INTRODUCCIÓN AL TRATAMIENTO DE SERIES TEMPORALES MEDIANTE FILTROS

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1 INTRODUCCIÓN AL TRATAMIENTO DE SERIES TEMPORALES MEDIANTE FILTROS DOCTORADO EN MODELIZACIÓN ECONÓMICA APLICADA I. L. R. KLEIN. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE MADRID Jlán Moral Cardo Dror Trabajo Invsgaón Jlán Pérz Gonzaléz Madrd, Spmbr.

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3 A ms padrs y hrmanos y a la prsona más spal q onozo.

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5 Sn lgar a ddas l xprsar agradmno s na d las aras más ompljas q xsn, más aún ando s raa d ronor a las prsonas q d na manra ora han prmdo la lmnaón d s rabajo d nvsgaón. La mayor dflad rada n nsra propa naralza, drmnar q par d nosoros, d nsra propa prsonaldad o nlo s adqrda, y por ano lgada al sfrzo y ddaón d ora prsona, no s na labor fál y por lo ano, mnos aún l podr ronorlo y agradrlo, no obsan, s no s l lgar n l momno adado para nar na dsraón al rspo. En spal qro xprsar m agradmno a D. Jlán Pérz Garía, dror d s rabajo d nvsgaón, por s assoramno y olaboraón n l ompljo ampo dl análss spral, pro an odo, qro darl las graas por s amsad y por la pana q ha mosrado on l aor. Asmsmo qro dar las graas a odos los mmbros dl Inso L.R. Kln por s olaboraón dra ndra y por har posbl n ambn dóno para la ralzaón d s rabajo. A m famla, por nma d odo, graas.

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7 INDICE Págna.-INTRODUCCION.-SERIES TEMPORALES DESDE EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA..- Fnons pródas..- La ransformada d Forr.3.- Drmnaón d las proddads olas :análss dl prodograma...- La ransformada d Forr para srs apródas y prosos soásos saonaros..5.- Algnas propdads d la ransformada d Forr.6.- Enla nr los analss n l domno dl mpo y d la frna..7.-el aso mlvaran. Cospro y spro d adrara FILTRADO DE SERIES 3..- Los flros n l domno dl mpo 3..- Los flros n l domno d la frna 3...-El polnomo d rardos n l domno d la frna Algnos pos d flros dals 3..- Fnon d ganana y fnon d dsfas Inrodon al dsño d flros Flros para la ndna El flro d Hodr-Prso Flro d Hndrson para la ndna Flros para la saonaldad Flros lo-ndna Flros para la smaon dl lo.-estimacion DE LOS COMPONENTES SUACENTES ASADA EN MODELOS UCARIMA CONCLUSIONES 3 ANEXO REFERENCIAS IILIOGRÁFICAS

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9 Inrodón al raamno d srs mdan flros.-introduccion A psar d q n Eonomía ar d sndo onsdrar q los hhos s rpn sramn, s s ro q n mhas maromagnds s obsrvan d manra rrrn fass d alraón a las q sgn fass d onraón y vvrsa, sa ssón d alraons-onraons s asoa radonalmn a la da d n fnómno ílo. Tal y omo xpon l Inso Naonal d Esadísa INE n s pblaón Ssma d Indadors Cílos d la Eonomía Española: las onomías d mrado xprmnan flaons n los rmos d rmno d n onjno amplo y dvrso d magnds: prodón, mplo, pros, onsmo, nvrsón,,.tals oslaons son rrrns y ssmáas anq on parons varabls d ampld y draón.esos fnómnos s dnomnan los onómos. D sa dfnón, drvada d los ponros rabajos d rns y Mhll n l Naonal ra of Eonom Rsarh NER, s xran nmdaamn dos ararísas básas n l sdo dl lo onómo: la varabldad n la volón dl lo y la xsna d flaons n n amplo onjno d ndadors o omovmnos. Esa úlma ararísa s la q rsla más nrsan dsd l pno d vsa d la Toría Eonóma, xsndo n amplío númro d nvsgaons sobr la ararzaón y xplaón d las flaons nr varabls. Una rvsón paral d los msmos dsd na prspva hsóra pd onslars n Zarnowz 99, Zarnowz 996 ó Kydlan 995, nr oros. En l sdo d las flaons radonalmn s han mplado dos nfoqs omplmnaros, no mnnmn mprsa o dsrpvo n l q s and prnpalmn al sdo d las ararísas ílas: númro d los, draón oal, draón d las fass d alraón, orrlaons nr varabls, rlaons d adlano-rraso lad and lag,. y d ora par n nfoq óro, n l q s sda la habldad d n onjno d prors óros, plasmados n rlaons y modlos mamáos, n la rplaón d flaons ílas y omovmnos obsrvados. En s rabajo prsarmos spal anón al prmro d los nfoqs, y d manra más onra a la problmáa drvada d la smaón dl omponn ílo, paso nldbl n la ararzaón íla d alqr varabl. La nsdad d smar l omponn ílo, s ndava dl modlo q sbya n l raamno q darmos a s ma. La hpóss d los omponns sbyans HCS an onoda, s l pno d parda n l análss ílo, sabléndos n onjno d énas, más o mnos ompljas, on l objvo d dsngr-smar ada no d los omponns. En Url 995 pdn nonrars la dsrpón d algnos d los méodos radonals d dsomposón d srs, y n Fshr 995 n brv rpaso a la hsora d los méodos d dsomposón, así omo na nrsan omparaón y dsrpón d los dfrns prodmnos lzados por Erosa n la dssaonalzaón d srs mporals. Oras rfrnas n las q s rpasa s ma son: Hyllbrg 99 y ll y Hllmr 99, anq al sr n ma raado on asddad dsd ha mho mpo, xsn mhos oros rabajos sobr La HCS xpon q na sr mporal pd dsomponrs n odos o algno d los sgns lmnos: Tndna T, Clo C, Esaonaldad E Irrglardad I.

