du du du du A du ( u + u) du du du 1. Vector función de un escalar Un vector A es función del escalar u si lo es alguna de sus componentes:

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1 A UNTE DE: CA M ECA LARE Y ECTRIALE. ecto funcón de un escala Un vecto A es funcón del escala u s lo es alguna de sus componentes: A( A ( + A (j + A (k () Al da valoes a u vamos obtenendo una see de vectoes A ; se tata de una aplcacón de R en R, u A(. tomamos todos los vectoes con ogen en, sus etemos dbujan una cuva en el espaco, llamada ndcat, de ecuacones paamétcas A A ( ; A A ( ; A A (. A( A( u' ) A( u'' ) donde A A (u + - A ( análogamente paa las componentes A A. La devada de A se defne como el límte al que tende el cocente A/ cuando el ncemento de la vaable se hace cada ve más pequeño; es dec: A A lm lm u A + lm A j + lm k (4) Dcho de oto modo, la devada de un vecto es oto vecto cuas componentes son las devadas de las componentes del pmeo: d A d A d A A' + j + k (5) El vecto devada es tangente a la cuva ndcat, a que A/ tene la msma deccón que A (Q, en la fgua ); cuando, los etemos de A( A(u + se apoman (Q tende a ) la ecta Q tende a hacese tangente a la cuva en. Fgua El paámeto u epesenta un escala cualquea, peo fecuentemente se tataá del tempo t. Del msmo modo, el vecto A puede descb muchas magntudes físcas. epesenta la poscón de un punto o patícula, la ndcat, (, seá su taectoa. A( d A Q' A A( u+ Q. Devada e ntegal de un vecto aa un valo u del escala el vecto A vene dado po la ecuacón (). se ncementa la vaable en un, el vecto tomaá un valo ncementado, A( + A A( u + A ( u + + A ( u + j + A ( u + k () Reglas de devacón Fgua La devacón de vectoes tene popedades smlaes a las que cumplen los escalaes. Así, s tenemos los vectoes A(, B( la funcón escala f( se vefca: Restando () de () tenemos: A A(u + - A( A + A j + A k () a) Devada de la suma de vectoes: d( A + B) d A db + (6) Campos escalaes vectoales

2 b) Devada del pocto po un escala: d f( A( d f( ( A( + f ( c) Devada de un pocto escala: d [ A( B( ] B( + A( (7) ( db( (8) Ejemplo : Demosta que s un vecto funcón de un escala tene mólo constante su devada es oto vecto pependcula al pmeo. A( tene mólo constante, A( A( A cte (9) o tanto, la devada de este pocto debe se ceo: A + A A () una aplcacón de R en R. Aunque no es necesao que φ esté epesada en funcón de las coodenadas catesanas, seá lo más habtual. El conjunto de todos los puntos del espaco donde el campo toma un detemnado valo φ o foman una supefce equescala, cua ecuacón seá: φ(,, ) φ o (4) Las supefces equescalaes pueden epesenta puntos que tenen la msma tempeatua (sotemas), el msmo potencal (equpotencales) o cualque ota magntud escala. el campo está defndo en un plano las equescalaes seán líneas en ve de supefces. Un ejemplo lo tenemos en las cuvas de nvel de un mapa topogáfco. En este caso, la funcón es la altua H de cada punto del plano de coodenadas (, ): H f(, ). H H Como A / el pocto escala de los dos vectoes sólo puede se nulo s son pependculaes: A cte A () H H H d) Devada de un pocto vectoal: d ( db( u [ A ( B( ] B( + A( ) () Como opeacón nvesa de la devacón, se defne la ntegal de un vecto A( A ( + A (j + A (k como oto vecto cuas componentes son las ntegales de las componentes del pmeo: ) A( + j A( + A u k A ( () (. Campos escalaes. Una funcón escala φ que toma valoes en los puntos del espaco se dce que es una funcón escala de punto; o más smplemente, un campo escala. A cada punto (,, ), la funcón φ le hace coesponde un númeo φ(,, ); es Fgua Los puntos que tenen la msma altua (H, po ejemplo) foman una línea equescala de ecuacón f(, ) H. oectando detemnadas líneas o cuvas de nvel sobe el plano esulta el mapa topogáfco (fgua 5). En las funcones de una sola vaable, f(), la devada se defne como el lmte al que tende el cocente de ncementos / cuando. eo un campo escala φ(,, ) tendá tntas devadas a que, en geneal, el ncemento de la funcón no seá el msmo cuando se ncemente una u ota vaable. Así, defnmos el ncemento según el eje como φ φ( +,, ) φ(,, ) (5) Y la devada pacal de φ especto a la vaable, φ/, seá el límte: φ φ dφ lm d, cte (6) Campos escalaes vectoales

