Un planteamiento básico de la mecánica analítica es la descripción de los sistemas mediante coordenadas generalizadas.

Transcripción

1 Capítulo 7 Dnámca Analítca La dnámca analítca comprende una sere de métodos cuya característca prncpal es el tratamento puramente abstracto, analítco, de los sstemas mecáncos. De esta forma, se separan al máxmo las consderacones físcas y geométrcas necesaras para defnr el movmento, de las puramente matemátcas para plantear y soluconar las ecuacones. Las prmeras son necesaras para formular las coordenadas, enlaces y magntudes cnétcas de un sstema dado; una vez realzada defncón de un sstema medante la adecuada seleccón de las magntudes anterores, los métodos de la mecánca analítca permten obtener las ecuacones de la dnámca (o las condcones de la estátca en su caso) de forma cas automátca. El ncador de estas técncas fue Joseph Lous Lagrange, a partr de la publcacón de su obra Mécanque Analytque 1 en Lagrange ntrodujo numerosos conceptos empleados hoy día en la mecánca y en las matemátcas: formuló las ecuacones que llevan su nombre para la dnámca; colocó sobre bases sóldas el cálculo de varacones; fue el nventor de las palabras dervada y potencal; etc. Otra fgura clave en la mecánca analítca fue Wllam Rowan Hamlton, ya en el sglo XIX ( ). En su obra buscó una gran generaldad, desarrollando una teoría por la que el movmento se puede reducr a la búsqueda y dferencacón de una sóla funcón (la ntegral de la accón S). El punto de vsta de Hamlton resultó muy fértl, resultando básco para otros campos como la mecánca cuántca, desarrollada posterormente en el sglo XX Coordenadas Generalzadas Un planteamento básco de la mecánca analítca es la descrpcón de los sstemas medante coordenadas generalzadas. 1 En ella, Lagrange se vanagloraba de que no había nnguna fgura, como botón de muestra de que los métodos propuestos estaban lbres de casuístca geométrca o topológca. 7.1

2 7.2 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA Defncón.- Se denomnan coordenadas generalzadas a un conjunto cualquera de parámetros {q, 1, 2,..., n}, que srven para determnar de manera unívoca la confguracón del sstema. Estos parámetros en prncpo pueden ser cualesquera, sn necestar ser homogéneos en cuanto a dmensones. Por ejemplo, se pueden mezclar longtudes, ángulos, etc. Una dea clave, subyacente en la eleccón de coordenadas generalzadas, es que éstas pueden englobar en su propa eleccón los enlaces del sstema (todos o al menos una parte de ellos). De esta forma se consgue una doble ventaja: por una parte, el número de parámetros es menor que el correspondente drectamente a las coordenadas de todas las partículas. Por otra, el número de ecuacones de enlace se ve gualmente reducdo. Un conjunto de coordenadas {q } se denomna lbre cuando se pueden varar de forma ndependente entre sí; es decr, s las varacones de las msmas, {δq }, se pueden escoger de forma arbtrara. Caso de que no sea así, será porque exste alguna lgadura que relacone dchas coordenadas, ben de tpo holónomo o no holónomo. Cuando las coordenadas generalzadas no sean lbres, se deberá a que subssten condcones de enlace formuladas de manera explícta. Estas se traducrán en relacones entre las q (y tambén sus dervadas q para enlaces no holónomos). Debdo a estas lgaduras el número de grados de lbertad es en realdad menor que n. Por el contraro, s las coordenadas son lbres, su número es precsamente el número de grados de lbertad del sstema. Por ejemplo, en el sstema plano rígdo de la fgura 7.1, al tener una artculacón, basta con una únca coordenada angular (n 1; q 1 θ). En esta eleccón ya quedan englobados mplíctamente los enlaces, tanto los nternos (lgaduras de sóldo rígdo) como los externos (artculacón). El sstema tene un grado de lbertad. G θ q 1 Fgura 7.1: El movmento del sóldo artculado de la fgura queda descrto por una únca coordenada generalzada, el ángulo θ. De esta forma se engloban todos los enlaces, tanto nternos (lgaduras de sóldo rígdo) como externos (rótula clíndrca en O). Supongamos ahora el caso general de un sstema con un número fnto de partículas (N), sujeto a m lgaduras holónomas y k anholónomas. Será posble su descrpcón medante un conjunto más reducdo de n 3N m

3 Aptdo Coordenadas Generalzadas 7.3 parámetros o coordenadas generalzadas. Esquemátcamente: {m, r, 1,..., N} + m Enlaces holónomos + k Enlaces anholónomos {m, 1,..., N}, {q j, j 1,..., n}. + k Enlaces anholónomos Esta reduccón en el número de coordenadas se efectúa gracas a la elmnacón de los m enlaces holónomos, que quedarán mplíctos en la eleccón de las coordenadas generalzadas. Por el contraro, los k enlaces anholónomos no es posble elmnarlos, debendo quedar planteados de forma expresa. Un caso extremo de reduccón en el número de coordenadas es el del sóldo rígdo. Consderado como un medo contnuo, es nfntamente subdvsble, tenendo por tanto un número nfnto de partículas y por tanto de coordenadas. Sn embargo, recordemos (apartado 6.1) que los enlaces nternos del sóldo (dstanca constante entre dos partículas cualesquera) permten reducr el número de coordenadas generalzadas del sóldo a 6. En general, exstrán unas relacones entre los vectores de poscón de cada partícula y las coordenadas generalzadas del tpo: r r (q j, t) ( 1,..., N; j 1,..., n) (7.1) A los vectores de poscón de cada partícula {r } los denomnaremos, por extensón, coordenadas vectorales. Está claro que éstas son equvalentes a defnr las 3N coordenadas cartesanas correspondentes. Por otra parte, éstas sólo serán lbres para un sstema sn lgadura nnguna; en cualquer otro caso, no formarán un conjunto lbre. Podrá exstr dependenca del tempo en la defncón de las coordenadas generalzadas (7.1) cuando se hayan tomado sstemas de coordenadas móvles, o ben cuando haya enlaces móvles. A partr de las relacones (7.1), las velocdades se obtenen dervando: v d dt r r dq j dt + r t, (7.2) llamándose por extensón velocdades generalzadas a los térmnos dq j dt q j.

4 7.4 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA Ejemplo 7.1: Un sstema está formado por dos partículas A y B undas por una varlla rígda sn masa, de longtud l. Las partículas se mueven sobre un plano horzontal lso, exstendo en A un cuchllo que oblga a que ese punto se mueva según la dreccón de la varlla (fgura 7.2). y A G θ B Fgura 7.2: Sstema de dos partículas A y B, undas rígdamente, con cuchllo en el apoyo de A que materalza un enlace anholónomo. x Solucón: Al estar en un plano, se precsan 4 coordenadas cartesanas para defnr la confguracón, {x A, y A, x B, y B }. Estas se hallan sujetas a 2 condcones de enlace. Prmeramente, el enlace holónomo correspondente a la varlla rígda entre A y B (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 l 2. Por otra parte, la condcón de apoyo medante el cuchllo de cargas en A resulta en mponer que la velocdad de este punto lleve la dreccón de la varlla, lo que consttuye un enlace anholónomo: ẋ A (y B y A ) + ẏ A (x B x A ) 0. El sstema posee por tanto 2 grados de lbertad. Podrían escogerse coordenadas generalzadas que elmnen el enlace holónomo (aunque no el anholónomo). Tomaremos para ello las coordenadas del centro de masas (x, y) y el ángulo θ formado con el eje x, un total de tres coordenadas. En funcón de éstas, la velocdad de A se expresa como v A (ẋ+ l 2 θ sen θ)+(ẏ l 2 θ cos θ)j, y la normal a la varlla es n sen θ + cos θ j. La condcón del enlace es v a n 0, resultando ẋ sen θ + ẏ cos θ l 2 θ 0. (7.3) De esta forma, el sstema queda defndo por tres coordenadas generalzadas sujetas a una ecuacón de enlace anohlónomo.