10 Inrodón al raamno d srs mdan flros sa mara y rara s la pblaón q vrs sobr Srs Tmporals q no onnga algna rfrna al rspo. En l aso parlar d s rabajo d nvsgaón, s prsna na nrodón al raamno d srs mporals dsd l domno d la frna, ponndo spal énfass n la problmáa d la aplaón d flros para la xraón d la sñal íla. Las rfrnas básas n l Análss Espral son Prsly98, Grangr y Haanaa 96, Fshman 969 y loomfld 976; Hammng 983 y Proas y Manolas 998 proporonan na vsón ompla y asbl sobr las ararísas y propdads d los flros. Qls 997, Maravall 98,986,987,988, 989, ll y Hllmr 99, Hllmr y Tao 98, Gómz y Maravall 998, raan spalmn sobr la aplaón d flros n la dsomposón d srs mporals y las ararísas d los modlos UCARIMA Componns nobsrvados n modlos ARIMA xprsados n forma rdda.

11 Inrodón al raamno d srs mdan flros 3.- LAS SERIES TEMPORALES DESDE EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA En l análss onómo normalmn rabajamos on magnds q han sdo obsrvadas a lo largo dl mpo on na proddad drmnada, gnéramn dnoadas omo, así, dsponmos d srs d arár plranal, anal, rmsral, mnsal,. En odo aso la rfrna a la varabl mpo s palpabl. La novdad q nrod l análss dsd l domno d la frna s obsrvar dha sr rfrnada a la frna y no rfrnada al mpo. La bas q nos prm s po d análss s haya n la rprsnaón d srs mporals a ravés d srs d Forr. Prvamn a la nrodón d la ransformaón d Forr darmos n brv rpaso al onpo y naralza d las fnons pródas...-funciones PERIÓDICAS Drmos q s na sr próda d príodo T ; T > s los valors d dha sr s rpn ransrrdo T, s dr s s mpl: T Las fnons ípas q sasfan dha propdad son las rgonoméras sno, osno,, s más, son las formas más smpls a parr d las als podmos onsrr alqr fnón próda, o dho d manra alrnava, alqr fnón próda no s más q na ombnaón d fnons sno y osno Prsly 98. La forma fnonal más smpl d na fnón próda n por xprsón na drvaón d na fnón rgonoméra osno: π Aos θ T Dond T s l príodo o nrvalo d mpo q ransrr nr rpón d los valors, A s la ampld y θ s la fas dsfas o dsplazamno n l orgn rspo al valor, n l aso d na fnón osno dfndo n radans.

12 Inrodón al raamno d srs mdan flros π GRAFICO..: Rprsnaón gráfa d os 5,5,5 -,5 - -,5 A T Es po d fnons d fnons qdan prfamn dfndas a ravés d la ampld, príodo o frna y fas. Es po d srs, on n omporamno pródo an laro, no s sln obsrvar habalmn, nlso podría pnsars q dfílmn xsn n Eonomía, no obsan, ha d noars q ombnaons lnals d varas fnons pródas smpls sln xhbr omporamnos no an laramn pródos, spalmn ando l príodo msral d q s dspon s nfror al príodo más alo xsn n dha sr. GRAFICO..: Sma d fnons pródas D manra nvrsa, n mhas oasons va a sr posbl, dada na sr mporal aproxmarla mdan la agrgaón d omponns pródos sno-osno d dsnas frnas, ada no d los als ndrá amplds y fass dfrns y por lo ano dsna onrbón n la dsomposón d la sr. Drmnar las onrbons d las dsnas frnas n la dsomposón d na sr s l objvo dl análss spral, éna ya bas s halla n la ransformaón d Forr d na sr mporal. A onnaón prsnarmos na sr d dndads q nos srán d ldad n l rso dl domno. S nmos n na la dndad rgonoméra:

13 Inrodón al raamno d srs mdan flros 5 Podmos xprsar: os r os r os sn r sn o bn: Aos θ Aos os θ Asn sn θ a os bsn... xprsón n la q s han ssdo la ampld y fas por nas onsans a y b, a ravés d: a Aosθ y b Asnθ. Dado q la ampld A s na andad no ngava y nndo n na: sn a os a, nmos: a b A os θ A sn θ A os θ sn θ por ano, podmos drmnar la ampld d la fnón próda a ravés d: A a b La fas s drmnaría sgún la xprsón loomfld, 976: A θ aran b / a, a > aran b / a π ; sa < yb aran b / a, sa < yb π /, sa yb > π /, sa yb < arbraro, sa yb > Ora po d xprsón q dbmos nr n na, dado q sl smplfar los állos, s la orrspondn a las fnons hprbólas basadas n la ransformaón d Elr: ± ϕ osϕ ± sn ϕ A parr d lla, nmos: y ö bn, dado q *- osϕ snϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

14 Inrodón al raamno d srs mdan flros 6 sn ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Por lo ano podmos xprsar la aón.. d la sgn manra: b a b a b a b a b a sn os O bn, andndo a la formla alrnava dl érmno sno: b a b a b a b a b a b a b a sn os Nós q b a y b a son númros ompljos onjgados. En rsmn nmos las sgns xprsons qvalns: os θ π T A os θ A sn os b a b a b a b a b a.....-la TRANSFORMADA DE FOURIER Como hmos apnado, na ombnaón d fnons rgonoméra smpls sno, osno da lgar a ora fnón próda. S onsdramos na ombnaón nfna d fnons sno-osno ndríamos lo q s ono omo na sr d Forr:

15 Inrodón al raamno d srs mdan flros 7 n a os n b n a sn n n Los ofns a y b s dnomnan ofns d Forr. Cando n nmos n omponn sno-osno d príodo llamado fndamnal,ando n, nmos n omponn sno-osno d prodo gal a la mad dl fndamnal llamado prmr armóno, y así ssvamn. S posmos na msra dsra d N daos, la xprsón anror rd s smaoro hasa N/ s N s par dado q los daos sán obsrvados d manra dsra, no s posbl dsngr omponns d príodo nfror al príodo d msro, n ampoo aqllos d prodo spror al dl amaño d la msra, por llo l smaoro s xnd dsd hasa N/, qdando la xprsón anror ómo: a an os n bn sn n n Los valors n drmnan nas frnas orrspondns a la sgn πn xprsón:, n,...,, así s n nmos n omponn d príodo N, s N n nmos n omponn d príodo N/,, ando nmos nn/ l omponn s d prodo n s aso qval a na ssón dl po a*-^a, -a, a, -a,.. Los ofns d Forr,a y b, pdn drmnars a ravés d las xprsons: N N aˆ aˆ n os N N N N ˆ n sn aˆ N b N / N os π Con πn ; n,...,, N/ s N s par y N-/ s N s mpar N En gnral, y lzando la noaón omplja vsa ans, la ransformada d Forr d na sr próda d príodo N y dsra on,,,.,n, s dfn ómo: Dónd N.. N πp ; p ±,..., ±, N/ s N s par y N-/ s N s mpar N

16 Inrodón al raamno d srs mdan flros 8 Como podmos noar n la xprsón.. l sbínd q afa al lado zqrdo d la aón s na frna, mnras q n l lado drho l sbínd s l mpo. En érmnos poo sros podríamos dr q hmos pasado d analzar la sr n l domno dl mpo a analzarla n l domno d la frna. Para volvr al domno dl mpo la xprsón a lzar s: Dónd.. πp ; p ±,..., ±, N/ s N s par y N-/ s N s mpar N A la xprsón.. s l dnomna ransformada nvrsa d Forr, y nos prm, parndo dl domno d la frna, rprar na sr mporal a parr d s spfaón frnal. A modo d jmplo spongamos q dsamos drmnar la rasformada d Forr d na sr mporal próda d príodo T l dfnda ómo: dónd π w. T l Aos w θ S obsrvamos la aón..: Tal y omo s pd aprar, l smaoro s xnd dsd hasa, o alrnavamn nr -π y π omo pd vrs por smpl ssón, por lo q aparn, para na msma frna, los érmnos y.dado q la sr s ral, nsaramn y han d sr númros ompljos onjgados. Sgún habíamos sñalado ans, n la xprsón.. aparn érmnos onjgados para na msma frna, y, sos érmnos, son prsamn los ofns q s spfan n.. y orrspondn on los ofns d la ransformaón d Forr para na sr próda q xhb xlsvamn n omponn pródo d prodo T l, s dr, la ransformaón d Forr srá nla, salvo para la frna q orrspond al príodo xhbdo por la sr, Aos w θ, y smpr q dho prodo orrsponda on los prodos d Forr nvrsos d la frna d Forr N s par y N-/ s N s mpar. πp ; p,...,, sndo N/ s N