3 Es dec, se tata de la devada que esulta de supone que las coodenadas, pemanecen constantes solamente vaía la. De manea análoga se defnen las devadas pacales especto de las otas vaables: φ φ φ φ lm ; lm (7) Los ncementos φ φ son los que tenen luga según el eje (, constantes) según el eje (, constantes), espectvamente. Las eglas paa la devacón pacal son las msmas que gen en las funcones de una vaable. mplemente, ha que consdea la vaable que se deva tata como constantes las otas. 4. El vecto gadente upongamos que nteesa sabe cómo vaía el campo φ al pasa de un punto de vecto de poscón (,, ) a oto mu pómo, medante un desplaamento dfeencal cualquea d d + dj + dk. Dcho cambo se puede calcula como suma de los que se pocen en los desplaamentos d, d, d en que se puede descompone d según los ejes catesanos : dφ dφ + dφ + dφ. Fgua 4 d d d φ + d φ d φ φ φ gadφ φ + j + k (9) Ahoa, de acuedo con la ecuacón 8, dφ se puede epesa como el pocto escala del gadente po el desplaamento d : dφ φ d φ d cos α () donde α es el ángulo que foma el vecto gadente con d. En esumen, al desplaanos una tanca d en una deccón cualquea, el campo epementa la vaacón epesada po la ecuacón. El cambo po undad de longtud ecoda es la devada decconal de φ : dφ φ cos α φ u () Así pues, la devada de φ en la deccón defnda po el vecto untao u es gual a la poeccón del gadente sobe esa deccón. Las devadas pacales son casos patculaes de este esultado, como se ve al susttu u po los vectoes untaos, j, k. el desplaamento se eala en la deccón del gadente, cosα entonces d φ d φ φ () Es dec, la vaacón del campo es máma en la deccón del gadente e gual a su mólo. o ota pate, s d es pependcula a φ, cosα d φ d φ φ cte () e dece de aquí que el gadente en un punto del campo es pependcula a la equescala que pasa po dcho punto. ' De la defncón de devada pacal se dece que dφ ( φ/ )d ; dφ ( φ/ )d ; dφ ( φ/ )d ; po tanto: d φ φ d φ d φ + + d (8) H H H H H H u α Defnemos el gadente de φ (escto gad φ o φ) como un vecto que tene po componentes catesanas las devadas pacales del campo especto a,, : Fgua 5 Campos escalaes vectoales

4 olvamos al ejemplo del mapa topogáfco, donde las equescalaes son cuvas de nvel que unen puntos de gual alttud. El gadente de H en un punto cualquea epesenta en mólo deccón la pendente máma del teeno. Como se ve en la fgua 5, esa deccón en que la altua aumenta más depsa es pependcula a la cuva de nvel que pasa po. El gadente es mao donde las líneas equescalaes están más juntas (como ocue en '), a que entonces el msmo aumento de altua se poce en un espaco más pequeño. o ota pate, el valo de la pendente en otas deccones se puede dec poectando H sobe ellas. Ejemplo : ea + un campo escala defndo en el plano XY. Calcula la deccón en tono al punto (, ) en que el cambo de es mámo. Calcula tambén la devada en la deccón (, ). La máma vaacón de se poce en la deccón de su gadente, + j 4 + j (4) que en el punto (, ) vale (,) 4 + j. La devada en la deccón (, ) es la poeccón del gadente. aa calculala, multplcamos escalamente po el vecto untao en dcha deccón: d (, ) ( ) ( + j u 4 + j ) A A Fgua 6 A Las líneas ndcan la deccón del campo en cada punto. u ntensdad la epesenta el númeo de líneas po undad de supefce tansvesal que ha en el entono de cada punto. Así, en el campo es más ntenso que en a que las líneas están más apetadas en el pme punto (fgua 6). Dos líneas de campo nunca se pueden cua poque en el punto de cote había dos tangentes entonces el campo tendía dos valoes tntos. No obstante, pueden est puntos de donde dvegen las líneas de campo (fuentes) o en los que convegen (sumdeos). En dchos puntos el campo no está defndo; este en ellos una snguladad. sumdeo 5. Campos vectoales Una magntud vectoal A que tene un valo defndo en cada punto del espaco se dce que es un campo vectoal. e tata, po tanto, de una funcón vectoal cuas componentes dependen de las coodenadas de : (,, ) A(,, ) A + A j + A k (5) aa epesenta un campo vectoal se suele utla las líneas de campo. Una línea de campo se constue de foma que en todos sus puntos el vecto de campo sea tangente a la línea. la magntud defnda po A es una fuea decmos que es un campo de fueas que se epesenta medante líneas de fuea. fuente Fgua 7 aa calcula la ecuacón de una línea de campo sólo ha que tene en cuenta que, en cada punto, el vecto A debe se colneal con el elemento de línea d d + dj + dk. o tanto, sus componentes son popoconales: d d d (6) A A A Integando estas dos gualdades se obtenen las ecuacones de dos supefces cuo cote defne la línea. el campo está lmtado a Campos escalaes vectoales 4

