con el objeto de satsface la condcón de velocdad nula mpuesta po las patículas adyacentes a la placa nfeo, la velocdad decece en la medda que nos acecamos a la placa nfeo. De este modo, se ve que las patículas de fludo adqueen un momentum longtudnal. Este momentum se obtene a tavés de un tanspote de momentum en la deccón tansvesal. El tanspte tansvesal de momentum se ealza en la deccón de momentum longtudnal dececente (haca la placa nfeo). Este tanspote de momentum es análogo al tanspote de calo en la deccón de tempeatua dececente y al de masa en la deccón de concentacón dececente. Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 5

6 P u Fg 1.1 Flujo de Couette 1.4 Analogías en el Tanspote de Masa, Calo y Momentum Hasta ahoa hemos menconado dos mecansmos de tanspote: 1 Conveccón: Este es un poceso decto en el que el fludo y cualquea de sus popedades máscas se mueve de un luga a oto po efecto del flujo. Conduccón o dfusón: Este es el poceso de movmento de masa, o calo o momentum en la deccón en la que exste un gadente negatvo de concentacón, tempeatua o momentum. Esta caacteístca común del tanspote, debdo a una "fueza" que suge de un gadente, lleva a expesones análogas que lgan la tasa de tanspote y la magntud del gadente, los que pueden escbse como: 1 A dp K d ds P (1.1) donde P ndca la popedad tanspotada. A es la áea nomal a la deccón de tanspote. s es la deccón de tanspote. t es el tempo. el volumen. K es un coefcente de dfusón. Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 6

7 1 dp el témno es la tasa de tanspote de P po undad de A d P áea nomal a la deccón de tanspote y es el ds gadente, en la deccón de tanspote, de la popedad P po undad de volumen. El coefcente de dfusón de la Ec.1.1 depende del tpo de escumento, o sea s el flujo es lamna o tubulento. S el flujo es lamna, entonces el poceso de tansfeenca se debe exclusvamente a un poceso de dfusón molecula. S el flujo es tubulento, es escumento puede caactezase como fomado po vótces, los que contbuyen en la mezcla del fludo, ncementando los pocesos de tansfeenca y hacéndolo más efectvo. Comúnmente este poceso se denomna de dfusón tubulenta. Con el objeto de ejemplfca estas analogías consdeamos el poceso de dfusón molecula ente dos placas planas. Este msmo enfoque puede extendese paa el caso de dfusón tubulento Tanspote de Momentum En este caso P?mu es el momentum, donde u es la velocdad local y?m la masa de un elemento de fludo. La deccón del gadente de momentum, s, coesponde a la deccón y. La Ec. 1.1 se escbe como: 1 x z d( mu) K d dy mu x y z (1.) De acuedo a la segunda ley de Newton: d ( mu) po lo que Ec. 1. puede escbse como: Fx Fx x z K d dy mu x y z (1.3) El lado zquedo de la Ec. 1.3 coesponde al esfuezo Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 7

8 de cote en la deccón x que actúa en un plano con nomal paalela a la deccón y. Defnmos densdad como: po lo que podemos escb: m x y z d τ xy K ( u) (1.4) dy S la densdad es constante; d τ xy K u (1.5) dy S compaamos la Ec. 1.5 con la ecuacón de Newton Nave: τ µ du dy esulta que podemos dentfca K con la vscosdad cnemátca,ν (m²/s). De este modo, la vscosdad cnemátca no es más que un coefcente de dfusón molecula de momentum. S los efectos tubulentos son mpotantes, K dependeá de las caacteístcas del flujo y se tendá que K >> ν Tanspote de Calo Consdeemos nuevamente las dos placas planas, peo esta vez ellas se mantenen a tempeatuas dfeentes. La popedad a tanspota en este caso es la cantdad de calo, o sea P Qˆ. En un elemento de masa: La Ec. 1.1 se tansfoma en: Qˆ m cp T (1.6) dqˆ x z d m c T K dy x y z 1 p (1.7) El sgno negatvo ndca que hay un tanspote postvo de calo en la deccón de tempeatua dececente. Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 8