17 Inrodón al raamno d srs mdan flros 9 Es rslado ya dmosraón más dallada pd vrs n Prsly,98 o n alqr oro d los nmrosos lbros sros sobr l ma, s la bas d la dón d proddads olas n los daos. Así, basaría ralzar la rasformada d Forr sobr la sr y obsrvar qé ofns son dsnos d ro, ésos srán los orrspondns a la frna q pos la sr analzada. Es méodo s l q sbya n la smaón dl prodograma, q srá raado posrormn. S la sr prsnas varos omponns pródos, aparrán anos ofns no nlos omo omponns prsn la sr..3.-determinación DE LAS PERIODICIDADES OCULTAS :ANÁLISIS DEL PERIODOGRAMA. Como hmos omnado, la proddad sbyan n na sr no n porqé sr manfsa, s dr, lo habal s q d la obsrvaón d n gráfo no s dsprnda la xsna d los, dado q la ombnaón d los d dfrns amplds, frnas y fass, pdn dar lgar a srs on na volón mporal ompljas y aparnmn no próda. Para aydarnos a vsalzar la xsna d proddads podmos lzar l prodograma. D forma nva, l prodograma s asmla a n snonzador d n rpor d rado, así, la sr onóma q obsrvamos sría la sñal mda por na rado n raldad na rado q m n dfrns frnas y l prodograma no sría mas q l dal q bsa n q frna s oy la sñal mda. El prodograma sá ínmamn lgado a las smaón d la ampld d na sr próda d prodo onodo, asmsmo las xprsons dl smador MCO d las amplds, son las q s lzan n l prodograma. Spongamos q samos analzando na sr yo PGD rspond a : y A os θ ξ Dond s na varabl alaora q s dsrby ndpndnmn on mda nla y dsvaón ípa σ. S asmmos onodo l príodo d la sr y por ano la frna y s dsa drmnar A yθ, s dr la ampld y la fas, podría aplars l rro mínmo adráo, s dr: Mnmzar y A os θ Dado q la fnón a mnmzar no s lnal, s rsrb onform a las xprsons ans vsas. Tnndo n na la dndad mamáa:

18 Inrodón al raamno d srs mdan flros os r os r os sn r sn Tnmos: r ; θ y [ os os θ sn sn θ ] ξ A os θ ξ A q qval a smar a y b n: y a os b sn ξ Dond a Aosθ y b Asnθ. Sndo nsro objvo mnmzar la sma d rsdos al adrado: mn y a os b sn dfrnando rspo a a y b sndo fjo, galando a obnmos los smadors: aˆ Ψ bˆ Ψ dond { y os sn y sn os sn } { y sn os y os os sn} Ψ os sn aˆ T bˆ T sn os Exprsons q pdn aproxmars loomfld 976 por: y os y sn Como podmos noar, xs na gran smld on las xprsons orrspondns a los ofns d Forr vsos ans. Para l aso d q la sr sé ompsa por fnons pródas d príodos dsnos, s dr nós s orrspondna on na sr d Forr: a os b sn p las xprsons d los smadors son qvalns, smpr q las frnas πp mplan : ; p,...,, N/ s N s par y N-/ s N s mpar N N amaño d la msra, s dr q las frnas sa frnas d Forr.

19 Inrodón al raamno d srs mdan flros Las xprsons d los smadors son: N aˆ aˆ p N N N N N ˆ p sn p o aˆ N b os p N / N os Q omo pd omprobars nmdaamn son las msmas q las orrspondns a los ofns d Forr. En bas a sos rslados, Shsr, n898, propon n prodmno d búsqda d proddads olas onssn n allar los parámros a y b para las dsnas frnas d Forr. Para drmnar s n omponn ílo na frna drmnada sá ralmn prsn n la sr, propon allar s ampld a ravés d A a b y omprobar s s o no nlo. S ralmn la sr prsna n omponn d n príodo drmnado, la ampld orrspondn a sa frna srá dsna d ro. No obsan, s prfrbl la lzaón d la sgn xprsón q normalza las amplds ralmn magnfa la dfrna nr amplds pqñas y grands: o π I p a p b p A sa xprsón s la dnomna prodograma, o spro d ampld, y habalmn s la rprsna gráfamn rspo a. Cando la sr ralmn prsna n omponn pródo d frna, l prodograma prsna n po qvaln a la ampld normalzada d dho omponn. p π GRAFICO.3.. Sr gnrada ómo 5 os y s prodograma. 5 PERIODOGRAMA 6 - PERDG FREC