5 un plano el poblema se ece a una sola ntegacón. Cuando la cuva es ceada, la ntegal cuvlínea o cculacón se escbe: Ejemplo : Consdeemos un campo vectoal defndo en el plano XY po la gualdad A - j. Calcula la ecuacón de la línea de campo que pasa po un punto de coodenadas ( o, o ). A d (9) C A d A Aplcando la ecuacón (6) a las componentes del campo ( A ; A - ) : d d d d d + d Integando: Fgua 8 C ( d + d ) + C' + C Esta es la ecuacón de una ccunfeenca con cento en el ogen. El valo de la constante de ntegacón C depende del punto po el que debe pasa la línea de campo: + C + Dada la cuva C en funcón del paámeto u, paa obtene Ad se pocede como sgue. Calculamos pmeo d : d '( ['( + '(j + '(k] () Después se patculaa A(,,) paa los puntos de C susttuendo ( ; ( ; ( : A(C) A ( + A (j + A (k () 6. Integal cuvlínea de un vecto ea ( ( + (j + (k la ecuacón de una cuva C que pasa po los puntos coespondentes a los valoes u u del paámeto. ea A un campo vectoal: A A (,,) + A (,,)j + A (,,)k (7) Consdeemos C dvdda en segmentos nfntesmales d. A está defndo en todos los puntos de la cuva ente, multplcaemos escalamente cada elemento d po el valo del campo en ese luga. La suma de todos los poctos se llama ntegal cuvlínea del campo a lo lago de C : A d A d cos α A (8) C C C Dcho en otas palabas, es la ntegal de la componente de A tangente a la línea con especto a la longtud de aco (fgua 8). El sgnfcado de esta ntegal depende de lo que epesente el campo. o ejemplo, s A es una fuea, F seá el tabajo de F a lo lago de la taectoa. o últmo, se hace el pocto escala A d se ntega especto de u : u A d [ A '( + A '( + A '( ] () C u la cuva no está en foma paamétca ha que tansfomala pevamente. uede utlase una de las coodenadas,, como paámeto o cualque oto. Ejemplo 4: ea el campo A - j del ejemplo anteo. Calcula su ntegal cuvlínea a lo lago de la ccunfeenca con cento en el ogen + 4, ente los puntos (, ) (, ). En el ejemplo del tema anteo se paametó la ecuacón de esta ccunfeenca hacendo sen ; cos. El punto coesponde al valo del paámeto a π/. usttuendo () e () en A esulta: A() cos - sen j o ota pate, el elemento de taectoa vale: Campos escalaes vectoales 5