5 Aptdo Ecuacones de Lagrange Ecuacones de Lagrange El Prncpo de D Alembert en Coordenadas Generalzadas Sea un sstema sometdo a enlaces lsos. El prncpo de D Alembert (6.31) expresa: N (f m r ) δr 0, {δr } compatbles. (7.4) En esta expresón f ncluyen sólo las fuerzas actvas, excluyendo las reaccones de los enlaces lsos. Consderando una varacón δ (es decr, nfntesmal y a tempo constante) de las coordenadas en (7.1), se obtenen los desplazamentos vrtuales: δr r δq j, 1,..., N. (7.5) Nótese que en esta expresón no exste térmno r δt, ya que δt 0 para t un desplazamento vrtual. La varacón δ se realza en un nstante fjo de tempo, no a lo largo del movmento. En esto dfere de los desplazamentos nfntesmales reales a lo largo del movmento, que serían dr r dq j + r t dt. Susttuyendo (7.5) en (7.4) y reorganzando el orden de las sumas, j: [ N ] f r N m r r δq j 0, {δq j } compatbles. (7.6) Analcemos con mayor detalle cada uno de los dos térmnos dentro del corchete en esta expresón. El prmero defne unos coefcentes escalares que llamaremos Fuerzas generalzadas: Q j def N f r j 1,..., n. (7.7) Es nmedato comprobar que Q j son precsamente los coefcentes de δq j en la expresón del trabajo vrtual δw : ( N N r N ) δw f δr f δq j f q r δq j. (7.8) j j

6 7.6 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA El segundo térmno de (7.6) se puede expresar como: N m r r d dt ( N m ṙ r ) N m ṙ d dt ( ) r (7.9) Para lo que sgue, debemos precsar que consderaremos la dependenca funconal de todas las magntudes cnétcas sobre el conjunto de varables ndependentes (q j, q j, t). Esta aclaracón precsa el sgnfcado de las dervadas parcales. Así, / ( ) ndcará la dervada parcal respecto de la coordenada q j, mantenéndose constantes el resto de coordenadas q k (k j) así como las velocdades q j y el tempo t. Para contnuar el desarrollo de la expresón (7.9), establezcamos antes dos gualdades que será necesaro emplear: 1. ṙ q j r. En efecto, desarrollando el prmer térmno, ṙ q j q j ṙ {[ }}{ ] r q k + r q k t r q k δ kj r. 2. ṙ. En efecto, desarrollando ambos térmnos por sepa- ( ) d r dt rado: d dt ( ) r ṙ 2 r q k + 2 r q k t ; [ ] r q k + r q k t 2 r q k q k + 2 r t, sendo ambas expresones guales, por la gualdad de las dervadas cruzadas. Empleando estos dos resultados y la defncón de energía cnétca, T def N 1 m 2 ṙ 2, la ecuacón (7.9) resulta: ( N m r r d N ) m ṙ ṙ N m ṙ ṙ q j dt q j q j d ( ) T T, (7.10) dt q j

7 Aptdo Ecuacones de Lagrange 7.7 Fnalmente, empleando (7.7) y (7.10), el prncpo de D Alembert (7.4) queda expresado en coordenadas generalzadas como: [ ( ) d T T ] Q j δq j 0, {δq j } compatbles (7.11) dt q j Esta expresón, al tratarse del prncpo de D alembert, puede ser consderada por tanto como ecuacón fundamental de la dnámca. Convene notar que en (7.11) no se emplean fuerzas físcas en nngún térmno. Tan sólo entran los coefcentes Q j, fuerzas generalzadas, calculadas drectamente a partr de la expresón (7.7) o como coefcentes del trabajo vrtual δw (7.8) según se ha dcho. Al gual que en el prncpo de D Alembert, en la defncón de Q j tampoco ntervenen las fuerzas de reaccón de los enlaces lsos, que no realzan trabajo vrtual Forma básca de las Ecuacones de Lagrange La expresón (7.11) es completamente general por lo que se puede aplcar a cualquer sstema, tanto con enlaces holónomos como no holónomos. En el caso en que todos los enlaces sean holónomos, será posble sempre establecer un conjunto de coordenadas lbres {q j }, en el que las varacones {δq j } se puedan escoger de manera arbtrara, mantenendo la compatbldad con los enlaces. En este caso, (7.11) equvale a enuncar que cada uno de los coefcentes de las {δq j } en ha de anularse: d dt ( ) T q j T Q j, (j 1,..., n). (7.12) Estas expresones son las llamadas ecuacones de Lagrange, en su forma básca. Observacones.- En (7.12) exste una ecuacón por cada grado de lbertad, por lo que la eleccón de coordenadas generalzadas lbres conduce drectamente al mínmo número de ecuacones dnámcas. Se trata de ecuacones dferencales de segundo orden (al exstr dervadas temporales de los térmnos T/ q j, que dependen, a su vez, de q j ). De las ecuacones (7.12) han quedado elmnadas todas las reaccones de enlace que no realzan trabajo vrtual, correspondentes a los enlaces lsos. Esto contrasta con las ecuacones procedentes de los teoremas Newtonanos en las que, en prncpo, deben consderarse tambén estas reaccones.

8 7.8 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA Una vez evaluadas las expresones de T y de Q j, las ecuacones de Lagrange se pueden obtener de forma automátca sn más que aplcar las reglas analítcas de dervacón correspondentes a (7.12). Es posble ncluso automatzar su obtencón medante una programacón adecuada de sstemas de matemátca smbólca, como MAPLE, MATHEMATI- CA, MACSYMA, etc. El sgnfcado físco del térmno d ( ) T en (7.12) es el de las fuerzas dt q j de nerca. Para comprobarlo, tomemos como coordenadas las propas coordenadas vectorales r j : ( ) [ d T d dt ṙ j dt ṙ j ( N )] 1 2 m ṙ 2 d dt (m jṙ j ) m j r j. Por últmo, los térmnos T/ pueden nterpretarse como fuerzas fctcas procedentes de la eleccón de coordenadas generalzadas {q j }. En caso de que éstas sean smplemente las componentes cartesanas de los vectores {r }, desaparecerían. Estas fuerzas se añaden a las fuerzas generalzadas Q j en la dreccón de q j Caso en que las fuerzas provenen de un potencal. Funcón Lagrangana S las fuerzas aplcadas proceden de un potencal V, f grad V V r, las fuerzas generalzadas tendrán entonces la expresón: Q j def N f r N V r r V. (7.13) En lo que sgue, admtmos la hpótess de que el potencal V depende de las coordenadas y posblemente del tempo 2, pero no de las velocdades 3 : V V (q j, t) V (r, t). 2 Ya se ha comentado (apartado 2.1.3) que s el potencal no es constante (es decr, V (r, t)/ t 0), las fuerzas no son conservatvas a pesar de provenr de un potencal. 3 En caso de exstr fuerzas de tpo electromagnétco, esta suposcón no es válda, ya que las fuerzas dependen de la velocdad con la que se mueven las partículas con carga. Es posble defnr un potencal generalzado dependente de la velocdad para este caso, y establecer las ecuacones de Lagrange correspondentes, aunque que no trataremos aquí este aspecto para no complcar el desarrollo.

