Modelo Pregunta 3A. El campo electrostático creado por una carga puntual q, situada en el

Transcripción

1 Mdel 0. Pegunta. l camp electstátc cead p una caga puntual, stuada en el gen de cdenadas, vene dad p la expesón: u, dnde se expesa en m y u es un vect unta dgd en la deccón adal. S el taba ealzad paa lleva una caga desde un punt a t B, ue dstan del gen y m, espectvamente, es de 6 J, detemne: a) l val de la caga puntual ue está stuada en el gen de cdenadas. b) l val de la caga ue se ha tansptad desde hasta B. Dat: nstante de la Ley de ulmb, m a. Según la ley de ulmb, el camp eléctc vene dad p la expesón: u S se dentfca cn la expesón ue se da en el enuncad u u Se puede btene el val de la caga ue genea el camp eléctc. n b. l taba ealzad paa taslada una caga ( ) dent de un camp eléctc cuya ntensdad vaa cn el ad, vene dad p la expesón: W B B d d d Igualand al val del taba del enuncad, se despea el val de la caga ue se taslada p el camp eléctc. η Septembe 0. Pegunta.- Se tene un plan nfnt cn una densdad de caga supefcal pstva σ. a) Deduzca, utlzand el teema de Gauss, el vect camp eléctc genead p la dstbucón. b) alcule la dfeenca de ptencal eléctc ente ds punts, en el msm semespac, sepaads una dstanca d en la deccón pependcula al plan cagad. Justfue s cambaía su espuesta s la deccón fuea paalela al plan cagad. a. Según el teema de Gauss, el flu net a tavés de una supefce ceada cualuea es gual a la suma algebaca de las cagas eléctcas enceadas en su nte dvdda ente la cnstante deléctca del vací. Φ ε Paa un plan nfnt, se tma cm supefce gaussana un paalelepíped ect cm el ue muesta la fgua. Sól hay flu a tavés de las caas S y S paalelas al plan. Las líneas de camp sempe salen de las cagas pstvas, p l ue el camp cead p el plan seá unfme. l flu a tavés de las supefces lateales es nul (nnguna línea de camp las atavesan). plcand el teema de Gauss: Φ ds ds S cs 0 S cs 0 S S S Tenend en cuenta la densdad supefcal de caga ( σ S) σ S S ε σ ε ε

2 b. La dfeenca de ptencal ente ds punts vene dad p la expesón: B B B σ σ B d d cs 0º d B ε ε σ ε ( ) d S la línea ue une ls punts fuese paalela al plan, B 0, y la dfeenca de ptencal ente ells sea ce Jun 0. Pegunta B.- Ds cagas puntuales y están stuadas en el ee X sepaadas p una dstanca de 0 cm y se epelen cn una fueza de. S las suma de la ds cagas es gual a 6 µ, calcule: a) l val de las cagas y. b) l vect camp eléctc en el punt med de la ecta ue une las cagas. Dat: nstante de la ley de ulmb, m. a. P epelese y suma 6 µ, las cagas deben tene gual sgn, y se pstvas. plcand la Ley de ulmb: F u t n módul F d d : 6 ( ) 8 8 ( 6 ) 0 : 8 S se tma cm 8 b. l camp eléctc en el punt med del segment ue une las cagas es la suma vectal de ls camps genean cada una de las cagas. ( ) d d d 8 6 ( ) Mdel 0. Pegunta B.- Una esfea macza n cnducta, de ad R 0 cm, está cagada unfmemente cn una caga de 6. a) Utlce el teema de Gauss paa calcula el camp eléctc en el punt R y detemne el ptencal eléctc en dcha pscón. b) S se envía una patícula de masa m kg, cn la msma caga y velcdad ncal v m s, dgda al cent de la esfea, desde una pscón muy leana, detemne la dstanca del cent de la esfea a la ue se paaá dcha patícula. Dats: m a. Teema de Gauss. l flu net ue atavesa una supefce ceada cualuea es gual a la suma algebaca de las cagas eléctcas enceadas en su nte dvdda ente la cnstante eléctca del vací Φ ε

3 T. GUSS Φ ds ds ds π ε S S S 60 * πε ( 0 ) m 00 0 * l camp eléctc se puede expesa en /m en /m. b. La enegía cnétca ue tene la caga en un punt alead (nfnt) se tansfma en taba ue ealza paa apxmase a ta caga de gual sgn. W c c m( v v ) mv : mv W ( ) ( ) mv 0,6 m 60 cm mv Jun 0. Pegunta.-. Un electón ue se mueve.cn una velcdad v ms peneta en una egón en la ue exste un camp eléctc unfme. Debd a la accón del camp, la velcdad del electón se anula cuand éste ha ecd 0 cm. alcule, despecand ls efects de la fueza gavtata. a) l mdul, la deccón y el sentd del camp eléctc exstente en dcha egón b) l taba ealzad p el camp eléctc en el pces de fenad del electón. Dats: Masa del electón, m, kg ; e al abslut de la caga del electón, e,60 a. uand una caga eléctca ente en una egón dnde exste un camp eléctc, se ve smetda a una fueza ue es ppcnal a la ntensdad del camp y al val de su caga. La deccón de la fueza seá paalela al camp eléctc y el sentd seá el msm ue el del camp s la caga es pstva y puest s es negatva. F ( ) La fueza a la ue se ve smetda la caga se puede calcula tenend en cuenta el segund F m a y el tp de mvment ue ealza la caga (M.R.U.). pncp de la dnámca ( ) v v at : s s vt at Tenend en cuenta ue s v 0: v a s v v a a v F m s s s MRU : v v a ( s s ) Susttuyend en la expesón del camp eléctc: mv mv 6, ( ),6 s s 0,,60 ( ) b. l taba ealzad p el desplazament de una caga en el sen de un camp eléctc vene dad p: W B ( B ) 6

