LA ECUACIÓN DE GOMPERTZ COMO MODELO DE CRECIMIENTO

Transcripción

1 LA ECUACIÓN DE GOMPERTZ COMO MODELO DE CRECIMIENTO Ana María Islas Cors Insuo Polécnco Naconal, ESIT Gabrl Gullén Bunda Insuo Polécnco Naconal, ESIME-Azcapozalco Yolanda Monoya Vargas Insuo Polécnco Naconal, ESIT Rsumn S sudó la drmnacón numérca d los rs parámros dl modlo Gomprz basado n la dsrbucón d Wbull, usando su ransormacón lnal obnda a ravés d rs punos d apoyo. La bondad d ajus numérco s sgncava al 99% d conanza sadísca, ambén s analza una modcaccón dl msmo modlo. Los daos usados n s sudo corrspondn al pso d bulbos d cbolla n uncón dl mpo d crcmno. Palabras clav: Bulbos d cbolla, modlo d Gomprz, modlos d crcmno Una d las suacons más rcun n l análss sadísco s qu los daos provngan d obsrvacons o rspusas conocdas y qu dpndn d un conjuno d valors, jos o aloros. Una orma d modlar sa rlacón s a ravés d un modlo d rgrsón d la orma: y, ε,,,...,n. Dond,,..., n,, s una, s un vcor uncón conocda,,... p Ejmplar 5. Julo-dcmbr d 6

2 d parámros p-dmnsonal dsconocdo y rprsna los rrors xprmnals [Mongomry, ]. En muchas suacons, l modlo d rgrsón lnal () s adcuado para modlar la rlacón nr la varabl rspusa y y las covarabls :,..., En algunos casos dond no hay rlacón lnal nr las varabls rspusa y y rgrsoras [Larson, 4], como s l caso d un modlo xponncal d asínoa máxma, qu cumpl la cuacón drncal sgun: d,, d,, Aplcando l méodo d sparacón d varabls ngrando, s llga a:,, 4 Aplcando l númro d npr a ambos lados d la cuacón, y rducndo, s n:,, 5 O ambén, l caso dl modlo d Gomprz d dos parámros [Toldo, 6], qu cumpl la cuacón drncal abajo ndcada: d d 6 Aplcando l méodo d sparacón d varabls, ngrando: y y 7 Aplcando l númro d npr a ambos lados d la cuacón, y rducndo, s obn: 8 Una modcacón dl modlo anror, s la cuacón d Gomprz para rs parámros [Toldo, 6], qu cumpl: d d a 9 Mdan l méodo d sparacón d varabls ngrando: a Fnalmn, aplcando l númro d npr a ambos lados d la cuacón, y rducndo: a Los modlos no lnals (5), (8) y () con una ransormacón d las varabls s pud lnalzar la rlacón. El modlo d Gomprz d bas n la dsrbucón d Wrbull El modlo d Gomprz basado n la dsrbucón d Wbull [Raosy, 98], cumpl la xprsón:, Su ransormacón lnal s posbl usando rs punos d apoyo lídos sobr la curva [Gullén, 4]. Dos d los punos sán próxmos a los xrmos d la msma. Ejmplar 5. Julo-dcmbr d 6

3 P, y,,. Como cada puno sá sobr la curva, l rcr puno, su abscsa s l puno mdo d las dos abscsas anrors, y su corrspondn ordnada s lída drcamn dl gráco. El valor asnóco dl modlo d Gomprz, s: y y y y y y Fnalmn, dsponndo d s parámro s posbl la ransormacón lnal dl modlo no lnal sñalado, xprsándos d la sgun orma:, 4 D dond s dsprnd qu los parámros y dl modlo n sudo corrspondn a la pndn nrsccón al j d la orma lnal sñalada n la lína supror: m; b 5 Ora orma d ajusar l modlo arrba sñalado, s usar una modcacón [Gullén, 4] como s ndca a connuacón:, xp 6 Como n l caso anror, s rquró drmnar prvamn l valor asnóco, como sñala (), para obnr la ransormacón lnal dl modlo no lnal modcado, s dcr:, 7 la pndn nrsccón al j d la orma lnal sñalada n (7), s dcr: m xp, b 8 Sn duda alguna, ambos modlos d crcmno conducn a ajuss xclns a curvas d crcmno. Pso d los bulbos d cbolla n uncón dl mpo d crcmno Los valors d la abla corrspondn al pso sco d los bulbos d cbolla n uncón dl mpo d crcmno [Raosy, 98]. Tabla.- Daos d pso d bulbos d cbolla n uncón dl mpo d crcmno. Tmpo d crcmno Pso dl bulbo d cbolla D dond s dsprnd qu los parámros dl modlo modcado corrspondn a y Ejmplar 5. Julo-dcmbr d 6