20 Inrodón al raamno d srs mdan flros En l jmplo dl gráfo.3., s ha omado N, y por ano la frna fndamnal qval a π. 36. La frna orrspond on: π π T 5 π. nós q qval a N/p, s dr l númro d los omplos q s jan n la msra onsdrada q s jsamn l príodo d la sr. La ampld, n s aso gal a 5, qda rflja n l valor d Iw ; a p b p I p * *.36 5, q s prsamn la ampld al adrado. A ravés d la rlaón d Elr podmos llgar a na xprsón alrnava, dramn rlaonada on la ransformada d Forr. Anq s asm q la sr s omplja, no hay mayor problma, dado q n númro ral s n númro ompljo on la par magnara nla, s dr, s X s ral, X/- * s ompljo. Habíamos dfndo la ransformada d Forr ómo: y la nvrsa d Forr: J j n n n / xp J j jn / xp πp j dond j, sndo l rango d varaón d j; -n/ < j < n/. N Como hmos sñalado prvamn s mpl q : J j a j b j Admás, dado q s n númro ompljo podmos xprsarlo n forma polar d la sgn forma: J R xp φ Dond Rj s la magnd y FHI la fas. R j j Enr la ampld dl snsod y la magnd s sabl la sgn rlaón: * j J j J j J j a j b j a j b j a j b j Es dr, la magnd al adrado s gal a la ara par d la ampld al adrado. j j A

21 Inrodón al raamno d srs mdan flros 3 El prodograma s allaría n s aso omo: n R I j R j π j A modo d jmplo d lzaón dl prodograma ando xsn varos omponns d dsna frna, onsrmos la sgn sr próda: y*os*p*//53*os*p*//6*os*p*//7*r Como podmos vr los armónos asoados a las frnas d Forr d ada omponn son 5, y 7 srían prodos /5; / y /7.76. Adonalmn s ha añaddo n rdo blano r d mda nla y varanza nara al mlplars por obnmos n rdo blano d frna nara y varanza ^. GRAFICO.3. y*os*p*//53*os*p*//6*os*p*//7*r En l gráfo spror podmos obsrvar ómo l omporamno pródo no rsla vdn a smpl vsa. S allamos l prodograma, obnmos l sgn rslado: GRAFICO.3.3 Prodograma smado y dall d frnas bajas PERDG 3 PERDG FREC FREC

22 Inrodón al raamno d srs mdan flros Cómo podmos obsrvar aparn laramn rs pos n las frnas 5, y 7 q son prsamn los q prsnaba la sr gnrada. S aplamos la ransformada nvrsa d Forr rpraríamos la sr orgnal, no obsan podríamos xrar la nformaón q l prodograma nos msra ajsando por MCO a la sr orgnal na ombnaón sno-osno para ada frna dnfada mdan l prodograma, así obndríamos: GRAFICO.3.: Esmaón MCO dl omponn pródo Rsdal Aal Fd Dpndn Varabl: T Mhod: Las Sqars Da: 3// Tm: :5 Sampl: Inldd obsrvaons: CUADRO.3. Varabl Coffn Sd. Error -Sas Prob. COS*PI*T*7/N SIN*PI*T*7/N COS*PI*T*/N SIN*PI*T*/N COS*PI*T*5/N SIN*PI*T*5/N R-sqard Man dpndn var Adjsd R-sqard.8683 S.D. dpndn var S.E. of rgrsson.9787 Aa nfo rron.56 Sm sqard rsd 75.9 Shwarz rron.355 Log llhood F-sas 8.59 Drbn-Wason sa ProbF-sas. Fjándonos n los ofns smados y a ravés d las xprsons ans vsas podmos vr la qvalna nr la smaón y las sr gnrada.

23 Inrodón al raamno d srs mdan flros 5 El prodograma pd alfars d méodo no paraméro d smaón d las frnas xsns n na sr, dado q s allo no prsa dl onomno dl PGD d la sr a sdar, basaría on allar las xprsons ans vsas y drmnar n q frnas l prodograma s no nlo para nfrr q la sr prsna sas frnas. A psar d odo, y omo posrormn s sñalará, rqrmos q nsaramn l PGD sa pródo y admás q las frnas xsns n la sr san frnas d Forr, dado q s so no s así nos nonraríamos on nmrosas frnas no nlas. Hmos spso dran l análss, q las frnas ran frnas d πp Forr y por ano ; p,...,, N/ s N s par y N-/ s N s N mpar N amaño d la msra. El p qval y s nrpra omo l númro d vs q n snsod d frna w ja n lo omplo n la msra onsdrada, s dr s p, la π frna asoada s, lo q qval a dr q d xsr s N omponn n la msra d amaño N onsdrada, és ja los omplos, llo mpla q s asm q s prodn los nros n la msra, lo al NO ES LO HAITUAL. Spongamos q xs n snsod q s rp vs y mda, por lo ano s asoa a na frna q no s d Forr. Eso, omo vrmos dalladamn, orgna l problma dl laag fga, sap, onago. Spongamos q l PGD sa ompso por na snsod smpl d xprsón: osw Sgún la xprsón d Elr: xp os sn Podmos vr ómo n osno qval a la par ral dl xponnal, por lo ano la rasformada d Forr d la sr qval a onsdrar xlsvamn la par ral d: J j n n xp j n n xp xp j Agrpando nmos: J j n n n xp j xp wxp j n n n xp w j

