INTRODUCCIÓN AL LABORATORIO DE FÍSICA

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1 INTRODUCCIÓN AL LABORATORIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL A. MEDIDA E INCERTIDUMBRE Págna 1

2 A- MEDIDA E INCERTIDUMBRE A.1. INCERTIDUMBRE EN LAS MEDIDAS Medr consste en comparar una magntud con otra que utlzamos como patrón (undad). Este proceso lleva sempre mplícto una ndetermnacón, es decr sempre que medmos, por razones muy dversas y, en general, dfícles de evtar, corremos el resgo de no acertar con el valor exacto de la magntud que queremos conocer. Unas veces esto es debdo a la mperfeccón de nuestros nstrumentos, o al dseño del proceso de medda, o a factores ambentales, etc. De manera que cuando expresamos el valor meddo de una magntud debemos sempre hacer una estmacón del grado de confanza con el que hemos realzado la medda. De acuerdo con el orgen de estos errores podemos clasfcarlos en: Error humano: Descudo al hacer las meddas, forma nadecuada de hacerlas, etc. Lmtacones de los aparatos: Pueden ser debdas a estar estropeados, mal calbrados o tener poca precsón. Influencas ajenas al expermento: Interferencas, varacones de temperatura, etc. A.. TIPOS FUNDAMENTALES DE ERROR ERRORES SISTEMÁTICOS Son los debdos a la presenca de un factor no consderado en el montaje expermental o al mal conocmento de algún otro. Como consecuenca el valor meddo está sempre por encma o por debajo del valor verdadero. Pueden tener su orgen en defcencas de los aparatos. Su exstenca es dfícl de detectar pero son los más fácles de corregr pues sólo requeren de la adecuada calbracón del aparato. ERRORES ACCIDENTALES Son los resultantes de la contrbucón de numerosas fuentes ncontrolables que desplazan el valor meddo por encma y por debajo del valor real. Idealmente puede consderarse que su contrbucón es absolutamente al azar, de forma que aunque son mposbles de elmnar totalmente, pueden ser estmados y de esta forma obtener el grado de confanza con el que hemos realzado la medda. A.3. ERRORES EN OBSERVACIONES DIRECTAS Los errores estadístcos o aleatoros pueden ser estmados realzando un certo número de veces, n, el expermento. A estas meddas repetdas de una certa magntud, x 1, x, x 3, x n, las llamaremos datos. VALOR MEDIO El mejor valor que podemos entonces ofrecer para la magntud medda es la meda, o valor medo de acuerdo con la expresón ben conocda: x x= n Págna

3 DESVIACIÓN Se defne la desvacón de cada medda como la dferenca entre el valor meddo y el valor verdadero. Como el valor verdadero es mposble de medr, tomaremos como desvacón de cada medda la dferenca entre su valor y el valor medo, y la denomnaremos desvacón estmada: d = x x DESVIACIÓN ESTÁNDAR Para estmar el error cometdo en una sere de meddas se puede realzar una meda de sus desvacones. Como éstas se producen al azar para que no se compensen unas con otras lo mejor es promedar sus cuadrados. En estadístca se llama desvacón estándar a este promedo de desvacones, de acuerdo con la expresón σ = ( x x) n El cuadrado de la desvacón estándar, σ, es la varanza y puede tambén obtenerse a partr de la relacón: σ = x x PRECISIÓN Es la medda más pequeña que podemos realzar con un aparato. Cuando el número de meddas realzadas no sea sgnfcatvo este valor es la mejor estmacón del error cometdo l l La precsón de la regla de la zquerda es de 1mm. S realzamos una sola medda de la longtud, l, del segmento escrbremos: l = 1.cm ± 0.1cm =(1. ± 0.1)cm Para la regla de la derecha la precsón es de 0.5mm. s realzamos una sola medda del msmo segmento escrbremos: l = 1.0cm ± 0.05cm = (1.0 ± 0.05)cm ERROR ABSOLUTO Tomaremos como valor del error en la medda la mayor de sus estmacones, es decr: o la desvacón estándar o la precsón de los nstrumentos. El error absoluto se expresa en las msmas undades que la magntud que se está mdendo en la forma x = ( x ± δ x) und. Págna 3

