DETERMINACIÓN DE ERRORES Y TRATAMIENTO DE DATOS. II. Error en una medida: determinación y expresión de errores.

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1 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería DETERMIACIÓ DE ERRORES Y TRATAMIETO DE DATOS I. Introduccón. II. Error en una edda: deternacón epresón de errores.. Clasfcacón de los errores.. Eacttud, precsón sensldad. 3. Error asoluto error relatvo. 4. Epresón del error. 5. Deternacón de errores en eddas drectas. 6. Deternacón de errores en eddas ndrectas. III. Trataento de datos.. El étodo de los ínos cuadrados.. Construccón de gráfcas. 3. Interpolacón en talas. Deternacón de errores trataento de datos

2 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería I. ITRODUCCIÓ Las eddas eperentales están afectadas de certa precsón en sus valores dedo a las perfeccones del aparato de edda o a las ltacones de nuestros sentdos en el caso de que sean ellos los que deen regstrar la nforacón. El valor de las agntudes físcas se otene eperentalente efectuando una edda; ésta puede ser drecta sore la agntud en cuestón o ndrecta, es decr, otenda por edo de los valores eddos de otras agntudes lgadas con la agntud prolea edante una fórula físca. Así pues, resulta posle llegar a conocer el valor eacto de nnguna agntud, a que los edos eperentales de coparacón con el patrón correspondente en las eddas drectas vene sepre afectado de precsones nevtales. El prolea es estalecer los lítes dentro de los cuales se encuentra dcho valor. El prncpal ojetvo de estos apuntes es presentar al estudante algunos conceptos áscos de la denonada Teoría de Errores; con ello, se pretende que el aluno se desenvuelva con agldad en las dversas práctcas, perténdole reconocer los factores que nfluen en el error, así coo el cálculo del so. Adeás, se ofrecen algunas nocones sore trataento de datos que nclue el ajuste de rectas edante el étodo de ínos cuadrados. II. ERROR E UA MEDIDA Y DETERMIACIÓ ERRORES. Y EXPRESIÓ DE. Clasfcacón de los errores El error se defne coo la dferenca entre el valor verdadero el otendo eperentalente. Los errores no sguen una le deternada su orgen est en últples causas. Atendendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasfcar en dos grandes grupos: errores ssteátcos errores accdentales. Los errores ssteátcos son aquellos que peranecen constantes a lo largo de todo el proceso de edda, por tanto, afectan a todas las edcones de un odo defndo es el so para todas ellas; se pueden suclasfcar en errores nstruentales, personales o por la eleccón del étodo. Los errores nstruentales son los dedos al aparato de edda; por ejeplo, un error de calrado generaría este tpo de precsón. Los errores personales se deen a las ltacones propas del eperentador; así, una persona con algún prolea vsual Deternacón de errores trataento de datos

3 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería puede coeter errores ssteátcos en la toa de certos datos. Fnalente, el error en la eleccón del étodo se presenta cuando se lleva a cao la deternacón de una edda edante un todo que no es dóneo para tal fn; por ejeplo, la edda del tepo de caída de un ojeto por era nspeccón vsual. Los errores accdentales son aquellos que se producen en las varacones que pueden darse entre oservacones sucesvas realzadas por un so operador. Estas varacones no son reproducles de una edcón a otra su valor es dferente para cada edda. Las causas de estos errores son ncontrolales para el oservador. Los errores accdentales son en su aoría de agntud u pequeña para un gran núero de edcones se otenen tantas desvacones postvas coo negatvas. Aunque con los errores accdentales no se pueden hacer correccones para otener valores ás concordantes con el real, s se eplean étodos estadístcos se puede llegar a algunas conclusones relatvas al valor ás proale en un conjunto de edcones.. Eacttud, precsón sensldad. La eacttud es el grado de concordanca entre el valor verdadero el eperental. Un aparato es eacto s las eddas realzadas con él son todas u próas al valor "verdadero" de la agntud edda. La precsón es el grado de concordanca entre una edda otras de la sa agntud realzadas en condcones sensleente guales. Un aparato es precso cuando la dferenca entre dferentes eddas de una sa agntud sean u pequeñas. La sensldad de un aparato es el valor íno de la agntud que es capaz de edr. Así, s la sensldad de una alanza es de 5 g sgnfca que para asas nferores a la ctada la alanza no presenta nnguna desvacón. oralente, se adte que la sensldad de un aparato vene ndcada por el valor de la dvsón s pequeña de la escala de edda. La eacttud plca noralente precsón, pero la afracón nversa no es certa, a que pueden estr aparatos u precsos que posean poca eacttud dedo a los errores ssteátcos tales coo error de cero, etc. En general, se puede decr que es ás fácl conocer la precsón de un aparato que su eacttud. Deternacón de errores trataento de datos 3