9 El flujo de calo po undad de áea en la deccón y se denota po qˆ y. S? y c p son constantes, entonces: qˆ dt cp K (1.8) dy El poducto?c p K puede dentfcase con el coefcente de conductvdad témca, k (Joule/s/m/ k). La constante de dfusvdad molecula de calo, K es: K k c p (1.9) de este modo K coesponde al coefcente de dfusvdad témca a (m²/s) Tanspote de Masa Consdeemos ahoa que las dos placas coesponden a membanas pemeables que sepaan zonas con concentacones dstntas. La popedad P coesponde en este caso a la masa dsuelta en un elemento de volumen, o sea: P m C (1.10) donde C es la concentacón defnda como la masa de sustanca dsuelta po undad de masa de fludo. La Ec. 1.1 se tansfoma en: 1 x z d ( m C) K d dy mc x y z (1.11) La tasa de tansfeenca de masa po undad de áea en la deccón y la denotamos como: j y 1 d ( mc) x z El sgno negatvo ndca un tanspote postvo en la deccón de concentacón dececente. Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 9

10 Paa concentacones pequeñas y densdad del fludo constante se tene: dc j y K (1.1) dy En este caso, la constante molecula de masa, K se dentfca con el coefcente de dfusón molecula D (m²/s). De este modo, hemos vsto que los tes pocesos de tanspote molecula pueden descbse po medo de una popedad del fludo que tene dmensones de L²/T: ν, a y D.. REPASO DE MECÁNICA DE FLUIDOS En este capítulo epasaemos las pncpales ecuacones devadas en la pate de Dnámca del cuso de Mecánca de Fludos. En geneal, la deduccón de las ecuacones se hacía medante dos enfoques, el enfoque dfeencal y el enfoque ntegal. En el enfoque dfeencal analzábamos un elemento dfeencal de volumen de fludo, mentas que con el enfoque ntegal, analzábamos el sstema fludo como un todo. El uso de cada enfoque dependeá de lo que se quea conoce en el poblema, de los datos que se dspongan, etc..1 Ecuacones deducdas medante el Enfoque Dfeencal.1.1 Ecuacón de Contnudad Medante el balance de la masa que enta, sale y se acumula en un elemento dfeencal de volumen se obtuvo la Ecuacón de Contnudad: ( ) t S el fludo es de densdad constante y el flujo pemanente, la ecuacón anteo se educe a: (.1) Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 10

11 En el caso de tene un flujo con más de una fase, la ecuacón de contnudad debe satsfacese tanto paa cada fase como paa la mezcla..1. Ecuacones del Movmento 0 (.) Las ecuacones del movmento se devan a pat de la segunda Ley de Newton aplcada a un elemento de volumen (hacelo como ejecco), esultando: Du Dv f x f y x x σ τ xx xy y y τ σ yx yy z z τ τ gx zy Dw f z x τ xz y τ yz z σ zz (.3) donde: D t (.4) f x, f y, f z son las fuezas máscas en las deccones x, y, z espectvamente: s epesenta los esfuezos nomales y t j los esfuezos tangencales. Medante el equlbo del momento de las fuezas supefcales, se demuesta que t j t j. La ecuacón.3 es geneal y puede aplcase a cualque tpo de fludo. Sn embago dcha ecuacón aún no es capaz de detemna las ecuacones del movmento. El poblema se esuelve s somos capaces de lga los esfuezos con las defomacones que expementa el volumen de fludo. Paa pode hace esta lgazón es necesao defn el compotamento eológco del fludo. Paa un fludo Newtonano la componente según x está dada po: Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 11

12 Du f x p x 3 x u x [ µ ] µ x u v u w µ µ (.5) y y x z z x S la vscosdad es constante y el fludo ncompesble la ecuacón anteo se educe a la ecuacón de NaveStokes. En geneal: donde (u,v,w ) Du p f x µ u x (.6) D f p µ (.7) y f ( f,f, f ) x y z. La manpulacón de la Ec..7 nos conducía a cetos casos patculaes. Po ejemplo s el fludo es deal, se obtenían las ecuacones de Eule: 1 f p (.8) t S las fuezas máscas son ognadas sólo po el campo gavtaconal, podemos defn una pesón motz pˆ p γh, donde γ es el peso específco del fludo y h un eje vetcal, postvo haca aba. Así la ecuacón de Eule puede escbse como: D 1 pˆ (.9) S suponemos que el campo de velocdades deva de un potencal F, podemos obtene la Ecuacón de Benoull. En efecto, s: Φ entonces 0 esultando: y el témno se educe a 1, Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 1

