x i P(X = x i ) k q k 1 p = p/(1 q) 2 = 1/p

Transcripción

1 TEMA 2 { el de la realdad que queremos entender, o sus metáforas, Recordar: los dos planos en los que trabajamos el de las defncones con las que construmos nuestros modelos. Empecemos por el prmero: 2.1. La dea ntutva y EJEMPLOS de ella. Una varable aleatora (v.a.) será cualquer cantdad cuyo valor dependa del resultado de nuestro expermento aleatoro : el número D de puntos que salen al trar el dado (equlbrado o no), con valores posbles 1,..., 6; el número T de veces que habremos de trarlo hasta que salga un ses, que puede ser cualquer entero postvo; el suceso T = consste en que salen 1 números dstntos del ses segudos de un ses ; de modo que P(T = ) = (5/6) 1 (1/6). Decmos que T tene dstrbucón geométrca de parámetro p = 1/6 (que es la probabldad del éxto buscado en cada trada); el tempo T que deberé esperar en la parada hasta que pase el autobús; podemos decdr medrlo en mnutos o segundos enteros, para que tenga los msmos valores posbles que la anteror, pero lo natural es admtr cualquer real postvo como valor (como al hablar de cualquer otra cantdad contnua, aunque en la práctca sempre trabajamos con precsón lmtada); la dferenca prncpal con los ejemplos prevos: no está nada claro en este caso qué modelo de probabldad adoptar...; el número X de estrellas fugaces que observaré en los próxmos 5 mn (de una noche que estoy dedcando a eso); en este caso, como veremos pronto, sí hay un modelo natural y bastante realsta; el número R que produzca la tecla RAN o rand de m calculadora, y que será cualquer x [0, 1], todos con gual probabldad. Una dea ya conocda(??): La meda de una lsta de valores observados, tenendo en cuenta la frecuenca f de cada valor x, es x f /( f ) = x p donde las p = f /( f ) son las frecuencas relatvas (proporcones dentro del total de datos), se llama una meda ponderada, con esas frecuencas relatvas como pesos (pondus, -ers). La metáfora es el centro de gravedad de masas p colocadas en los puntos x, que se calcula gual. Como las probabldades p = P(X = x ) son las frecuencas relatvas que esperamos s repetmos el expermento muchas veces, x p es la meda que esperamos para los valores observados. A esa meda de los valores de una v.a. X, ponderados con sus probabldades, le llamaremos su esperanza o valor esperado, que para el caso de valores aslados puede escrbrse así 1 : E(X) = x P(X = x ) Veamos cuál es para la geométrca T, con valores = 1, 2,... y pesos p = P(T = ) = q 1 p, donde q = 1 p: como x = 1/(1 x) tene dervada x 1 = 1/(1 x) 2, q 1 p = p/(1 q) 2 = 1/p Es decr: en meda, habrá que trar el dado equlbrado 6 veces hasta que salga un ses (sorpresa??). S lo pensamos de otro modo, esto es nevtable: en una larguísma sere de N tradas esperamos aproxmadamente N/6 seses; pero cada vez que sale un ses empezamos a repetr el expermento, de modo que hubo m N/6 repetcones, cada vez con un número aleatoro T de tradas; la suma de esos valores es el total N de tradas realzadas, luego la meda de los valores T observados es N/m 6. 1 Para las varables contnuas como R necestaremos una ntegral en lugar de la suma. 1

2 y ahora pongamos las defncones: S tenemos un espaco de probabldad (Ω, F, P), una varable aleatora dscreta defnda sobre él es una funcón X : Ω R que tome sólo una cantdad numerable 2 de valores, y tal que cada X = x sea un suceso, es decr, cada subconjunto {ω Ω : X(ω) = x} esté en F; su funcón de masa es la p X : R [0, 1] dada por p X (x) = P(X = x); su esperanza o valor esperado es 3 la suma E(X) = x p X (x). x X(Ω) PROPOSICION: S X, Y son v.a. dscretas sobre el msmo espaco de P, tambén lo son las G = g X para cada funcón g : R R, S = X + Y, y además E(G) = g(x) p X (x), E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). x X(Ω) Prueba: (esquema) Tanto