9 Aptdo Ecuacones de Lagrange 7.9 Susttuyendo (7.13) y agrupando térmnos, las ecuacones de Lagrange (7.12) se pueden escrbr como: ( ) d T (T V ) 0 (j 1,..., n). dt q j Se defne la funcón Lagrangana como: L(q j, q j, t) def T (q j, q j, t) V (q j, t); al no depender V de las velocdades, se verfca T/ q j L/ q j. De esta forma, las ecuacones quedan fnalmente: ( ) d L L 0, (j 1,..., n). (7.14) dt q j Estas expresones consttuyen las ecuacones de Lagrange en su forma estándar, aplcables para sstemas en que las fuerzas provenen de un potencal. Es necesaro comprender la mportanca de la funcón Lagrangana L en la caracterzacón dnámca de un sstema: basta con conocer su expresón, L(q j, q j, t), para poder determnar a partr de ella las ecuacones dnámcas (7.14); toda la nformacón dnámca del sstema está por tanto contenda en la estructura de L(q j, q j, t). Uncdad de la funcón Lagrangana La eleccón de una funcón Lagrangana para representar un sstema no es únca. Para comprender esto basta consderar un potencal dstnto, que dfera en una constante adtva (V V + cte.), lo que, como sabemos, es equvalente por completo. Por tanto, dos Lagranganas que dferan en una constante tambén son equvalentes. Este resultado se puede generalzar, ya que es posble comprobar que dos Lagranganas que dferan entre sí en una dervada total de alguna funcón que dependa exclusvamente de coordenadas y tempo, son equvalentes 4. En efecto, sean L y L tales que L (q j, q j, t) def L(q j, q j, t) + d dt F (q j, t); (7.15) sendo F (q j, t) una funcón cualquera de q j y t pero no de las velocdades q j. Por la defncón funconal de F, desarrollando la dervada temporal: L L df dt F q k + F q k t, y las contrbucones de este térmno en las ecuacones de Lagrange son: 4 Las transformacones que ocasonan una varacón de L de este tpo se denomnan transformacones de gauge, térmno provenente del nglés, aunque la traduccón drecta en castellano transformacones de galga no parece tampoco muy atractva.

10 7.10 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA [ ( )] d df d [ ] F dt q j dt dt [ ] df dt 2 F q k q k + 2 F t 2 F q k + 2 F q k t Como se ve, al restar ambos térmnos en (7.14) se anulan entre sí, y el resultado neto, de emplear L, son las msmas ecuacones dnámcas que para L. Caso de fuerzas no conservatvas (Q V j En los casos en que exstan algunas fuerzas que procedan de un potencal def V/ ) y otras que no (Q N j ): Q j Q V j + Q N j V + Q N j, es posble defnr una Lagrangana parcal L T V, resultando entonces las ecuacones: ( ) d L L Q N j, j 1,..., n dt q j donde sólo aparecen expresamente las fuerzas no conservatvas Q N j. Transformacones admsbles de coordenadas Supongamos un cambo de coordenadas defndo medante una funcón bunívoca G : {q j } {ˆq j }, suave 5. Llamaremos a su nversa g G 1. Entonces, ˆq G (q j, t); q g (ˆq j, t) q 0., j 1,..., n ˆq j Para smplfcar las expresones en lo que sgue, defnmos la dervada varaconal de L respecto a q j como δl L d ( ) L ; (7.16) δq j dt q j En funcón de ella, las ecuacones de Lagrange (7.14) quedan expresadas smplemente como δl δq j 0 j 1,..., n. 5 es decr, con dervadas contnuas hasta el orden que sea precso

11 Aptdo Ecuacones de Lagrange 7.11 Estas ecuacones son equvalentes a δ ˆL/δˆq k 0, sendo ˆL L g, es decr ˆL(ˆq j, ˆq j, t) L((q j, q j, t), es la Lagrangana expresada en las nuevas coordenadas. Demostracón. Desarrollando los térmnos de δ ˆL/δˆq k, ˆL [ L q l + L ] q l ; ˆq k q l ˆq k q l ˆq k d ˆL dt ˆq k l1 l1 l1 ( ) d L q l dt q l ˆq k [ ( d L dt Restando ambas resulta δ ˆL [ L d δˆq k q l dt y al ser q l l1 ( d L dt ) ql ˆq k + L q l q l ˆq k ( L )] ql ˆq k q l l1 q l ˆq k 0, queda demostrada la equvalenca. ) q l q l ˆq k ]. l1 δl δq l q l ˆq k, Desarrollo explícto de las ecuacones del movmento Energía cnétca y momentos generalzados La energía cnétca es una funcón cuadrátca de las velocdades. Esta propedad se conserva al expresarla en coordenadas generalzadas. En efecto, desarrollando la expresón, T N 1 2 m ṙ 2 T 2 + T 1 + T 0, N ( ) 1 2 m r q j + r 2 q j t (7.17) sendo T 2, T 1 y T 0 térmnos homogéneos en las q j de tpo cuadrátco, lneal e ndependente respectvamente. Sus expresones son T 2 T 1 T 0 k,l1 1 2 a def kl q k q l, sendo a kl a k q k, N 1 2 m ( r t sendo a k def N N m r q k r q l (7.18) r m r q k t (7.19) ) 2 (7.20)

12 7.12 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA En el caso en que no exsta dependenca explícta del tempo en la defncón de las coordenadas generalzadas ( r / t 0), la expresón de la energía cnétca será cuadrátca homogénea en las q j : T T 2 k,l1 1 2 a kl q k q l. (7.21) Esto sucederá s no se emplean sstemas de coordenadas móvles n hay enlaces reónomos (es decr, dependentes del tempo). Por otra parte, los momentos generalzados se defnen como p j def L q j (j 1,..., n); (7.22) admtendo que el potencal no depende de las velocdades, a partr de las expresones (7.17,7.18,7.19, 7.20), p j T a jk q k + a j (7.23) q j Forma general de las ecuacones En funcón de los momentos generalzados, las ecuacones de Lagrange (7.14) pueden reescrbrse como Dervando (7.23) se obtene ṗ j a jk q k + ṗ j L 0 (j 1,..., n). (7.24) l, a jk q l q l q k + a jk t q k + a j q k q k + a j t ; por otra parte, tenendo en cuenta las expresones (7.17), (7.18) y (7.19), L 1 a kl a k q k q l + q k + T 0 V. 2 j, l, l, Tenendo en cuenta la gualdad sguente, a jk 1 q l q k q l 2 q l resulta a jk q k + l, ( 1 ajk 2 q l ( ajk + a jl a ) kl q k q l + q k + a jk t + a ) jl q l q k, q k ( aj a ) k q k q k q k + a j t T 0 + V 0. (7.25)