4 Mdendo varas veces la longtud de un segmento con una regla mlmetrada, hemos obtendo los sguentes valores: TABLA 1 l (mm) D (mm) d (mm ) SUMA El valor medo será: l = (1784/7)mm = 54.86mm, y la desvacón estándar: σ = 15 mm² mm como este valor es mayor que la precsón del nstrumento lo tomaremos como estmacón del error absoluto Así pues, l = (55 ± 1)mm ó (54.9 ± 1.5)mm ERROR RELATIVO Se defne como el cocente entre el error absoluto estmado y el valor meddo (o el valor medo de las meddas en caso de muchas meddas). Se expresa habtualmente como porcentaje ( %) : δx ε = 100 x y se escrbrá en la forma: x = x ± ε (%). En el caso de la longtud medda (Tabla 1), teníamos los sguentes valores: Valor medo = 55mm, y desvacón estándar = 1.46mm 1.46 mm Así pues, el Error relatvo = 100 = 06 % 55 mm De modo que tendremos, l = 55mm ± 0.6% NORMAS PARA ESCRIBIR LOS DATOS EXPERIMENTALES Al hallar el valor medo, deben tomarse de este tan sólo las cfras exactas y la prmera afectada de error, multplcando por el factor 10 n que sea necesaro. Defnremos cfras exactas como aquellas que no están afectadas por el error. R = (101 ± )Ω (Cfras exactas 101, Prmera cfra afectada 101) Cuando sólo tenemos una medda de un valor procederemos de forma análoga al apartado anteror, pero tomando como valor medo el valor meddo y como error absoluto estmado la precsón del aparato. Págna 4

5 A) Medda de la capacdad con un Q-metro. Valor meddo = 504nF, Precsón de la medda en la escala de nf = 1nF C = (504 ± 1)nF B) Medda de una resstenca con un óhmetro. Valor meddo = 10.3kΩ, Precsón de la medda en la escala de kω = 0.1kΩ R = (10.3 ± 0.1)kΩ Cuando en nuestra medda hallamos obtendo más cfras a la derecha de la prmera cfra afectada de error, deberemos redondear estas cfras a la prmera afectada de error. - S estas cfras comenzan con un número menor de 5, se redondearán haca abajo. - S comenzan con 5 o un número mayor de 5, se redondearán haca arrba. Ejemplos: MAL ESCRITA BIEN ESCRITA 1.8 ± ± ± ± ± 10% (=.43 ± 0.).4 ± 10% (=.4 ± 0.) 543 ± 408 (.54 ± 0.04) ± (3.6 ± 0.) 10-3 ó ± Cuando dos cantdades tenen el msmo número de cfras sgnfcatvas y sólo tenen ceros a la zquerda, tenen la msma precsón Tenen la msma precsón Sn embargo, los ceros a la derecha tenen valor sgnfcatvo en cuanto al error, puesto que ndcan que conocemos el valor de esa cfra y que es cero (salvo error, naturalmente) ( cfras sgnfcatvas) (3 cfras sgnfcatvas) (3 cfras sgnfcatvas) Así pues tenen dferente precsón. Cuando el error empeza por 1 se permte escrbr cfras sgnfcatvas de error: 4.50 ± 0.1 A.4.ERRORES EN OBSERVACIONES INDIRECTAS Es muy frecuente que el valor de una magntud se obtenga a partr de una o varas meddas drectas aplcando las correspondentes operacones matemátcas. A esto le llamaremos observacón ndrecta y en este caso los errores cometdos en las observacones drectas de los datos nflurán en el error con el que obtendremos el resultado en funcón de la fórmula utlzada. Págna 5

6 SUMA Y DIFERENCIA Al ser el error producto del azar, puede tener cualquer sgno. Así pues, cuando sumemos o restemos dos cantdades meddas, deberemos consderar el error absoluto estmado del resultado como la suma de los errores absolutos estmados de cada medda. A = (5. ± 0.) + (3.8 ± 0.1) = (9.0 ± 0.3) B = (5.3 ± 0.1) - (3.3 ± 0.) = (.0 ± 0.3) PRODUCTO Y COCIENTE Para las operacones producto y cocente el error relatvo será la suma de los errores relatvos de las varables. Supongamos que los valores meddos de ntensdad (I) y de tensón (V) en un crcuto, son los sguentes: I = (3.8 ± 0.1) 10-3 A V = (5. ± 0.4)V y queremos calcular la potenca (P) y la resstenca (R), que venen dadas por: P = V I, R = V I A) Potenca: P = IV, de modo que δp = I δv + V δi S dvdmos por P = I V, tendremos: δ P P = δv V + δ I I En este caso partcular, -3 δp 0.4 V A = = ( ) 100 =11% P 5. V A Así pues, P = (0 ± 11%)mW = (0 ± )mw B) Resstenca: R = V I, lo que mplca, I δv + V δi δ R = I Como ya hemos dcho, el error es aleatoro y puede tener cualquer sgno, así que debemos consderarlo adtvo: Dvdendo todo por R = V/I y operando obtendremos: δr δv δi = + R V I En este caso, puesto que sumamos los errores relatvos de I y de V, tendremos el msmo error relatvo de antes. R = (1.37 ± 11%)kΩ = (1.37 ± 0.15)kΩ Págna 6