4 l ncement de ptencal ( ) se puede btene de la elacón exstente ente camp y ptencal eléctc. d : d dx dx Tenend en cuenta ue el camp es unfme: x W B : W B ( x) x x 8 W B,6,6 0, m -,8 J Tambén se puede eslve tenend en cuenta ue la caga se esta desplazand p un camp cnsevatv, y ue p tant W U, send en este cas U el ncement de enegía ptencal. P se cnsevatv, la enegía mecánca pemanece cnstante. m P c m P c 0 c P medda ue aumenta la enegía cnétca, dsmnuye la enegía ptencal P : W P c m 6 ( v v ), 0 ( ),8 J W c 8 Mdel 0. Pegunta.- Se dspnen tes cagas eléctcas puntuales en ls vétces de un tángul ectángul cuys catets tenen una lngtud L cm ndca la fgua (L, m, n, n). a) alcule la fueza ttal, F, eecda p las cagas y sbe la caga, y dbue el dagama de fuezas de la caga. b) uál seía el taba necesa paa lleva la caga desde su pscón actual al punt P de cdenadas x, m, y, m? Dat: nstante de la ley de ulmb m. a. l módul de la fueza ente ds cagas se calcula medante la Ley de ulmb: F d La deccón, la línea ue une las cagas, y el sentd, p se de sgns cntas, de ataccón. F L,,6 7 F L F,6 7 (,) 7,8 8 P se un tángul sósceles ectángul, el ángul en val abslut es de º 8 8 F 7,8 sen º 7,8 sen º La fueza ( ) F a la ue se ve smetda la caga es la suma vectal de F y F F F F,6 7,8 sen º 7,8 sen º ( )

5 F 7,8 8 sen º F,6 7 8 (,6 7,8 sen º ) 8, 7 F (,6 ) (, ),8 F α actg F y x, actg, º b. P se un camp cnsevatv: W ( ) P Send el ptencal cead p y en el punt P y el ptencal cead p y en la pscón ncal de. d ; L L L L Tenend en cuenta ue, p l tant 0 y el taba es nul. W 0 0 Septembe 0. Pblema B.- n el punt de cdenadas (0, ) se encuenta stuada una caga, 7,l0 y en el punt de cdenadas (, 0) se encuenta stuada ta caga,,0. Las cdenadas están expesadas en mets. a) alcule la expesón vectal de la ntensdad del camp eléctc en el punt (, ). b) alcule el val del ptencal eléctc en el punt (, ). c) Indue el val y el sgn de la caga ue hay ue stua en el gen paa ue el ptencal eléctc en el punt (, ) se anule. d) Indue el val y el sgn de la caga ue hay ue stua en el gen de cdenadas paa ue la ntensdad del camp en el punt de cdenadas (, ) sea 0. Dat: nstante de la ley de ulmb m claacón: es necesa, pe s se desea ue en el punt (, ) el camp eléctc en el apatad d) sea un ce exact, hay ue cnsdea el val de cm un núme peódc, (6/). a. l camp eléctc en el punt (, ) es la suma vectal de ls camps eléctcs ue genean cada una de las cagas en ese punt. T 6 b. l ptencal eléctc en el punt (, ) es la suma algebaca de ls ptencales ue genean cada una de las cagas en el punt T

6 6 6 T c. 0 T Smplfcand la cnstante. 0 ; ; 6 d. Paa ue el camp eléctc en el punt (, ) sea nul, la caga stuada sbe el punt (0, 0) debeá genea un camp eléctc de gual mdul y deccón ue el genead p las cagas y pe de sentd puest. Paa ue el camp genead p la caga este dgd haca el punt (0, 0), la caga ha de se negatva. 0 T ( ) ( ) ( ) : ; Jun 0. Pblema B.- nsdéese un cnduct esféc de ad R cm, cagad cn una caga n. a) alcule el camp electstátc cead en ls punts stuads a una dstanca del cent de la esfea de y cm. b) ué ptencal se encuentan ls punts stuads a cm del cent de la esfea? c) Y ls stuads a cm del cent de la esfea? d) ué taba es necesa ealza paa tae una caga de n desde el nfnt a una dstanca de cm del cent de la esfea? Dat: nstante de ulmb /(π ε ) m. a. l camp eléctc cead p un cnduct esféc se calcula medante el teema de Gauss. Tenend en cuenta ue la deccón del camp eléctc es adal y ue la deccón del camp es pependcula a la supefce esféca y su módul es cnstante en tda la supefce, el flu a tavés de la supefce es: S πr ds ds ds Φ Según el teema de Gauss el flu es gual a la caga enceada dvdda p ε. ε Φ Igualand

7 ε πr ; πε R n un cnduct esféc, la caga se encuenta en la supefce y p tant la caga en el nte de una esfea de ad men al de la esfea cnducta es ce, p l ue el camp seá nul. Paa cm: 0; 0 Paa cm: ; 000 0, b. Paa cm: 0 R 0, c. Paa cm: 00 R 0, d. P se un camp cnsevatv: W 7 ( ( 0,) ( ) ) ( 0 0) J p Se debeá hace un taba de 7 J paa taslada la caga. Mdel 0. Pblema.- Se dspnen ds cagas eléctcas sbe el ee X: una de val en la pscón (,0) y ta de val en (,0). Sabend ue tdas las cdenadas están expesadas en mets, detemne en ls cass sguentes: a) Ls vales de las cagas y paa ue el camp eléctc en el punt (0,) sea / send el vect unta en el sentd pstv del ee Y. b) La elacón ente las cagas y paa ue el ptencal eléctc en el punt (,0) sea 0. Slucón a. l camp eléctc genead p ambas cagas en el punt (, 0) es la suma vectal de ls camps ue genean cada una de las cagas en el punt. Las ds cagas han de se guales paa ue se anulen las cmpnentes x de ls camp ue cean cada una de las cagas, además, deben se pstvas paa ue el camp esultante tenga la deccón y sentd de. Tenend en cuenta ue las ds cagas tenen el msm val y están a gual dstanca del punt, ls móduls de ls camps ceads p ambas sn guales. : ( ), T x y x y csθ senθ csθ senθ senθ,,, b. l ptencal en un punt debd a una dstbucón de cagas puntuales, es la suma algebaca de ls ptencales ue cean cada una de las cagas en el punt. 7