la magen g(x(ω)) de G como la de X +Y son numerables por serlo las X(Ω), Y (Ω). Los sucesos A = {X = x } para x X(Ω) forman una partcón de Ω, y cada conjunto {G = z} es unón dsjunta (numerable) de los A tales que g(x ) = z, lo que prueba que G es una v.a. y permte deducr la fórmula para E(G). Los conjuntos {X + Y = s} son tambén unones dsjuntas (numerables) de nterseccones D j = A B j, donde B j es el suceso {Y = y j }, y se cumple que P(X = x ) = j P(D j), lo que permte ver que E(X + Y ) =,j (x + y j )P(D j ) se parte en los dos sumandos E(X) + E(Y ). TAREA: desarrollar esta prueba hasta el nvel de detalle que cada uno neceste para entender que no queda nnguna duda. Aunque Ω depende del asunto en que la v.a. se presente, usaremos en los ejemplos sguentes esta IDEA: dados números p, J que cumplan J p = 1 y valores x R, donde J es un conjunto numerable de índces, podemos tomar como espaco de probabldad Ω = J con P({}) = p, de modo que X() = x es una v.a. dscreta con funcón de masa p X (x ) = p (p X = 0 en los demás x R) Ejemplos de varables aleatoras: Como se tene 1/( + 1) = 1, hay una v.a. X que toma valores enteros 1 con probabldades p X () = 1/( + 1). Pero al tratar de hallar E(X) sale. En tal caso decmos que la esperanza de X no está defnda; sólo la consderamos defnda s la suma converge absolutamente, que es lo que garantza el poderla manpular (reordenar, como se hzo en la Prueba anteror) sn que cambe de valor 4. { 1 en A, Indcatrces. S A es un suceso, su ndcatrz es la v.a. χ A = 0 en A c que tene E(χ A ) = P(A)., Por ejemplo en el caso de las estrellas fugaces y para cada mlsegundo t = 1, 2,... a partr de un nstante ncal, podemos llamar F t a la v.a. que toma valor 1 s justo en ese nstante aparece una estrella, valor 0 s no. Es razonable tomar como modelo el que esas posbles aparcones sean ndependentes y que todas ellas tengan una msma probabldad p, muy pequeña. Bnomal. El número X de estrellas que aparezcan en los n prmeros mlsegundos será la suma X = n F t t=1 y como los sucesos F t = 1 son ndependentes, se tendrá P(X = ) = ( n ) p (1 p) n. Los valores posbles de X son = 0, 1,..., n, y el que las p X () suman 1 se deduce del desarrollo bnomal 1 = (p + q) n = n ( n ) p q n y por eso se dce que X tene dstrbucón Bnomal de parámetros n, p. Se puede tambén deducr de aquí que E(X) = np, pero es mucho mejor deducrlo del hecho del que hemos partdo en el ejemplo: X es suma de n ndcatrces de sucesos, cada uno con probabldad p. El que sean sucesos ndependentes es esencal para tener esas p X (), pero no para la E(X). 2 Usaremos numerable para abrevar fnta o nfnta numerable. 3 Bajo la condcón que se explca más abajo. 4 No hay ese pelgro s todos los valores son postvos; por eso suele decrse que E(X) = en casos como el de este ejemplo.

3 El álbum de cromos. Este ejemplo (nevtable en un curso de Probabldad) srve ahora para nsstr en la dea anteror y repasar la Geométrca: s hay que reunr n cromos dstntos y el que recbo cada vez es con gual probabldad (p = 1/n) cualquera de ellos, m probabldad de éxto=recbr un cromo nuevo cuando ya tengo dstntos es p = 1 /n. El número T de cromos que compraré hasta consegurlo tene por lo tanto E(T ) = 1/p = n/(n ), y el número total hasta completar la coleccón es T = n 1 T, con E(T ) = n 1 n/(n ) = n n 1/j. (Recordemos de paso que n j=1 1/j log n, o mejor aún, n+1/2 1/2 j=1 (1/x)dx = log(2n + 1).) Una pregunta que podemos hacernos es: con qué probabldad serán dferentes los prmeros cromos. Esto equvale exactamente (s gnoramos los años bsestos) a preguntar: la probabldad de que entre las personas que hay en la sala no haya 2 cuyos cumpleaños concdan. APUESTEN: Cuántos se magnan que harían falta para que esa probabldad sea < 1/2? RESPUESTA: Tene que ser < 1/2 el producto p 0 p 1 = (1 p)(1 2p) (1 ( 