24 Inrodón al raamno d srs mdan flros 6 Analmos s smando. Como pd vrs s smlar a la sma d na progrsón goméra d razón xp w, por lo ano, podmos aplar l rslado sgn: j S w, ndrmos: j n xp w j xp xp n En ambo s w,: j n xp w j xp w j xp w j.. xp w j n xp n w n j xp w j xp w j Exprsón q pd smplfars por loomfld, 976; Proas y Manolas 998: n w xp sn sn Por lo q fnalmn nmos: S J j S J j w : n n j w : j n w xp n j [ n w j / ] [ w / ] sn sn j j [ n w j / ] [ w / ] j Como habíamos vso, l prodograma ompa las amplds, q n l aso d la noaón omplja qval a: R J J j j j J * j En s aso:

25 Inrodón al raamno d srs mdan flros 7 R j J j J * j n w xp n sn n sn [ n w j / ] [ w / ] j sn sn j [ n w j / ] [ w / ] j n w * xp n sn sn j [ n w j / ] [ w / ] j S s mpl q w s na frna d Forr, nons sa xprsón s nla salvo para w n q oma l valor. Eso s dbdo a q la dfrna nr j dos frnas d Forr p y q s n múlplo nro d la frna π fndamnal n : p q πp πq n n π p q n πr n n r Por lo q l faor q apar n l nmrador, * π π r, s n múlplo nro d n PI y por la propdad d la fnón sno: snpsnn*p. S w no s na frna d Forr, nons odos los valors dl prodograma srán laramn no nlos, dado q la dfrna nr dos frnas no srá n múlplo nro d PI. R j Fjémonos nvamn n la xprsón: n sn sn [ n w j / ] [ w / ] j A psar d q w no s na frna d Forr smpr qdará aoada por dos q sí lo son, d las q s dsanará ómo máxmo nr.5 y.5. La rprsnaón d sa xprsón qvaln al rnl d Fjr nr y apar n l gráfo.3..

26 Inrodón al raamno d srs mdan flros 8 GRAFICO.3. Como podmos aprar prsna n valor my alo n ro sría ando sá my próxma a na frna d Forr, y l rso anq no nlos rslan ada vz mnors ano mayor s la dsana q l spara d na frna d Forr q ómo máxmo srá,5 ó GRAFICO.3.5: SER SER SUS PERIODOGRAMAS.5 sros*p*// SER SER 6 5 PERDG PERDG FREC FREC

27 Inrodón al raamno d srs mdan flros 9 El fnómno dl laag pd aprars laramn n los gráfos sprors. Para SER la frna s,5, s dr no nra y por ano no d Forr pd obsrvars omo s rp n la msra vs y mda. En SER la frna s 6 y por ano s na frna d Forr s n númro nro: xsn xaamn 6 los n la msra. Como podmos aprar n ss prodogramas, para SER xsn dos frnas la y la 5 las q arrojan valors sgnfavos, admás l rso d frnas no son nlas spalmn las próxmas. Para SER únamn la frna 6 s sgnfava y l rso d frnas son laramn nlas. En nsro jmplo dl snonzador d rado l laag, qval a nonrars n na saón n la q na msora s oy galmn n dos frnas, s bn n nngna d llas s aaba d oír lo sfnmn bn. Una vz q hmos vso omo s prod y q onsnas n l laag s hora d analzar las formas d solonarlo o ando mnos rdr s fo. Uno d los méodos d solonar l laag onss n aplar lo q s dnomna daa wndows o apr, y q no s ora osa q mlplar a la sr orgnal por na xprsón q s dnomna daa wndow o apr y aplar l prodograma a la sr ransformada. Algnas d las xprsons d daa wndows más onodas son la osn bll y la boxar : Cosn bll π / w / * os,,,..., N N,,8,6,, "osn-bll" oxar π / / * os,,,..., m m, m, m,... N m π N / / * os N m,..., N m,,8,6,, "boxar" dond m s drmna a jo dl nvsgador, sndo los valors propsos por Ty loomfld 976 als q m / N s sú n,,.

28 Inrodón al raamno d srs mdan flros Así, aplando l apr n s aso n osn bll sobr SER y aplando l prodograma obndríamos: 3. GRAFICO PERDG FREC Como vmos las frnas lmadas nr y 5 son las q qdan rsaladas, lmnándos l onago d frnas adyans. En n jmplo an smpl no s apran omplamn las vrds dl prodmno vso, para llo proponmos oro jmplo q nos srvrá ambén para omprndr ora apón dl laag, la al s prod ando l PGD sá ompso por varos omponns pródos y no d llos prsna mayor ampld rlava. Por jmplo asmamos q l PGD s: sr*os*p*//.5*os*p*// Dond apramos q no d los lmnos prsna na frna NO d Forr y admás prsna na ampld mho mayor q l oro: GRAFICO PERDG SER 5 5 FREC Como s apra n l prodograma sólo s obsrva n omponn pródo. Uno d los prodmnos más sados para nnar dsngr gráfamn los pos s aplar na sala logaríma q magnfa las dfrnas, anq omo podmos vr n l gráfo nfror n s aso no mjora los rslados.