8 8 0 T 0 ; Septembe 0 F.G. uestón.- Ds cagas puntuales guales, de val 6, están stuadas espectvamente en ls punts (0, 8) y (6,0). S las cdenadas están expesadas en mets, detemne: a) La ntensdad del camp eléctc en el gen de cdenadas (0, 0). b) l taba ue es necesa ealza, paa lleva una caga desde el punt P (, ), punt med del segment ue une ambas cagas, hasta el gen de cdenadas. Dat: nstante de la ley de ulmb m 6 a. T 8, T ( ) ( ) 7,67 8, 00 T T b. l taba necesa paa desplaza una caga ente ds punts de un camp eléctc es el pduct de la caga p la dfeenca de ptencal ente ls ds punts. ( ) B B W J { }.B.B.B.B B. B. B J ( ) J, W 6 B Jun 0 F.M. uestón B.- a) nunce y expese matemátcamente el teema de Gauss. b) Deduzca la expesón del módul del camp eléctc cead p una lámna plana, nfnta, unfmemente cagada cn una densdad supefcal de caga σ. a. Teema de Gauss. l flu net ue atavesa una supefce ceada cualuea es gual a la suma algebaca de las cagas eléctcas enceadas en su nte dvdda ente la cnstante deléctca del vací. S d S ε φ b. n un plan nfnt de caga cnstante la supefce gaussana elegda tene fma de un paalelepíped cm el ue muesta la fgua, y p l tant habá flu a tavés de las supefces S y

9 S (S S ) paalelas al plan cagad. plcand el teema de Gauss y tenend en cuenta ue el camp es cnstante y paalel al vect de supefce: φ S d S ds S Sε ds S ds S S' S ε S' σ S xpesón de la ue se deduce ue el camp e un punt del plan cagad es ndependente de la dstanca. Jun 0 F.G. Pblema B.- Tes cagas puntuales n, n y n están stuadas, espectvamente, en ls punts de cdenadas (0, ), (, ) y (, 0) del plan XY. S las cdenadas están expesadas en mets, detemne: a) La ntensdad de camp eléctc esultante en el gen de cdenadas. b) l ptencal eléctc en el gen de cdenadas. c) La fueza eecda sbe una caga n ue se stúa en el gen de cdenadas. d) La enegía ptencal electstátca del sstema fmad p las tes cagas, y. Dat. nstante de la ley de lulmb m n una dstbucón de cagas puntuales, cm la ue se pde, l pme ue hay ue hace es supne la caga undad pstva en el punt dnde se pde calcula el camp eléctc y establece ls vectes de camp eléctc ue genea cada una de las cagas en ese punt. σ ε a. La ntensdad de camp eléctc genead p la dstbucón de cagas en el gen de denadas es el módul del camp eléctc genead p ellas. ( ) ( x y ) ( ) ( x ) ( y ) l módul del camp eléctc genead p una caga a una dstanca vene dad p la expesón: plcand a la dstbucón ppuesta: 6 x cs α : 7 y sen α Susttuyend en la expesón del camp eléctc: ( x ) ( y ) ,

10 b. l ptencal en un punt debd a una dstbucón de cagas es la suma (escala) de ls ptencales de cada caga en el punt. 8 8 c. F 8,, 0 d. U. F ( 8, ) (, ), ( ) ( ) 7, ( ) v Mdel 0. Pblema.- Se dspnen ds cagas eléctcas sbe el ee X: una de val en la pscón (,0), y ta de val en (,0). Sabend ue tdas las cdenadas están expesadas en mets, detemne en ls ds cass sguentes: a) Ls vales de las cagas y paa ue el camp eléctc en el punt (0,) sea el vect /, send el vect unta en el sentd pstv del ee Y. b) La elacón ente las cagas y paa ue el ptencal eléctc en el punt (,0) sea ce. Dats: nstante de la ley de ulmb k m a. POR SIMTRÍ: Paa ue el camp esultante sea en la deccón del ee OY, las ds cagas han de se de gual sgn y módul, p se en la deccón pstva del ee, las cagas seán pstvas. P smeta T y y x x P defncón: y k sen º k : y k sen º T T y y k sen º k sen º T k sen º k sen T k sen º ' { } k sen º b. l ptencal eléctc en el punt P, es la suma escala de ls ptencales ue genea cada una de las cagas en dch punt. 0 P P defncón: k P k k J

11 0 k k k k Tenen ue se de dstnt sgn, y de tple val ue. Septembe 00. uestón.- Una supefce esféca de ad R tene una caga eléctca dstbuda unfmemente en ella. a) Deduzca la expesón del módul del vect camp eléctc en un punt stuad en el exte a dcha supefce hacend us del teema de Gauss. b) uál es la azón ente ls móduls de ls vectes camp eléctc en ds punts stuads a las dstancas del cent de la esfea R y R? a. Según la ley de lumb, el camp eléctc cead p un caga en un punt de una supefce esféca vale, y es pependcula a la supefce. l flu a tavés de esta supefce seá: Φ S ds ds π S S aplcams el teema de Gauss a dcha supefce esféca, el flu a tavés de la supefce seá: Φ ds ds ds π S S S Tenend en cuenta ue el flu según el teema de Gauss es: Φ ε π : ε πε Resultad ue es déntc al encntad p la Ley de ulmb paa una caga puntual. b. Según la expesón deducda en el apatad a: R : : R : ( R) R R R mpaand ls móduls de ls camps eléctcs: R : R ( ) Jun 00. Pblema.- Ds cagas puntuales de µ y µ se encuentan stuadas en el plan XY, en ls punts (,0) y (,0) espectvamente. Detemne el vect camp eléctc: a) n el punt de cdenadas (,0). b) n el punt de cdenadas (0,). ta: Tdas las cdenadas están expesadas en mets. Dat: nstante de la ley de ulmb m Según el pncp de supepscón, el camp eléctc cead p una dstbucón de cagas puntuales en un punt de espac, es la suma vectal de ls camps eléctcs ceads p cada caga de la dstbucón en ese punt. T l camp eléctc () cead p una caga en un punt vene dad p la expesón: u Dnde es la cnstante eléctca, es la caga (), es la dstanca (m) y u es un vect unta en la deccón de la ecta ue une la caga al punt, y sentd haca la caga s es negatva, y en ε