1)p) exp( p ( 1)p) = 1/ exp(p( 1)/2). S tomamos n = 365 = 1/p, la aproxmacón da 23 para que cumpla p( 1)/2 > log 2; pero (!!) el cálculo exacto tambén. Esto lustra lo buena que es esa aproxmacón. P osson λ 5. Es la dstrbucón de una v.a. X que tome valores = 0, 1, 2,... con probabldades p X () = e λ λ /!, donde λ es un parámetro > 0. S λ = np con p muy pequeño y n grande, y para mucho menores que n, p (1 p) n e λ λ /! ( porque n ) p (np) /!, (1 p) n (1 p) n exp( np). Por ejemplo, en el caso de las estrellas: s queremos que n mlseg sean 5 mn, tenemos n = y un p MUY pequeño, por lo que sólo valores << n son de nterés (n en la noche más densa en meteortos veremos más de uno por segundo durante 5 mn), con lo que la aproxmacón de Posson a la Bnomal es MUY buena. Pero nada mpde tomar µseg en lugar de mseg: el producto λ = np será el msmo y la aproxmacón aún mejor... Conclusón: P osson λ es exactamente la dstrbucón de X (según el modelo adoptado). Bnomal N egatva. Es la dstrbucón de una v.a. X que toma valores = n, n + 1,... con probabldades p X () = ( 1 n 1) p n (1 p) n. Para ver que esos números suman 1, dervar n 1 veces esta gualdad: (1 x) 1 = x 1 (n 1)! (1 x) n = ( 1)( 2) ( n + 1)x n y deducr que 1 = p n (1 q) n =... TAREA: completarlo y verfcar que p X () es la probabldad de hacer exactamente ntentos hasta consegur los prmeros n éxtos. Observar tambén que el caso n = 1 de nuestra X es la Geométrca; y el caso general es la suma de n Geométrcas, luego E(X) = n/p. =n 5 Sméon Dens Posson (Pthvers, 21 de juno de Sceaux, 25 de abrl de 1840), fue un físco y matemátco francés al que se le conoce por sus dferentes trabajos sobre electrcdad, geometría dferencal y teoría de probabldades.

4 GRAFICOS. En los sguentes vemos las funcones de masa de varas Bnomales(n, p). El valor de p es 1/6 (el de cada cara de un dado equlbrado), y n sube desde 1 (en cuyo caso se trata de una ndcatrz, por ejemplo la del suceso sacar un 5 al trar un dado ) hasta n = 24; en ese caso, el gráfco ncluye la correspondente P osson λ, con λ = np = 4, para que veamos cuán parecdos son los valores, aun sn que p = 1/6 sea muy pequeño. En cada caso se ve en el gráfco dónde está el centro de gravedad E(X) de la dstrbucón. Un detalle a observar: el valor más probable en los casos n = 10, n = 16, no es el más cercano a la meda, sno el anteror. Eso es consecuenca de la asmetría de la dstrbucón: la larga cola del lado derecho hace que haya menos masa a ese lado que a la zquerda de la meda. n = 1, p = 1/6 n = 10, p = 1/6 n = 16, p = 1/6 n = 24, p = 1/6 las * son valores de Posson 4 Las que vemos ahora son Bnomales Negatvas con p = 1/6, empezando con el caso n = 1, que es la Geométrca p y que corresponde por ejemplo a la varable T = número de tradas de un dado equlbrado hasta que salga un 5. Se ve aquí lo msmo que en el caso de las Bnomales, pero más exagerado: aunque E(T ) = 6, su valor más probable es T = 1. n = 1, p = 1/6

5 n = 2, p = 1/6 Esa asmetría persste al crecer n, pero va dsmnuyendo: la varable T 4 = número de tradas de un dado equlbrado hasta que salga por 4 a vez el 5 tene E(T 4 ) = 4/p = 24, aunque su valor más probable es T 4 = 18. n = 4, p = 1/ Varanza. Una pregunta que sugeren estos gráfcos: Cuán dspersos están los datos, es decr, cuán lejos de su meda podemos esperar encontrarlos? Por razones profundas, la medda de dspersón favorta es ésta: Se defne la varanza var(x) como la E ( (X µ) 2), donde µ = E(X). Observacones:... s esa esperanza está defnda, claro; en todo caso, var(x) mde el cuadrado de la dspersón: var(cx) = c 2 var(x); por eso: var(x) = σx 2 ; pero naturalmente es nvarante por traslacones: var(a + X) = var(x). Para hallarla: var(x) = E ( (X µ) 2) = E(X 2 ) 2µE(X) + E(µ 2 ) = E(X 2 ) µ 2... = E(X 2 X) + µ µ 2. Ejemplos: La razón de esa extravagante