ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO 5

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1 ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Primer Semestre CAPITULO 5 DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1

2 Definición: Números Complejos Se define el conjunto de los números complejos, el cual se denota por C, como el conjunto de pares ordenados z = (x, y), con x, y R. Se provee a C de las siguientes operaciones binarias internas. Adición (+): (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Multiplicación ( ): (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Estas operaciones tienen las siguientes propiedades: 2

3 Propiedades de la adición: z, z 1, z 2, z 3 C, se tiene: C1 Conmutatividad de la adición z 1 + z 2 = z 2 + z 1 C2 Asociatividad de la adición z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 C3 Existencia del neutro aditivo 0 = (0, 0) C4 Existencia del inverso aditivo Para cada z = (x, y) C existe z = ( x, y) C tal que z + 0 = 0 + z = z z + ( z) = z + z = 0 3

4 Propiedades de la multiplicación: z, z 1, z 2, z 3 C, se tiene: C5 Conmutatividad de la multiplicación z 1 z 2 = z 2 z 1 C6 Asociatividad de la multiplicación z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3 C7 C8 Existencia del neutro multiplicativo 1 = (1, 0) Existencia del inverso multiplicativo z 1 para todo z 0 Además, se tiene: 1 z = (1, 0) (x, y) = z z z 1 = 1 C9 Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 4

5 Observaciones El inverso multiplicativo de z = (x, y) (0, 0) es z 1 = ( x x 2 + y 2, y x 2 + y 2 ) Notación: w z = wz 1. El neutro aditivo y el neutro multiplicativo son únicos. El inverso aditivo y el inverso multiplicativo son únicos. El neutro aditivo es absorvente: z (0, 0) = (0, 0), z C. El conjunto C con sus operaciones (+) y ( ) se denota (C, +, ), y constituye una estructura que se llama Cuerpo de los números complejos. 5

6 Observación. El conjunto S = {(x, 0) : x R} corresponde a la recta real, y las operaciones de C restringidas a S coinciden con la suma y multiplicación de los números reales. Por esto identificamos S con R y el complejo (x, 0) con el real x. x = (x, 0), 1 = (1, 0), 0 = (0, 0). Definiciones: Dado z = (x, y) C. Los números reales x e y se llaman Parte Real y Parte Imaginaria de z, respectivamente. En este caso se escribe Re(z) = x, Im(z) = y. Los números complejos z = (x, 0) se llaman complejos reales y los números complejos z = (0, y) se llaman imaginarios puros. El complejo, (0, 1) es la unidad imaginaria y se denota por i. 6

7 Forma binómica o algebraica Utilizando la unidad imaginaria i, el número complejo z = (x, y) se puede escribir como z = x + yi, la cual se llama forma binómica o algebraica de z. Con esta notación las operaciones de adición y multiplicación de números complejos se escriben como sigue: (+) : (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. ( ) : (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i. Además, para λ R y z = x + yi C se tiene: λ z = λx + (λy)i. 7

8 Definición. Se llama conjugado de un número complejo z = x + yi al número complejo z = x yi Propiedades. Para z, w C se tiene: Re(z) = Re(z), Im(z) = Im(z). z + z = 2Re(z), z z = 2iIm(z). z z = (Re(z)) 2 + (Im(z)) 2 R z + w = z + w. zw = z w. z = z z = x es un complejo real. z = z z = iy es un imaginario puro. 8

9 Definición. Se llama módulo de un número complejo z = x + yi al número real no negativo z = x 2 + y 2 Propiedades. Para z, w C se tiene: z 0. z = 0 si y sólo si z = 0. z + w z + w. zw = z w, z = z w w, w 0. Re(z) z, z z = z 2. Im(z) z. 9

10 Plano Complejo. Todo número complejo z = x + iy se puede representar en el plano XY por el punto (x, y). Eje imaginario y r= z z=(x,y)=x+iy De donde x = rcos(θ), y = rsen(θ). θ y r se llaman coordenadas polares de (x, y). θ x Eje real 10

11 Forma Polar o trigonométrica de un número complejo. Si r y θ son las coordenadas polares de z, entonces la forma polar de z es z = r(cos (θ) + isen(θ)) o, abreviadamente, z = r cis(θ) y=rsen( θ) z=r[cos( θ)+i sen( θ)] θ r= z x=rcos( θ) r es el módulo de z (r = z ), θ se llama argumento de z y se denota θ = arg(z). z=r[cos( θ) i sen( θ)] 11

12 Forma Polar de un número complejo. Observamos que r cis(θ) = r cis(θ + 2kπ), k Z. Por lo que arg(z) puede tomar una infinidad de valores: arg(z) = θ + 2kπ, k Z Se llama Valor Principal del Argumento del número complejo z, y se denota Arg(z), al valor del argumento que se encuentra en [ π, π]. Propiedad Si r cis(θ) = d cis(α) con r 0, entonces r = d y k Z tal que θ = α + 2kπ 12

13 Forma Polar de un número complejo. ( y Arctan x) si z I o IV cuadrante π 2 si Re(z) = 0 e Im(z) > 0 Arg(z) = ( y Arctan x) + π si z II cuadrante π 2 si Re(z) = 0 e Im(z) < 0 ( y Arctan x) π si z III cuadrante 13

14 Ejemplo: Para el número complejo z = 1 i del III cuadrante, se tiene: ( 1 ) Arg( 1 i) = Arctan 1 π = Arctan(1) π = 3π 4. De esta forma: y así arg( 1 i) = 2kπ 3π 4, k Z. 1 i = 2 cis( 3π 4 ) 14