29 Inrodón al raamno d srs mdan flros GRAFICO PER Aplqmos ahora l apr a la sr y vamos l rslado, ano n na sala lnal omo n na sala logaríma. GRAFICO.3.9 PERDG FREC PER 5 PER FREC Como s pd vr, ahora s s apra laramn l omponn pródo q qdaba olo, y q d oro modo podría habr nvaldado l análss por nomplo. Ora posbl forma d obsrvar l q nos hmos olvdado n omponn, s a ravés d n smpl análss d rgrsón omando omo xógna l los omponns más frs, ya q l rsdo onndrá lo q nos hmos olvdado, al y omo podmos aprar n l gráfo.3..

30 Inrodón al raamno d srs mdan flros GRAFICO.3. SER Rsdal Aal Fd Por úlmo sñalar, q a la problmáa nrodda por xsr frnas q no son d Forr, pd añadrs l hho d q xsan frnas my próxmas nr sí, lo q ha dfíl dsngrlas a ravés d n msro n frnas a nrvalos dfndos por la frna fndamnal. Adonalmn al omponn pródo pro pdn sprponrs oro po d prosos, bn prosos soásos o bn prosos drmnsas no pródos q dsorsonan normmn l prodograma, lo q ha d la dón d proddads drmnsas n prodmno ralmn ompljo...- LA TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SERIES APERIÓDICAS PROCESOS ESTOCÁSTICOS ESTACIONARIOS. Hasa ahora hmos spso q la sr a sdar ra próda, on lo q mdan la aplaón dl prodograma podríamos drmnar qé frnas xsn n dha sr xs oda na asísa n la smaón dl prodograma q pd onslars n Prsly, así omo dvrsos s sadísos para drmnar la sgnfavdad d ada frna ando xs rdo smado a la sr próda. Naralmn xsn asos n q la sr no s próda o nlso q no prsn n omporamno drmnsa. En sos asos no smpr sá asgrada la xsna d la ransformada d Forr, sabléndos na sr d ondons para q sa ransformaón sa válda, l dall d las msmas pd onslars por jmplo n Prsly, Proas y Manolas ó loomfld. as on sñalar q sos rqsos xgn q la sr sa absolamn o adráamn smabl q no nda a nfno y n l aso d prosos soásos saonaros, q la fnón d aoovaranza sa absolamn smabl. Asmsmo

31 Inrodón al raamno d srs mdan flros 3 sñalar q n l aso d prosos soásos hablarmos d dnsdad spral y NO d prodograma anq a fos d smaón a parr d na msra fna san dénos. En s pno, s prso sñalar las dfrnas xsns nr prosos dsros pródos, apródos y soásos n érmnos frnals Prsly 98: Las sñals o srs pródas prsna n prodograma dsro, s dr, solo xs masa spral n aqllas frnas onndas n la sr, sndo ésas n númro dsro. La ordnada dl spro sgún l Torma d Parsval md la aporaón a la varanza dl proso, d n omponn d na frna drmnada. Las sñals apródas prsnan n prodograma onnúo, s dr, xs masa n n nfno númro d frnas. En s aso hablamos d aporaón a la varanza d n nrvalo d frnas. Las sñals soásas prsnan dnsdad spral n n rango onnúo d frnas. En s aso drmos q l ára dl prodograma dlmada por n rango d frnas md la aporaón sprada d s rango d frnas a la varanza oal d la sr. GRAFICO...SEÑALES APERIÓDICAS ESTOCASTICAS SU REPRESENTACIÓN FRECUENCIAL. Sñal apróda 8 6 PERDG T FREC Sñal soása R DENSIDAD FREC

32 Inrodón al raamno d srs mdan flros Nvamn la ransformada nvrsa d Forr nos prmría rprar la sr orgnal a ravés d bloqs sno-osno, no obsan al xsr n gran númro d frnas para las q l prodograma s no nlo, la aldad dl ajs dpndrá dl númro d bloqs n sí, l númro d daos d q s dspon q nrodzamos. A modo d jmplo vamos l aso d la fnón apróda vsa ans, y omo l ajs mjora al amnar l númro d bloqs sno-osno. Esos rslados sán rlaonados on l fnómno d Gbbs y la onvrgna d las srs d Forr GRAFICO... AJUSTE DE SERIES DE FOURIER A FENÓMENOS APERIÓDICOS T T_E Ajs on 5 bloqs T T_E Ajs on bloqs T_E T Ajs on bloqs T T_E Ajs on bloqs Como hmos sñalado, ando rabajamos on prosos soásos saonaros p.j. vr Prsly, para los q xsa, hablarmos d fnón d dnsdad spral no normalzada h, q no s más q la ransformada d Forr d la fnón d aoovaranza orma d Wnr-Khnhn. La fnón no normalzada d dnsdad spral s xprsa para prosos onnos τ onno: h τ R τ dτ π