13 Aptdo Ecuacones de Lagrange 7.13 Esta expresón se puede smplfcar ntroducendo los coefcentes [kl, j] def 1 2 ( ajk q l + a jl q k a kl ), (7.26) que denomnaremos símbolos de Chrstoffel de prmera espece 6, aplcados a la forma cuadrátca que defne T 2. Por otra parte, podemos defnr unos coefcentes hemsmétrcos γ jk γ kj def a j q k a k (j, k 1,..., n), (7.27) que darán lugar a fuerzas groscópcas como veremos más adelante. De esta forma, las ecuacones (7.28) pueden escrbrse como a jk q k + [kl, j] q k q l + l, γ jk q k + a jk t q k + a j t T 0 + V 0. (7.28) Tenendo en cuenta que la matrz de coefcentes [a j ] no puede ser sngular, al ser la energía cnétca defnda postva, podrían elmnarse las aceleracones de las ecuacones (7.28), quedando q j f j (q, q, t) (j 1,..., n). (7.29) (Hemos empleado los símbolos q, q para denotar a los conjuntos de coordenadas o velocdades generalzadas respectvamente) Integrales Prmeras Coordenadas cíclcas Partendo de las ecuacones de Lagrange expresadas en la forma (7.24), s la funcón Lagrangana L no depende explíctamente de una coordenada q j es decr, L/ 0, se verfca la conservacón del momento generalzado correspondente: s L 0 p j cte. (7.30) Se dce entonces que q j es una coordenada cíclca o gnorable. Las expresones (7.30) consttuyen ntegrales prmeras del movmento, ya que son ecuacones en las que ntervenen sólo dervadas prmeras de las coordenadas. Se puede nterpretar el sgnfcado de las coordenadas cíclcas consderando que, s una coordenada q j es cíclca, se puede susttur (q j ) por (q j + C), 6 Esta defncón es la msma que se realza en geometría dferencal de superfces, en la que para una superfce defnda medante coordenadas curvlíneas r(q ) se emplean los térmnos a kl ( r/ q k ) ( r/ q l ), correspondendo a los coefcentes de la métrca asocada, que es una forma cuadrátca.

14 7.14 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA sendo C una constante, y las ecuacones no varían. Esto se debe a que L no depende de q j, y por otra parte q j es nvarante ante ese cambo. Por el contraro, hacemos notar que el hecho de que una coordenada sea cíclca no quere decr que su valor sea constante, n tampoco la velocdad generalzada correspondente. Sn embargo, para una coordenada cíclca q j, será posble elmnar de las ecuacones la velocdad correspondente q j, empleando la ntegral prmera (7.30). S el sstema tene n grados de lbertad, de los que k corresponden a coordenadas cíclcas, se podrán elmnar éstas y quedar descrto el movmento medante dos conjuntos desacoplados de ecuacones: k ecuacones (7.30) para las coordenadas cíclcas, y (n k) ecuacones (7.14) para las demás coordenadas. El problema se ve consderablemente smplfcado, procedéndose en prmer lugar a resolver estas últmas (n k) ecuacones; una vez resueltas, se obtene el valor de las k coordenadas cíclcas. Más adelante veremos un método general de proceder a esta reduccón, el método de Routh (apartado 12.7). Es posble extender el concepto de coordenada cíclca para el caso en que las fuerzas no procedan de un potencal. Para ello se defne el momento generalzado en dreccón j como p j def T q j. La condcón de coordenada cíclca será entonces: s T 0 y Q j 0 p j cte. Integral de Jacob o de la Energía En ocasones es posble obtener una ntegral prmera cuyo sgnfcado está relaconado con la energía total del sstema a partr de la funcón Lagrangana. Para ello, observamos que la dervada total de L respecto del tempo es d dt L(q j, q j, t) L q j + L q j + L q j t. Susttuyendo a partr de (7.14), L/ d dt ( L/ q j), y operando: dl dt d dt ( ) L q j + q j [ ] L q j + L q j t d L q j + L dt q j t Agrupando los térmnos con dervadas totales, se deduce [ ] d L q j L L dt q j t,

15 Aptdo Ecuacones de Lagrange 7.15 de donde se obtene la expresón de la llamada ntegral de Jacob: s L t 0, h def L q j q j L cte (7.31) Observacones.- En el caso en que r / t 0, según vmos, la energía cnétca es una expresón cuadrátca homogénea en q j. Entonces, a partr de (7.17, 7.18): y por tanto T T 2 L q j a jk q k h L q j q j L 2T 2 (T 2 V ) T 2 + V T + V, por lo que h (7.31) concde en este caso con la energía total, T + V. Pudera darse el caso de que r / t 0 y, por tanto, T + V h p j q j L, pero que esta expresón no se mantenga constante por ser L/ t 0. Esto últmo ocurrrá s V (q j, t)/ t 0, sendo en este caso el sstema no conservatvo desde el punto de vsta físco aunque las fuerzas procedan de un potencal. Por otra parte, en los casos en que exstan sstemas de coordenadas móvles se verfcará, como se ha dcho, r / t 0 y por tanto h p j q j L T + V. Sn embargo, puede que exsta la ntegral de Jacob (s L/ t 0), aunque su sgnfcado físco no será en este caso la conservacón de la energía. Un ejemplo típco de esta stuacón es el de una referenca móvl pero nercal, con velocdad de traslacón constante y rectlínea (cf. ejemplo 7.4) Conservacón de la energía.- Otra manera más drecta de obtener una ntegral de la energía es observando que, s las fuerzas son todas conservatvas, la energía se mantene constante (6.16). En este caso, basta con expresar dcha ecuacón en funcón de las coordenadas generalzadas para obtener, en el marco de la dnámca analítca, la ntegral prmera de la energía, equvalente a (7.31). Recordemos que para que las fuerzas sean conservatvas, además de provenr de un potencal, éste debe ser constante. En funcón de las coordenadas generalzadas, esta condcón se mpone de la sguente

16 7.16 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA forma: s V tal que Q j V (q j, t), sendo V t 0 y t r (q j, t) 0 E T + V cte. Hacemos notar que, en la expresón anteror, para establecer la constanca del potencal V, ha sdo necesaro añadr la condcón ( r / t)(q j, t) 0, es decr, que no exstan sstemas de coordenadas móvles. Otra manera más compacta de expresar la constanca de V sería en funcón de las coordenadas vectorales, medante la condcón V (r, t)/ t 0. Por el contraro, en el caso en que el potencal V no sea constante, aplcando el prncpo de la energía cnétca (6.15), por lo que dt N V (r, t) dr k dv + V (r, t) dt r k t d(t + V ) V (r, t) dt 0, t es decr, no se conserva la energía T + V. Hacemos la observacón de que en la expresón anteror se emplea la dervada parcal respecto del tempo en relacón con las coordenadas vectorales (absolutas), que es en general dstnta de la dervada cuando se consderan coordenadas generalzadas (posblemente relatvas o móvles): V (r, t) t Teorema de Noether V (q j, t). t Sea un sstema autónomo 7, con Lagrangana L(q j, q j ). Suponemos que exste una famla de transformacones q j h s (q j ), funcón de un parámetro contnuo s R, de forma que L es nvarante frente a ellas, y provenen de forma contnua de la dentdad h s0 (q j ) q j. Exste entonces una ntegral del movmento, L d I(q j, q j ) q k ds hs (q k ). (7.32) s0 Demostracón. Sea q j (t) la solucón del movmento. Por la hpótess hecha, q j (s, t) h s (q j (t)). Dervando: 0 d [ L ds L(q d j(s, t), q j (s, t)) q k ds q k(s, t) + L ] d q k ds q k(s, t). 7 es decr, aslado, lo que mplca L/ t 0