12 sentd puest s es pstva. a. n este apatad la dstbucón de cagas y ls camps ceads p ambas en el punt O(, 0), fece una gemetía undmensnal, tal cm muesta la fgua.,, b. La fgua epesenta la dstbucón de cagas y ls camps ceads p ambas en el punt O(0, ). Paa ue la epesentacón uede más claa se ha tmad dstnta escala en ls ees. m el val abslut de las cagas y las dstancas ue las sepaan al punt O sn guales, el módul del camp cead p ambas cagas en O tambén l es. T,,, : 67,7 ( ) m en el apatad a, tenend en cuenta el pncp de supepscón: T Tenend en cuenta las cmpnentes tgnmétcas de α y el cuadante de cada ángul: x y ( cs α) ( sen α) cs α sen α ( cs α) sen α cs α sen x y α Sumand ls vectes se btene el camp en O. T cs α 66,7, ta: P smetía se pdía habe detemnad ue las cmpnentes y de ls camps se anulaban ente s. Mdel 00. Pblema B.- n el plan x 0 exste una dstbucón supefcal nfnta de caga 6 cuya densdad supefcal de caga es σ / m a) mpleand el teema de Gauss detemne el camp eléctc genead p esta dstbucón de caga en ls punts del espac de cdenadas (, 0, 0) y (, 0, 0). Una segunda dstbucón supefcal nfnta de caga de densdad supefcal σ se stúa en el plan x. b) mpleand el teema de Gauss detemne el val de σ paa ue el camp eléctc esultante de ambas dstbucnes supefcales de caga en el punt (, 0, 0) sea / ta: Tdas las cdenadas están expesadas en undades del SI Dat: Pemsvdad eléctca del vací ε0 8.8 m

13 a. Teema de Gauss. l flu net ue atavesa una supefce ceada cualuea es gual a la suma algebaca de las cagas eléctcas enceadas en su nte dvdda ente la cnstante deléctca del vací. φ S d S ε n un plan nfnt de caga cnstante la supefce gaussana elegda tene fma de un paalelepíped cm el ue muesta la fgua, y p l tant habá flu a tavés de las supefces S y S (S S ) paalelas al plan cagad. plcand el teema de Gauss y tenend en cuenta ue el camp es cnstante y paalel al vect de supefce: φ S d S ds S ds S S' ds S S' S ε σ σ Sε S ε xpesón de la ue se deduce ue el camp e un punt del plan cagad es ndependente de la dstanca.. plcand al cas ue se ppne: σ.6 ε 8.8 b. Según el pncp de supepscón, el camp en un punt es la suma vectal de ls camps geneads p cada una de las dstbucnes.6 6,6 ( ) plcand la expesón btenda en el apatad a: σ σ ε 6,6 8.8,8 ε m ( ) Septembe 008. uestón. Se dspnen tes cagas de µ en 'tes de ls vétces de un cuadad de m de lad. Detemne en el cent del cuadad: a) l módul, la deccón y el sentd del vect camp eléctc. b) l ptencal eléctc. -, Dat: nstante de la ley de ulmb m a. La epesentacón del sstema puede hacese en la entacón ue más ns nteese, en este cas cm apaece en la fgua adunta. La dstanca ente el cent y cualue vétce (R) es: d R R d : R d : R l módul del camp eléctc cead p una caga a una dstanca es: k n el cent del cuadad, p se las tes cagas guales y las dstancas a ls vétces guales, ls móduls de ls tes camps sn guales: k 80 R ( ) l vect ntensdad del camp eléctc ttal es la suma vectal de ls vectes ntensdad de camp ceads p cada una de las cagas.

14 T b. l ptencal eléctc es la suma escala de ls ptencales ceads p cada una de las cagas, ue sn tambén guales: k 7, lts T 7, 8, lts Septembe 008. Pblema B.- Una caga de µ se dstbuye hmgéneamente en la egón ue delmtan ds esfeas cncéntcas de ads l cm y cm. Utlzand el teema de Gauss, calcule: a) l módul del camp eléctc en un punt stuad a 6 cm del cent de las esfeas. b) l módul del camp eléctc en un punt stuad a cm del cent de las esfeas. Dat: Pemtvdad eléctca del vací ε 8,8 m. Teema de Gauss: l flu net ue atavesa una supefce ceada cualuea es gual a la suma algebaca de las cagas eléctcas enceadas en su nte dvdda ente la cnstante deléctca del vací. Dada la smetía del sstema, en tds ls punts ue eudstan del cent el camp eléctc seá adal y del msm val, p l ue nteesa cge cm supefce de ntegacón una esfea centada en el gen. paalel ds Φ ds S cs 0 Ley de ulmb ds S ds π π S ε a. l flu a tavés de una supefce esféca es: Φ ds ds ds π S S S Según el teema de Gauss, el flu tene un val: Φ ε De ambas expesnes se deduce: π : ε π ε Utlzand ls dats del enuncad: 0,06 m. enceada 77 π 8,8 0,06 b. l pcedment es déntc al del apatad ante pe aha la supefce gaussana es una supefce esféca de cm de ad, esta supefce n encea nnguna caga y p tant el flu es nul y el camp eléctc tambén es nul. 0,0 m enceada 0 π 8,8 0 0,06 Jun 008. Pblema.- Ds cagas fas, n y -,7 n se encuentan stuadas en ls punts del plan XY de cdenadas (,0) y (-,0) espectvamente. S tdas las cdenadas están expesadas en mets, calcule: a) l ptencal eléctc ue cean estas cagas en el punt (-,). 0