13 t Φ 1 1 pˆ (.10) De donde esulta que: Φ t pˆ debe se constante en todo el espaco y sólo una funcón del tempo (demostalo), esultando: Φ t p gh C(t) (.11) S el flujo es pemanente, obtenemos la ecuacón de Benoull: B g p γ h constante (.1) La Ec..7 puede aplcase tanto a flujos lamnaes como tubulentos. Hay que tene pesente, sn embago, que po su natualeza el movmento tubulento es mpemanente, po lo que la aplcacón decta de la Ec..7 a tales flujos no es posble. En la páctca uno tabaja con cantdades medas tempoales, utlzando las ecuacones de Reynolds. Estas ecuacones se obtenen al descompone y p de Ec..7 en dos componentes: una componente meda tempoal y una fluctuante que es funcón del tempo; o sea: (u,v,w) (u,v,w)(u,v,w) p p p (.13) donde la pma ndca la componente fluctuante. Al eemplaza Ecs..13 Ec..7, usa la ecuacón de contnudad y pomeda en el tempo se obtene: Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 13

14 Du Dv Dw p x p y p z µ µ µ u v w x x x ( u ) ( u v ) ( u w ) y y ( u v ) ( v ) ( v w ) ( u w ) ( v w ) ( w ) y z z z (.14) Los témnos en paéntess cuadado que apaecen en las Ecs..14 coesponden a los esfuezos apaentes o de Reynolds. Hay que nsst que estos "esfuezos" ndcan un flujo de momentum..1.3 Ecuacón de Enegía Aunque la ecuacón de enegía desde el punto de vsta dfeencal no se deduce en el cuso de Mecánca de Fludos, se pesentaá acá paa completa las tes leyes fundamentales que nos nteesan. La pmea ley de la temodnámca ndca que: δ Qˆ δw de (.19) donde Qˆ δ es el calo agegado al sstema δw es el tabajo ealzado po el sstema de de es el ncemento de enegía del sstema. La notacón paa ndca ncementos de calo o tabajo es dfeente que la usada paa ndca ncemento de enegía (de). Esto es paa ndca que el ncemento de calo o tabajo depende del poceso, mentas que la vaacón de enegía depende sólo del estado ncal y fnal. El témno de enegía en Ec..15 debe nclu la enegía ntena (que depende de la tempeatua y fase del fludo), la enegía potencal (que depende de la poscón) y la enegía cnétca (que depende de la velocdad). S suponemos que las fuezas máscas actuando sobe el volumen de contol devan de un potencal de fuezas Ω, entonces la Ec..15 puede escbse como: δqˆ δw dee Ω (.16) Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 14

15 Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 15 donde e epesenta la enegía ntena. Ec..16 es po undad de masa. Al analza la vaacón de los témnos de Ec..16 es po undad de tempo ( /) y suponendo que la tansfeenca de calo po undad de áea, qˆ, puede expesase medante la Ley de Foue: donde k es la conductvdad témca y T la tempeatua, la pmea ley de la temodnámca puede escbse como: donde: En Ecs..18 y.19 se ha utlzado la notacón de Ensten (suma sobe subíndces epetdos) y δj es el delta de Konecke (δj1 s j y δj0 s _j) Se defne la funcón de dspacón: El témno que contene la pesón en: puede escbse como p, geneando así un témno: T k qˆ (.17) x u T) (k e D j j τ (.18) 3 x u x u j p j j j j δ µ µ δ τ (.19) µ µ Φ x w z u z v y w y u x v z w y v x u ( ) 3 µ (.0) j j x u τ