4 En la gura s lusran los daos d la abla anror, los cuals dscrbn una sgmod a la qu s ajusó l modlo d Gomprz Fgura.- Gráca d dsprsón d los daos d pso sco dl bulbo d cbolla n uncón dl mpo d crcmno. basado n la dsrbucón d Wbull () xpuso n ancdns, así como una modcacón dl msmo (6). a (). Los punos lídos sobr la curva uron los sguns:,5, P 5,7 y P 8,55 P Por nd: Enoncs, l valor d s: Ahora, s posbl aplcar rgrsón smpl a la xprsón (4) usando los daos d la abla, dond sus parámros rsularon: R *.98 En la gura s obsrva la bondad d ajus qu rsuló sgncava al 95% d conanza sadísca. Fgura.- Transormacón dl modlo d Gomprz basada n la dsrbucón d Wbull. Ajus d las cuacons d Gomprz como modlos d crcmno Prvo al ajus dl modlo d Gomprz y l modcado dl msmo nombr, s prcso drmnar l valor d la asínoa, d acurdo Susuyndo los valors d la rca anror n la xprsón (5) s obnn los parámros y :.56;.7997 Enoncs, susuyndo () y () n la xprsón () s llga al modlo numércounconal: , La bondad dl ajus dl modlo obndo sobr los daos n sudo s sgncava al 99% d conanza sadísca, d acurdo a los valors dl cocn d corrlacón y ch cuadrada. r , Ejmplar 5. Julo-dcmbr d 6 4

5 En la gura s musra l nvl d ajus alcanzado con l modlo d crcmno () aplcado a los daos n sudo. Con la naldad d mjorar l nvl d ajus numérco anror, s modcó l modlo d acurdo a la xprsón (6). El valor d la asínoa s l msmo qu n l caso dl modlo anror. Fgura.- Bondad d ajus dl modlo d Gomprz basada n la dsrbucón d Wbull aplcada a daos d pso dl bulbo sco d cbolla n uncón dl mpo d crcmno. Enoncs, los parámros d la ransormacón lnal dl modlo d Gomprz modcado uron: m.56, b.7997 y r Es dcr, rsuló una rca sgncava al 95% d conanza sadísca. Susuyndo los parámros (5) n (8) conduc a los valors d: ,.56 6 Por lo ano, al susur () y (6) n la cuacón modcada (6) s obuvo: 7, La bondad dl ajus dl modlo modcado s sgncava al 99% d conanza sadísca, d acurdo como al cocn d corrlacón y ch cuadrada. r , Conclusons χ El prsn sudo s obuvo un ajus d crcmno usando l modlo d Gomprz y un modlo modcado dl msmo nombr. El valor asnóco d los daos d pso d bulbo sco d cbolla n uncón d mpo d crcmno s drmnó mdan rs punos d apoyo. La bondad d ajus numérco d ambos modlos u sgncava al 99% d conanza sadísca. Rrncas Mongomry, D. C. al. (). Inroduccón al análss d rgrsón lnal, Prmra dcón n spañol, CECSA. Larson, R. & Edwards, B. (4). Cálculo, omo I, CENGAGE Larnng, Décma Edcón. Toldo, G. (6). Ajus d daos xprmnals d procsos rmnavos mdan l mplo d modlos no srucurados, Tss d Lcncaura, Faculad d Ingnría Químca, Unvrsdad Mchoacana d San Ncolás d Hdalgo, Morla, Mchoacán, pp. -. Raosy, D. A. (98). Nonlnar Rgrsson Modlng. Marcl Dr, Nw Yor. Gullén, G., al. (4). La modlzacón d la curva obnda n l nsayo d sorcón d odo n bras d polésr d uso xl. ConacoS 54, p. 8. Ejmplar 5. Julo-dcmbr d 6 5