15 b) l camp eléctc cead p y en el punt. c) l taba necesa paa taslada un ón de caga negatva gual a -e del punt al punt B, send B (,), ndcand s es a fav en cnta del camp. d) La aceleacón ue expementa el ón cuand se encuenta en el punt. Dats: al abslut de la caga del electón e,6 - nstante de la ley de ulmb m - Masa del ón M, -6 kg a. Según el pncp de supepscón, el ptencal en un punt del camp cead p vaas cagas puntuales es la suma algebaca de ls ptencales debds a cada una de las cagas puntuales. Paa calcula el ptencal en un punt hay ue tene en cuenta ue es un escala, depende de la caga ue cea el camp, de la dstanca del punt a la caga y el sgn seá el de la caga., m, m,7 m 8, m ( 8, ),, b. l camp eléctc cead p vaas cagas puntuales en un punt, es la suma vectal de ls camps ue ceads p cada una de las cagas en ese punt. l módul el camp eléctc se puede btene del ptencal. :, 8,, m m Las cmpnentes vectales se btenen de las aznes tgnmétcas de ls ánguls ue fman ls vectes. ( cs α sen α ),,6,7 c. W ( ) B Ptencal en B: B ( 0 ( ) ),7 ( 0 ),7 T (,6,7 ) (,7),6 T,6 B.B.B,7,.B m 7, m.b,7.b m,86 m.b

16 (,86),6 7, Susttuyend en la expesón del taba: W (,6 ) (,6,),8 J B P se pstv el taba es a fav del camp. d. plcand el segund pncp de la dnámca: F m a La fueza a la ue se ve smetd el ón en un punt del camp es: F ón Igualand y se despea la aceleacón: ón ón móna a m,6,6 7 a,66 m 6, s Mdel 008. uestón.- a) nunce el teema de Gauss y escba su expesón matemátca. b) Utlce dch teema paa deduc la expesón matemátca del camp eléctc en un punt del espac debd a una caga puntual. a. l flu net ue atavesa una supefce ceada cualuea es gual a la suma algebaca de las cagas eléctcas enceadas en su nte dvdda ente la cnstante deléctca del vací. φ ds ε c b. Paa faclta el cálcul del flu, supnems una supefce ue encee a la caga puntual cn una smetía senclla y adecuada, en este cas una esfea cm la de la fgua, de md ue el camp ( ) en cualue punt de la supefce es un vect cn deccón adal y de módul cnstante : R ad de la esfea, y ds es R el vect epesentatv de la supefce dfeencal a estud, pependcula a ella. l flu a tavés de td la esfea venda dad p la expesón: φ ds dscsα c c α es el ángul ue fman y ds, ue es 0º p se vectes paalels. φ ds cs 0º ds k ds πr c c c R π ε R ε φ ε Septembe 007. Pblema B.- Se dspnen ds cagas eléctcas sbe el ee X: una de val en la pscón (, 0), y ta de val en (, 0). Sabend ue tdas las dstancas están expesadas en mets, detemne en ls ds cass sguentes: a) Ls vales de las cagas y paa ue el camp eléctc en el punt (, 0) sea el vect /, send el vect unta en el sentd pstv del ee Y. b) La elacón ente las cagas y paa ue el ptencal eléctc en el punt (, 0) sea ce. Dats: nstante de la ley de ulmb k m a. POR SIMTRÍ: Paa ue el camp esultante sea en la deccón del ee OY, las ds cagas han de se de gual sgn 6

17 y módul, p se en la deccón pstva del ee, las cagas seán pstvas. P smeta T y y x x T P defncón: T y y y k sen º k : y k sen º k sen º k sen º T k sen º k sen T k sen º ' { } k sen º b. l ptencal eléctc en el punt P, es la suma escala de ls ptencales ue geneán cada una de las cagas en dch punt. 0 P P defncón: k P k k 0 k k Tenen ue se de dstnt sgn, y de tple val ue. k k Jun 007. Pblema B.- Ds patículas cn cagas de µ y de µ están stuadas en ls punts del plan XY de cdenadas (,0) y (,0) espectvamente. Sabend ue las cdenadas están expesadas en mets, calcule: a) l camp eléctc en el punt (0,). b) l ptencal eléctc en ls punts del ee Y. c) l camp eléctc en el punt (,0). d) l ptencal eléctc en el punt (,0). Dat: nstante de la ley de ulmb m a. P el pncp de supepscón: ( 0,) ( 0,) ( 0,) Tenend en cuenta el sgn de las cagas: x y x y csα senα csα senα csα csα senα senα ( ) ( ) sen α cs α ( ) ( ) 7

18 0, 6, ( ) b. l ptencal en un punt es la suma escala de ls ptencales ue cean cada una de las cagas en ese punt. ( ) ( ) ( ) 0, y 0, y 0, y Tenend en cuenta ue en cualue punt del ee de denadas ( 0, y) 0 c. l gual ue en el apatad a, el camp eléctc en el punt (, 0) se calcula cm suma vectal de ls camps eléctcs ue genean cada una de las cagas. Dada la gemetía del pblema, sl exste camp eléctc en la cmpnente.,0,0 Tenend en cuenta el sgn de las cagas:,0 ( ) ( ) (,0) ( ) 87,,0,0,0 d. ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0 Mdel 007. Pblema B.- Una caga pstva de µ se encuenta stuada nmóvl en el gen de cdenadas. Un ptón mvéndse p el semee pstv de las X se dge haca el gen de cdenadas. uand el ptón se encuenta en el punt, a una dstanca del gen de x m lleva una velcdad de 00 m/s. alcule: a) l camp eléctc ue cea la caga stuada en el gen de cdenadas en el punt. b) l ptencal y la enegía ptencal del ptón en el punt. c) La enegía cnétca del ptón en el punt d) l camb de mment lneal expementad p el ptón desde ue pate de y p efect de la epulsón vuelve al msm punt. Dats: nstante de la ley de ulmb m 7 Masa del ptón m,67 kg; aga del ptón,6 p a) amp eléctc es la egón del espac ue se ve afectada p la pesenca de una caga eléctca. Según la Ley de ulmb: m 80 m. b) l ptencal en un punt de un camp eléctc, es el taba necesa paa desplaza la caga undad pstva desde ese punt al nfnt. p 8