versón fnal es que al tratar de hallar la E(X 2 ), la esperanza que sale a veces es la de la varable X 2 X = X(X 1), como se ve en los sguentes Bnomal: dervando dos veces n (1 + x) n = x n(n 1)(1 + x) n 2 x 2 = n ( 1)x y susttuyendo x = p/q, E(X 2 X) = n ( 1) (p/q) q n = n(n 1)(1 + p/q) n 2 (p/q) 2 q n = n(n 1)p 2 y usando E(X) = np, var(x) = E(X 2 X) + np (np) 2 = n(p 2 p) = npq. Posson λ : llamando = j + 1, y llamando = j + 2, E(X) = E(X 2 X) = =2 λ λ e! = λ j=0 λ λ ( 1) e! = λ2 λ λj e j! = λ j=0 λ λj e j! = λ2 de donde var(x) = E(X 2 X) + λ λ 2 = λ. Se pueden usar trucos parecdos para la Geométrca y la Bnomal Negatva, pero lo aplazamos hasta tener una herramenta que resume y smplfca todos ellos: la funcón generatrz de probabldad.

6 DEFINICIONES: 2.5. Varables aleatoras contnuas. Cómo hacer todo esto para una dstrbucón como la Unforme (0,1) (la del número rand)? Para cualquer varable aleatora X, su funcón de dstrbucón es la F X : R [0, 1] dada por F X (x) = P(X x). Ver cómo son las de: los puntos D del dado; la Geométrca 1/6 ; la Unf (0,1) ;... TAREA: Probar que 1 F X () = (1 p) para la Geométrca p y cada entero 0. Llamamos a X una varable aleatora contnua s F X (x) = x f X(x) dx para una funcón f X que llamaremos entonces la densdad de probabldad de X. Ejemplos: las de la Unf (a,b), la Exponencal c ce cx para x > 0 y la Normal 0,1 cte e x2 /2. Para una v.a. contnua, defnmos: E(X) = x f X(x) dx Ejemplos: Unf (0,1) : E(X) = 1 0 x dx = 1/2, var(x) = E(X2 ) E(X) 2 = 1/3 1/4 = 1/12. Exponencal c : E(X) = x ce cx dx = 1/c, var(x) = E(X 2 ) E(X) 2 = 2/c 2 1/c 2 = 1/c 2. 0 Observacones: La defncón general de qué es una varable aleatora está mplícta en la de F X : cada {X x} Ω debe ser un suceso, para que esté defnda su probabldad F X (x) y su esperanza está defnda s converge la ntegral que la defne. En ese caso, los dos productos x F X ( x), x (1 F X (x)), tenen límte 0 cuando x, e ntegrando por partes se llega a una forma unfcada de escrbr la E(X) para todo tpo de v.a.s, s está defnda: E(X) = 0 F X(x) dx + 0 (1 F X(x)) dx. Hay otra forma de nterpretar la relacón que lustra la fgura entre F X y la E(X): usar en la ntegral E(X) el cambo de varable u = F X (x) (0, 1), du = f X (x) dx para obtener E(X) = 1 x(u) du (*) 0 donde x(u) es F 1 s esa nversa exste, pero puede ser defnda del modo sguente en el caso de que F sea constante sobre algún ntervalo: x(u) = mín{x : F X (x) u} (el conjunto {x : F X (x) u} contene a su nf por ser F X contnua a la derecha). La gráfca de x(u) es la de F X con los ejes ntercambados y la zona rayada en la fgura es la clásca representacón de lo que su ntegral calcula. Lo bueno es que esa defncón de x(u), con sus consecuencas, se extende sn cambos al caso de una varable dscreta X: cada valor x(u) = se toma en ese caso sobre un ntervalo que mde p X () y la ntegral (*) concde exactamente con la suma que defnía la E(X) en el caso dscreto. La fgura análoga a la que vemos arrba (ver pg. sguente) lustrará lo que afrma el Ejemplo A), Hoja 2, s X toma sólo valores enteros no negatvos: en ese caso, la defncón de E(X) calcula el área rayada por encma de la gráfca de F como una suma de áreas de rectángulos horzontales y la fórmula dada en ese ejemplo la calcula como la suma de rectángulos vertcales (de base = 1) E(X) = 0 (1 F X(x)) dx = P(X > ). Un ejemplo: para una X Geom p es P(X > ) = q, luego E(X) = q = 1/(1 p), como ya sabíamos. Lo que en el fondo hacemos con la fórmula x(u) es defnr sobre el espaco muestral Ω = (0, 1), con P = longtud, una varable aleatora que tene exactamente la msma dstrbucón F X que la X dada, y expresar drectamente su esperanza como una ntegral sobre Ω. Por eso x(u) da tambén respuesta al apartado d. del Ejemplo C), Hoja 2: es la fórmula que transforma la U = rand en una X con F X dada.

