GUIÓN 6. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE.

Transcripción

1 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso GUIÓN 6. RESOUCIÓN NUMÉRICA DE A ECUACIÓN DE APACE. Obetvos En esta práctca se resuelven numércamente problemas de condcones de contorno bdmensonales que se austan a la ecuacón de aplace ver Tabla G. Para la dscretzacón de cada problema se emplea el método de las dferencas fntas para la resolucón del sstema de ecuacones lneal asocado dferentes varantes del método teratvo de Jacob. En partcular se evalúan numércamente la dstrbucón del campo eléctrco el potencal en: - una lámna de papel con dos electrodos rectangulares - un cable coaal de seccón rectangular. Materales Ordenador personal con Matlab para wndows dsquete de 3 ¼ pulgadas. Datos prevos obtendos en la sesón 5 folos con líneas de campo líneas equpotencales. Introduccón as ecuacones de Posson aplace. Una dstrbucón de carga estaconara en el vacío fg. compuesta en general por dferentes tpos de carga lbre puntuales Q densdades lneales λ densdades superfcales σ densdades volumétrcas ρ genera un campo electrostátco Er conservatvo. Esto sgnfca ver referenca R que en todo el espaco se cumple que r E r 0 rot E [] en consecuenca este un campo escalar r denomnado potencal electrostátco de forma que E r grad r r [] Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace

2 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso S l r r r n S r r Q Q 5 n s r r 3 r Q l r r 4 r Q 4 l 3 r Q 3 r 5 r Fg. Dstrbucón de carga estaconara. Por otro lado s consderamos un certo volumen v lmtado por una superfce S en el que la densdad de carga ρr es fnta en todo punto en el que no esten n cargas puntuales n densdades lneales o superfcales de carga p.e. el volumen v en la fg. la e de Gauss en el nteror de v toma la forma r ρ r E [3] ε 0 Combnando la epresón [3] de la e de Gauss con la epresón [] resulta que en el nteror de v el potencal cumple la denomnada ecuacón de Posson para el vacío ρ r ε r [4] 0 es el operador laplacano. En el caso de que el medo sea un deléctrco dferente del vacío es necesaro consderar los efectos de las cargas de polarzacón que puedan estar presentes dentro del volumen v escrbendo la e de Gauss como ver referenca R de forma que la ecuacón de Posson en este caso resulta ρ f r ρ p r E r [5] ε o ρ f r ρ p r r [6] ε o Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace

3 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso S en el nteror del volumen v no estan cargas de nngún tpo ρr 0 p.e. el volumen v en la fg. se obtene en lugar de [6] la ecuacón dferencal omogénea r 0 [7] que se denomna ecuacón de aplace. Condcones de contorno. Todo los problemas electrostátcos en los que la densdad de carga es fnta obedecen o a la ecuacón de Posson [6] o a su versón smplfcada la ecuacón de aplace [7]. a ntegracón de estas ecuacones es decr la obtencón del valor del potencal r en cualquer punto del volumen v es equvalente a encontrar una solucón completa al correspondente problema electrostátco dado que a partr de r puede dervarse cualquer otra magntud que sea de nterés por eemplo el valor del campo electrostátco Er medante la epresón []. Sn embargo la ntegracón de la ecuacones [6] o [7] no puede realzarse consderando úncamente las propas ecuacones el valor que toma ρr las fuentes del campo en todo el volumen v. Para defnr un problema electrostátco por completo poder obtener la correspondente solucón para el potencal r es necesaro especfcar además determnadas condcones complementaras que debe cumplr la solucón buscada sobre la frontera S que lmta al volumen v. Estas condcones denomnadas condcones de contorno pueden formularse de mu dversas maneras en cada caso podrán dar lugar o no a un problema ben defndo es decr que tenga solucón que ésta sea únca. Debdo a su gran mportanca a su aparcón frecuente en mucos problemas de ecuacones en dervadas parcales algunos tpos de condcones de contorno recben nombres específcos como son por eemplo: a Condcones de Drclet cuando se especfca el valor del potencal sobre la frontera. r g r r S [8] b Condcones de Neumann cuando se especfca el valor de la dervada normal la componente del campo eléctrco normal sobre la frontera: r g r r S [9] n Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace 3