19 punt. F d m 800 m ( J ) l ptencal en un punt se puede expesa en funcón de la enegía ptencal en ese p p p J 800 '6 '88 J p m m v 7 m s c) '67 kg ( ) 8' J c d) p pf p m v m v m ( v ) p p p v ( ) ( 00 m 7 v v '67 kg ( 00 m ) p p ' kg m s s s Septembe 006. Pblema B.- Ds cagas eléctcas pstvas e guales de val están stuadas en ls punts (0,) y B (0,-) del plan XY. Otas ds cagas guales están lcalzadas en ls punts (,) Y D (,-). Sabend ue el camp eléctc en, el gen de cdenadas es, send el vect unta en el sentd pstv del ee X, y ue tdas las cdenadas están expesadas en mets, detemne: a) l val numéc y el sgn de las cagas. b) l ptencal eléctc en el gen de cdenadas debd a esta cnfguacón de cagas. Dats: nstante de la ley de ulmb m a. P el pncp de supepscón, el camp eléctc ( ) es la suma vectal de ls camps ue genean tdas las cagas en ese punt. Ls camps eléctcs y ceads p las cagas y espectvamente en el gen se anulan p smetía. Tenend en cuenta ue el T en el gen tene deccón y sentd, las cagas y han de se guales en módul y sgn (negatvas), paa ue e esta fma, las cmpnentes de ambs vectes se anulen p smetía y las cmpnentes se sumen, tal y cm se bseva en la fgua. l camp eléctc cead p una caga según la ley de ulmb es: u Send u un vect unta en la deccón ue une el punt a la caga ue cea el camp. ( 0,0) x ( ) x ( ) csα 0 ( 0 ) 8 0,0 8,0,7,7µ ( )

20 ,7 µ b. l ptencal en un punt debd a una dstbucón de cagas es la suma escala del ptencal ue genea cada una de las cagas en ese punt. T T,7,7 T Jun 006. uestón.- Una caga puntual de val cupa la pscón (0,0) del plan XY en el vací. n un punt del ee X el ptencal es y el camp eléctc es 80 / send el vect unta en el sentd pstv del ee X. S las cdenadas están dadas en mets, calcule: a) La pscón del punt y el val de. b) l taba necesa paa lleva un electón desde el punt B (,) hasta el punt. Dats: al abslut de la caga del electón e,6 nstante de la ley de ulmb en el vací m a. l camp cead p una caga a una dstanca d sbe el ee X es k y el ptencal en ese punt es k d d P tant aplcand a cada un de ls dats tenems: a. : 80 k 80 d k d b. : k d k d Igualand las expesnes: 80d d Smplfcad y denand se calculan las psbles slucnes d 0 d ( 80d ) 0 : 8d 0 : d ' m La slucón d 0 n tene sentd pue en ese cas, y, p l tant, sl ueda la slucón d ' m caga. Sabend ue k m y susttuyend en la ecuacón del ptencal se despea la d k 8 b. l taba paa lleva una caga desde B hasta es gual al pduct de la caga p la dfeenca de ptencal ente ls punts y B W p ( B ) l ptencal en B cn la expesón: B k d B xpesón de la ue l únc ue descncems es la dstanca al punt B ue se calcula p el teema de Ptágas 0

21 ncda la dstanca B se calcula el ptencal. 6,6 m m 8 B y cn el ptencal en y en B y el val de la caga ue se desplaza se calcula el taba. ( ) ( ) J,0 v 6'6 v,6 W 8 Jun 00. Pblema.- Tes patículas cagadas µ, µ y de val descncd están stuadas en el plan XY. Las cdenadas de ls punts en ls ue se encuentan las cagas sn : (, 0), : (, 0) y : (0, ). S tdas las cdenadas están expesadas en mets: a) ué val debe tene la caga paa ue una caga stuada en el punt (0,) n expemente nnguna fueza neta? b) n el cas ante, cuánt vale el ptencal eléctc esutante en el punt (0,) debd a las cagas, y? Dat: nstante de la ley de ulmb m a. Paa ue una caga stuada en el punt (0, ) n expemente fueza neta, el camp cead p las tes cagas en (0, ) debe se nul. n el punt (0, ) el camp cead p las cagas y es: T ( ) ( ) ( ) ( ) k sen cs k 0, k sen cs k 0, l camp ttal es la suma vectal de ls camps ceads p ambas cagas. ( ) ( ) k k k 0, 0, T ( ) m v k 6 T. l camp genead n l punt (0, ) seá:

22 ) ( 0,) k ) ect unta en la deccón del camp ) ) v : v ( 0,) ( 0, ) ( 0, ) m susttuyend en la expesón del camp v v 0, k ( ) Paa ue el camp cead p las tes cadas en (0, ) sea nul se debe cumpl: T. 0 v ( ) 0 expesón de la ue se puede despea la caga. µ b. l ptencal k cead p las tes cagas en el punt (0, ) es la suma de ls ptencales ceads p cada caga. 8 k 8 k ( v) ( v) k 8 8 ( v) T Mdel 00. uestón.- Ds cagas puntuales de 6 µ y - 6µ están stuadas en el ee X, en ds punts y B dstantes ente sí cm. Detemne: a) l vect camp eléctc en el punt P de la línea B, s P cm. y PB 8 cm. b) l ptencal eléctc en el punt petenecente a la medatz del segment B y dstante 8 cm. de dch segment. Dats: nstante de la ley de ulmb m a. l camp eléctc en P, es la suma vectal de ls camps ue genean cada una de las cagas en dch punt: ( v) p() p p() p(b) k 6 U ( 0'0)

23 susttuyend p ls vales: p () '8 p(b) ( 0'08) k 7 B ( c) 6 7 p (B) 0'8 U ( ) l camp ttal en P, es la suma vectal de ds vectes de la msma deccón y sentd: p '8 0'8 ' La deccón de ls vectes untas u se deduce supnend en el punt P, la undad de caga pstva. b. l ptencal, a defeenca del camp eléctc, se tata de una magntud escala, p tant sumams escalamente ls ptencales pducds p ambas cagas en ese punt : () k () 6 0' (B) plcand la msma expesón paa la caga B: cb k B ( 6 ) 000 0' P tant: ( 000) 0 c 000 c l ptencal eléctc en es nul. Septembe 00. Pblema B. Ds cagas eléctcas en eps de vales µ y, están stuadas en ls punts (0, ) y (0, ) espectvamente, estand las µ dstancas en mets. Detemne: a) l camp eléctc cead p esta dstbucón de cagas en el punt de cdenadas (,0) b) l ptencal en el ctad punt y el taba necesa paa lleva una caga de µ desde dch punt hasta el gen de cdenadas. a. l camp eléctc cead p una caga puntual en un punt a dstanca R de la caga vene dad p el vect: U R en dnde es cnstante de ulmb y U es un vect unta en la deccón de la ecta ue une la caga cn el punt en el ue se uee calcula el camp, dependend el sentd del sgn de la caga, epulsv s es pstva y atactv s fuese negatv. l camp cead p una dstbucón de cagas, es la suma vectal de ls camps ceads p cada caga.

