(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) (a,b) (c,d) = (ac bd,ad+cb) (a,b) = a+bi. (0,1) (0,1) = ( 1,0) i i = 1 i 2 = 1
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- Julio Gustavo Ojeda Rojo
- hace 6 años
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1 Capítulo 4 Números Complejos Sean (a,b),(c,d) R R, se define la suma y multiplicación como sigue (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) (a,b) (c,d) = (ac bd,ad+cb) por ejemplo tenemos (0,1) (0,1) = ( , ) = ( 1,0) Notación: Emplearemos la notación (a,b) = a+bi llamada forma binomial de número complejo, además tenemos los acuerdos habituales, es decir, (1,1) = 1+1i = 1+i (0,1) = 0+1i = i ( 1,0) = 1+0i = 1 Reescribiendo el ejemplo anterior tenemos (0,1) (0,1) = ( 1,0) i i = 1 i = 1 Propiedad El conjunto R con la suma y multiplicación definida anteriormente es un cuerpo, llamado el cuerpo de los números complejos y se denota por C. De otro modo, sean z,u,w R, entonces se cumple I Suma. a) (z +u)+w = z +(u+w). b) z +0 = 0+z = z. c) z +( z) = 0, donde z = z 1 +( z )i, con z = z 1 +z i. d) z +w = w +z 96
2 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 97 II Multiplicación. a) (zu)w = z(uw). b) 1z = z1 = z. c) Si z = z 1 +z i 0, entonces zw = 1, donde d) zw = wz w = z 1 z 1 +z z i. z1 +z III Distributividad. z(u+w) = zu+zw, Ejemplo 95 Simplificar (1 + i)(1 3i) (1+i)(1 3i) = 1(1 3i)+i(1 3i) = 1 3i+i 6i = 1 3i+i+6 = 7 i. Ejemplo 96 Simplificar (3 5i) (3 5i) = 9 30i+5i = 9 30i 5 = 16 30i Ejemplo 97 Simplificar (a+bi) Ejemplo 98 Calcular (1 i) 1 (a+bi) = (a+bi)(a+bi) (1 i) 1 = = a +abi+bai+bibi = a +abi+b i = a b +abi 1 (1) +( ) (1) +( ) i = i = i Ejercicio 99 Comprobar que (3 5i) 3 = i
3 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 98 Ecuación de Primer Grado La ecuación de primer grado a C,b C Por ejemplo tenemos az = b z = a 1 b Ejemplo 100 Resolver: (z +3i)+i(1 3z) = 5i. Solución: (z +3i)+i(1 3z) = 5i z +6i+1i 3zi = 5i z 3zi+6i+i = 5i ( 3i)z = i z = ( 3i) 1 ( i) ( z = ( i) ) 13 i z = i Ejemplo 101 Resolver: (1+i)(z +3i)+( i)(4+z) = 5+i. Solución: (1+i)(z +3i)+( i)(4+z) = 5+i z +3i+iz 3+8+z 4i iz = 5+i 4z i+iz +5 = 5+i (4+i)z = 3i z = 3i ( ) 17 i z = i Observación: Tenga presente que, resolver una ecuación de primer grado, le permite resolver sistema de ecuaciones lineales como por ejemplo Ejemplo 10 Resolver el siguiente sistema z iw = 3 iz w = i
4 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 99 Solución: Usaremos el método de sustitución. En la primera ecuación tenemos que z = 1 (3+iw) reemplazando en la segunda ecuación tenemos i 1 (3+iw) w = i 3 i 1 w w = i 3 i 5 w = i w = 1 5 i Reemplazando en la ecuación que hemos despejado tenemos z = 1 (3+i 15 ) i luego la solución es z = 7 5 Ejemplo 103 Resolver el siguiente sistema w = 1 5 i, z = 7 5 (+i)z +(1 i)w = 9+i (1+i)z +( i)w = 4+i Solución: Usaremos el método de sustitución. En la primera ecuación tenemos que (+i)z +(1 i)w = (9+i) Reemplazando en la segunda ecuación (+i)z = (9+i) (1 i)w ( z = 5 1 ) 5 i [(9+i) (1 i)w] ( 19 z = 5 7 ) 5 i + ( ) i w (1+i)z +( i)w = 4+i [( 19 (1+i) 5 7 ) 5 i + ( ) ] i w +( i)w = 4+i [ i 7 5 w + 1 ] 5 iw +( i)w = 4+i [33+31i 7w +iw]+5( i)w = 5(4+i) ( 17 4i)w = (0+10i) (33+31i) w = ( 17 4i) 1 ( 13 1i) w = 1+i
