PROBLEMA Flujo uniforme con superficie libre, a lo largo de un plano inclinado.

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1 1 IQ36A FENOMENOS DE TRANSPORTE, SEMESTRE 08-1 GUIA CAPITULO 6. Cap. 6.: Ecuacón de Nave-Stokes. PROBLEMA Flujo unfome con supefce lbe, a lo lago de un plano nclnado. Analza el flujo gavtaconal de un líqudo en deccón x a lo lago de un plano nclnado, de ancho nfnto, que foma un ángulo ϕ con la hozontal. Se supone que el líqudo se mueve como una capa de altua unfome a y está expuesto a la atmósfea en la supefce lbe. a) Demosta que las ecuacones de Nave-Stokes se educen a la únca expesón: g x + ν (d v x /dy ) 0 cuando se aplcan las sguentes hpótess: (1) Flujo lamna; () Velocdad sólo en deccón x; (3) Fludo ncompesble; (4) Flujo estaconao; (5) Supefce del líqudo a pesón atmosféca. (Se ecomenda usa una hoja con las ecuacones completas y maca cada témno anulado con el númeo de la hpótess que lo justfca, paa esta así seguos de que se ha demostado lo que se pde). Solucón: b) Intega la ecuacón paa enconta v x, usando las sguentes condcones de bode: () Velocdad nula en la paed del plano nclnado. () Esfuezo tangencal nulo en la supefce de contacto con la atmósfea (esto mplca despeca una leve esstenca fcconal pesentada po el ae). Solucón: a) Aplcacón de las hpótess paa anula témnos en las ecs. de Nave-Stokes: Hpótess 1 (H1): Flujo lamna: La velocdad del fludo es paalela a la paed: v y 0. H: Velocdad sólo en deccón x: Esto mplca supone que v z 0. H3: Fludo ncompesble: Se aplca la ecn. de contnudad v 0. Tomando la foma desaollada de este opeado vectoal de la tabla, vemos que se educe a: v x / x 0 y, en consecuenca, tambén v x / x 0. H4: Flujo estaconao: / t 0. H5: Supefce del líqudo a pesón atmosféca. Esta hpótess equee algún análss: La ecn. (C), con las hpótess anteoes y consdeando que la aceleacón de gavedad no tene componente en la deccón z, se educe a: p/ z 0. Análogamente, la ecn. (B) se educe a: p/ y ρ g y constante. Como en la supefce, y a, se tene p p atm constante, se deduce que p/ x 0 en todas pates.

2 H6: Ancho nfnto: Esta hpótess pemte anula el témno v x / z. Se obtene así como esultado la ecuacón del enuncado: g x + ν (d v x /dy ) 0, en que la devada pacal se tansfoma en devada total poque v x sólo depende de y. b) Condcones de bode paa la ntegacón: () Velocdad nula en la paed: y 0: v x 0. () Esfuezo tangencal nulo en la supefce lbe: τ yx 0 en y a. El pme subíndce del esfuezo tangencal desgna la nomal a la supefce en la cual actúa (la supefce lbe es un plano pependcula al eje y). El segundo subíndce desgna la deccón del esfuezo (que actúa en la deccón negatva del eje x). La fómula se encuenta en la tabla del esfuezo tangencal: τ xy τ yx - µ vy x v y x ( + ) Como v y 0, la condcón () se educe a : v x / y 0 en y a. Integando dos veces la ecuacón dfeencal, se obtene: v x - (g x y / ν) + c 1 y + c en que c 1 y c son las constantes de ntegacón. Medante las dos condcones de bode, se obtene fnalmente: v x - (g x y / ν) + (g x a y / ν) PROBLEMA Medcón de la vscosdad Un apaato paa med vscosdades de líqudos consta de dos vasos clíndcos concéntcos. Se coloca el líqudo en el espaco anula ente ambos clndos. El vaso nteo ga a velocdad angula Ω conocda; se mde el toque T w que esulta de la fccón en la paed de uno cualquea de los vasos; del toque se calcula el esfuezo tangencal; se aplcan fnalmente las ecs. de Nave-Stokes paa obtene la vscosdad del líqudo. Paa este fn, aplcamos las sguentes hpótess paa smplfca las ecuacones de Nave-Stokes en flujo lamna: flujo estaconao, eje z vetcal haca aba, tayectoas concéntcas en planos z const., smetía axal.