24 descmpnend ls camps ceads p las cagas en sus cmpnentes catesanas: x y x y susttuyend x y x y Tenend en cuenta la gemetía de la dstbucón x x y y la expesón del camp se educe a: y sen α R l sen α se calcula p tánguls ectánguls sen α susttuyend tds ls dats en la expesón: ( ) ( ) x x ( ) 6 b. l ptencal eléctc cead p una caga puntual en un punt a dstanca R de la caga vene dad p: R en dnde es la cnstante de ulmb. l ptencal eléctc es una magntud escala. Paa un sstema de cagas el ptencal eléctc del sstema se calcula cm la suma algebaca de ls ptencales ceads p cada una de las cagas en el punt. n nuest cas, el ptencal en el punt seá: T R R Tenend en cuenta ue, el ptencal en el punt es nul T 0 v R R p: l taba necesa paa lleva la caga desde el punt al gen de denadas vene expesad y ( ( 0, 0) ( ) ) W p l ptencal en el gen de denadas es: susttuyend en el taba ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) { } 0 T y

25 ( 0 0) 0 W l taba necesa paa desplaza una caga ente ds punts cn gual ptencal es nul Mdel 00. uestón.- Se cea un camp eléctc unfme de ntensdad 6x / ente ds lámnas metálcas planas y paalelas ue dstan ente s cm. alcule: a) La aceleacón a la ue esta smetd un electón stuad en dch camp. b) S el electón pate del eps de la lamna negatva, cn ue velcdad llegaa a la lamna pstva? ta: Se despeca la fueza gavtata. Dats: al abslut de la caga del electón e 6 Masa del electón m kg 6 ente ds placas paalelas: Se cea un camp eléctc ( ) a. La aceleacón de un electón stuad ente las placas, sí despecams la fueza gavtata, seá la pducda p la únca fueza ue actúa sbe el e ue es la fueza electmagnétca: F ue seá de sentd cnta a la deccón del camp, ya ue la caga es negatva. Igualams esta fueza, a la expesón de la fueza según la segunda ley de ewtn: F m a Despeand la aceleacón: a y susttuyend vales numécs: m 6 a '0 m / s b. S pate del eps desde la lámna negatva, la tayecta seá ecta y cn MRU. plcand la ecuacón de este mvment: vf v0 a t vf '0 t Puest ue se cnce la dstanca ente placas d 'cm y utlzand la ecuacón: vf v a s tenend en cuenta ue la velcdad ncal es nula, se btene, susttuyend ls vales numécs: vf a s vf '0 ' ' 6 7 m s l vect velcdad: v 7 ' (ya ue sl exste mvment en este ee) f Septembe 00. uestón. a) Defna las supefces euptencales en un camp de fueza cnsevatv. b) óm sn las supefces euptencales del camp eléctc cead p una caga puntual? c) ué elacón gemétca exste ente las líneas de fueza de un camp cnsevatv y las supefces euptencales? d) Indue un eempl de camp de fuezas n cnsevatv. a. Sn auellas supefces cuya caacteístca pncpal es el val cnstante del ptencal cead p un camp cnsevatv en cualue punt de dcha supefce. b. n el cas del camp eléctc cead p una caga puntual, el ptencal tene la fma:. s dec, su val sl depende del ad (dstanca de la caga al punt del camp), p tant las supefces euptencales sn supefces esfécas de ad, cn la caga en el cent de tdas ellas. c. Las líneas de fueza de un camp cnsevatv, sn las tayectas ue seguía una patícula (cn caga, s es un camp eléctc), abandnada en un punt del camp cnsevatv. Dcha línea de

26 fueza, sguen la deccón del gadente del ptencal, de md ue deben se pependculaes a las supefces euptencales, ya ue esa deccón es la de máxma vaacón del ptencal. nsttuye un camp adal, de la fma: d. Un eempl sea el camp gavtat teeste, s tuvéams en cuenta el zament cn el ae, cm n despecable. n este cas, la enegía de un cuep en este camp, ya n dependeía sól de la pscón (camp cnsevatv), sn de la tayecta seguda en un mvment p dch camp. Jun 00. Pblema B. Se tene tes cagas stuadas en ls vétces de un tangul euláte cuyas cdenadas (expesadas en cm) sn: ( 0,), B(, ), (, ) Sabend ue las cagas stuadas en ls punts B y sn déntcas e guales a µ y ue el camp eléctc en el gen de cdenadas (cent del tángul) es nul, detemne: a) l val y el sgn de la caga stuada en el punt. b) l ptencal en el gen de cdenadas. Dats: nstante de la ley de ulmb x m / a. Paa halla el val de, se tendá en cuenta ue (0,0)0. el camp cead en el cent del tángul p la caga vene expesad p: α k l camp cead en el msm punt p la caga B( B ) es: B k { } S sumams vectalmente ests ds camps, sl ns ueda cmpnente y, ya ue las cmpnentes x se anulan p smétca. La cmpnente y es la suma de B y y By y senα y, ue sn del msm mdul, y de val: B 6