5 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 100 Reemplazando en la ecuación que hemos despejado tenemos ( 19 z = 5 7 ) 5 i + ( ) i w z = 1 5 (19 7i)+ 1 5 ( 1+3i)(1+i) z = 1 5 [(19 7i)+( 1+3i)(1+i)] z = 1 (15 5i) = 3 i 5 luego la solución es Ecuación de Segundo Grado w = 1+i, z = 3 i 1 er Etapa Consideremos sea z = a+bi, entonces z = 1+i, (a+bi) = 1+i a +abi+b i = 1+i a b +abi = 1+i. Entonces a b = 1 ab =. Como ab 0, luego a 0 b 0, por tanto de la segunda igualdad obtenemos a = 1 b, reemplazando en la primera igualdad se obtiene que de donde deducimos que por lo cual se obtiene que b = 1+ 5, b = ± 1+ 5, a = ±. 5 1
6 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 101 Finalmente se obtiene que 5 1 z = ± + i z = ± + i Caso General Si z = x+yi, y se tiene que z = a+bi, entonces a a z = ± +b +a +b +sg(b) a i Ejemplo 104 Resolver z = 3 4i Solución: Notemos que a = 3 y b = 4, luego sg(b) = sg( 4) = 1 (3) +( 4) +3 (3) +( 4) 3 z = ± i luego [ 5+3 z = ± = ±[ i] da Etapa Consideremos la siguiente ecuación ] [ ] i = ± i z +z +1+i = 0, z +z +1+i = 0 z +z = 1 i z +z +1 = 1 i+1 (z +1) = i [ 1 z +1 = ± z = 1± ] 1 i [ 1 1 i ]
7 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 10 luego Caso General Consideremos la ecuación z +(a+bi)z +(c+di) = 0, z +(a+bi)z +(c+di) = 0 ( ( )) ( ) a+bi a+bi z + = (c+di) ( ( )) ( ) ( ) a+bi a b ab z + = c + 4 d i Haciendo el cambio de variables w = z + ( ) a+bi tenemos ( ) ( ) a w b ab = c + 4 d i w = u+vi con u = a b c y v = ab d es decir 4 u u +v w 0 = +u +v +sg(v) u ( ) ( Donde u +v a = b c 4 + ab d) Así tenemos la solución dada por: ( ) a+bi z + = ±w 0 ( ) a+bi z = ±w 0. i Ejemplo 105 Resolver la siguiente ecuación Solución: Completando cuadrado tenemos z +(1 i)z (+4i) = 0. z +(1 i)z (+4i) = 0 ( z + 1 ) (1 i) 1 4 (1 i) (+4i) = 0 ( z + 1 (1 i) ) = i
8 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 103 Realizando el cambio de variable w = i luego w = w = w = (5 4 ) +3 + ( ) ( ) ) 13 +( ( sg(3) 169 ( ) ) i = (5 i i ) +3 ( ) 5 4 i w = 3 +i luego la ecuación tiene la solución ( z + 1 (1 i) ) = i z + 1 (1 i) = ± ( 3 +i ) z = 1 (1 i)± ( 3 +i ) o z 1 = 1 (1 i)+ ( 3 +i ) z 1 = 1+i z = z = 1 (1 i) ( 3 +i ) Ejemplo 106 Resolver la siguiente ecuación z +(1 i)z +(+4i) = 0. Solución: Resolvamos directamente Sea w = = (1 i) 4(+4i) = 11 0i es decir, w 0 = ± i w 0 = ± i
9 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 104 así tenemos que z = Ejemplo 107 Resolver la siguiente ecuación ] (1 i)±[ i iz +( 3i)z +(5i 1) = 0. Solución: Resolvamos directamente Sea w = = ( 3i) 4i(5i 1) = 15 8i es decir, w 0 = ± i w 0 = ± i [ ] w 0 = ± i w 0 = ±[4 i] Así tenemos que o bien z = ( 3i)±(4 i) i z = +3i z = 1 i Definición 1 Sea z = a+bi C donde a,b R 1) La parte real de a+bi es el número a, y lo denotamos por Re(z) = Re(a+bi) = a. ) La parte imaginaria de a+bi es el número b, el que denotamos por: Im(z) = Im(a+bi) = b. 3) El conjugado de a+bi es el número a bi, y se denota por: z = a+bi = a bi. 4) Elmódulo o norma de a+bi es el número a +b, y se denota por z = a +b.