16 D p (demostalo) al que al sumase al lado zquedo de Ec..18 taduce la ecuacón de enegía en: Dh Dp (k T) Φ (.1) donde p h ei epesenta la entalpía. Hay que nota que Ec..1 coesponde a la enegía total del sstema. Es posble obtene una expesón paa la enegía mecánca del sstema al hace el poducto punto ente la ecuacón de momentum y la velocdad, esultando: D u p x Φ x u j µ u xj u x j (.) Al gual que la ecuacón de momentum (Ec..7), las Ecs..1 y. pueden aplcase tanto a flujos lamnaes o tubulentos. En la páctca; sn embago, su aplcacón en flujos tubulentos se hace después de descompone las vaables en una componente meda tempoal más ota fluctuante y toma un pomedo tempoal después de manpula las ecuacones.. Ecuacones Deducdas medante el Enfoque Integal..1 Teoema del Tanspote de Reynolds En el cuso de Mecánca de Fludos las ecuacones de contnudad, momentum y enegía ean deducdas como casos patculaes de una ecuacón de tanspote más geneal obtenda po O. Reynolds. El teoema del tanspote de Reynolds se enunca a contnuacón: Sea un sstema de patículas que en un nstante dado ocupa un volumen. Sea? el valo específco (valo po undad de masa) de una popedad cualquea en un punto del Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 16

17 volumen. La magntud de la popedad en el sstema de patículas seá: N η d (.3) El teoema del tanspote establece que la tasa a la que camba N coesponde al flujo de la popedad a tavés de las supefces que defnen el volumen más la vaacón tempoal de dcha popedad dento del volumen, o sea: dn S η ṋds t ηd (.4) A? se le denomna la popedad ntensva del sstema y N es la popedad extensva. Nota que no se ha puesto nnguna estccón sobe?, pudendo se un escala o un vecto. Identfcando N con la popedad adecuada, podemos deduc a pat de la Ec..4 las leyes báscas que nos nteesan... Ecuacón de Contnudad En este caso N se dentfca con la masa, de donde esulta que?1. Al aplca Ec..4 y consdeando que la masa de un sstema de patículas no vaía (dm/0), se obtene: t d S ṋ 0 (.5) S el flujo es ncompesble podemos escb: t donde Q S es el caudal que sale del volumen de contol y Q E es el que enta...3 Teoema de la Cantdad de Movmento Q S En este caso la popedad extensva es un vecto y coesponde al momentum: N m. La popedad ntensva se ndentfca con la velocdad ( η ). La segunda Ley de Newton ndca que la vaacón de la cantdad de movmento es gual Q E 0 (.6) Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 17

18 a la esultante de las fuezas extenas. F ext d (m) La aplcacón de Ec..4 se taduce en: F ext t d S ( ṋ)ds (.7) (.8) El pme témno del lado deecho de Ec..8 coesponde a la vaacón de la cantdad de movmento dento del volumen de contol y el segundo cuantfca el flujo de momentum tanspotado po el escumento. El gasto másvo se defne como: ṋds po lo que s el escumento es pemanente, la Ec..8 se educe a: F ext dg (.9) S Al aplca la Ec..9 a un tubo de flujo con velocdad constante tanto en la seccón de entada como de salda, tenemos: F ( )G Q (.30) ext s Hay que tene pesente que, en geneal, la dstbucón de velocdades en el tubo de flujo no es unfome. En este caso, puede utlzase la velocdad meda, U, multplcada po un coefcente que toma en cuenta la no unfomdad de las velocdades. Este coefcente está po: e u ds β (.31) U S y se denomna coefcente de Boussnesq. En la Ec..31 S es la áea del tubo de flujo, tansvesal al movmento. Paa un flujo lamna en una tubeía clíndca (flujo de Poseulle) ß4/3 y s el escumento es tubulento ß 1,01 1,03. Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 18