4 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería 3. Error asoluto error relatvo El error asoluto en una edda de deternada agntud es la dferenca entre dcho valor el valor verdadero de la edda; se notará por, por tanto, su epresón es: 0 donde 0 representa el valor verdadero de la edda. El error asoluto cuantfca la desvacón en térnos asolutos respecto al valor verdadero. o ostante, en ocasones es ás nteresante resaltar la portanca relatva de esa desvacón. Por ello, se defne el error relatvo coo el cocente entre el error asoluto el valor verdadero; notándolo por ε su epresón es: ε 0 suele epresarse porcentualente sn ás que ultplcar por Epresón del error En Físca, presentar una edda eperental sgnfca dar el valor de dcha cantdad epresar cual es su error; no tene sentdo estalecer un deternado valor s no se acota dedaente el so. Así, la epresón correcta de una edda dee ser: ± Dado el sgnfcado de cota de precsón que tene el error asoluto, éste sepre se epresa con una únca cfra sgnfcatva, es decr, con el prer dígto coenzando por la zquerda dstnto de cero; este núero ser redondeado por eceso en una undad s la segunda cfra sgnfcatva es 5 o aor de 5. Este conveno de epresón del error encuentra dos ecepcones: que la prera cfra sgnfcatva sea un o que sendo la prera un, la segunda no llega 5; en estos casos, el error vendrá dado por las dos preras cfras sgnfcatvas, procedéndose al redondeo de la segunda en el so sentdo que a se ha eplcado. Deternacón de errores trataento de datos 4

5 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería Ha que resaltar que el valor de una agntud dee tener el so orden decal que el error asoluto. Esto es razonale dado que no tendría sentdo encontrar el valor de una agntud con un grado de precsón superor al del error de la edda. Así, no podeos edr décas de líetro con una regla cua sensldad es del líetro. Fnalente, se acepta coo crtero que s el valor de una edda es leído de una tala u otro lugar, sn ndcacón de su error, se toará coo error una undad del orden de la últa cfra con que se epresa; por ejeplo, s en una tala aparece que el valor de una edda es de sn nnguna ndcacón de error, se convene en que el so es de ±0.00. En la sguente tala se dan dstntos ejeplos. Valores ncorrectos Valores correctos 3.48 ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± Deternacón de errores en eddas drectas. Coo a se ha eplcado, cuando se realce la edda de cualquer agntud ha que ndcar el error asocado a la sa. Dado que no conoceos el valor verdadero de la agntud que deseaos edr, se sguen certos procedentos para hacer una estacón del so de su cota de error. Con el fn de alcanzar certa valdez estadístca en los resultados de las eddas es u convenente repetr varas veces su deternacón; por conveno, se ha estalecdo en 3 este núero íno. o ostante, es posle que en alguna ocasón no tenga sentdo llevar a cao estas repetcones, en cuo caso se consdera que el error asoluto concde con el valor de la sensldad del aparato utlzado para realzar la edda. En el caso hatual, cuando son 3 las eddas toadas, pueden presentarse poco o u dspersas en funcón de esta dspersón ser convenente auentar o no el núero de deternacones del valor de la agntud. Para decdr el núero deternacones del valor de una agntud físca que se desea edr se sgue el sguente procedento: se realzan las 3 edcones de la agntud en cuestón se calcula su valor edo: Deternacón de errores trataento de datos 5

6 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería A contnuacón se deterna su dspersón D, esto es, la dferenca entre los valores etreos de las eddas: D á o ín o Fnalente, se otene el tanto por cento de dspersón, T, que vene dado por: T D 00 3 Con estos paráetros se pasa al sguente cuadro que estalece la casuístca que puede darse; S representa la sensldad del aparato de edda, D 6 es la dspersón para ses eddas el núero de eddas necesaras en cada caso. Así, por ejeplo, s se ha otendo que la dspersón es aor que la sensldad el tanto por cento de dspersón está coprenddo entre el % el 8%, son necesaras 6 eddas; el valor verdadero queda estalecdo en la eda artétca de las 6 eddas su error corresponde al áo de entre la dspersón de las ses eddas dvddo por 4 o la sensldad. D T 0 D < S 3 S D > S T % 3 S % T 8% 6 á {D 6 /4, S } 8% T 5% 5 5% T > 50 ( ( S se han realzado 5 o ás eddas, en realdad se está uscando que el conjunto de las sas sea una dstrucón gaussana o noral, en cuo caso, el error que se consdera corresponde con el error cuadrátco edo (ECM o desvacón standard; el sgnfcado de este paráetro puede encontrarse en cualquer voluen de estadístca ásca aunque podeos sntetzarlo de fora cuanttatva coo sgue. En el ntervalo: Deternacón de errores trataento de datos 6

