Apéndice A. Principio de Mínima Acción y Energía Mecánica total.

Transcripción

1 Apéndce A Prncpo de Mína Accón y Energía Mecánca total. E l prncpo de ína accón es equvalente a decr que la tayectora que sgue una partícula en el espaco de conguracón es aquella para la cual la dferenca T V es ína, nótese que es la dferenca entre la energía cnétca y la potencal lo que se nza y no la energía total de un sstea, analzareos ésto de la sguente anera [7]: Partos del hecho de que por la prera ley de Newton, sabeos que una partícula lbre ovéndose a velocdad constante con respecto a un sstea de referenca nercal, sgue una línea recta en el plano t, x); tratareos de justcar el hecho de que la partícula sga esa trayectora. Lo hareos respondendo lo sguente ¾tene la naturaleza alguna razón energétca para este fenóeno?, por ejeplo ¾por qué la partícula no toa la trayectora alternatva denotada por LMN y forada por los segentos A y B coo se uestra en Fg.A.)?. Fgura A.: Trayectora LMN alternatva a LN. El prer ntento de responder la pregunta es dcendo la naturaleza quere que la partícula gaste la enor energía cnétca para r del punto L al N, s esta respuesta es correcta entonces la energía cnétca a lo largo de la trayectora LN será enor que la de la trayectora alternatva LMN. Al hacer el análss, obteneos los sguentes resultados para la energía cnétca correspon- 49

2 Prncpo de Mína Accón y Energía Mecánca total. 50 dente a la trayectora LN es T = ) x = t 4 ) ) x. A.) t Que es gual a la energía cnétca proedo de esta trayectora denotada por T LN. Mentras que para la energía cnétca proedo correspondente a la trayectora LMN teneos T LMN = T A + T B = ) ) x, A.) t coparando el resultado de Ec.A.) con Ec.A.) concluos que la respuesta que dos a la pregunta anteror parece ser correcta, para vercar que lo es analzareos qué plca, sobre el ovento de la partícula, el hecho de que gaste el íno de energía cnétca. Coenzaos por calcular la varacón de la energía cnétca proedo correspondente a la trayectora LN y obteneos δ T dp dt δx. Ahora, toando en cuenta que la condcón para que la energía cnétca sea ína es que no tenga cabos para varacones pequeñas δx, concluos que se debe cuplr δ T Lo que para varacones arbtraras plca dp dt = 0, dp δx = 0. dt de donde teneos p = constante, que es equvalente a decr que la velocdad de la partícula es constante y por tanto la trayectora de la partícula es una línea recta en t, x). En conclusón la partícula lbre sgue una línea recta en t, x) ya que es así coo gasta la enor cantdad de energía cnétca. Cuando consderaos que la partícula está soetda a un potencal V x) y trataos de justcar su trayectora extendendo la dea anteror,.e. proponendo que la partícula segurá la trayectora para la cual la energía total es ína, encontraos la sguente relacón dp dt + dv dx = 0. Lo cual contradce a la segunda ley de Newton. La sguente respuesta que podeos proponer es la razón energétca de la naturaleza de que la partícula sga certa trayectora, debdo a que está

3 Prncpo de Mína Accón y Energía Mecánca total. 5 sujeta a un potencal V x), es que ésta gaste el íno de dferenca entre la energía cnétca y la potencal, al aplcar esta dea obteneos δ T V = Donde nuevaente para varacones arbtraras dp dt dv ) δx = 0. dx dp dt dv dx = 0, lo que corresponde a la segunda ley de Newton. En conclusón podeos enuncar esta segunda ley, de otra fora, dcendo la energía cnétca proedo enos la energía potencal proedo es ína para la trayectora que sgue un objeto que va desde un punto ncal a uno nal [8].

4 Apéndce B Otras representacones para el propagador lbre. S ea K 0 P f t f ; P t ) la apltud de probabldad de que una partícula con oento P en el tepo t sea observada después con un oento P f en un tepo t f, la cual estará dada por la transforada de Fourer de K 0 x f t f ; x t ) de la sguente fora: K 0 P f t f ; P t ) = ) ) P f x f K 0 x f t f ; x t ) P x dx dx f. El propagador lbre K 0 x f t f ; x t ) está dado en 3-D, generalzacón del obtendo en -D, por K 0 x f t f ; x t ) = Θt f t ) πt f t ) ) 3 { x x f ) }, t f t lo cual susttuos en la resón de K 0 y nos queda K 0 P f t f ; P t ) = Θt f t ) { πt f t ) x x f ) } dx dx f. t f t ) 3 { } P x P f x f ) B.) Para evaluar la ntegral de Ec.B.) hareos los sguentes cabos de varable x = x x f X = x + x f p = P P f P = P + P f. B.) De donde P x + p X = P x P f x f ). El jacobano de la transforacón es ) 3 con esto y con Ec.B.), la Ec.B.) se escrbe de la sguente fora K 0 P f t f ; P t ) = Θt f t ) πt f t ) ) P x ) 3 ) 3 { x ) dx. t f t } p X) dx B.3) Usaos el hecho { } p X) dx = ) 3 π) 3 δp), 5