3 Nota además que una de las condcones de bode es: en R, v θ Ω R paa todo z. Esto equee postula que v θ es ndependente de z (de lo contao, no podíamos enconta una solucón patcula smple). En consecuenca: v θ / z 0 3 a) Con las hpótess ndcadas, obtene una elacón ente el toque en el eje de otacón y la vscosdad del líqudo. b) Aplca la solucón analítca paa calcula la vscosdad de un líqudo cuando se mde un toque gual a 0,8 (N cm). Los datos del vscosímeto son: ado del oto R cm; ado del vaso exteo fjo R e, cm; altua del líqudo H 5,4 cm; velocdad de otacón Ω 00 RPM. Solucón: a) En pme luga, se establece una elacón ente el toque en el eje en la paed del clndo nteo (T w ) y el esfuezo tangencal en la paed. En la paed nteo (supefce nomal al eje ) actúa un esfuezo tangencal en la deccón tangencal θ; po lo tanto, la desgnacón geneal es τ θ, y po actua en la paed nteo, es τ θ. Sobe un elemento de áea da, el elemento de fueza es τ θ da y el elemento de toque es un vecto en la deccón axal z, de magntud gual a la fueza elemental po el bazo R, esto es: dt w τ θ da R. El msmo toque actúa sobe cada uno de los elementos da que componen la supefce total del clndo nteo A π R H. Como todos estos vectoes tenen la msma deccón axal (z), se suman paa da el toque total: T w τ θ A R (1) S se epte el msmo análss paa la paed del clndo exteo de ado R e, se obtene en foma análoga: T we τ θe A e R e. Como el sstema está en equlbo, gando con velocdad angula constante, ambos toques deben se guales. Paa esolve las ecuacones de Nave-Stokes, se aplcan las hpótess del enuncado, que conducen a las sguentes condcones matemátcas: - flujo estaconao: / t 0; - eje z vetcal haca aba, esto es, las componentes de la aceleacón de gavedad son: g z -g; g g θ 0; - tayectoas concéntcas en planos z const., esto es: v v z 0. - smetía axal, esto es: / θ 0. - v θ ndependente de z: v θ / z 0 La ecuacón de Nave-Stokes (ecuacón E) se educe a: d 1 d( vθ ) 0 d d ()

4 Las condcones de bode son: Paa R : v θ Ω R, paa todo z. Paa R e : v θ 0, paa todo z. La ntegacón conduce a: Ω R R e vθ (3) R e R El esfuezo tangencal está defndo po: ( v ) ( θ / 1 τ τ -µ ) vθ θ θ + (en este caso: v 0) (4) Reemplazando v θ según ec. (3), se encuenta paa el esfuezo tangencal en la paed nteo y en la paed exteo: τ θ µ Ω R e / (Re - R ) τ θe µ Ω R / (Re - R ) Reemplazando en ec.(1), se obtene: T w T we 4 π µ Ω H R Re / (Re - R ) (5) b) Reemplazando los datos, se calcula: µ 0,34 Pa s. 4 PROBLEMA Flujo vetcal descendente a lo lago de la paed exteo de un tubo vetcal. Un tubo clíndco vetcal, de ado exteo R, está lleno de líqudo, que ebalsa po el extemo supeo y cae como una película de espeso unfome e adheda a la paed exteo del tubo. Modela sólo este flujo exteo, como s el clndo tuvea longtud nfnta. Supone flujo lamna, con velocdad sólo en la deccón axal haca abajo, estaconao, ncompesble, con smetía axal. En la supefce exteo de la película (que está en contacto con el ae), supone que la pesón es atmosféca y que el esfuezo tangencal es despecable. A pat de la ecuacón de Nave-Stokes, obtene la velocdad axal v z en funcón de la poscón adal. Solucón: Es más fácl vsualza el flujo como un clndo maczo vetcal, de longtud nfnta y ado R. Adheda a la paed de este clndo, cae una película de líqudo de espeso unfome e. En coodenadas clíndcas de eje vetcal haca aba, la película de líqudo ocupa el espaco compenddo ente R y R+e. Se aplca la ecuacón de Nave-Stokes paa enconta la funcón v z v z (), bajo las sguentes hpótess: (1) Flujo lamna axal: v v θ 0; () Flujo estaconao: / t 0; (3) Flujo ncompesble, lo que sgnfca que se aplca la ecuacón de contnudad: v 0, que, junto con