17 Aptdo Ecuacones de Lagrange 7.17 Por las ecuacones de Lagrange, L/ q k (d/dt)( L/ q k ); 0 d [ d ds L L d dt q k ds q k(s, t) + L ] d q k ds q k(s, t). [ ] d L d dt q k ds q k(s, t) d dt I(q j, q j ), luego I(q j, q j ) es una constante del movmento. Ejemplo 7.2: Sea un sstema nvarante frente a movmentos de traslacón según una dreccón determnada e. La componente de la cantdad de movmento según esa dreccón es una constante del movmento. Solucón: En efecto, eljamos sn pérdda de generaldad el eje x según la dreccón dada (es decr, tomamos e). Podemos defnr una transformacón que cumple los requstos del teorema de Noether medante h s : r r + s, 1,..., N d N N ds hs (r ) ; I m m ẋ P x. s0 Ejemplo 7.3: Sea un sstema nvarante frente a rotacones alrededor de un determnado eje (O, e). La componente del momento cnétco según ese eje es una constante del movmento. Solucón: En efecto, eljamos sn pérdda de generaldad el eje Oz según la dreccón ndcada (es decr, tomamos k e). La transformacón es I r (x, y, z ) r (x, y, z ) x x cos s + y sen s y x sen s + y cos s z z d ds hs (r ) d s0 ds r (y, x, 0) r k s0 N N m ṙ (r k) (m ṙ r ) k H O k H z Sstemas naturales Llamaremos sstema natural a un sstema descrto por las ecuacones de Lagrange en su forma estándar (7.14), en el que exsta la ntegral de Jacob como constante del movmento ( L/ t 0) y la energía cnétca sea funcón cuadrátca homogénea de las velocdades generalzadas (T T 2 ).

18 7.18 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA Como se ha comentado antes (apartado 7.2.5), en este caso la ntegral de Jacob resulta tener un sgnfcado físco claro, la energía total del sstema, h T + V. Al conservarse h se mantene gualmente constante la energía, resultando conservatvo desde el punto de vsta físco. Tenendo en cuenta que en un sstema natural los coefcentes en las ecuacones (7.19, 7.18) cumplen a j 0 y a j / t 0, las ecuacones del movmento tenen una expresón consderablemente más senclla que en el caso general (7.28), resultando a jk q k + k,l1 [kl, j] q k q l + V t 0 (j 1..., n). (7.33) En esta expresón se observa que las velocdades generalzadas q j ntervenen úncamente en térmnos cuadrátcos. Podemos observar que un sstema holónomo con ntegral de Jacob, en el que fuese T 1 0 pero T 0 0, tene ecuacones del movmento muy smlares a (7.33), ya que T 0 puede consderarse agrupado con la energía potencal V, V V T 0, de forma que la energía cnétca restante es una expresón cuadrátca homogénea en las q j, al gual que en un sstema natural. Ejemplo 7.4: Sea un sstema masa/muelle, capaz de moverse en una dreccón, undo en su base a un punto que se tene un movmento mpuesto con velocdad unforme v 0. Sea l 0 la longtud natural del muelle, k su constante, y x la elongacón respecto de la natural. Dscutr la exstenca de una ntegral prmera de la energía. v 0 l 0 + x k m Fgura 7.3: Sstema formado por una masa m y un muelle de constante k y longtud natural l 0, capaz de moverse en dreccón x, cuya base tene un movmento mpuesto de velocdad constante v 0. Solucón: La energía cnétca es T 1 2 m(v 0 + ẋ) 2 por lo que sus componentes homogéneas son T mẋ2 ; T 1 mv 0 ẋ; T mv2 0.

19 Aptdo Ecuacones de Lagrange 7.19 La energía potencal es V 1 2 kx2. Se comprueba nmedatamente que L/ t 0, por lo que exste la ntegral de Jacob, que vale h T 2 T 0 + V 1 2 mẋ2 1 2 mv kx2. En este ejemplo, T 0 es constante, por lo que la conservacón de h conduce tambén a la conservacón de T 2 +V, aunque ambas constantes tengan dstnto valor. Otro procedmento para analzar este ejemplo sería, consderando que el sstema de referenca móvl con la base es nercal, realzar los cálculos relatvos a él: T 1 2 mẋ2 ; V 1 2 kx2. En este caso obtendríamos un sstema natural, en el que se conserva la energía total T + V. Observamos que ésta concde con T 2 + V relatva al sstema fjo ncal, que ya habíamos vsto se conservaba Sstemas Groscópcos En el desarrollo explícto de las ecuacones de Lagrange para un sstema holónomo dado anterormente (7.28), a jk q k + [kl, j] q k q l + k,l1 γ jk q k + a jk t q k + a j t T 0 + V 0, (7.34) los térmnos γ jk q k se denomnan térmnos groscópcos, dando lugar s aparecen a un sstema groscópco. Se trata de coefcentes hemsmétrcos, dados por (7.27), γ jk γ kj def a j q k a k (j, k 1,..., n), donde a j son los coefcentes defndos en (7.19), a k N m r q k r t. Por tanto, para que los a j no sean nulos, al menos una de las ecuacones de la relacón de coordenadas r r (q j, t) debe ser funcón explícta tanto de

20 7.20 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA q j como de t. Además, para que exstan térmnos groscópcos γ j, algunos de los coefcentes a j deben ser funcones explíctas de las coordenadas q j, como ocurre cuando hay un enlace móvl. Una característca mportante de los sstemas groscópcos es el acoplamento del movmento entre dos o más coordenadas. En efecto, la fuerza groscópca asocada en la ecuacón (7.34) es Q gr j γ jk q k. (7.35) Al ser γ jj 0 (j no sumado), la fuerza Q gr j puede deberse a todos los componentes de las velocdades generalzadas excepto a q j, lo que produce necesaramente un acoplamento. Por otra parte, el trabajo realzado por estas fuerzas es dw gr dt j, Q gr j q j γ jk q j q k 0, (7.36) al ser γ jk hemsmétrcos. Es decr, cualquera que sea el movmento, las fuerzas groscópcas no realzan trabajo. En esto dferen de las fuerzas dspatvas vscosas que pueden aparecer tambén en las ecuacones del movmento, que serían tambén térmnos proporconales a q j, pero que por su propa naturaleza desarrollan un trabajo neto necesaramente negatvo. Las fuerzas groscópcas aparecen en sstemas físcos que contengan alguna referenca móvl de tpo rotatora para la defncón de coordenadas. Estas fuerzas pueden servr para establzar el movmento de certos sstemas alrededor de trayectoras dnámcas estaconaras, como es el caso de la peonza smétrca para su movmento de precesón unforme o la brújula groscópca (capítulo 9). Ejemplo 7.5: Un dsco crcular de rado a, stuado en un plano horzontal, tene un movmento de rotacón mpuesto alrededor de su centro con velocdad constante ω. En su perímetro está anclado un muelle, de longtud natural r 0, que en su otro extremo tene una masa m. Obtener las ecuacones del movmento e dentfcar los térmnos groscópcos. Solucón: Para calcular la energía cnétca debemos expresar antes la velocdad del punto P, lo que puede hacerse a través del movmento relatvo al dsco, v P v A + v P A [ aω sen(ωt) r(ω + ϕ) sen(ωt + ϕ) + ṙ cos(ωt + ϕ)] + [aω cos(ωt) + r(ω + ϕ) cos(ωt + ϕ) + ṙ sen(ωt + ϕ)] j La expresón de la Lagrangana es L m 2 [ a 2 ω 2 + r 2 (ω + ϕ) 2 + ṙ 2 + 2arω(ω + ϕ) cos ϕ + 2aωṙ sen ϕ ] k 2 (r r 0) 2.