15 Multiplicación y división en forma polar Dados dos números complejos z 1 = r 1 (cos (θ 1 ) + isen(θ 1 )) y z 2 = r 2 (cos (θ 2 ) + isen(θ 2 )), se tiene: z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos (θ 1 + θ 2 ) + isen(θ 1 + θ 2 )) z 1 z 2 = z 1 z 1 2 = r 1 r 2 (cos (θ 1 θ 2 ) + isen(θ 1 θ 2 )) Por inducción se puede demostrar que: ( n ) z 1 z 2.. z n = r 1 r 2.. r n cis θ i i=1 15

16 Definición. Potencias de números complejos. Dado un número complejo z y un número natural n se define z n de manera recursiva por: z 0 = 1, z n = z n 1 z Se define además: z n = (z 1 ) n. Teorema. Dado z = z (cos (θ) + isen(θ)) C, se tiene: ( n Z) z n = z n (cos (nθ) + isen(nθ)) 16

17 Observaciones: El teorema anterior proporciona una fórmula simple para encontrar potencias enteras de un número complejo. Del teorema se sigue que (r(cos (θ) + isen(θ))) n = r n (cos (nθ) + isen(nθ)), n N. En particular, si r = 1 entonces (cos (θ) + isen(θ)) n = cos (nθ) + isen(nθ), n N la cual se conoce como Teorema o Fórmula de De Moivre 17

18 Definición. Raíces de números complejos. Dado un número complejo z = z cis(θ) y un número natural n, se llama raíz n-ésima de z a todo número complejo w tal que w n = z. Si w = w cis(α), entonces w n = z w n cis(nα) = z cis(θ). De donde: w = z 1 n, α = θ + 2kπ n, k Z. Teorema. Todo número complejo z = z cis(θ), z 0, tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas, con módulos z 1 n y argumentos dados por: α = θ + 2kπ, k {0, 1,..., n 1}. n 18

19 Observaciones: Son particularmente importantes las raíces n-ésimas de la unidad, esto es, las raíces de z = 1. De acuerdo al teorema, con z = 1 y θ = 0, las n raíces de la unidad son: ( 2kπ ) w k = cis, k {0, 1,..., n 1}. n Notar que una de estas raíces es 1 y que todas ellas se ubican sobre la circunferencia unitaria. Sean u 1, u 2,..., u n las n raíces de la unidad, y sea w una raíz n-ésima cualquiera de un número complejo z. Entonces, las raíces de z están dadas por wu 1, wu 2,..., wu n 19

20 Ejemplos: Raíces quintas de la unidad (cos(2π/5),sen(2π/5)) (cos(4π/5),sen(4π/5)) (1,0) (cos(6π/5),sen(6π/5)) (cos(8π/5),sen(8π/5)) 20

21 Ejemplos: Raíces sextas de la unidad (cos(2π/3),sen(2π/3)) (cos(π/3),sen(π/3)) ( 1,0) (1,0) (cos(4π/3),sen(4π/3)) (cos(5π/3),sen(5π/3)) 21

22 Raíces sextas de 2 + 2i 2+2i 8 (1/12) cis(17π/24) 8 (1/12) cis(9π/24) 8 (1/12) cis(π/24) 8 (1/12) cis(25π/24) 8 (1/12) cis(33π/24) 8 (1/12) cis(41π/24) 22

23 Utilizando la definición de potencia entera m y la definición de raíz n-ésima de z, se define la potencia racional m n como sigue: ) ) o bien z m n = z m n ( ( mθ + 2kmπ ) cos n para todo k {0, 1,...n 1}. ( mθ + 2kmπ + isen n ( mθ w k = z m n cis n + 2kmπ ), n 23

24 Forma exponencial Usando la Fórmula de Euler: e iθ = cos (θ) + isen(θ), θ R. Podemos expresar un número complejo z = r(cos (θ) + isen(θ)) como: z = re iθ Ésta se llama forma exponencial de z. Gracias a los teoremas demostrados anteriormente, la forma exponencial de un número complejo satisface las siguientes propiedades: re iθ se iα = rse i(θ+α) (re iθ ) n = r n e inθ 24

25 Observaciones: Utilizando la Fórmula de Euler tenemos que: e iθ = cos (θ) + isen(θ) e iθ = cos (θ) isen(θ) Sumando y despejando cos(θ) obtenemos: cos (θ) = eiθ + e iθ 2 Restando y despejando sen(θ) obtenemos: sen(θ) = eiθ e iθ 2i 25

26 Ejemplo Dado w = rcis(θ), calcule r w w. Solución Sabemos que 1 w w = 1 r cis( θ) = r cis( θ). De aqui r w w = cis( θ) r cis( θ) = 1 r. 26

27 Ejemplo El número complejo 1 + 3i es una raíz cúbica de z. A partir de esto y usando las raíces cúbicas de la unidad, obtenga las otras 2 raíces de z y expréselas en forma binomial. Solución Se sabe que las raíces de un número complejo se pueden escribir como: w k = w 0 u k, donde u k es una raíz de la unidad. Por lo tanto, si tomamos w 0 como 1+3i podemos obtener las otras raíces multiplicando por las raíces de la unidad. 27

28 En éste caso éstas son: u 0 = cis(0), u 1 = cis( 2π 3 ), u 2 = cis( 4π 3 ). Calculando: u 0 = 1, u 1 = i, u 2 = i. Luego las dos raíces restantes de z son: y (1 + 3i)( i) = (1 + 3i)( i) = ( ( )i )i. 28