Práctico Expresar los siguientes números complejos de la forma x + iy, con x, y R: i 1 + i

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1 Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Práctico Análisis complejo - Curso 009. Expresar los siguientes números complejos de la forma x + iy, con x, y R: a)( + 3i) b)( + i)(i ) c)( + i)i( i) d)(i )( i) e)(7 + πi)(π + i) f)(i + ) i g)( + i)(i )(i + 3) h)(i + ) i) + i i j) + i i k) i + i l) i + i m) i 3 3 i n) i. Encontrar la parte real e imaginaria de ( + i) Sean α, β dos números complejos. Probar que: (a)αβ = ᾱ β (b) α + β = ᾱ + β (c) αβ = α β α + β α + β 4. Calcular el módulo de: (a) i( + i)(4 3i)( i) (b) ( 4i)(3 6i)( i) (4 i)(6 5i) 5. Sea α C, α 0. ¾Cuál es el módulo de α/ᾱ? ¾Cuánto es α? 6. Escribir los siguientes números complejos en forma polar: a) + i b) + i c) 3 d) 4i e) i f) 5i g) 7 h) i 7. Escribir los siguientes números en la forma x + iy, con x, y R: a) e 3πi b) e πi/3 c) 3e πi/4 d) πe πi/3 e) e πi/3 f) e iπ 8. Sea α C, α 0. a) Probar que existen dos números complejos distintos cuyo cuadrado es α. b) Si α = a + bi, a, b R, encontrar x, y R (en función de a y b) tales que (x + iy) = α. 9. Dibujar en el plano todos los complejos z tales que z n =, para n =, 3, 4, Sea α C, α 0, n Z +. Mostrar que existen n complejos distintos z tales que z n = α. Escribirlos en forma polar.. Calcular: i) i ii) i iii) i + iv) i 3. Encontrar todas las raíces cuartas de, i, i.

2 3. Resolver la ecuación cuadrática z + (a + bi)z + c + di = 0 (a, b, c, d R). 4. a) Encontrar todos los complejos que verican e z =. b) Si e z = e w, mostrar que existe k Z tal que z = w + kπi. 5. Simplicar + cos(φ) + cos(φ) cos(nφ). 6. Si z = cos(π/n) + i sen(π/n), demostrar que + z h + z h z (n )h = 0 para todo h no múltiplo de n. 7. Mostrar que todas las matrices de la forma ( ) a b b a a, b R combinadas mediante la adición y la multiplicación de matrices es isomorfo al cuerpo de los números complejos. 8. Probar que C = R[x] <x +>.

3 Análisis III B - Turno mañana - Trabajo Práctico Nro. Trabajo Práctico Nro. Números Complejos +i. Comprobar que 3 4i + i = 5i 5. Efectuar las operaciones indicadas: (a) ( + i3) + ( + i 3) (b) 4 ( + i) ( i )+( 5 + i) (c) i +(+i ) ( i 3).( + i 3 ) (e) (i3).(i).( i) (f) (3+i4) : (5 i) (g) (i 3 ):( i6) (h) ( i) (i) ( i) 7 3. Probar que z, w C vale que: (a) Im(iz)= Re(z) (b) Re(iz)= Im(z) (c) Re(z w) =Re(z w) zw = zw (f) iz = iz (g) z w + z w =Re(z w) =Re(z w) 4. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas para dos complejos cualesquiera z y w. (a) Re(z w) =Re(z) Re(w) (b) Re(kz) =k Re(z), k R (c) Im(z w) = Im (w z) 5. Comprobar e interpretar geométricamente (a) z + z = z + z (b) z z = z z (c) z z = z z z : z = z : z, si z 6=0 (e) z = z (f) z z = z (g) z + z =Re(z) (h) z z = i Im(z) (i) z + z z + z (j) z + z z z (k) z z z z z 6. Bajo qué condiciones puede afirmarse que es real? +z 7. (a) Mostrar que los puntos z, z y z 3 están en la misma recta si y sólo si z z es un número real. z z 3 (b) Deducir las ecuaciones de la recta: ax + by + c =0 a, b, c R, ydela circunferencia: ax + ay bx cy + d =0 a, b, c, d R, enfunción de z y z.