5 (1), mplca: v z / z 0; (4) Longtud nfnta (sn efectos de extemos); (5) Smetía axal: / θ 0; (6) Eje vetcal: g g θ 0; g z -g. Como condcones de bode, se tene: (7) Pesón atmosféca en la supefce de la película líquda (esto es, paa R+e); (8) Esfuezo tangencal nulo en la msma supefce; (9) Velocdad nula en la paed del clndo ( R). La ecn. (D) de Nave-Stokes se educe a: p/ 0. Con condcón (5), esulta: p p(z). Como p es constante e gual a p atm en R+e, se concluye que p p atm en todo el nteo del flujo. Po tanto: p/ z 0. La ecn. (E) es: 0 0. En ecn. (F), de (3) y (5) esulta que: v z v z () y la devada pacal es devada total dv z /d. Así, la ecn. (F) es: ν d g + ( dvz ) 0 d d con las condcones de bode: () en R: v z 0; () en R + e: τ z 0. De la tabla de componentes del tenso esfuezo tangencal, con las condcones de este poblema, esulta que la condcón () mplca: dv z /d 0. Po ntegacón: 5 v z 1 [g ( R ) g (R+e) ln(/r)] 4 ν PROBLEMA Flujo vetcal descendente en el espaco anula ente dos clndos vetcales concéntcos, cuando el clndo nteo ga en tono a su eje. Consdea un eje clíndco vetcal de ado cm que ga con velocdad angula 450 RPM dento de un clndo fjo de ado, cm. En el espaco anula ente ambos hay un lubcante de densdad 950 Kg/m3 y vscosdad 6 cp. El lubcante ga aastado po el eje; tambén tene un desplazamento axal haca abajo, con gadente de pesón constante dp/dz 3500 Pa/m. a) Aplca la ecuacón de Nave-Stokes al movmento del fludo en el espaco anula, suponendo flujo lamna, estaconao, ncompesble, con componente adal de la velocdad nula en todas pates, longtud nfnta, smetía axal. NOTAR que las ecuacones paa las componentes axal y tangencal esultan ndependentes ente sí. Po lo tanto, se pueden ntega sepaadamente, obtenéndose las componentes axal y tangencal de tayectoas en espal concéntcas con el eje.

6 6 b) Calcula la magntud del vecto velocdad paa la poscón,08 cm. Solucón: a) Modelacón matemátca: Al ntoduc las hpótess del enuncado, la ecn. (D) de Nave-Stokes en coodenadas clíndcas se educe a : v θ 1 p que pemte calcula la dstbucón adal de la pesón después de habese esuelto paa v θ (peo esto no foma pate de la pegunta). La ec. (E) de Nave-Stokes con las condcones de bode ndcadas paa v θ consttuye un poblema déntco al Poblema 6.- (el vscosímeto otatoo) y puede utlzase dcho esultado en foma decta (en todo caso, la solucón se encuenta po ntegacón de la ec. (E) con las condcones de bode: v θ 0 en R e, v θ Ω R en R ). Nota que la hpótess de longtud nfnta lleva a postula que v θ / z es nulo en todas pates. El esultado del Poblema 6.- es: v θ Ω R R R e e R La ec. (F) de Nave-Stokes, mada sepaadamente, equvale al poblema de un flujo axal a lo lago del espaco anula ente dos clndos concéntcos fjos. Este poblema se fomula en foma análoga al del flujo lamna en una tubeía clíndca (esuelto en clase), peo ahoa con las condcones de bode: En R, v z 0; En R e, v z 0; El esultado po ntegacón es: B ( R ) B (R e R ) ln ( / R ) vz + 4 υ 4 υ ln (R / R e ) 1 p en que B + g (una constante) ρ z b) Con las expesones anteoes paa v θ y v z, que son pependculaes ente sí, se calcula v [ v + v ] 1/ θ z. Con los datos numécos, esulta: v 1,395 m en el punto (,08 cm).