6 d d + d j cos d - sen d j o últmo, se multplca escalamente A d se ntega especto a ente π/: π / π / π / ( 4cos + 4sen ) d 4 d 4] π 7. Campos consevatvos potencal ea A un campo vectoal defndo en ceta egón del espaco, f dos puntos cualesquea de dcha egón undos po una cuva C. e dce que A es consevatvo s: f A d f (, f ), cte C () Es dec, la ntegal cuvlínea es la msma paa todas las taectoas que van de a f : no depende del camno, sno de los etemos de éste. e puede demosta que s un campo es consevatvo la cculacón vale ceo paa cualque cuva ceada: A d, C (4) C La ecípoca tambén es ceta, po lo que se tata de defncones equvalentes, como veemos en el tema 5 con más detalle. Una condcón necesaa sufcente paa que A sea consevatvo es que esta una funcón escala de la poscón, φ, tal que su gadente sea gual al campo vectoal: A d A φ( ) (5) aa demostalo, supongamos pmeo que A φ. Recodando que, según la ecuacón (), φ d dφ, la ntegal cuvlínea de A ente los puntos f seá: f f f A d dφ φ] φ( f ) φ( ) (6) o lo tanto, sólo depende de los etemos de la taectoa. Invesamente, s la ntegal de A d ente un punto fjo o oto cualquea (,,) no depende del camno, debe se una funcón φ de las coodenadas,, :,,,, A d φ(,, ) (7) En patcula, paa dos puntos nfntamente pómos se cumple que A d dφ, de modo que: A d d φ φ d, d A φ (8) e dce que φ es un potencal de A o que A deva de un potencal escala cuando el campo es consevatvo. Es nteesante esalta que s φ es un potencal escala de A, tambén lo seá la funcón φ + C, donde C es cualque constante, puesto que (φ + C) φ. Ejemplo 5: Calcula el potencal escala del que deva el campo A - - j, de foma que su valo sea ceo en el ogen de coodenadas. El potencal escala seá φ dφ. eo, de acuedo con la ecuacón (), dφ φ d ; como φ A, debemos calcula A d. El pocto escala del campo po el elemento de taectoa es: A d ( j) ( d + d j + dk) d d Integando esta epesón: φ(,, ) d d + C La constante de ntegacón se detemna con la condcón de que el potencal sea nulo en el ogen: φ(,,). Esto se vefca s C, po lo que el esultado seá: φ (,, ) ( + ) (9) o últmo, como un gadente sempe es pependcula en cada punto a la equescala que pasa po él, se dece que las líneas de un campo consevatvo tenen que cuase pependculamente con las equescalaes de su potencal, que en este caso ecben el nombe de equpotencales. 8. Flujo de un campo vectoal ea una supefce N el vecto untao pependcula a ella en uno de sus puntos. El sentdo de N ndca la caa de que consdeamos postva. la supefce es ceada se toma como postvo el sentdo haca fuea. Campos escalaes vectoales 6

7 A que equvale a consdea la "supefce efectva" que se ve en la deccón de A (fgua ): d N A d d cos A d Ad (4) Ángulo sóldo Fgua 9 Un elemento nfntesmal de supefce, d, se puede epesenta vectoalmente a que, además de etensón, tene una detemnada oentacón. Así pues, defnmos el vecto d de foma que su mólo sea gual al áea del elemento de supefce que tenga la deccón sentdo de N : d d ; d d N (4) El flujo de un campo vectoal A a tavés del elemento de supefce es el pocto escala: dφ A d A N d Ad cos A d (4) Como al multplca escalamente A N se obtene la componente de A pependcula a la supefce, A, el cálculo del flujo supone elmna la pate tangencal. o tanto, la opeacón estaá ndcada cuando sepamos que esta componente no tene nngún efecto. aa calcula el flujo a tavés de toda la supefce se suman los dφ coespondentes a todos los elementos en que se dvde : Φ dφ A d A d (4) Un caso en que es necesao poecta d en el plano pependcula a una deccón dada es al calcula el ángulo sóldo que subtende la supefce. El ángulo sóldo, se defne de foma smla al ángulo plano fomado po dos ectas que se cotan, que es la elacón ente la longtud del aco su ado: α dα ' s' dl s dl Fgua α (ad) _s dα s' ' dl tenemos un segmento dl, el ángulo dα subtenddo desde es dl /, a que dl son nfntésmos equvalentes (el aco la cueda concden en el límte, cuando α ). Análogamente, una supefce genécamente cónca con vétce en delmta una egón del espaco cua ampltud se puede defn taando una esfea de ado cualquea con cento en. La aón constante ente el áea de la nteseccón el cuadado del ado es su ángulo sóldo, que se epesa en esteeoadanes (sad): d ' Ω ' sad (44) d N d A d cos d ' Fgua Ω ' ta foma de ve el pocto escala A d es como pocto de A po la poeccón de d en el plano pependcula al campo, lo Fgua Campos escalaes vectoales 7