7 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería ECM < < + ECM se encuentra el 68,3% de las eddas realzadas en una gran sere de las sas. De gual fora, es posle deostrar que en el ntervalo: ECM < < + ECM se encuentra el 95,4% de las eddas realzadas. Por últo, en el ntervalo: 3 ECM < < + 3 ECM se encuentra el 99,7% de las eddas realzadas en una gran sere de las sas. 6. Deternacón de errores en eddas ndrectas. Coo a se ha ndcado, la edda ndrecta de una agntud se alcanza por aplcacón de una fórula a un conjunto de eddas drectas, (varales ndependentes o datos, que las relaconan con la agntud prolea. Medante dcha fórula se otene taén el error de la edda. Dee tenerse u presente que s en la epresón ateátca que relacona las agntudes aparecen núeros rraconales (tales coo π o e se deen elegr con un núero de cfras sgnfcatvas que no afecten a la agntud del error asoluto de la agntud que quereos deternar. En cualquer caso, esta eleccón deternará el valor del error asgnado a dcha constante; en uchas ocasones, sore todo cuando se traaja con calculadora u ordenador, lo ás convenente es toar todos los decales que aparecen para el núero en cuestón: de esta anera, su error es u pequeño puede desprecarse frente a los del resto de las agntudes que ntervengan. El procedento para deternar el error de la edda hecha de anera ndrecta es el sguente. Supongaos que la agntud F es funcón de otras agntudes físcas, estando relaconadas con ellas por la epresón genérca: F f (,,..., Supongaos, adeás, que se han realzado eddas de las varales,, se han deternado su valor su error. Se otene la dferencal total de F en funcón de las dferencales de las varales : Deternacón de errores trataento de datos 7

8 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería F df d F + d F d F d A contnuacón se aslan las dferentes dferencales a los errores asolutos adeás consderaos que en el cálculo del error de F deeos ponernos en el caso ás desfavorale, es decr, el error aor posle; así, se toarán los valores asolutos de las dervadas parcales con el fn de tener una sua de térnos postvos. Por tanto, el error en F vene dado por: F F En el caso en el que la funcón consderada sea de la fora: F α con α constantes postvas o negatvas, se presenta una notale splfcacón s se procede a toar logartos neperanos antes de llevar a cao el análss anteror. En efecto, s se lleva a cao esta operacón se tene que: ln F ln de donde, otenendo su dferencal: α α ln d(ln F α d(ln Ahora, tenendo en cuenta la dferencal del logarto neperano, se conclue que: df F d α Fnalente, aslando de nuevo los dferencales totales a los errores asolutos se otene: Deternacón de errores trataento de datos 8

9 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería F F α que en funcón del error relatvo quedaría: F F α ε El sguente ejeplo srve para ver de fora práctca las actuacones descrtas hasta aquí. Supongaos que se quere deternar el voluen de un clndro; para ello, puesto que este paráetro vene dado por: V πr h se procederá a calcular el rado r la altura h del cuerpo. Supongaos que tales valores son r 5.00 ± 0.05 h 00.0 ± 0.5. Entonces, el voluen vale V Para epresar correctaente este resultado ha que deternar cuanto vale su error; así, se calcula el valor de la dferencal de V: dv π rh dr + πr dh se susttuen los dferencales por errores: V π rh r + πr h de donde oteneos que V Por tanto, el resultado de la edcón del voluen es V 7900 ± 00. III. TRATAMIETO DE LOS DATOS En uchas ocasones, los resultados otendos de los datos se nterpretan ejor con auda de una representacón gráfca. Adeás, este procedento uestra una tendenca que perte estar los valores en otros puntos dferentes a los eperentales o deuestra una deternada relacón ateátca entre las varales representadas. Por ello, convene eponer el étodo de ajuste de datos ás frecuente, el de ínos cuadrados, resur las característcas que dee tener una uena gráfca. Para acaar, es u posle que a enudo encontreos datos en unas talas no se encuentre en ellas el valor eacto en el que estaos Deternacón de errores trataento de datos 9

10 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería nteresados; para tal fn, se eponen las reglas de nterpolacón ásca en talas de sple o dole entrada.. El Método de Mínos Cuadrados. Con frecuenca, se plantea el prolea de encontrar una epresón ateátca f( de la le físca que rge el coportaento de un deternado fenóeno a partr de una sere de eddas (, de las agntudes e que lo caracterzan. En este apartado se estudará el caso de que la representacón gráfca del fenóeno estudado proporcone una dstrucón de los puntos eperentales en fora práctcaente lneal; esto dee nterpretarse coo la dependenca lneal de las dos varales físcas, por ello, es necesaro deternar la ecuacón de la recta que será la epresón de la le físca que rge el fenóeno estudado. El étodo ás frecuente para llevar a cao este ajuste se denona de ínos cuadrados. Se pretende, por tanto, encontrar una recta a + de fora que se ajuste lo ejor posle a los datos eperentales. Ahora en, esta ondad de ajuste puede estalecerse de varas aneras. El étodo de ínos cuadrados toa coo ejor ajuste aquel que hace ína la sguente cantdad: ( teórco ( a Oserve que los paráetros que deternan la recta son su pendente a su ordenada en el orgen. Por tanto, estaos frente a un prolea de etreos que depende de las varales a. Es condcón necesara entonces que: ( ( a a a 0 0 Se tenen pues dos ecuacones con dos ncógntas, a ; resolvendo se otene que: Deternacón de errores trataento de datos 0