7 Ejemplos: Ejemplo: 2.6. Dstrbucón condconada, esperanza condconada y partcones. Ya hemos vsto que suponendo B, el resto del espaco Ω desaparece, y la probabldad de cada suceso se converte en la P(A B) = P(A B)/P(B). Eso produce una dstrbucón condconada de cada v.a. X : Ω R, y su correspondente esperanza condconada E(X B) = E(X χ B )/P(B), que en el caso de una X dscreta se puede expresar como: E(X B) = x x P(X = x B). S T es una Geométrca p, pero sabemos que ocurre B = T > m para un certo entero m > 0, la dstrbucón de T se converte en P(T = m + B) = P(T = m + )/q m = pq 1 para m + > m y su esperanza en E(T B) = >0 (m + ) P(T = m + B) = m + 1/p. Nótese que la dstrbucón de T m, supuesto T > m es déntca a la de T. Eso se llama la propedad de ausenca de memora (el dado no recuerda que por ejemplo el 5 lleva m tradas sn salr) y caracterza a la Geométrca (ver Ej. 3 en Hoja 2). Exactamente el msmo fenómeno sucede con una X Exponencal c s la condconamos a X > b para un b > 0; y de nuevo esa es la únca dstrbucón contnua que se transmte a X b (para cada b > 0) bajo esa condcón. Supongamos ahora que tras haberse trado el dado equlbrado T veces hasta salr un 5 sabemos que ocurre B = T es par. Es fácl ver que la dstrbucón condconada es la de 2X con X Geométrca 1 q 2, y que E(T B) = E(2X) = 72/11, mentras que la condconada a B c es la de 2X 1, con E(T B c ) = E(2X 1) = 61/11. Y naturalmente E(T ) = 6 es la meda ponderada de ambas: 6 = E(T B) P(B) + E(T B c ) P(B c ). Este últmo no es más que un ejemplo de la gualdad general sguente: s los B son una partcón de Ω, χ B = 1 X = X χ B E(X) = E(X χ B ) = E(X B ) P(B ) (*) que suele ser muy útl (s las esperanzas condconadas son más fácles de deducr que la total). Qué número de veces esperamos trar el dado hasta que salgan dos 5 segudos? Podemos escrbr el número X de tradas necesaro como X = T + R, donde T = número de tradas hasta que salga el prmer 5, R= número restante de tradas, y el problema se reduce a hallar E(R), ya que T es Geométrca con E(T ) = 1/p, donde p = P( 5 ). Pero s llamamos B al suceso en la trada T + 1 sale un 5, está claro que se tene E(R B) = 1, E(R B c ) = 1 + E(X), puesto que s no sale un 5 en esa trada, volvemos a empezar desde cero. De la ecuacón E(X) = E(T ) + E(R B) P(B) + E(R B) P(B c ) = p + (1 + E(X))(1 p) p resulta: p E(X) = 1/p + 1, E(X) = 1/p 2 + 1/p. Podríamos haber razonado ntutvamente así: el resultado del expermento serán N secuencas termnadas en un prmer 5 segudo de otra trada, que sólo en la últma de esas secuencas será otro 5 ; como esto últmo ocurre con probabldad p, el valor esperado de N es 1/p, y ya sabemos que el tamaño esperado de cada una de esas secuencas es 1/p + 1; en total esperamos E(N)(1/p + 1) = (1/p + 1)/p tradas. Es legítma esta manera de razonar y operar, sumando un número esperado de valores esperados? La gualdad (*) permte probar que sí, usando como partcón los valores de N (ver ejercco en Hoja 3).