21 Aptdo Potencal dependente de la velocdad 7.21 r P m ωt A ϕ Fgura 7.4: Dsco que gra con velocdad constante ω, con un resorte fjado en su perímetro, al cual está sujeta a su vez una partícula de masa m. Las ecuacones de Lagrange resultan m r mr ϕ 2 2mrω ϕ mrω 2 maω 2 cos ϕ + k(r r 0 ) 0 mr 2 ϕ + 2mrṙ ϕ + 2mrωṙ + marω 2 sen ϕ 0 En la prmera ecuacón respecto a r el térmno groscópco es 2mrω ϕ, y en la segunda ecuacón respecto a ϕ el térmno correspondente es +2mrωṙ. La matrz de coefcentes hemsmétrcos es por tanto [γ j ] ( 0 2mrω 2mrω 0 Estos térmnos son los que corresponden al desarrollo de la energía cnétca, de donde se deduce T T 2 + T 1 + T 0 ; T m(r2 ϕ 2 + ṙ 2 ), ). T 1 m(r 2 ω ϕ + arω ϕ cos ϕ + aωṙ sen ϕ), T mω2 (a 2 + r 2 + 2ar cos ϕ), a r T 1 ṙ maωr sen ϕ, a ϕ T 1 ϕ mr2 ω + marω cos ϕ; γ rϕ a r ϕ a ϕ ṙ 2mrω, γ ϕr γ rϕ 2mrω 7.3. Potencal dependente de la velocdad En las ecuacones de Lagrange (7.14) y en la dscusón posteror se admtó como base de partda que el potencal V no dependía de las velocdades. Sn

22 7.22 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA embargo, esta restrccón no es sempre necesara, pudendo exstr casos en que se defna un potencal dependente de las velocdades y se mantenga la forma estándar de las ecuacones de Lagrange. Recordemos la forma básca de las ecuacones de Lagrange (7.12), d dt ( ) T q j T Q j, (j 1,..., n). (7.37) Supongamos ahora que las fuerzas generalzadas Q j provenen de un potencal dependente de la velocdad U(q j, q j, t), de acuerdo con Q j d ( ) U U, (j 1,..., n). (7.38) dt q j Comprobamos nmedatamente que, llamando L T U, ( ) d L L 0, (j 1,..., n). (7.39) dt q j Aplcacón: fuerzas electromagnétcas Como ejemplo básco de potencal dependente de la velocdad consderaremos las fuerzas electromagnétcas actuando sobre una partícula cargada. S la carga eléctrca es e y la velocdad v, estas fuerzas son F e(e + v B), (7.40) donde E es la ntensdad del campo elecrco y B el vector de nduccón magnétca. Éstos se obtenen respectvamente de un potencal escalar φ y de un potencal vector A de acuerdo con E grad φ A A φ t t, (7.41) B rot A A, (7.42) donde tanto φ como A son en general funcones del tempo. En funcón de éstos, la fuerza vale ( F e φ A ) + v ( A). (7.43) t Veamos cómo puede obtenerse esta fuerza de un potencal U, dependente de la velocdad. Sea (x, y, z) la poscón de la partícula en coordenadas cartesanas. De entrada el térmno e φ corresponde a la energía potencal ordnara V. Las componentes cartesanas del térmno v ( A) son [v ( A)] k,l,m1 ɛ jk ɛ lmk v j A m x l ; (7.44)

23 Aptdo Potencal dependente de la velocdad 7.23 consderemos por ejemplo la componente x (índce de coordenada 1): ( Ay [v ( A)] x v y x A ) ( x Ax v z y z A ) z x A y v y x + v A z z x + v x A x x v A x x x v y A x y v A x z z, donde se ha añaddo y restado v x ( A x / x) en el últmo térmno. A su vez, A es funcón de coordenadas y tempo, por lo que d dt A x A x x ẋ + A x y ẏ + A x z ż + A x t d [ ] (v A). dt ẋ (7.45) Resulta por tanto [v ( A)] x x (v A) da x + A x dt t. (7.46) Generalzando para una componente genérca x, la fuerza electromagnétca es por tanto [ F e φ + (v A) da ], (7.47) x x dt y consderando asmsmo (7.45) generalzada según una dreccón x, se obtene [ F e φ + (v A) d ( )] (v A). (7.48) x x dt ẋ Tomando ahora se obtene fnalmente U e(φ v A) (7.49) F d dt ( ) U ẋ U x, (7.50) de acuerdo con (7.38). Resulta por tanto una funcón Lagrangana de la forma L T U 1 2 mv2 e(φ v A). (7.51) Esta forma de la Lagrangana permte observar que el momento de una partícula cargada en un campo electromagnétco es p L v mv + ea. (7.52) Este resultado llama la atencón, ya que ndca que una parte del momento está asocado al propo campo electromagnétco. En el caso en que una

24 7.24 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA coordenada x sea cíclca (es decr, L/ x 0), es la componente correspondente de este momento generalzado, en lugar del momento mecánco cantdad de movmento, la que se conserva. La representacón de las fuerzas electromagnétcas debdas a la nduccón magnétca, ev ( A), es smlar a las fuerzas groscópcas descrtas anterormente (apartado 7.2.8). En efecto, la expresón (7.44) se puede escrbr como [v ( A)] donde se han empleado los coefcentes γ em j def k,l,m1 Se comprueba nmedatamente que γ em j γ em j ẋ j, (7.53) eɛ jk ɛ lmk A m x l. (7.54) γ em j. Por tanto, esta representacón es análoga a la de los térmnos de fuerzas groscópcas en (7.34). Al gual que entonces, debdo a la hemsmetría de los coefcentes, las fuerzas debdas a la nduccón magnétca no desarrollan trabajo, dw em dt, 7.4. Sstemas con Lgaduras γ em j q q j 0. (7.55) Sea un sstema descrto medante coordenadas generalzadas {q j } no lbres, gobernado por la ecuacón fundamental de la dnámca (7.11). S el sstema admte potencal V se puede escrbr esta últma ecuacón en funcón de la Lagrangana L: [ d dt ( ) L q j L ] δq j 0, {δq j } compatbles. (7.56) Las varacones {δq j } no son lbres, sno que están sujetas a restrccones o enlaces, por lo que no se pueden elmnar de la ecuacón anteror. No resulta posble elegr un conjunto de coordenadas lbres s exsten enlaces anholónomos en los que ntervenen las velocdades, del tpo: Φ(q j, q j, t) 0 Restrngremos nuestra atencón a las lgaduras anholónomas denomnadas catastáscas, caracterzadas por una expresón lneal en q j : A j q j + C 0.