7 NOTA IMPORTANTE: Obsérvese que los errores absolutos no son guales en un caso y en otro y que el error absoluto de un producto (o de un cocente) no es la suma de los errores absolutos de los factores (o del dvdendo y dvsor en caso del cocente). OTRAS FUNCIONES Para otras funcones, utlzando un método smlar, podemos obtener la sguente tabla Relacón z = A x z = x n z = ln x z = q(x) Error δz = A δx δz/z = n δx/x δz = δx / x dq( x) δz = dx δx A.5 AJUSTES Hasta ahora nos hemos referdo a la manera de obtener el mejor valor de una magntud a partr de una o varas meddas o conjuntos de meddas. Un problema más general es el de determnar una relacón funconal entre dos magntudes x e y como resultado de expermentos, de manera que son los parámetros de la funcón las magntudes que realmente deseamos conocer. El ajuste más sencllo de un conjunto de datos a una determnada funcón es el que se denomna por mínmos cuadrados, y que consste en calcular los parámetros de una funcón conocda hacendo que la suma de las desvacones de los datos expermentales respecto de la funcón sea mínma. El caso más sencllo es el ajuste a una recta, en este caso tambén se le suele denomnar correlacón lneal. S dsponemos de un conjunto de pares de puntos (x 1,y 1 ), (x,y ), (x n,y n ) obtendos expermentalmente y que deberían corresponder a la expresón teórca y = a x + b podemos estmar el mejor valor de los parámetros a y b. Suponendo que las desvacones de todos los datos son guales se obtenen las ecuacones: a a x x + b + b n x = = y x y de donde la solucón para los parámetros a y b será: n xy a =, n x x y y a b = ( x) n x Págna 7

8 I (A) masa(g) 0,0 159,46 0,5 159,51 1,0 159,55 1,5 159,6,0 159,63,5 159,66 masa (g) 159,8 159,75 159,7 159,65 159,6 159,55 Fuerza sobre una corrente y = 0.075x r = ,0 159,69 3,5 159,7 4,0 159,78 159,5 159,45 159, Intensdad (A) El número r que fgura al lado de los parámetros es el coefcente de correlacón y nos da dea de la bondad del ajuste. Cuanto más se aproxme a 1 mejor será la correlacón entre los datos expermentales y la relacón teórca, la expresón para su cálculo es r = ( n xy x y) ( x) n y ( n x )( ( y) ) El caso de una relacón lneal no es tan especal como podría pensarse porque muchas otras relacones pueden lnealzarse con algún lgero cambo, por ejemplo: y = a e y = a b bx 1 y = a + b x... x ln y = lna + b x ln y = ln a + lnb x 1 = a + b x y Págna 8

9 ... INTRODUCCIÓN AL LABORATORIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL B. REPRESENTACION DE DATOS Págna 9