10 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 105 Propiedad 3 Sean z,w C, entonces: 1. z +w = z +w.. z w = z w. 3. ( ) z w = z. w 4. z +z = Re(z). 5. z z = Im(z) i. 6. z z = z. 7. z w = z w. 8. z w = z, con w 0. w 9. z +w z + w. 10. z w z w. Ejemplo 108 Simplificar Solución: Z = (1 i)+ 1 3i (1+i) Z = (1 i)+ 1 3i (1+i) = 1+i+ 10 ( i 1+ ) 10 = 1+ i ( 1+ ) 10 = 1 i Observación: Ahora si, veremos un interpretación del módulo, para ellos sea z = a+bi, 1. z es el par ordenado (a,b), luego el módulo de z es la distancia desde el origen al punto (a,b).. Sea z = a+bi, luego tenemos el siguiente esquema b z α a
11 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 106 Recordando que cat ady a) cos(α) =. hip Lo que es equivalente a decir: cos(α) = Re(z). z cat op b) sen(α) =. hip Lo que es equivalente a: sen(α) = Im(z). z Forma Polar de un Complejo: La forma polar de un complejo z = a+bi esta dada por: z = z cos(α) +( z sen(α))i = z [cosα + isenα]. Notación: cos(α) + isen(α) = cis(α) Ejemplo 109 Transformar a su forma polar 1. z = i = i cis(π/) = cis(π/).. z = 3cis(π/4) = 3cos(π/4)+3isen(π/4) = i. Ejemplo 110 Calcular en forma polar 1. cisα = cosα+isenα = cos α+sen α = 1.. (cisα) 1 = cis( α). Propiedades: Consideremos z = z cis(α),w = w cis(β) C, entonces se cumple 1. z w = z w cis(α+β).. z : w = z cis(α β), con w 0. w 3. z n = z n cis(nα), n N. Observación: Recordemos alguna identidades trigonometrías básicas 1. cos(α±β) = cosαcosβ senαsenβ.. sen(α±β) = senαcosβ ±senβcosα. 3. cos(α) = cos( α).
12 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS sen( α) = sen(α). 5. cos(α+kπ) = cos(α). v sen(α+kπ) = sen(α), k Z Demostración: La multiplicación compleja en forma binomial Luego Además notemos que (cisα) (cisβ) = (cosα+isenα)(cosβ +isenβ) = cosαcosβ cosαsenβ +isenαcosβ isenβsenα = [cosαcosβ senαsenβ]+i[cosαsenβ +senαcosβ] = cos(α+β)+isen(α+β) = cis(α+β). z w = z cis(α) w cis(β) = z w cis(α)cis(β) = zw cis(α+β) cis(α) = cosα+isenα = cosα isenα = cos( α)+isen( α) = cis( α) Ejemplo 111 Calcular (1 i) 50. z w = z cis(α) w cis(β) 1 = z cis(α) w cis(β) 1 = z w cis(α)cis( β) = z cis(α β) w Solución: Reescribiendo en forma polar el número complejo tenemos 1 i = cis( π/4),
13 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 108 Aplicando la propiedad Ejemplo 11 Simplificar (1 i) 50 = ( ( ) 50π ) 50 cis 4 ( ) 5π = () 5 cis = () 5 cis( (π/+1π)) = () 5 cis(π/) = () 5 [0+i] = 5 i. A = (1+i)0( 3+i ) 18 ( 3i+1 ) 4 Solución: Transformando a la forma polar tenemos que Propiedades de la raíz n-ésima: Sea w C, n N, entonces: A = (1+i)0( 3+i ) 18 ( 3i+1 ) 4 ( ( cis π )) 0 ( ( 4 cis π 18 A = ( ( 6)) cis π 4 3)) A = 10 cis ( ) 0π 4 18 cis ( ) 18π 6 4 cis ( ) 4π 3 ( 0π A = 4 cis π 6 4π ) 3 A = 4 cis(5π +3π 8π) = 4 cis(0) = 4. z n = w = w cis(α), tiene n soluciones y son z k = ( ) α+kπ n w cis, k J n 1. n Encontrar las soluciones de la ecuación z = i = cis(π/), Solución: Aplicando la propiedad tenemos z k = ( π 1cis +kπ ), k {0,1},
14 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 109 de donde Y De donde z 0 = z 1. Ejemplo 113 Resolver ( ) π/+0 z 0 1cis = cis(π/4) = +i. z 1 = ( ) π/+π 1cis = cis(5π/4) = i. z 4 = (1 i)0( 3 i ) 15 ( 1 3i ) Guía Ejercicios 1. Expresar los siguientes complejos en la forma cartesiana a + bi a) (+3i)+( 1 i) b) ( 1+i)(3 i) c) (1+i)(1 i) d) 1 i 1 e) 1 i 3 i f) + i g) 11 i 11+i 1+i h) 1+i + 1 i 1 i ( 1 i) ( 1+i 3) j) 1 1+i i ) 5