4 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso Se puede demostrar que las ecuacones de Posson aplace con condcones de contorno de Drclet o Neumann tenen solucón únca para r en el caso de las condcones de Neumann la solucón es únca salvo una constante adtva. Es decr la combnacón de cualquera de las ecuacones [6] o [7] con cualquera de las condcones [8] o [9] consttue un problema electrostátco ben defndo. Problemas de condcones de contorno para la ecuacón de aplace en dos dmensones. No concentraremos en esta práctca en la resolucón de problemas electrostátcos C bdmensonales que se C R austen a la ecuacón de aplace con condcones de s contorno de Drclet o de C P Neumann. En este caso por tanto el domno Fg.. Eemplos de domnos bdmensonales lmtados por los contornos C R P. C consta a su vez de dos subcontornos C C trdmensonal de volumen v lmtado por una superfce S se transforma en un domno bdmensonal de área s lmtado por un contorno cerrado C fg.. Trabaando en coordenadas cartesanas el problema bdmensonal más general que estudaremos se puede caracterzar por las ecuacones 0 [0a] g C [0b] g C n [0c] En una parte de la frontera C se aplcan condcones de Drclet en otra parte C condcones de Neumann. S C C C Ø estaremos en un problema de contorno de Drclet puro s por el contraro C Ø C C estaremos en un problema de contorno de Neumann puro. Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace 4

5 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso El método de las dferencas fntas. Para abordar la resolucón del problema de contorno [0] emplearemos el método de las dferencas fntas que podemos descrbr como compuesto por dos etapas. En la prmera etapa se transforma el problema contnuo en un problema dscreto sobre el domno de nterés empleando una red bdmensonal de puntos. En la segunda etapa sobre esta red empleando formulas con dferencas se aproman las dervadas parcales del potencal que aparecen en la ecuacón de aplace de forma que ésta se transforma en una ecuacón algebraca. Para lustrar este procedmento consderamos el caso partcular de un domno rectangular de lados A B fg. 3. Selecconamos la red bdmensonal cartesana K n K m [a] - m- m B n- n A Fg. 3. Red bdmensonal para dscretzar el problema de contorno en un rectángulo de lados A B compuesta por m puntos en las dreccón X n puntos en las dreccón Y con perodcdades A B ; [b] m n S nos concentramos úncamente en los valores del potencal sobre los puntos de esta red es decr en la matrz K n K m [] de n flas por m columnas el problema contnuo [0] se transforma en el problema dscreto Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace 5

6 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace m n [3a] m n en g n m [3b] Para apromar las dervadas en la segunda etapa del método partremos de la defncón de dervada como paso al límte de un cocente. Para la prmera dervada parcal respecto a la coordenada tenemos lm 0 [4] S el valor de es sufcentemente pequeño podemos apromar la dervada anteror medante el propo cocente [5] De la msma forma partendo de la defncón de la segunda dervada parcal respecto a lm 0 [6] resulta la apromacón [7] S aplcamos la epresón [5] se tene en partcular que [8a] [8b] susttuendo en [7] resulta [9] De la msma forma se obtene para la segunda dervada parcal respecto a la coordenada que

7 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace 7 [0] sumando [9] [0] la ecuacón de aplace [3a] se reduce a 0 [] o ben a [ ] [ ] [] En el mportante caso partcular de una red cuadrada con la msma perodcdad en las dos dreccones cartesanas entonces resulta la epresón 4 [3] cua nterpretacón físca es nmedata: el valor del potencal en un punto de la red se evalúa como la meda del potencal en los puntos crcundantes fg. 3. Centrándonos úncamente en problemas con smetría rectangular dscretzados medante una red cuadrada el problema de contorno [0] que se abía dscretzado en [3] se transforma fnalmente por tanto en un sstema de n-m- ecuacones lneales m n [4a] con las m-n- restrccones mpuestas por las condcones de contorno sobre los puntos de la frontera. En el caso de un problema de Drclet puro tendríamos n m m n g [4b] s fuese un problema de Neumann puro sería n m g m n g [4b] Es decr en cualquer caso tenemos un sstema de n.m-4 ecuacones lneales con n.m-4 ncógntas.