11 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería Deternacón de errores trataento de datos 0 ( ( 0 ( ( a a de fora que despejando a adecuadaente se llega a: a De estas epresones es posle encontrar el valor del error en cada paráetro: ( a a ( ( ( + a ( ( Adeás de los valores de pendente ordenada en el orgen sería nteresante otener algún factor que cuantfcara la ondad del ajuste; esto pertría coparar los resultados de dferentes ajustes; este factor se denona coefcente de correlacón lneal "r". La epresón de r es:

12 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería r ( ( Puede proarse que el valor de r está acotado en valor asoluto entre 0, sendo tanto ejor el ajuste cuanto ás cercano a la undad sea r. Coo ejeplo de aplcacón del étodo de ínos cuadrados supongaos un eperento en el que se de el alargaento de un uelle dedo a la accón de una pesa; se trata de coproar la le de Hooke. Los datos que se han otendo son: Medda núero l Esta tala puede ser tratada para encontrar las suatoras oportunas coo sgue: Medda núero "" "" l "" M l l l l 6 de donde ahora, fáclente, oteneos que: Deternacón de errores trataento de datos

13 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería Deternacón de errores trataento de datos l l a l l Adeás se tene que a ±0.04 ±.. Así pues, concluos: ± ± a Fnalente, con los valores de a puede realzarse una representacón gráfca; en efecto, asta toar dos puntos cualesquera que pertenezcan a la recta para poder dujarla. El aspecto de la gráfca sería, por tanto, coo el de la fgura.

14 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería. Construccón de gráfcas La representacón gráfca de los fenóenos físcos que estudeos deen ajustarse a as sguentes noras de uso general que clarfcan estandarzan los resultados. Se pueden enuerar coo sgue: a Las gráfcas se harán en papel letrado con os ejes en trazados en cuos etreos se ndque a agntud representada en ellos a undad en que ha sdo edda. El título de la gráfca será claro vendrá ndcado en la parte superor. La varale ndependente del fenóeno dee r representada en ascsas la dependente en ordenadas. c Las escalas, sore aos ejes, han de pertr una lectura r pda senclla. Para ello se elegrán las escalas con ntervalos de edda adecuados. d Las escalas deen aarcar todo el ntervalo de eddas realzadas sólo el ctado ntervalo. e Sore los ejes solo se ndcan los valores correspondentes a las dvsones enteras de la escala de fora que queden unforeente espacadas. En general, no se señalan los valores correspondentes a las eddas realzadas. f Los valores eddos se representan sore el papel letrado por el punto correspondente a sus dos coordenadas rodeado por el denonado rectángulo de error. Este tene por ase la longtud coprendda entre - + por altura se etende desde - hasta +, sendo e las coordenadas del punto eperental. En el caso de que o sean desprecales en coparacón con la escala utlzada el rectángulo de error queda reducdo a un sple segento vertcal u horzontal, según el caso. g Las líneas que aparezcan en las gráfcas representan la tendenca de los puntos eperentales se otenen por edo del todo de ajuste correspondente; por ello, han de ser líneas fnas contnuas pero nunca queradas deternadas por los valores eperentales. Deternacón de errores trataento de datos 4

15 Coportaento Mecánco de los Materales Antono Mguel Posadas Chnchlla Ingenería de Materales Departaento de Físca Aplcada Facultad de Cencas Eperentales Unversdad de Alería 3. Interpolacón en talas La nterpolacón en talas perte encontrar valores de las varales dependentes para valores concretos de la varale ndependente que no están eplíctaente en la tala. X Y Así, en una tala de sple entrada para las agntudes X e Y, se localzarán los valores entre los que se quere nterpolar,, a los que corresponden e. Para un valor dado de coprenddo entre, el valor de correspondente vene dado por: ( + el error correspondente es: En las talas de dole entrada para cada pareja de valores, se proporcona el valor correspondente a una tercera varale z relaconada con las dos anterores. S la tala responde al tpo: z z z z z donde z es el valor uscado coprenddo entre e e, entonces: z ( + ( z z + z z z el correspondente error vene dado por: z z z + z z Deternacón de errores trataento de datos 5