7 7 PROBLEMA Sóldo que cae dento de un tubo vetcal. Un tubo clíndco vetcal de ado R e contene un líqudo de densdad ρ y vscosdad µ. En el nteo de este tubo se deja cae un objeto clíndco maczo, de densdad ρ s y ado R. El clndo nteo cae po efecto de la fueza de gavedad y expementa fccón con el líqudo que lo odea. Cuando ambas fuezas se equlban, el clndo contnúa cayendo con velocdad unfome V. Modela este fenómeno paa la condcón estaconaa ndcada, con las sguentes hpótess: el tubo y el clndo tenen lago nfnto; el clndo mantene una poscón concéntca con el tubo; el movmento del fludo es lamna y sólo tene componente axal. Detemna la velocdad unfome V. Solucón: Segu el sguente esquema: a) Resolve la ecn. de Nave-Stokes paa obtene la velocdad del fludo: v v(,θ,z) en coodenadas clíndcas, suponendo longtud nfnta paa el objeto. b) Calcula el esfuezo tangencal en la paed del objeto y, con esto, calcula la fueza de esstenca en la supefce total del objeto. c) Calcula la velocdad de caída del objeto con la condcón fueza de gavedad + fueza de esstenca 0. Etapa a): Con las hpótess ndcadas, el poblema es smla a la segunda pate del Poblema 1b-3, flujo axal a lo lago del espaco anula ente dos clndos concéntcos, con la únca dfeenca de que ahoa las condcones de bode son: En R, v z -V (en que V es la velocdad de caída del objeto); En R e, v z 0; La ecn. (F) es: B+ ν d ( dvz ) 0 d d en que B dp 1 + ρ dz g Con las condcones de bode ndcadas, se obtene: B v z + c 4 1 ln + c ν en que las constantes de ntegacón son: V + B(R Re ) / 4ν B R c 1 ; c V c1 lnr ln R 4 ν R e Etapa b) De la Tabla del tenso esfuezo tangencal, con sólo la componente z de la velocdad, se tene: τ z - µ dvz d - µ B c + 1 ν La fueza fconal total es: F z τ z (en R ) π R L, paa una longtud L del objeto. Etapa c) Igualando F z con el peso del objeto, W (π R L ρ s g), se obtene:

8 8 B R R ρs g R V ln + B (Re R ) ν µ Re 4 ν PROBLEMA Foma de la supefce lbe en un líqudo que ga con velocdad angula constante. Un ecpente clíndco vetcal, de ado R, contene líqudo hasta el nvel H sobe el fondo. El ecpente ga con velocdad angula Ω constante. Debdo al efecto centífugo del movmento, el líqudo tende a toma un nvel más alto en el bode del ecpente y más bajo en el cento (eventualmente, s Ω es sufcentemente gande, el líqudo se va a deama sobe el bode del ecpente). Detemna la foma de la supefce lbe del líqudo y, en patcula, la altua H w que toma el líqudo en contacto con la paed y la altua H 0 del líqudo en el eje del clndo. Paa este fn, aplca la ecuacón de Nave-Stokes en la foma sguente: a) Resolve la ec. de Nave-Stokes suponendo que el movmento ocue en égmen lamna, estaconao, con smetía axal. Se supone que el líqudo se mueve en tayectoas cculaes concéntcas con el eje z. Paa ntega la ecuacón y obtene una expesón paa la velocdad tangencal v θ, postula como condcones de bode: Paa R: v θ Ω R, paa todo z. Paa 0: v θ 0, paa todo z. Estas condcones de bode equeen postula que v θ es ndependente de z (de lo contao, no podíamos enconta una solucón patcula smple). En consecuenca, v θ / z 0, b) Conocda la velocdad tangencal, ntega paa enconta la pesón p(,z). Notando que la supefce lbe del líqudo es una supefce de pesón constante (gual a la pesón atmosféca), se utlza la condcón de bode: paa z H 0, p p atm. La ecuacón de la supefce lbe se deduce de la ecuacón de la pesón, con la condcón p const p atm. c) Fnalmente, paa enconta H w, se aplca la condcón: el volumen de líqudo en eposo es gual al volumen de líqudo en otacón (ntega la ecuacón de la supefce lbe paa enconta el volumen en otacón).