33 Inrodón al raamno d srs mdan flros 5,N: O para n proso dsro r oma valors dsros-nros N,-N-,..,,,..N-, π π r h R r π r Q n s vrsón msral N obsrvaons sría: h Rˆ r, π π π N r r N Sndo la fnón d aoovaranza smada para n proso soáso saonaro d mda nla: R ˆ r r X X N r ; r N, N r N R ˆ r r X X N r ; r,,..., N r Como dmsra Prsly la xprsón dl prodograma y la d la smaón d la dnsdad spral msral vnn a sr dénas, no así s onvnna óra, dado q l prodograma no s na smaón onssn d la dnsdad spral n l aso d prosos soásos, admás prsna n omporamno rráo, dado q la orrlaón nr los valors dl prodograma para frnas onsvas nd a ro ando amna l amaño d la msra. An sos problmas s proponn smaons alrnavas dl spro, las als podmos lasfarlas n: No paraméras: proponn n savzado dl prodograma mdan la lzaón d pondraons sobr los valors dl prodograma. Esas pondraons prmn q s solon l problma d la onssna, dado q las msmas ndn a ro al amnar l amaño d la msra. Por lo ano la xprsón q prm smar l spro s: h N r λ r Rˆ r, π π π r N Dond los ofns d pondraón λr s drmna a parr d nas xprsons dnomnadas vnanas sprals, algnas d las más onodas son vnana d arl, Danll, Ty-Hannng,. S bn la lzaón d vnanas sprals prm lmnar la nonssna dl prodograma omo smador y la rrglardad, l q s savn las ordnadas dl prodograma nrod la dflad d dfrnar frnas próxmas.

34 Inrodón al raamno d srs mdan flros 6 GRAFICO..3 xos*p*//5os*p*//7 PERIODOGRAMA NO SUAVIZADO PERIODGRAMA SUAVIZADO MEDIANTE UNA VENTANA DE TUKE-HANNING M PERDG 5 DENSIDAD Para na dssón más dallada sobr pos d vnanas, propdads, s sadísos,. pd onslars l manal d Prsly 98. Méodos paraméros, parn d sponr onodo l PGD, y modlzado n gnral a ravés d n proso ARMA, a parr dl al s pd rprar na smaón dl spro lzando la xprsón gnral q lga l spro dl op d n flro raonal, on l dl np: h FREC Θ h ; π π Φ Esa rprsnaón srá raada on más dall n l aparado n q analzamos los flros. Como s podrá advnar, la problmáa d s po d smaón s halla n la spfaón y smaón dl modlo ARMA sbyan, proponéndos dsnos prodmnos: l-walr, rg, mínmos adrados sn rsrons,. Una rvsón d los msmos pd onslars n Proas y Manolas 998. FREC A fn d falar posrors rslados y famlarzar al lor on la smaón dl spro, sdarmos algno d los spros d prosos soásos omns. Un rdo blano Un rdo blano sl dfnrs omo na varabl alaora dsrbda déna ndpndnmn. Para s po d prosos la aoovaranza s nla salvo para l rardo n q s gal a la varanza

35 Inrodón al raamno d srs mdan flros 7 E ; E σ ; E Prvamn dsaar q n l aso d varabls alaoras rals, nmos q la fnón d aoovaranza s sméra n orno al rardo ro, s dr, RrR-r, por lo q, dadas las sgns xprsons: R σ os sn a os sn r Tnmos q para ada sma R r R r r s mpl: r r R r R r r R r r R rosr por lo ano: h r σ R r R ros r π r π π Al sr n rdo blano nmos: Rr para r, on lo q: σ h, π π π Cómo pd obsrvars l spro s plano, ndando q odas las frnas nn la msma mporana. Es hho y s smld on las ararísas d la lz blana, s hallan drás d la dnomnaón rdo blano. GRAFICO..: Dnsdad spral óra dl rdo blano. hw -p w p

36 Inrodón al raamno d srs mdan flros 8 Un proso MAq Analíamn, n proso MAq rspond al sgn PGD: q Dónd sablmos: E ; σ E y E Cmpléndos: [ ] q E E [ ] q q E E σ Nós q al aplar spranza sobr los prodos rzados, ésos s anlan al sar norrlaonado l np para rardos dsnos d ro. q r asmndo q r r E E r q s S q r s r S S y q r r q y r >, / ρ σ σ ρ Nvamn al raars d n proso ral nmos: r r ρ ρ Por lo ano al aplar la xprsón dl allo d la dnsdad spral llgarmos a : os π π σ π r r R r R h q K r r y Al sr nla la aoovaranza para rardos sprors a q, podmos srbr l sgndo smando omo:

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