8 egún la defncón, una supefce ceada, desde un punto de su nteo, subtende el ángulo sóldo Ω T 4π / 4π sad. aa calcula el ángulo subtenddo po un elemento de supefce d habá que calcula su poeccón sobe el plano pependcula al ado que la une con : d d cos u d dω (45) d Lo dvdmos en pequeños toos de lados d dl, cuo aea seá: d d dl d d + d eo d d no son ndependentes, a que dl debe esta contendo en el plano. Dfeencando su ecuacón, ( 4 susttuendo en d: ) d d d Ω Fgua d d u 4 d d d ( + ) 5 dd Ahoa ben, el vecto d N d debe se pependcula al plano. Una foma de obtene N es calcula el gadente del campo escala φ +, cuas supefces equescalaes, φ cte, son planos paalelos al del poblema (que es φ 4): la supefce no es nfntesmal sno etensa, el ángulo sóldo total se obtene ntegando dω paa todos los elementos d: Ω dω u d d (46) En el cálculo del flujo de un vecto, un paso pevo suele se epesa d en funcón de las coodenadas adecuadas. Debemos magna la supefce "toceada" en pocones nfntesmales después, ntega A d especto de cada vaable. ( + ) ( + ) ( + ) φ + j + k j + k aa que este vecto sea untao basta dvdlo po su mólo: φ ( j + k) ( j + k) N ; d Nd dd φ 5 Calculamos ahoa el flujo dφ que atavesa el elemento de supefce: A d j + k ( ) ( ) j + k dd ( )dd Ejemplo 6: Calcula el flujo del campo vectoal A - j + k a tavés de un too del plano de ecuacón + 4 lmtado po los planos ; ; ;. d d dl Fgua 4 d El too de plano defndo en el enuncado es el ectángulo sombeado de la fgua. d A 4 o últmo, ntegaemos a toda la supefce. meo con cte, hacendo vaa la ente 4: así esulta el flujo a tavés de una "ta" de anchua d. Después sumamos las contbucones de todas las "tas" que foman el ectángulo, desde hasta : Φ ( ) A d d d 4 ( )] d 4 4 ] d 4 9. Integal de volumen de un campo Consdeemos una supefce ceada que encea el volumen sea φ(,,) un campo escala defndo en todo. dvdmos este volumen en pequeños elementos, a cada uno de ellos le podemos asgna un valo Campos escalaes vectoales 8

9 del campo, φ( ), coespondente a las coodenadas (,, ) del punto que sve paa poscona. o la foma del cuepo, lo más adecuado es dvd su supefce en cuadados de lados d, d. De esta foma, d d d. (,,) φ(,,) d Fgua 5 La suma de todos poctos φ( ) es funcón del tamaño foma de los elementos de volumen. n embago, tende a un valo únco cuando hacemos los más más pequeños. o defncón, este límte es la ntegal de volumen del campo φ() : φ( ) d lm ΣΣΣ φ( ) (47) El sumatoo tple ndca que ha tes vaables de poscón,,, u otas, que van tomando valoes según se ecoe el volumen. aa calcula la ntegal de volumen es pecso escb d en funcón de las coodenadas más adecuadas al poblema e ntega sucesvamente especto de cada vaable, supuesto que las otas se mantenen constantes. El sgnfcado físco de la ntegal de volumen depende de lo que epesente φ., po ejemplo, φ es una densdad ρ(,,), el pocto ρd seá la masa dm contenda en el elemento de volumen; su ntegal, la masa total del cuepo. Cuando el cuepo tenga foma lamna el poblema podá ecse a dos dmensones la ntegal de volumen quedaá en una de supefce. o ejemplo, s conocemos la densdad supefcal σ(,) kg/m de un cuepo plano su masa total seá m σ(,)d. Ejemplo 7: Una lámna ectangula de lados L m, L m está stuada con un vétce en el ogen oentada según los ejes e. u densdad supefcal es funcón de la poscón, σ(,) + kg/m. Calcula su masa. d d d Fgua 6 Cada elemento de supefce tene una masa dm σ(,)d ( + )dd. Integando paa ente, con constante, se obtene la masa de una ta hoontal de anchua d. La segunda ntegacón, hacendo vaa ente, suma todas las tas nos da la masa total: m ( ) ( + + d d d (8 + ) d (9 + ) ] 4kg Tambén se puede defn la ntegal de volumen de un vecto A(). El esultado es oto vecto cuas componentes son las ntegales de volumen de las componentes de A : d + + A d j A d A k A d (48) Así se calcula, po ejemplo, el campo eléctco ceado po un cuepo cagado como suma de las contbucones de cada elemento nfntesmal dq ρ()d. el cento de masas de un objeto como meda de los vectoes de poscón de las patículas que lo foman: R m dm m ρ( ) d (49) cm )] Campos escalaes vectoales 9