9 Solucón: La supefce lbe es una supefce que se encuenta a pesón constante e gual a la pesón atmosféca. Po lo tanto, es necesao esolve la ecuacón de Nave-Stokes paa la velocdad y la pesón y, con esa solucón, busca la foma de las supefces de pesón constante. a) Solucón de la ec. de Nave-Stokes paa la velocdad v θ : se aplcan las sguentes hpótess: H1: flujo estaconao: / t 0; H: tayectoas concéntcas en planos z const., esto es: v v z 0. H3: smetía axal, esto es: / θ 0. H4: fludo ncompesble: Se aplca la ecn. de contnudad v 0. H5: eje z vetcal haca aba, esto es, las componentes de la aceleacón de gavedad son: g z -g; g g θ 0 Con esto, la ecuacón de Nave-Stokes (ecuacón E) se educe a: 1 ( vθ ) + vθ z 0 Además, se ndcó en el enuncado la necesdad de postula v θ / z 0, con lo cual la ec. (1) se educe a: d 1 d( vθ ) 0 () d d Con las condcones de bode ndcadas en el enuncado, la ntegacón conduce a: v θ Ω (3) (este esultado mplca que el líqudo ga como s fuea un cuepo sóldo). b) Solucón de la ecuacón de Nave-Stokes paa la pesón: con la solucón encontada en ec. (3) paa v θ, se ntegan ahoa las ecs. (D) y (F) paa enconta la pesón p. Con las hpótess ndcadas, estas ecuacones se educen a: (1) 9 θ v 1 p ρ (D) 1 p 0 g (F) ρ z La ntegacón de la ec. (D) lleva a: p ½ ρ Ω + f 1 (z) (donde f 1 (z) es una funcón abtaa de z) Análogamente, la ecn. (F) lleva a: p - ρ g z + f () (donde f () es una funcón abtaa de ) De aquí esulta que la pesón p está dada po: p ½ ρ Ω - ρ g z + a (donde a es una constante abtaa) La constante a se detemna con la condcón de bode: Paa 0: p p atm : z H 0. Se obtene: a p atm + ρ g H 0. Con esto, la solucón es:

10 p ½ ρ Ω + ρ g (H 0 z) + p atm (4) c) Ecuacón de la supefce lbe: Defnendo como ( s, z s ) las coodenadas de la supefce lbe, la ecuacón se obtene hacendo p p atm en ec. (4): ½ ρ Ω s + ρ g (H 0 z s ) 0 (5) Paa detemna el valo de H 0, se guala el volumen ocupado po el líqudo en estado de eposo (con altua H, dato) con el volumen bajo la supefce lbe, obtendo po ntegacón: 10 π R H R z d 0 s π (donde z s se eemplaza desde ec. (5) como funcón de ) El esultado es: H 0 H (Ω R / 4 g) (6) Fnalmente, se obtene H w medante ec. (5), calculando el valo de z s paa s R. Intoducendo en ec. (5) el valo de H 0 obtendo en ec.(6), se llega a: H w H + (Ω R / 4 g) (7)