8 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso Cálculo de la solucón empleando métodos teratvos. El sstema de ecuacones [4] se puede resolver aplcando dferentes técncas de calculo numérco p.e. elmnacón gaussana o factorzacón U. Otra alternatva es emplear métodos teratvos en los que partendo de un valor ncal para la solucón del potencal 0 medante la reterada aplcacón de una formula de teracón se obtenen valores... cada vez mas prómos a la solucón tras un número nfnto de teracones se llegaría a la solucón eacta. Aunque los métodos teratvos conducen en la práctca a solucones apromadas presentan en general meores característcas de aorro de memora menor sensbldad a errores de redondeo que los métodos eactos serán los que emplearemos en esta práctca. En concreto utlzaremos dferentes varantes del conocdo como método de Jacob. Todas ellas se caracterzan por realzar las sguentes accones en la teracón -ésma: leer los valores ncales para el potencal - los obtendos en la teracón anteror. aplcar una fórmula basada en [4a] para calcular los nuevos valores del potencal. 3 calcular la varacón que se produce en cada elemento de la matrz después de la teracón resduo R [5] 4 calcular el mámo valor de todos los resduos err ma R [6] compararlo con un valor de toleranca tol especfcada por el usuaro. El calculo de los valores del potencal en el paso se subdvde en varas etapas una para cada elemento de la matrz comenzando por el elemento sguendo por flas asta el elemento nm. as partculardades de cada varante del método de Jacob están relaconadas con el modo en el que se calcula el potencal para cada elemento de matrz: a en el método de Jacob propamente dco el potencal se calcula empleando úncamente los valores del potencal de la teracón nmedatamente anteror - 4 [ ] [6] Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace 8

9 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso b en el método de relaacón o de Gauss-Sedel se emplea sempre el valor del potencal más recente el valor del potencal que se a obtendo en la teracón actual s no es posble el valor de la teracón nmedatamente anteror -: 4 [ ] [7] c en el método de sobrerrelaacón sucesva se opera como en el de Gauss-Sedel pero con la formula [ ] [ ] ω ω [8] 4 en la que se ntroduce el parámetro adconal ω que permte obtener una convergenca más rápda s su valor se seleccona adecuadamente. El valor óptmo que la teoría predce para el parámetro de sobrerrelaacón en el caso de un domno rectangular con una malla de nn nodos es ω opt [9] π sen n De todas las opcones anterores en esta práctca emplearemos el método de Gauss-Sedel. Para más detalles sobre el método de las dferencas fntas los métodos teratvos para resolver sstemas de ecuacones lneales se puede consultar p.e las referencas R3 R4. Actvdad Tras preparar el ordenador abordamos el estudo del problema de contorno número : domno cuadrado de lado con condcones de Drclet ver tabla G. Emplearemos este problema para famlarzarnos con el maneo de las rutnas el procedmento de teracón.. Preparacón del ordenador personal. SEGUIR A INDICACIONES DE PROFESOR SOBRE A PANTAA.. Encender el ordenador la pantalla. Se abre sesón con nombre de usuaro logn alumno deando la contraseña en blanco.. Se abre la carpeta Ms documentos se busca una subcarpeta con el nombre AF. Se camba a la subcarpeta AF en la que debe aber unos 5 arcvos de Matlab con etensón Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace 9