10 B. REPRESENTACIÓN DE DATOS Los datos obtendos a partr de las meddas en un laboratoro deben presentarse de manera que los demás obtengan la mayor cantdad y caldad de nformacón posble. Para lograr esto recurrmos a las tablas y las representacones gráfcas. Las tablas nos permten ver el conjunto de los datos obtendos sn tener que rlos persguendo a lo largo del nforme. Con las gráfcas no sólo consegumos una nformacón cuanttatva de la magntud medda sno tambén su relacón con los parámetros del expermento. B.1. TABLAS Cuando sea posble se regstrarán las meddas en forma de tablas, puesto, se trata de la forma más compacta y senclla de presentar los resultados de acuerdo con las sguentes recomendacones: - En las tablas se representarán tanto los datos drectos de las meddas del laboratoro como los pasos ntermedos relevantes y resultados buscados. - Las meddas de una msma magntud se escrbrán preferblemente sobre una msma columna vertcal, ya que el ojo puede comparar más fáclmente un conjunto de datos vertcales. - En la cabecera de cada columna se ndcará el nombre de la magntud y/o el símbolo segudo por las undades. Al ndcar en la cabecera las undades ya no es necesaro repetrlas después de cada medda, con esto se ahorra tempo, energía y se hace más claro el nforme. - Es convenente elegr las undades (o las potencas de 10 adecuadas) para que los números queden expresados en el rango entre 0.1 y Los errores en la estmacón de cada magntud se pueden poner en la cabecera de la columna correspondente, s son comunes a todas las meddas; s no, pueden ponerse detrás de cada medda usando comllas para no tener que repetr su escrtura nnecesaramente. EJEMPLO A modo de ejemplo se puede consderar la sguente tabla Determnacón expermental del campo magnétco de un solenode Frec. (±10) (Hz) I 0 (±0,01) (ma) V pp (± 0,1 dv) (medda) V pp (V) B exp (mt) 400 9,6 5,0 dv x 0,0 V/dv 0,10 ± 0,01 0, ,58 3, dv x 0,05 " 0,16 ± 0,03 0, ,5 4,0 dv x 0,05 " 0,0 " 0, ,46 4,8 dv x 0,05 " 0,4 " 0,158 Meda : 0,159 ± 0,001 El título que aparece justo encma de la tabla nos permte dentfcar el tpo de expermento realzado, o la fase en la que nos encontramos del msmo. En la tabla observamos que las tres prmeras columnas corresponden a los datos obtendos drectamente de los aparatos, la cuarta columna a un cálculo ntermedo y la últma al resultado fnal buscado. La tercera y cuarta columnas representan la msma magntud; al tomar los datos en el laboratoro sempre es preferble hacerlo tal y como aparecen en la tercera columna, ya que será mucho más fácl detectar cualquer posble error cometdo, pero en el nforme fnal podemos prescndr de esta columna. Págna 10

11 La estmacón del error que aparece en las cabeceras de las tres prmeras columnas nos ndca que el error absoluto es el msmo para todos los datos de la columna. El error correspondente a la magntud fnal, qunta columna, se ha obtendo sn embargo por medo de la estmacón estadístca y aparece junto a la meda de la magntud en la últma fla. Esto puede hacerse así porque sabemos que los datos de la últma columna deben representar un msmo valor obtendo en dferentes condcones. Las undades de cada magntud han sdo elegdas para que los números que fguran en cada columna sean los más sencllos posbles. B.. CRITERIOS GENERALES PARA LAS REPRESENTACIONES GRÁFICAS VARIABLES En un expermento se suele varar una magntud (varable ndependente) con el fn de observar el efecto que se produce sobre otra (varable dependente). Por conveno se representa la varable ndependente en abscsas (eje horzontal) y la varable dependente en ordenadas (eje vertcal). REPRESENTACIÓN DE LOS DATOS MEDIDOS Las representacones gráfcas deben llevar claramente ndcados los datos obtendos expermentalmente, para ello es necesaro señalarlos sobre la gráfca con un símbolo cuyo tamaño y forma permta aprecarlos (y dstngur unos de otros cuando correspondan a dferentes seres). REPRESENTACIÓN DEL COMPORTAMIENTO DE LAS MAGNITUDES Los puntos obtendos expermentalmente no son la únca nformacón que puede deducrse de un expermento, el espaco entre los puntos debe ser completado. Para ello en las representacones gráfcas hay que añadr una línea que ndque la tendenca (la ley físca) que rge el comportamento de una magntud frente a la otra. Esta línea debe tener en cuenta que los datos expermentales están afectados por errores, de los que ya hemos hablado, y que por tanto las líneas no tenen por que pasar por todos y cada uno de esos puntos expermentales. Como crtero general (el sentdo común es aplcable sempre) debemos tener en cuenta que las varables no sufren cas nunca cambos bruscos, por lo que las líneas no están compuestas nunca por segmentos rectos, las nflexones son sempre suaves, por lo que deben trazarse líneas curvas (o una únca recta) que represente el comportamento de las magntudes nvolucradas en el expermento. Cuando sea posble realzar un ajuste (como por ejemplo el de mínmos cuadrados) la línea del ajuste debe representarse sobre los datos expermentales. EJES Y ESCALAS Como ya hemos dcho los ejes tenen, por conveno, una funcón predetermnada: sobre el eje horzontal se representa la varable ndependente (la que nosotros varamos) y sobre el vertcal la varable dependente (la que nos muestra el efecto). Los ejes deben llevar claramente ndcada la magntud que representan, el ntervalo de medda y las undades en que se expresan los datos. La eleccón de los ntervalos no es arbtrara, el ntervalo representado en el eje debe concordar con el ntervalo de la medda, de manera que todos los datos fguren dentro de la gráfca y ocupen la mayor parte del área de ésta. Los ejes deben llevar ndcacones del valor de magntud a ntervalos regulares, que no tene por qué concdr con los valores de los puntos expermentales. Los ntervalos deben estar equespacados, una msma longtud de eje no puede corresponder a dos ntervalos dstntos de valores de la magntud. No es necesaro marcar el valor de todos y cada uno de los ntervalos. Págna 11