27 Sumams las ds cmpnentes y : By y sen0º sen0º c La caga en el punt, tene ue genea un camp en (0,0) de md ue el camp esultante sea nul. P tant, el camp pducd p la caga, debe se: pat del val del camp, hallams la caga: ' k ' el sgn tene ue se pstv. s dec, una caga gual a la ue tenems en B y. b. Se calcula el ptencal cead p cada caga en (0,0) y se suma escalamente. k : B : T B v v v 7 c Septembe 00. Pblema B.- Se tenen ds cagas puntuales sbe el ee X, 0 µ está stuada a la deecha del gen y dsta de él m; 0, µ está a la zueda del gen y dsta de él m. a. n ué punts del ee X el ptencal cead p las cagas es nul? b. S se clca en el gen una caga 0, µ detemne la fueza eecda sbe ella p las cagas y. Dats: nstante de la ley de ulmb en el vac m a. Paa ue el ptencal en un punt del ee x se anule tene ue cu ue: ( ) ( ) 0 p p Stuand el punt P a la deecha de : v k x susttuyend en la cndcón de ptencal nul k x 7

28 0' 0' k k 0 k k 0 x x x x Opeand y smplfcand la expesón ante: ( x ) ( 0' ) x ( 0' ) eslvend la ecuacón de º gad x m S supnems ue el punt P se encuenta ente las cagas: eslvend 0' k x cncde cn el gen de cdenadas, P (0, 0) 0' k x x m 0 Repetms el msm pcedment mpnend un punt a la zueda de la caga pstva: eslvend la ecuacón 0' k x 0' k x x m vald ya ue x es una dstanca y n puede se negatva. hay nngún punt a la zueda de la dnde T 0. b. S clcams una caga 0 µc en (0, 0) calcula la fueza sbe ella. alculams el camp ttal en el gen de cdenadas: 0' k k 0' '8 La deccón y sentd es (supnems clcada en el gen una undad de caga pstva) 800 alculams el camp cead p la caga : 0' k 0' 00 Puest ue ambs vectes tenen la msma deccón y sentd numeams sus móduls: 8

29 La fueza sbe la 0' c : F T 700 F 0' F, Jun 00. Pblema B. Tes cagas pstvas e guales de val η cada una se encuentan stuadas en tes de ls vétces de un cuadad de lad cm. Detemne: a) l camp eléctc en el cent del cuadad, efectuand un esuema gáfc en su explcacón. b) Ls ptencales en ls punts meds de ls lads del cuadad ue unen las cagas y el taba ealzad al desplazase la undad de caga ente dchs punts. Dats: nstante de la ley de ulmb en el vací m a. m se bseva en la fgua, el camp esultante en el ya ue p smetía ls camps geneads p las caga B y se anulan ente s. cent del cuadad es el genead p la caga ( ) La dstanca de cualue vétce al cent del cuadad se calcula p teema de Ptágas 0'0 0'0 0'0 Ls móduls de ls camps ceads p B y p sn guales ya ue están ceads p la msma caga y están a gual dstanca del cent. 6 B k '6 0'0 m ( ) Ls vectes de camp geneads p las cagas B y ( B, ) deccón y sentd cnta, p l ue se anulan. l camp esultante es p tant el genead p la caga. Módul: 6 k '6 ( 0'0 ) l ángul ue fma el cn la hzntal es: 0'0 tg α 0'0 tg α α º Pyeccnes del vect camp sbe ls ees cdenads: csα senα el camp esultante es: x 6 6 ( 0'0, 0'0) '8 '8 T y tenen gual módul, b. l ptencal en ls punts meds: k k k 7' B k k k 7' ls ptencales sn ls msms y ue están ceads p la msmas caga y a gual dstanca. P tant : W ( f ) 0 ya ue ambs punts tenen el msm ptencal Septembe 000. Pblema.- Ls punts, B y sn ls vétces de un tángul euláte de m de lad. Ds cagas guales pstvas de m están en y B.

30 a) uál es el camp eléctc en el punt? b) uál es el ptencal en el punt? c) uánt taba se necesta paa lleva una caga pstva de m desde el nfnt hasta el punt s se mantenen fas las tas cagas? d) Respnde al apatad ante c) s la caga stuada en B se susttuye p una caga de m. Dats: Pemtvdad del vací ε 8,8 m a. Se calcula el módul del camp cead p cada caga en, y se suman vectalmente: k ' R π ε R π 8'8 k B ' R π ε R π 8'8 P smétca, y puest ue ls móduls de ambs camps sn guales, las cmpnentes x se anulan, uedand úncamente las cmpnente y: y sen 60º By sen 60º T c T c b. Se calcula el ptencal cead p cada caga en y se suman escalamente B T k k k '8 R R R π 8'8 J ( v) c. l W paa lleva una caga desde el nfnt hasta el punt se calcula cm: W ( ) Sí, 0, 8, susttuyend en la ecuacón ante W ( 0 '8 ) J Taba ue se ealza cnta el camp. d. S la caga en B fuea B, el ptencal en seá: B c c k k 8'8 π π8'8 P tant, el W necesa paa tae del nfnt la caga en este cas, seá nul: W c W ( ) 0 ( ) 0 Jun 000. uestón. Ds cagas puntuales e guales de val m cada una, se encuentan stuadas en el plan XY en ls punts (0, ) y (0, ), espectvamente, estand las dstancas expesadas en mets. a) n ué punt del plan el camp eléctc es nul? b) uál es el taba necesa paa lleva una caga undad desde el punt (l, 0) al punt (, 0)? a. l camp es funcón de la caga ue l genea y de la dstanca ente la caga ue l genea y el punt dnde se calcula. nte ds cagas guales, el camp es nul en el punt med del segment ue une ambas cagas. l camp es nul en el gen, ya ue y sn ds vectes en la msma deccón y sentds cntas, y de móduls guales, de val: c k T( ) 0 0, 0 0

31 b. W ( ) ( ) B B Hay ue calcula el ptencal en ls punts (,0) y (-,0) (,0 ) k k { } k (,0) J 6 6 eptend el cálcul paa el punt (, 0) 6 (,0) k k k J W W paa la undad de caga( ): { } 0 6 B B L ue mplca ue se puede mve la caga del punt (, 0) al punt (, 0) sn ealza nngún tp de taba, ya ue ambs punts tenen el msm ptencal. 6