8 2.7. V.a.s ndependentes y la varanza de su suma. Supongamos dos v.a.s X, Y defndas sobre el msmo espaco de probabldad; dcho de otro modo: cuyos valores resultan de un msmo expermento. Queremos una defncón que recoja la dea ntutva sguente: No hay nnguna relacón entre el valor que tome la varable X y el que tome la varable Y DEFINICION: X, Y son ndependentes s para cada x, y R son ndependentes los sucesos {X x}, {Y y}. En general, las v.a.s X 1,..., X n son ndependentes s lo son los {X x } para cualesquera x R. Comentaros: Recordemos que la famla de sucesos B que son ndependentes de un suceso dado A es cerrada por complementaros: junto con B contene tambén a B c, unones dsjuntas, ya sean fntas o nfntas numerables. Pero esas dos operacones permten obtener cada ntervalo (a, b] R (fnto o no) a partr de los ntervalos (, x], cada ntervalo aberto como una unón numerable de ntervalos (a, b], cada aberto como una unón numerable de ntervalos abertos, cada cerrado como complemento de un aberto, en partcular cada ntervalo cerrado... En consecuenca, la defncón dada equvale realmente a: cualquer suceso defndo por el valor de X es ndependente de cualquera defndo por el valor de Y. Según esa defncón son ndependentes las ndcatrces de los sucesos B s y sólo s lo son ellos. En partcular esto nos recuerda que la ndependenca no es transtva, y que puede haber famlas de v.a.s que no sean ndependentes aunque lo sean dos a dos. El caso rutnaro de v.a.s ndependentes son las que resultan de dferentes etapas de un expermento, sn nfluenca entre ellas, como las ndcatrces de éxto cuya suma es la Bnomal número de éxtos en n ntentos, o como los tempos de espera T Geom p cuya suma es una Bnomal Negatva. PROPOSICION: S X, Y son v.a.s ndependentes: () var(x + Y ) = var(x) + var(y ); () E(XY ) = E(X)E(Y ) y en general E ( f(x)g(y ) ) = E ( f(x) ) E ( g(y ) ) para funcones f, g : R R. Y lo msmo para una famla X de v.a.s ndependentes. Ejemplo de que la gualdad var(x + Y ) = var(x) + var(y ) en general no se cumple: Y = cx. En cambo, los sumandos de una X Bnomal n,p, cada uno con varanza pq, son ndependentes y por eso var(x) = npq. De gual modo, la varanza de una Bnomal Negatva n,p será n veces la de la Geom p. Prueba de la Proposcón: Hacemos ahora la de () sólo para el caso de dos v.a.s dscretas X, Y. S los valores de X, Y son respectvamente {x }, {y j }, la partcón de Ω en los sucesos D j = {X = x } {Y = y j }, que son nterseccones de sucesos ndependentes, permte escrbr E ( f(x)g(y ) ) = f(x )g(y j )P(D j ) = ( ) ( ) f(x ) g(y j )p X (x )p Y (y j ) = f(x )p X (x ) g(y j )p Y (y j ) j j j Basta desarrollar var(x + Y ) = E ( (X + Y ) 2) E(X + Y ) 2 para ver que () () Funcones generatrces de probabldad. Muchos de los cálculos con seres que hemos usado para v.a.s con valores enteros no negatvos se pueden reducr a las propedades de la funcón generatrz de probabldad de X, defnda así: G X (s) = p X ()s. PROPOSICION: () G X (1) = 1, G X (1) = E(X), G X (1) = E(X2 X), luego: var(x) = G X (1) + G X (1) G X (1)2. () G X+Y (s) = G X (s)g Y (s) s X, Y son ndependentes. () S las v.a...d. X son ndependentes de la v.a. N con valores enteros 0, la suma S = N =1 X tene: G S (s) = G N (G X (s)), con G X la de cada X. Ejemplos: Las de la Bnomal, Posson y Geométrca son respectvamente n q n p s = (q + ps) n λ λ, e s = e λ(s 1),! pq 1 s = ps 1 qs luego sus varanzas son: npq, λ, q/p 2. Prueba: La de () es nmedata s la sere tene rado de convergenca ρ > 1, como en los ejemplos que preceden. (S no, se tene por lo menos que p X() = 1 ρ 1, pero haría falta el Lema de Abel s ρ = 1...) Para () basta observar que P(X +Y = n) = n p X()p Y (n ) es el coefcente de s n en G X (s)g Y (s); de () se deduce () condconando al valor de N.