4 Análisis III B - Turno mañana - Trabajo Práctico Nro. 8. Determinar el módulo de cada una de las siguientes expresiones: (a) + i 5 (b) ( + i 5)( + i) ( i4) 9. Hallar una representación trigonométrica de los siguientes números complejos: (a) i (b) i3 (c) 3+i3 i 0. Encontrar el argumento principal de los números complejos del ejercicio anterior.. Expresar en forma binómica (a + ib) lossiguientesnúmeros complejos: (a) cis(3) (b) cis( 0π) 3 (c) ( 3+i) 6 notación: cis(θ) =cos(θ)+isen(θ). (a) Dar todos los valores de: (i) i (ii) ( i) 4 (iii) (43) 5 (iv) 3 (b) Representar en forma gráfica. 3. Determinar los conjuntos de números complejos cuyos diagramas se indican a continuación a) b) c) 4. Hallar y representar cada uno de los siguientes conjuntos: (a) A = {z C : z z = i}

5 Análisis III B - Turno mañana - Trabajo Práctico Nro. 3 (b) A = {z C : z /, Im(z)>/8} (c) A = {z C : Re(z) 3, Im(z) >} 5. Explique el significado geométrico de las siguientes relaciones. Represente gráficamente: (a) z z 0 <R; z z 0 >R; z z 0 = R (R >0) (b) < z < (c) π 6 <arg(z) < π 3 Re(z) > (e) z + z + = a (a >) (f) z z = z z (g) 0 <Re(iz) < (h) α < arg(z z 0 ) < β ( π < α < β π) (i) Re(z)+Im(z) < (j) z i > 4 y 0 <Im(z) < 6. Analizar la validez de las proposiciones siguientes: (a) Im(z + w) =0 = z = w (b) Re(z + w) =Re(z) = z = w (c) Im(z + w) =0 Re(z + w) =Re(z) = z = w z, w C, a,a 0,b,b 0 R : az + bw = a 0 z + b 0 w = a = a 0 b = b 0 µ (e) Re > 0 Re(z) > 0 z (f) z z = z z z (g) z = (z 6=0) z z (h) np np z k z k (i) z Re(z) + Im(z)

6 4 Análisis III B - Turno mañana - Trabajo Práctico Nro. Sucesiones y Series 7. Determinar el término general de cada una de las siguientes sucesiones reales: (a), 3, 5, 7,... (b), 4, 6, 8,... (c) 9, 7, 8, 43,...,, 3,, 5, 4,... (e), 6, 3, 4, 5,... (f), 0, 4, 0,, 0, Analizar si las sucesiones del ejercicio anterior son monótonas y si son acotadas. 9. Analizar la convergencia de las siguientes sucesiones reales: (a) a n =3 (b) a n =( ) n 5 (c) a n = n + n n n a n = n (e) a n = sen(n) n3 + (f) a n = n n n! (g) a n = (h) a n =( ) n n (i) a n = n a (n +)! n + n + b n, a b 0 (j) a n =cos(nπ) (k) a n = sen( nπ ) (l) a n n = nk, k N n 0. Hallar,siexiste,ellímite de las siguientes sucesiones de números complejos: (a) z n = n n + ir, r R (b) z n = n n + i3 in (c) z n = ni n n + z n = µ n ( + i) n³ + i n + í (e) zn = i n (f) z n = (g) z n =(cost + i sen t) n, t R. Setomaunahojadepapelde30cmdelargopor0cmdeanchoy0.05mmde espesor. Calcular el área. Ahora se dobla la hoja por la mitad. Calcular el área y el espesor. Si se dobla la hoja 0 veces, cuál sería elárea y cuál el espesor?. Sea P n el perímetro de un polígono regular de n lados inscripto en una circunferencia de radio R, calcular limp n. n 3. Calcular las N primeras sumas parciales de las siguientes series reales: µ (a) k, N=3 (b) k +, N=3 k +3 (c) µ k ( ) 3 k, N=4 k k, N=4 4. Determinar, si es posible, cuáles de las series del ejercicio 3 son divergentes, utilizando la condición necesaria de convergencia. 5. Analizar la convergencia de las siguientes series reales utilizando el criterio de comparación: +cos(k) (a) (b) (c) k (k +)k + k k k=0 n

7 Análisis III B - Turno mañana - Trabajo Práctico Nro Determinar, si es posible, mediante el criterio de D Alambert si las siguientes series reales convergen: 3 k k! 4k + 5 k (a) (b) (c) k k 00 k 3 k (k +)! 7. Analizar la convergencia de las siguientes series reales mediante el criterio de Cauchy: k+ k k µ k +k (k ) k (a) (b) (c) k k 0 k k k k=0 k=0 8. Determinar el carácter de las siguientes series reales alternadas: (a) ( ) k (b) ( ) k cos(kπ) (c) k +3 3 k k ( ) k k 6 k 9. Analizar cuáles de las series del ejercicio anterior son absolutamente convergentes y cuáles condicionalmente convergentes. 30. Determinar el carácter de las siguientes series reales: k k (a) (b) (c) 4k 3 k 3 +k+ k 3 k k! k k (e) k + (f) (ln(k +)) k P 3. Estudiarlaconvergenciadelaserie a n cuyo término general es: (a) a n = n + n + (e) a n = n= (b) a n = n (c) a n = n a n = µ n µ n (f) a n =sen 3n + n (g) a n = rn n! n n r>0 3. En un cuadrado de lado a seunenlospuntosmediosdesusladosyseobtiene un nuevo cuadrado. En este segundo cuadrado se unen los puntos medios de los lados y se obtiene un tercer cuadrado. Así se continua indefinidamente. Cuál es la suma de las áreas de los infinitos cuadrados? 33. Determinar para qué valores de a la serie: a+ a +a + a + converge, ( + a) y en ese caso cuál es su suma. 34. Una pelota se deja caer desde cierta altura h, luego rebota y sube 3/4 h yasí indefinidamente. Determinar la distancia total recorrida por la pelota, si la altura inicial es de 4 m. µ n 3n n +