25 Aptdo Sstemas con Lgaduras 7.25 De forma equvalente, en funcón de varacones nfntesmales: A j dq j + Cdt 0 (7.57) En la expresón anteror tanto A j como C serán a su vez funcones de q j y de t; en caso de que fuesen constantes, admtría una ntegral drecta dando lugar a una expresón holónoma, por lo que la lgadura sería anholónoma sólo en aparenca: A j, C constantes A j (q j (q j ) 0 ) + C(t t 0 ) 0 Además de los sstemas con lgaduras anholónomas, en que forzosamente se han de formular los enlaces de forma explícta, en ocasones nos nteresará formular de esta manera una lgadura, aunque sea holónoma. Como veremos, así será posble calcular la reaccón de enlace, que de otra manera no entraría en las ecuacones. De esta manera, una lgadura holónoma Φ(q j, t) 0 es equvalente a Φ q j + Φ t Método de los Multplcadores de Lagrange Supongamos un sstema mecánco, descrto medante una funcón Lagrangana L(q j, q j, t), con: n coordenadas generalzadas {q j, j 1,..., n} k ecuacones de lgadura Φ n A j q j + C 0, ( 1,..., k) El sstema posee (n k) grados de lbertad, por lo que las n coordenadas {q j } no forman un conjunto lbre. En cualquer caso, se verfca la ecuacón fundamental de la dnámca (7.56). Los desplazamentos vrtuales se toman en un nstante fjo, sn varacón del tempo (δt 0). Las condcones de compatbldad de éstos con los enlaces se obtenen susttuyendo (δq j, δt 0) en (7.57): A j δq j 0, 1,..., k (7.58) En sentdo estrcto no se puede decr sn embargo que los desplazamentos {δq j } que cumplan (7.58) sean compatbles con los enlaces, al estar éstos últmos defndos en funcón de velocdades que mplcan necesaramente una

26 7.26 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA varacón del tempo. Sn embargo, las {δq j } que cumplen (7.58) no producen trabajo vrtual con las fuerzas de enlace, que es lo que en realdad nos nteresa. Introducmos ahora unos multplcadores {λ }, 1,..., k, de valores en prncpo arbtraros. Multplcaremos por ellos a cada una de las k expresones (7.58), que segurán valendo cero: λ A j δq j 0, 1,..., k (no sumado) (7.59) Sumamos ahora para las k expresones anterores (la suma segurá valendo cero) e ntroducmos esta suma en (7.56), que no se verá alterado: [ ( ) ] d L L k λ A j δq j 0 (7.60) dt q j donde para sacar factor común δq j se ha ntercambado el orden de los sumatoros en y j. Las expresones (7.60) obtendas dependen pues de (n + k) parámetros: k multplcadores {λ } y n desplazamentos vrtuales, {δq j }. Puesto que los multplcadores λ son arbtraros, podemos elegrlos de forma que se anulen k de los coefcentes del sumatoro en (7.60). Supongamos, sn pérdda de generaldad, que éstos son los k prmeros: d dt ( ) L q j L k λ A j 0, j 1,..., k; (7.61) restan pues en el sumatoro (7.60) tan sólo (n k) coefcentes no nulos. Puesto que el sstema posee (n k) grados de lbertad, será posble elegr de forma lbre los (n k) desplazamentos vrtuales correspondentes, de manera que se deberán anular los coefcentes respectvos: d dt ( ) L q j L k λ A j 0, j k + 1,..., n. (7.62) Así, por un motvo o por otro, han de anularse los n coefcentes entre corchetes en (7.60). El sstema queda entonces planteado con (n + k) ecuacones, d dt ( ) L q j L Φ k λ A j 0, j 1,..., n (7.63) A j q j + C 0 1,..., k (7.64) sendo las (n + k) ncógntas {q 1,..., q n }, {λ 1,..., λ k }. Este planteamento defne las ecuacones del movmento en un caso general.

27 Aptdo Sstemas con Lgaduras 7.27 Sn embargo, en la práctca no suele ser aconsejable abordar drectamente el problema de (n + k) ecuacones (7.63), (7.64) con (n + k) ncógntas. Normalmente es posble elmnar de las ecuacones los k multplcadores λ, dejando un sstema de n ecuacones con n ncógntas. S las fuerzas no provenen de un potencal, el desarrollo sería enteramente análogo, pero partendo de (7.11) en lugar de (7.56). Al fnal, las ecuacones equvalentes a (7.63) serían: ( ) d T T Q j + dt q j k λ A j, j 1,..., n. Esta expresón permte nterpretar el sgnfcado físco del térmno n λ A j. Se trata de la reaccón en el enlace, en la dreccón de la coordenada q j. Ésta se suma a las fuerzas generalzadas Q j, que recordamos provenía úncamente de las fuerzas actvas. Ejemplo 7.6: Rodadura de un aro por un plano nclnado. Sea un aro de rado r y masa m que rueda sn deslzar, dentro de un plano vertcal, sobre una recta nclnada un ángulo α. Buscamos obtener las ecuacones dnámcas y la reaccón tangencal de la recta sobre el dsco que asegura la rodadura. r α θ R x x Fgura 7.5: Aro rodando sn deslzar por un plano nclnado. (nota: al resolver el problema la reaccón R x resulta con valor negatvo, lo que quere decr que tene sentdo opuesto al dbujado) Solucón: La lgadura mpuesta por la rodadura es: r dθ dx 0. En realdad esta lgadura es holónoma, pues se podría ntegrar, quedando rθ x; sn embargo, deseamos mantener la lgadura de forma explícta, lo que nos permtrá obtener después la reaccón del enlace. En funcón de las coordenadas (x, θ) (no lbres), la Lagrangana vale L T V 1 2 mẋ (mr2 ) θ 2 + mgx sen α

28 7.28 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA Introducmos un multplcador λ; sguendo la notacón de (7.59) ( ) λ A x ẋ + A θ θ 0, sendo A x 1, A θ r Resultan pues de (7.63) y (7.64) tres ecuacones con tres ncógntas: } mẍ mg sen α + λ 0 mr 2 θ Lagrange λr 0 r θ ẋ Lgadura Es posble elmnar λ de estas ecuacones, dervando la ecuacón de lgadura y entrando en la segunda ecuacón de Lagrange: Deducéndose fnalmente: r θ ẍ mrẍ λr λ mẍ λ mg sen α 2 ; ẍ g sen α 2 La fuerza tangencal sobre el dsco es por tanto: R x λa x g sen α ; θ. 2r mg sen α mg sen α ( 1) 2 2 Hacemos notar que el sgno negatvo para R x ndca que tene el sentdo contraro al consderado postvo para x (descendente según la recta en la fgura), es decr, tene sentdo ascendente. Podemos obtener tambén: mg sen α R θ λa θ r, 2 que no es sno el momento debdo a R x. Como comprobacón, realzamos el msmo cálculo por los métodos de Newton-Euler: Es decr, cantdad de movmento: momento cnétco: mẍ mg sen α + R x (mr 2 ) ẍ R r xr R x mẍ R x 1 mg sen α 2 ẍ 1 2 g sen α. Ejemplo 7.7: Para el sstema descrto anterormente en el ejemplo 7.1, Suponendo que la masa de cada partícula vale m, obtener las ecuacones del movmento, y demostrar que el multplcador de Lagrange representa la fuerza transversal de restrccón en ese punto.