15 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 110 k) 1 i 1+i l) i 13 i 9 ( 1 m) ( 1+i 3) ( ) 9 3 i n) 1+i 3 ñ) ( 1+i) 15 o) 1+ri r +(r 1)i, ) 5 con r R. Resolver las siguientes ecuaciones a) iz = 3 i, Respuesta : z = 1 3 i b) (1+i)z = 1+i, Respuesta : z = i c) (1 i)(z +i) = +i, Respuesta : z = i d) ( 3i)(z +i)+(1 i)(z 1+i) = 1+4i, Respuesta : z = 5 31 i e) 1 ( i)( 1 z +5i) + 3 (1 i)( 1 z +1 3i) = 1+4i, Respuesta : z = i Resolver los siguientes sistema a) b) c) d) e) z +iw = 3 iz +w = i (+i)z +iw = 4 (1 i)z +w = 1+i (1+i)z +(i 1)w = 1+i ( i)z +(+3i)w = 4+i, Respuesta : w = 1 5 i,z = 7 5 (1+i)z +(i 1)w = 9+4i (+3i)z +(1 3i)w = 7+4i (1 i)z +(3 i)w = 7 14i ( i)z +(1 3i)w = 3 14i, Respuesta : z = i,w = i, Respuesta : z = 5+i,w = 4i, Respuesta : w = +3i,z = 1+i,, Respuesta : z = i,w = 3 i 4. Determinar todos los complejos tales que satisfacen a) z = 3 4i, Respuesta son : z 1 = +i,z = i b) z = 8 6i, Respuesta son : z 1 = 1+3i,z = 1 3i c) z =, Respuesta son : z 1 = i,z = i d) z +z +8 = 0, Respuesta son : z 1 = 1+i 7,z = 1 i 7
16 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS Hallar los conjugados de a) 1 i +i Respuesta : 0 b) 1 i +i Respuesta : i c) 1+i +i +i Respuesta : 3 i d) 1+i+i +...+i 1 Respuesta : 1 1 i e) (1+i)( i)(1+i) Respuesta : 1 +7i 6. Hallar los módulo en los siguientes casos: a) 1 Respuesta: 1 b) 1 i Respuesta : c) 1 i Respuesta : 3 d) i 17 Respuesta : 1 e) i Respuesta : 1 i f) 1 i Respuesta : 3 3 g) i Respuesta : 1 h) 1 i i Respuesta : 1 1 i +i [ 1 ( ) ] i) i 3 Respuesta : Expresar los siguientes complejos en la forma polar r cis(α) a) 1 b) 1 i c) 3 i d) i 13 i 8 e) 4+5i 8. Completar las siguientes Afirmaciones a) z = (1+i) entonces Re(z) =... b) z = (+3i)(1+i) entonces Im(z) =... c) z = (1+i) 1 i entonces Im(z) =...
17 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 11 d) z = (1+i) 1 i entonces Re(z) =... e) (3+i)z = (1+i) entonces la forma binomial de z =... f) (3+i)z = (4+i) entonces la forma binomial de z =... g) 1+(3+i)z +z = 0 entonces las soluciones en forma binomial son z 1 =...z =... h) z +(1+3i)z +i = 0 entonces las soluciones en forma binomial son 9. Resolver los siguientes sistemas z 1 =...z =... a) b) c) d) e) f) z +(+i)w = 1+i iz +(1+i)w = 1 i iz +3w = 1+i z +(1 i)w = 1 (1+i)z +iw = 1+i iz +(1+i)w = 1 i iz +w = +1 iz +(1+i)w = 1 i 3z +( i)w = 1+i iz +(1+i)w = 1 i iz +3w = 1+i z +(1 i)w = Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) z iz +6 = 0 b) z 3z +iz 6i = 0 c) z z 5iz 8+i = 0 d) z 4z +6iz 5 10i = 0 e) 6z 5z +16iz 7 6i = 0
18 CAPÍTULO 4. NÚMEROS COMPLEJOS 113 f) (7+i)z +(16i 3)z 7 6i = Resolver la ecuación z n = w en cada caso a) w = i n = 4 b) w = 1+i n = 6 c) w = 1+ 3i n = 5 d) w = 1 3i n = 8 e) w = 3 i n = 6 f) w = 1+i 3 i n = 8 1. Sea n un número natural. Calcular a) b) n i k k=0 n i k k=0 13. Determinar el conjunto solución de la ecuación z 6 = (1+i)4 ( 3+i) 15 ( 3+3i) z 5 = (1+i)7 ( 3 i) 15 (3 3i) z 5 = (1 i)7 ( 3 i) 15 (3+3i) 8 (z i) 3 = (i 1)10 (1+ 3i) 15 ( 3 i) Hallar z C (en formar polar) tal que 17. Hallar z C (en formar polar) tal que 4(i z ) = (1+i) 4 iz 3 +(1 i) i = i (1+i) 18. Sean z,w C. Demostrar que si z + w y zw son números reales entonces z y w son números reales
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