10 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso m. S no este la subcarpeta AF entonces se crea se copa en ella el contendo del dsquete que faclta el profesor..3 En el menú nco\programas se eecuta el programa Matlab. Una vez dentro de la ventana prncpal de Matlab se camba el drectoro actual a \Ms documentos\af. Se teclea dr para comprobar s efectvamente emos cambado el drectoro actual s están en él los fceros del apartado... Análss del método de defncón resolucón del problema de contorno nº.. a geometría las condcones de contorno la prmera apromacón del potencal se defnen medante las matrces G E U. Generar estas matrces para el problema nº ver Tablas G G con una red cuadrada de 66 puntos n6 empleando la rutna específca nco_p.m. Anotar los valores de las matrces en la tabla. at... Emplear la rutna plot_puntos para vsualzar la matrz G ver códgo de colores en Tabla G. Calcular el valor de la perodcdad de la red tenendo en cuenta que el domno cuadrado tene 5 m at.... Para realzar una teracón medante el método de Gauss-Sedel se emplea la rutna una_tera_us.m. Emplear esta rutna con sus valores por defecto a0 v para calcular los nuevos valores del potencal tras realzar una teracón. Reflear el valor del mámo resduo err en la tabla. at... Emplear la rutna plot_ge_c.m para presentar gráfcamente los resultados obtendos para el potencal el campo. Aplcar de manera sucesva la rutna una_tera_us.m asta que los valores de los resduos sean nferores a tol Reflear el valor del mámo resduo err en la tabla. at.. cada cnco teracones. Cuando err se aprome muco a tol anotar el valor del mámo resduo de teracón en teracón at....3 Para realzar de golpe todas las teracones del apartado. se puede emplear la rutna tera_us.m. Borrar todas las varables actvas. Borrar todas las fguras. Repetr los comandos de.. para generar las varables n. a v G E U. Emplear aora la rutna tera_us.m para resolver del golpe el problema. Emplear la rutna plot_ge_c.m para presentar gráfcamente los resultados obtendos para el potencal el campo..4 Para realzar de golpe todas las teracones del apartado. vsualzar los resultados se puede emplear la rutna practca_6_s.m. Borrar todas las varables actvas. Borrar todas las fguras. Repetr los comandos de.. para generar las varables n. a v s G E U. Emplear la rutna practca_6_s.m para realzar de nuevo de golpe todas las teracones Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace 0

11 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso presentar gráfcamente los resultados obtendos. Reflear el valor de la matrz de potencal fnal en la tabla. con una precsón de asta décmas de olto..5 Esquema del proceso de resolucón. Realzar un esquema del proceso que se a segudo para defnr resolver el problema. Indcar el nombre de las rutnas de Matlab que se an empleado su funcón Esquema.5..6 Obtencón de valores de potencal a partr de la matrz solucón. Para caracterzar la poscón un punto en el domno tomamos un sstema de referenca como el que se emplea en la fgura 3 con orgen en la esquna superor dereca. En base a la matrz solucón para estmar el potencal en los puntos cuas coordenadas cartesanas en metros son las sguentes: at..6. S el punto se corresponde con un nodo es decr con un elemento de matrz de empleamos drectamente este valor. En otro caso realzaremos una nterpolacón lneal en la dreccón en la dreccón o en ambas según corresponda. Estmar la dferenca de potencal en los puntos anterores tomando como referenca el potencal ref correspondente al punto de coordenadas 0..7 Obtencón de valores del campo a partr de las matrces E E. En base a las matrces E E estmar las componentes el módulo del campo eléctrco en los puntos cuas coordenadas cartesanas en metros son las sguentes: at..7. Aplcamos la msma estratega de nterpolacón que con. Actvdad Consderamos aora el problema de contorno número con condcones de Drclet ver tabla G. Este problema se corresponde con la stuacón epermental de la práctca 5 lámnas déblmente conductoras en la que el potencal se austa a la ecuacón de aplace ver referenca R5. Compararemos los resultados numércos para el campo el potencal con los resultados epermentales obtendos en la práctca Análss del problema de contorno nº. Toma de datos 3. Borrar todas las fguras. Borrar todas las varables. Generamos las G E U para el problema con una red de 33 puntos n3 emplear nco_p.m. Emplear la rutna plot_puntos para vsualzar la matrz G ver códgo de colores en Tabla G. Calcular el Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace

12 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso valor de la perodcdad de la red tenendo en cuenta que el domno cuadrado el papel tene 33 cm. Cerrar la fgura. 3. Emplear la rutna practca_6_s.m con los valores a0 v s para resolver el problema presentar gráfcamente los resultados obtendos. Tratamento de datos 3.3 Para descrbr los puntos del domno tomamos un sstema de referenca como el que se emplea en la fgura 3 pero con orgen en la esquna superor dereca del electrodo zquerdo. Calcular el potencal el campo en los puntos que tenen las msmas coordenadas cartesanas que los evaluados epermentalmente en la práctca 5 en los apartados Tomar como potencal de referenca ref el potencal del electrodo que en la práctca 5 estaba a potencal cero. Anotar en la tabla 3.3 at Completar la tabla 3.4 con los datos epermentales los valores obtendos numércamente. Son concdentes? Actvdad 3 Analzaremos la solucón del problema número 3 correspondente a un cable coaal de seccón rectangular. 4. Análss del problema de contorno nº Borrar todas las fguras. Borrar todas las varables. Generar las matrces G E U para el problema 3 con una red de 33 puntos nco_p3.m. Calcular s 3 cm. Emplear la rutna practca_6_s.m para resolver el problema presentar gráfcamente los resultados obtendos tol at Realzar una representacón gráfca comando plot del potencal a lo largo de líneas paralelas al ee nclur una línea que pase por el conductor nteror otra que pase por el conductor eteror Trasladar los resultados de forma cualtatva a la gráfca Realzar una representacón gráfca comando plot del campo a lo largo de líneas paralelas al ee nclur una línea que pase por el conductor nteror otra que pase por el conductor eteror. Trasladar los resultados de forma cualtatva a la gráfca 4.3. Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace

13 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso Calcular la densdad de carga superfcal para el conductor nteror σ para el conductor eteror σ e s el domno tenen permtvdad ε ± Fm at Calcular la carga total en cada conductor por undad de longtud Q at Calcular la capacdad total del cable por undad de longtud C at Dscusón de los resultados 5. Dscusón análss de los resultados. 5.. Dscutr los resultados obtendos contestando en partcular a las sguentes preguntas - Concuerdan los resultados epermentales de la práctca 5 con la smulacón en el problema? - Son razonables los resultados obtendos para el cable coaal? Referencas R Materal en fotocopadora: Transparencas del tema 4 El campo electrostátco en el vacío. Apartados pp R Materal en fotocopadora: Transparencas del tema 5 Campo electrostátco en medos materales. Apartados pp pp R3 M. Zan Teoría electromagnétca pp Nueva Edtoral Interamercana 983. R4 J.H. Matews K.D. Fn Métodos numércos con Matlab pp.7-83 pp Prentce Hall 999 R5 Materal en fotocopadora: Transparencas del tema 6 Correntes eléctrcas estaconaras. Apartados 6.4 pp Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace 3

14 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso Nº Stuacón físca Geometría del domno Tabla G: Problemas de contorno concretos que se van a estudar: Tpo Condcones de Contorno alor Fceros M de Matlab aplcables Para defnr la geometría terarpresentar resultados Uno de los lados es conductor el resto a terra. Drclet 00 lado superor 0 otros lados nco_p.m Gauss-Sedel: 3 placas conductoras rectangulares de lado 3 cm separadas 5 cm con una dferenca de potencal entre ellas de 5. Todo el borde eteror a terra Cable coaal de seccón cuadrada con una dferenca de potencal entre el conductor eterno el nterno Drclet Drclet Neumann 7 5 electrodo dereco -7 5 electrodo zquerdo 0 borde eteror 0 borde eteror 00 borde nteror 0 lneas de smetra n nco_p.m nco_p3.m una_tera_us.m tera_us.m practca_9_s.m Gráfcos: plot_ge.m plot_ge_c.m plot_puntos.m Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace 4

15 aboratoro de Amplacón de Físca - E.T.S.I.I. Curso Tabla G: Nomenclatura para las matrces varables que ntervene en los problemas de contorno. etra Nombre Descrpcón Detalles G matrz de geometría. Srve para defnr la geometría del domno de nterés el tpo de condcones de contorno que a que aplcar en cada punto de la frontera. E matrz de condcones de contorno. Contene los valores que establecen las condcones de contorno para el potencal o para su dervada normal en los puntos de la frontera. Emplea el sguente códgo: 0: punto eteror al domno de nterés blanco. : punto frontera con C.C. de Drclet puras azul. : punto frontera con C.C. de Neumann puras verde. 3: punto frontera con C.C. de otro tpo no defndo. 4: punto nteror al domno magenta. ale cero en los puntos en los que G4. U matrz ncal del potencal. Se le puede asgnar una valor ncal val en los puntos en los que G4. matrz de potencal. matrz con los valores fnales del potencal después de la últma teracón. R matrz de resduos. matrz con los resduos de la últma teracón. n dmensón de la matrz. período de la red. m por defecto ω parámetro de sobrerrelaacón. s ω método de Gauss-Sedel. por defecto. val valor ncal para U. 0 por defecto. tol toleranca por defecto. número de teracones. err mámo resduo. Guón 6: Resolucón numérca de la ecuacón de aplace 5