8 6 Análisis III B - Turno mañana - Trabajo Práctico Nro. 35. Analizar la convergencia absoluta y condicional de las siguientes series complejas: n ( + i) n (a) (b) cis(n) (c) 3 n n n=0 n=0 n= n= cis(nθ) n (e) i n n n=0 (f) n= cis(nθ) n

9 Trabajo Práctico N o : Números Complejos Facultad de Ingeniería - UNCo Álgebra y Geometría II o cuatrimestre 008. Escribir en forma binómica y representar en el plano los siguientes números complejos: (3, 0) (, 3) (0, ) (, 3). Resolver: a) (3 + i) + ( 5i) b) ( 3 5i) ( i) c) ( i).( 3i) 3. Resolver: a) 3 + i i b) d) ( + 3i) 3 + i 3 i c) e) 5 + i 3 i 7 + 6i i i 3 + 3i + i 4. Escribir en forma binómica el resultado de las siguientes expresiones: a) (z z ) + z 3.z 4 siendo z = i, z = + 3i, z 3 = i, z 4 = + 3i b) z + z z 3 siendo z = + i, z = + i, z 3 = 3i 5. Demostrar: a) El conjugado del opuesto de un número complejo es igual al opuesto del conjugado. b) El conjugado de la diferencia de dos complejos es igual a la diferencia de los conjugados. c) z = z e) z = z Im(z) = 0 d) z z = Im(z)i 6. Calcular módulo y argumento de los siguientes complejos: ( + i) ( i) ( + 4i) ( ) ( 3i) ( 4i) 7. Expresar los siguientes números complejos en forma binómica: a) 3 (cos 35o + i sen 35 o ) c) b) 3 4 (cos 60o + i sen 60 o ) 0 o 8. Sean: z = 3 30 o z = 50 o z 3 = 5 0 o a) Llevar a la forma binómica y representar geométricamente. f ) z = z Re(z) = 0 b) Calcular: z + z 3 z 9. Llevar a la forma trigonométrica, resolver y representar gráficamente: a) ( + 3i).(3 + 3i) c) + 3i 3i b) ( + i) 3 d) ( 6 + 3i).( + 3i) ( 3i).( + 3i)

10 Álgebra y Geometría II - Trabajo Práctico N o 0. Utilizando la fórmula de De Moivre: a) Demostrar: ) sen α = sen α. cos α ) cos α = cos α sen α b) Realizar las siguientes operaciones: ) ( + i) 47. Calcular: a) 5 ) ( 3 i) 00 3) c) o 3 i 3 + i [ ] + i 6 i e) 4 3i b) + 3i d) 3 i f ) 3 8. Hallar analíticamente los valores de z C que verifican las siguientes condiciones: a) ( + 3i)z ( + i) = 3i e) z + z = z3 ; z = b) z ( i)z + (3 + i) = 0 c) z 3 = z; z 0 f ) z = 0 g) z z + = 6 d) z + 5 = 4z 3. a) Calcular las raíces de la unidad de orden,3,4,5,6. h) z i + z 4i = 8 b) Indicar cuáles de los siguientes complejos son raíces de la unidad y de que orden son: ) cos π 4 + i sen π 4 ) cos 8 π + i sen 8 π 4) 3 i 3) cos 3π + i sen 5) i 3π 4. Expresar en forma exponencial los siguientes números complejos: z = 3 + 4i z = 6 60 o z 3 = 3(cos 30 o + i sen 30 o ) 5. Demostrar que: a) e ix.e iy = e i(x+y) c) z z = ρ ρ ei(α α ) b) z.z = ρ.ρ.e i(α+α ) d) z n = ρ n e inα 6. Representar en el plano complejo el conjunto de todos los z C que verifican cada una de las siguientes relaciones: a) Re(z) = 3 b) Im(z) < 4 c) Re(z ) = 0 d) π 4 < arg(z) 3 4 π e) Im(z) y 0 arg(z) < π f ) z > 9 g) z i h) z 3 + i 4 y Re(z) <

11 Álgebra y Geometría II - Trabajo Práctico N o 3 7. Indicar el conjunto de los números complejos que representan las regiones señaladas: a). e). b). f ). c). g). d). h).