19 S el volumen de contol tene vaas entadas y saldas, cabe ecoda que paa densdad constante y flujo pemanente se cumple: F ext sale β U Q enta β U Q (.3)..4 Teoema Geneal de la Enegía En este caso NE es la enegía total del sstema y?e es la enegía específca. Podemos consdea que la enegía de las patículas de fludo en el campo gavtaconal está compuesta de tes componente: enegía cnétca ec, enegía potencal (e p gz) y enegía ntena (e I ). De este modo, eemplazando en la Ec..4: de t e d donde ee c e p e I. La vaacón de la enegía, de está dada po la pmea ley de la temodnámca (Ec..15): de δqˆ δw. El tabajo efectuado po el sstema genealmente se dvde en dos componentes: WW f W e, donde W f es el tabajo que ealza el flujo al desplazase (las patículas de fludo deben vence fuezas de pesón y tangencales) y W e es el tabajo útl poducdo haca el exteo. De este modo, Ec..33 queda: S e ṋ ds (.33) t (gz e)d I S (gz p e) I ṋds δqˆ δwf τ δwe (.34) El pme témno de la Ec..34 epesenta la vaacón de la enegía del fludo en el nteo del volumen de contol, po undad de tempo. El segundo témno es el flujo neto de enegía que atavesa el volumen de contol, tanspotado po el flujo más el tabajo mecánco que hace el fludo al desplazase en un campo de pesones. El tece témno es el calo que absobe el fludo. El cuato témno es el tabajo mecánco que ealza el fludo po undad de tempo paa vence los esfuezos de cote debdo a los efectos vscosos. El últmo témno de la ecuacón coesponde al tabajo útl que ealza el fludo y que es apovechable como Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 19

20 tabajo mecánco po undad de tempo. Al aplca Ec..34 a un tubo de flujo de velocdad unfome pemanente y fludo ncompesble, tenemos: dq dw fτ dw e γ Q B s B e eise g Ie (.35) donde los subíndces s y e del lado deecho de la ecuacón ndcan la seccón de salda y la de entada espectvamente. B es el Benoull, defndo en la Ec..1. S se consdea que el fludo es un líqudo, no hay tansfeenca de calo n se efectúa tabajo exteno y el fludo es deal, entonces la Ec..35 se tansfoma en la ecuacón de Benoull. En flujos paalelos de fludos eales con fonteas, la condcón de nodeslzamento en las paedes sgnfca la exstenca de votcdad y el Benoull no se mantene constante (demostalo). Es po esto que en flujos paalelos se defne en Benoull medo basado en la velocdad meda del escumento. Una expesón paa el Benoull medo, B, se loga al calcula la potenca total en un tubo de flujo, esultando: B p α z constante (.36) γ donde es la velocdad meda y a el coefcente de Cools, que toma en cuenta la no unfomdad de la dstbucón de velocdades y que se defne como: 3 u ds α 3 (.37) U S Paa escumento lamna en tubeía clíndca (Flujo de Pouselle) a. En escumentos tubulentos a Aplquemos ahoa la Ec..35 a un tubo de flujo con fludo eal. En este caso ft es dstnto de ceo. Como el fludo es eal, debemos consdea un Benoull medo, esultando: Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 0

21 d Wfτ γq(bs B) e 1 d Wfτ Bs Be γq (.38) En geneal denotamos: Λ 1 γq dw fτ > 0 y lgamos este témno a las caacteístcas del escumento y del conducto a tavés de un facto de fccón o coefcente de ugosdad. Se defne la pédda de enegía po undad de longtud J: Λ J L donde L es la longtud del tubo de flujo. (.39) En el caso de tubeías, J se evalúa a tavés de la ecuacón de DacyWesbach: J f D g (.40) donde el coefcente de fccón f depende del égmen del flujo y la ugosdad de la tubeía. Exsten expesones paa f devadas de supone dstbucones logaítmcas de velocdades, las que se encuentan sntetzados en foma gáfca en el dagama de Moody. En el caso de canales, una de los elacones más comunes paa evalua J es la ecuacón de Mannng: Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág. 1

22 n J 4/3 R donde R es el ado hdáulco de la seccón y n el coefcente de ugosdad de Mannng. No hay que olvda que la Ec..41 es válda paa escumento tubulento con paedes hdodnámcamente ugosas. En caso de no se así, el coefcente n ya no es una constante, sno que exhbe una dependenca con el númeo de Reynolds. (.41) Repaso del cuso CI31A, Mecánca de Fludos Pof. ALDO TAMBURRINO Pág.