5 Otras representacones para el propagador lbre. 53 en Ec.B.) y coo p = P P f nos queda K 0 P f t f ; P t ) = Θt f t ) πt f t ) ) 8 P t f t ). ) 3 π ) 3 δp P f ) B.4) La funcón delta que aparece en Ec.B.4) plca la conservacón del oento lneal, por lo tanto el propagador lbre será dferente de cero sólo cuando exsta conservacón de oento lneal. Esto adeás plca de P = P + P f ) que P = 4P por lo tanto la Ec.B.4) tabén se escrbe coo sgue K 0 P f t f ; P t ) = Θt f t ) πt f t ) ) P t f t ). ) 3 π ) 3 δp P f ) B.5) La Ec.B.5) es la apltud de probabldad de la transcón de una partícula con P en t a P f en t f. Es portante enconar que s quereos recuperar el propagador en el espaco coordenado teneos que calcular la transforada de Fourer de Ec.B.5) lo que nos da la sguente resón que será de gran ayuda en cálculos de dspersón. { ]} K 0 x f t f ; x t ) = Θt f t ) [q x x f ) q t f t ) dq. B.6) Ahora cabareos al espaco de oento y energía realzando la transforada de Fourer de la dependenca teporal en la Ec.B.5). Coenzaos por susttur a K 0 P f t f ; P t ) en la sguente resón K 0 P f E f ; P E ) = { } E f t f K 0 P f t f ; P t ) { } E t dt dt f con lo que nos queda { } K 0 P f E f ; P E ) = π ) 3 δp P f ) E f t f E t ) Θt f t ) { } P t f t ) dt dt f. B.7) Hareos el sguente cabo de varable τ = t f t para resolver la ntegral de Ec.B.8) de donde t f = τ + t 0. Con esto tendreos K 0 P f E f ; P E ) = π ) 3 δp P f ) { { Θt f t ) E f P } E f E ) t dt ) } τ dτ. B.8)

6 Otras representacones para el propagador lbre. 54 La presenca de la funcón paso en la ntegral respecto a τ, reduce la ntegral a 0 ωτ) dτ, B.9) donde ω = ) E f P. B.0) Para que la ngral Ec.B.9) converja necestaos ωɛc, por lo tanto nos convene hacer el sguente cabo ω ω + α con αɛr + y α <<. Así la solucón de la ntegral dada por Ec.B.9) es 0 {ω + α)τ} dτ = ω + α). El resultado de la ntegral respecto a t de Ec.B.8), se presenta a contnuacón { } E f E ) t dt = πδe f E). B.) B.) Susttuos a las Ecs.B.) y B.) en Ec.B.8) y nos queda que el propagador en el espaco de oento y energía está dado por K 0 P f E f ; P E ) = π ) 4 δp P f )δe f E) E f P + α, B.3) de donde concluos que se da la propagacón sólo s hay conservacón de la energía y del oento. Esto nos perte escrbr las reglas de Feynan en el espaco de oento y energía las cuales son ás fácl de recordar que las escrtas en el espaco coordenado ya que se basan en arguentos físcos conservacón de E y de P).

7 Apéndce C Solucones de la Ec.3.7). D ebdo cos θ = cos θ 3 = a que la Ec.3.7) es una ecuacón de cuarto grado, tene coo solucones los sguentes cuatro valores para cos θ: 4k + B + B 4 + 4B k B, cos θ = + 4k 4k + B B 4 + 4B k B, cos θ 4 = + 4k 4k + B + B 4 + 4B k B, + 4k 4k + B B 4 + 4B k B. + 4k Al susttur cada una de estas solucones en las entradas M = M y M = M obteneos el sguente coportaento M cos θ ) = M cos θ 4 ), M cos θ ) = M cos θ 3 ), M cos θ ) = M cos θ 4 ) y M cos θ ) = M cos θ 3 ) de donde podeos conclur que sólo dos solucones son dstngubles. Para decdr cuál solucón utlzareos para la rotacón, consderaos el hecho Ω = M y analzaos las dferentes seres de frecuencas obtendas con las solucones cos θ y cos θ. Vos que para las seres << B con k ja, y B << con k ja, obteneos resultados factbles para abas solucones. Lo que nos ayuda a dscrnar a una de las solucones, son las seres para k << B y ja, con las cuales obteneos: Con cos θ Ω = Y con cos θ Ω = M cos θ ) M cos θ ) ) [ k = k B B + Ω = M cos θ ) ) [ k = k B B + ) ] k ) ) 4 B + O B, ) = 0. ) ] k ) ) k 4 B + O B, La cual al resolverla nos da los valores de cos θ, y con ello los de sn θ, que nos srven para que la atrz M sea dagonal y desacoplar las coordenadas ẏ y ẏ. 55

8 Solucones de la Ec.3.7). 56 Ω = M cos θ ) ) [ B = + k k B B + ) ] k ) ) k 4 B + O B. Al coparar las seres, observaos que sólo las obtendas con la solucón cos θ nos perten tener una correspondenca con las teorías reducdas coo se ve al nal del capítulo 3.