12 No es necesaro que el orgen, el punto de coordenadas (0,0) esté ncludo en la gráfca, ncluso puede llegar a ser contraproducente. PAPELES ESPECIALES En algunos casos la representacón de la gráfca puede exgr la utlzacón de un papel especal por dversos motvos: - La magntud (o magntudes) representada cubre un ntervalo muy grande o afecta a dstntas escalas (por ejemplo al medr el comportamento de un sstema respecto de la frecuenca en dstntos rangos de frecuencas desde los Hz hasta los MHz) - Se quere lnealzar una curva (por ejemplo una varacón exponencal) - Se quere representar una magntud en funcón de la dreccón en la que se mde. En los dos prmeros casos se utlzará un papel semlogarítmco o logarítmco. En el papel semlogarítmco el espacado entre dvsones en uno de los ejes es proporconal al logartmo decmal de la magntud, así el espacado entre 1 y (o entre 1 y 10) es el msmo que entre 10 y 0 (o entre 10 y 100). En el papel logarítmco esto ocurre para los dos ejes. Para el tercer caso se suele utlzar el papel polar en el que las dvsones corresponden a rados y crcunferencas en lugar de líneas horzontales y vertcales. GRÁFICOS POR ORDENADOR Con las herramentas nformátcas se faclta bastante la tarea de realzar representacones gráfcas, pero no debe olvdase que todas las normas ndcadas hasta aquí son aplcables tambén a las gráfcas realzadas con ordenador. En partcular no se debe olvdar que: - La representacón centífca se basa en pares de puntos, en los que cada uno representa una magntud (el eje de abscsas no es nunca un eje de etquetas sno de valores). - Los datos ndcan sólo el comportamento en puntos concretos y hay que ndcar (con una curva) el comportamento de las magntudes en el espaco entre los puntos expermentales. - Los puntos expermentales no deben nunca unrse por medo de segmentos. - El tamaño de la gráfca debe ser el adecuado para que la representacón sea legble. - Los ejes deben llevar sempre el nombre y las undades de la magntud que representan. B.3. EJEMPLOS Y ERRORES FRECUENTES EJEMPLOS Utlzaremos un ejemplo para mostrar los aspectos menconados en los apartados anterores. Intentaremos representar la curva de varacón del campo magnétco en nteror de un solenode. Para ello medmos la fuerza electromotrz, V, nducda en un carrete en funcón de su poscón en el solenode, X. Así, obtenemos los datos de la tabla que fgura a contnuacón: Págna 1

13 X (cm) V (mv) 10,0 f.e.m. nducda 0 9,41 1 9,41 9,4 3 8,74 4 7,39 5 5,38 6 3,36 7,0 8 1,34 V (mv) 8,0 6,0 4,0,0 0,0 0,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 x (cm) ERRORES MÁS FRECUENTES dstanca 10 dstanca 1 0, Puede tomarse esta gráfca realzada a partr de los msmos datos de la anteror como modelo de las cosas que NO deben hacerse: - No todos los puntos expermentales están representados en la fgura. - Los puntos expermentales no fguran o no se dstnguen. - Los puntos expermentales han sdo tomados con espacado aleatoro entre ellos - Los puntos están undos por líneas (segmentos) que no corresponden a un comportamento lógco de un sstema. - El espaco ocupado por los puntos expermentales dentro de la gráfca representan una parte mínma del espaco total debdo a una mala eleccón del ntervalo de representacón. - El color añaddo al fondo estorba al restar clardad a la representacón. - Los ejes X e Y tenen longtudes muy dspares. El tamaño del eje vertcal es demasado pequeño. Págna 13

14 - El título de la gráfca no da nnguna nformacón sobre lo que se pretende representar, y es redundante ya que dce lo msmo que el rótulo del eje Y. - Falta el rótulo del eje X. Faltan las undades del eje Y. - Los ntervalos entre marcas en el eje Y no están equespacados n representan ntervalos guales entre datos. - La abundanca de marcas en el eje X, y la falta de ellas en el eje Y hacen que sea mposble estmar sobre la gráfca los valores de los puntos expermentales. Págna 14