8. CONTROL ÓPTIMO PARA SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO.
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- Francisco José Tebar Ortíz
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1 8. CONTROL ÓPTIMO PARA SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO. La oría conrol ópmo lnal mpo scro s nrsan por su aplcacón n l conrol por compuaor. 8. DESCRIPCION EN VARIABLES DE ESTADO A vcs nrsa obsrvar un ssma n cros nsans mpo. En sos casos, s posbl caracrzar l comporamno l ssma por valors fnos n sos nsans mpo solamn. La quvalnca naural la cuacón frncal sao s la cuacón frnca sao: x(+ = f [x(, u(, ] on x( s l vcor sao n l nsan u( s l vcor nraa n l nsan La cuacón la sala s: y( = g[x(, u(, ] Los ssmas mpo scro lnals son scros por la cuacón frnca sao la forma: x(+ = A( x( + B( u( on A( y B( son marcs mnsons apropaas. La cuacón sala s: y( = C( x( + D( u( S las marcs A, B, C y D son npnns, l ssma s lnal nvaran n l mpo.
2 8.2 INTERCONEXION DE SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO CON SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO Eso normalmn suc cuano s usa un compuaor gal para conrolar un ssma mpo connuo. Para ralzar físcamn sas nrconxons s usan las nrfacs nomnaas: convrsor Análogo a Dgal (A/D y convrsor Dgal a Análogo (D/A. Un convrsor A/D, llamao ambén musraor, s un aparao qu cumpl la sgun rlacón: f + ( = f( con =,, 2,. S usa la forma f + ( para sngur scunca valors la corrsponn funcón mpo connuo. Un convrsor D/A más smpl s l conoco como rnor orn cro. Es rnor s scrb por la rlacón: f( = f + ( + =,, 2,. La sgun fgura lusra un jmplo ípco nrconxón ssmas mpo scro con ssma mpo connuo. Para analzar s po ssma s convnn rprsnar l ssma mpo connuo juno con l convrsor D/A y l convrsor A/D por un ssma mpo scro quvaln. ssma mpo scro rnor orn cro ssma mpo connuo Musraor Ssma mpo scro Ssma mpo scro quvaln Fg. 8. Inrconxón ssmas scros con connuo.
3 8.3 ECUACIONES DE DIFERENCIA DE ESTADO El ssma mpo connuo la fgura 8., s un ssma lnal con: La cuacón frncal sao: x ( = A(x( + B(u( y la cuacón sala: y( = C(x( + D(u( Ya qu s usa un rnor orn cro, noncs: u( = u( + =,, 2,. Dl capíulo, pomos scrbr para l sao l ssma n l nsan + : x( = Φ(, x( Φ( +,τb(ττu( on Φ(, s la marz ranscón l ssma. Al rvar la cuacón sala corrsponn, s v la posbla qu los nsans n qu s musra la sala no concan con los nsans n qu la nraa s ajusaa. Lugo la sala asocaa con l -ésmo nsan musro, s: y( on < + con =,, 2,. Lugo nmos qu: y( = C( Φ (, x( + C( Φ(,τB(ττu( + D( u(
4 Rmplazano: x( = x + ( u( = u + ( y( = y + ( s n las cuacons l ssma n la forma: x + (+ = A (x + ( + B (u + ( y + ( = C (x + ( + D (u + ( con I =,, 2, on: A ( = Φ( B ( = C ( = C( Φ ( Φ( D ( = C(,,τB(ττ, Φ(,τB(ττ + D( S obsrva qu l ssma mpo scro n nlac rco aún s l ssma mpo connuo no lo nga, porqu D ( pu sr frn cro aunqu D( sa cro. El nlac rco saparc s D( = y l nsan conc con l nsan, s cr, =, =,, 2,. En l caso spcal n qu los nsans musro sán gualmn spacao: + = y = Amás, s l ssma mpo connuo s nvaran n l mpo, l ssma mpo scro s ambén nvaran n l mpo y A A Aτ A = ; B = ( B ; C = C ; D = ( C Aτ B + D S nomna a l proo musro y / la frcunca musro. Una vz obnas las cuacons mpo scro qu rprsnan l ssma mpo connuo, juno con los convrsors, s sá n concons suar la nrconxón l ssma con oros ssmas mpo scro.
5 8.4 SOLUCIÓN DE LA ECUACION DIFERENCIA DE ESTADO Para la solucón, xs l sgun orma, complamn análogo al vso n l capíulo. Torma 3.4 Consrar la cuacón frnca sao: x(+ = A(x( + B(u( la solucón sa cuacón s: x( = Φ(, + x( = j Φ(, j + B(ju(j + on Φ(,, con s la marz ranscón Φ(, A( A( 2...A( = I para para = + La marz ranscón Φ(, s la solucón la cuacón frnca: Φ( +, Φ(, = = A(Φ (, I S A( no pn noncs: con Φ(, = A
6 S la sala l ssma on s y( = C(x( + D(u( S l sao ncal s cro, s cr, x( y( = j= K(, ju(j =, s n qu : C( Φ(, j + B(j K(, j = D( para j - para j = Don K(, j s nomna la marz rspusa pulso l ssma. Para ssmas nvarans n l mpo K( pn (-j solamn. Para ssmas mpo scro nvaran n l mpo, algunas vcs s úl agonalzar la marz A. El sgun orma rsum s fco: Torma 8.2 n l mpo: Consrar la cuacón frnca sao nvaran x(+ = A x( S supon qu la marz A n n valors caracríscos snos λ,λ 2,...λ n con sus corrsponns vcors caracríscos, 2,, n. Dfnn las marcs n x n: T = (, 2,, n Λ = ag( λ,λ 2,...λ n Enoncs la marz ranscón la cuacón frnca sao s pu scrbr como: Φ(, = A = TΛ T
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