29 Aptdo Sstemas con Lgaduras 7.29 m y m A R G θ B Fgura 7.6: Sstema de dos partículas A y B, undas rígdamente, con cuchllo en el apoyo de A que materalza un enlace anholónomo. x Solucón: La ecuacón de lgadura anholónoma (7.3) era Los coefcentes son ẋ sen θ + ẏ cos θ l 2 θ 0. (7.65) A x sen θ; A y cos θ; A θ l 2. La lagrangana, correspondente en este caso úncamente a la energía cnétca, vale L m(ẋ 2 + ẏ 2 ) ml2 θ2. Las ecuacones de Lagrange, empleando un multplcador λ para la restrccón, resultan 2mẍ λ sen θ; (7.66) 2mÿ λ cos θ; (7.67) 1 2 ml2 θ l λ 2. (7.68) Estas tres ecuacones, junto con la de la restrccón (7.65), srven para resolver las cuatro ncógntas (x, y, θ, λ). Es posble elmnar el multplcador λ, cuyo valor a partr de (7.68) vale λ ml θ, en las otras dos ecuacones: 2ẍ l θ sen θ; 2ÿ l θ cos θ; (7.69) de esta forma, el problema queda planteado medante estas dos ecuacones, junto con la restrccón (7.65), para las ncógntas (x, y, θ). Las ecuacones de Newton/Euler correspondentes al balance de cantdad de movmento y momento cnétco en G, funcón de la reaccón R normal a la cuchlla, resultan: 2mẍ R sen θ; (7.70) 2mÿ R cos θ; (7.71) 1 2 ml2 θ l R 2. (7.72) Se apreca nmedatamente que concden exactamente con las ecuacones ( ) con λ R.

30 7.30 Capítulo 7. DINÁMICA ANALíTICA 7.5. Introduccón al Cálculo de Varacones Los Prncpos Varaconales Los prncpos de Newton-Euler (apartado 6.2) dan como resultado ecuacones dferencales, es decr, relacones entre funcones del movmento y sus dervadas en un nstante dado. Según vmos, el prncpo de los trabajos vrtuales y el de D Alembert globalzan el planteamento de las ecuacones para sstemas de varas partículas, defnendo una condcón que se ha de verfcar para todo el sstema (la nuldad del trabajo vrtual para conjuntos arbtraros de desplazamentos vrtuales). El prncpo de D Alembert permte formular, para sstemas de N partículas sujetos a enlaces, un conjunto de ecuacones dferencales por lo general mucho más reducdo que las que se obtendrían de aplcar drectamente los prncpos Newtonanos a cada una de las N partículas. En cualquer caso, los procedmentos arrba comentados se basan en el planteamento y resolucón de sstemas de ecuacones dferencales, que se han de cumplr para cada nstante de tempo. Al basarse en relacones que se han de verfcar para cada punto de tempo, a esta formulacón cabría llamarla puntual o local. Una alternatva a la formulacón local de la dnámca es la ofrecda por los prncpos varaconales. Éstos se basan en establecer una propedad global del movmento a lo largo de todo un perodo de tempo. En lugar de orgnar un sstema de ecuacones dferencales para cada nstante, plantean una característca global del movmento, es decr, una medda ntegral que lo caracterza desde el nstante ncal hasta el fnal. El empleo de prncpos varaconales en la físca provene hstórcamente del campo de la óptca. El llamado prncpo de Fermat ( ) permtó establecer las leyes báscas de la óptca de manera muy elegante. Establece este prncpo que la luz va de un punto a otro por el camno por el que tarda menos tempo, ncluso s sufre reflexones y refraccones. De este prncpo se obtenen otras propedades fundamentales como la gualdad de los ángulos de ncdenca y reflexón en un espejo, o la ley de Snell de la refraccón. Todo se deduce de una condcón de extremo (mínmo) para una magntud dada: el tempo recorrdo por el rayo de luz en su trayectora. En la mecánca, se plantea el problema de s es posble defnr un funconal, en relacón con la trayectora dnámca de un sstema, que juegue un papel análogo al prncpo de Fermat. Así, la trayectora real que seguría el sstema, para unas condcones ncales determnadas, ocasonaría un extremo de este funconal. Este funconal exste de hecho, como veremos en el apartado 7.6; se trata de la ntegral a lo largo del tempo de la funcón Lagrangana L, denomnada accón Hamltonana. En el apartado menconado desarrollaremos el prncpo, verfcando su equvalenca con las formulacones dnámcas ya conocdas.

31 Aptdo Introduccón al Cálculo de Varacones 7.31 Este prncpo de extremo o varaconal tene una gran potenca: puede ser generalzado a la mecánca de medos contnuos (sstemas con nfntos grados de lbertad), a sstemas cuántcos o relatvstas. Por lo tanto, merece la pena detenerse, antes de presentar el prncpo de Hamlton, en la justfcacón y aplcacón general de este planteamento varaconal nuevo El Problema Fundamental del Cálculo de Varacones El planteamento del problema consste en encontrar una funcón y(x), de varable real x, de forma que un funconal determnado I[y] de esta funcón sea extremal. Sea el funconal con la estructura general sguente, I[y] def x2 f(y(x), y (x), x) dx, con y (x) def dy x 1 dx, (7.73) donde f es una funcón dada de las varables (y, y, x), a la que supondremos los requstos de contnudad y dferencabldad necesaros, y (x 1, x 2 ) los dos puntos extremos, dentro de los que nteresa el estudo de y(x). El problema es determnar las funcones y(x), que toman valores dados en los extremos y 1 y(x 1 ) e y 2 y(x 2 ), y que hacen del valor del funconal I[y] extremal, es decr, un máxmo o un mínmo. Para ello, estudaremos la varacón del funconal, que llamaremos δi, para varacones arbtraras de y(x) que cumplan las condcones de borde dadas. Esta varacón debe ser nula, como expresón de la condcón de extremal. Como prmer paso, nvestgamos la famla unparamétrca de funcones varadas y(x, α) y(x) + αη(x), sendo α R un parámetro contnuo y η(x) una funcón real dada arbtrara, a la que úncamente exgremos que tenga condcones de borde homogéneas, es decr η(x 1 ) η(x 2 ) 0. Es decr, enmarcamos la solucón buscada y(x) dentro de un conjunto de curvas de comparacón y(x, α) que cumplan todas ellas las msmas condcones de borde que y(x). De esta manera el valor del funconal depende de α: I(α) x2 x 1 f(y(x, α), y (x, α), x) dx. La varacón de éste para una varacón arbtrara δα es δi def di x2 { f dα δα y y α + f } y δα dx. (7.74) y α Claramente, y α x 1 2 y x α x ( ) y ; α