Transiciones de sincronización en flujos caóticos

Transcripción

1 Posgrado en Físca Fundamenal Area de Caos y Ssemas Complejos Transcones de sncronzacón en flujos caócos M.Sc. Glbero Paredes hp:// Tuor: Dr. Maro Cosenza

2 Condcones para el Caos en ssemas connuos Ssemas de ecuacones dferencales lneales enen solucón en érmnos funcones elemenales (superposcón). Teorema de Poncaré-Bendxson Úncos esados asnócos de ssemas dnámcos de varables son: Cclos límes Punos fjos x& = = f g ( x, y) ( x, y) Flujo: Trayecora en el espaco de fases de un ssema dnámco Fg. 1. Ssemas de dos varables. Caos requere al menos 3 varables y una no lnealdad

3 Modelos de EDOS que presenan caos (1) Rössler () Lorenz & x& = σ ( y x) x + ay = ( r z) x ( x c) x = y z = = b + z = xy bz y x& = y (3) Spro = x + z = xz + 3y x& = = yz x y = 1 xy (1) O. E. R ossler. Phys. Le. A, 57(5):397, () E. N. Lorenz. J. Amos. Sc., 0: , (3) J.C Spro. Phys. Rev. E 50, (1994)

4 Exponenes de Lyapunov (1) Exponene de Lyapunov x x () + Δ 0 x 0 x 0 ( x ) Δx, 0 1 Δx λ = Lm Lm ln Δx 0 Δ 0 x ( x, ) Espaco de fase n dmensonal { λ λ,... } 1, λ n 0 0 Tpos de Orbas x() Dspavo Araccón a un puno fjo Dspavo Araccón a una orba Conservavo Neural λ 0 λ 0 λ = 0 Caóco nesable λ 0

5 Sncronzacón Ajuse de rmos debdo a su neraccón. Algunos esados de sncronzacón En fase Anfase Sn sncronía α α α Sncronzacón en ssemas connuos x & = f ( ) n x n x1 = x =... = xn = x ( ) ( ) ( ) ( )

6 Acoplameno Maesro-Esclavo (1) Las dferencas Δw = v V v y V Δw 0 Fg.1. Los aracores para el ssema forzado de Rossler y el Ssema respuesa ( x' z' ) y la varable forzadora y( ). u = g( u, v) v& = h( u, v) V & = g( u(), V ) V () converge v() & (1) Fg.. las dferencas ( y' y) y ( z' z' ) enre las varables Respuesa y su conrapare forzadora para el ssema de Lorenz. (a) Cuando los parámeros son los msmos. (b) parámeros dsnos. Ssema Drve Respuesa Sub exp. De Lyapunov Rossler Lorenz x y z x y z ( x, y) ( + 0.,-8.89) ( x, z) ( 0.056, 8.81) ( x, y) ( + 0.1, + 0.1) ( y, z) ( 1.81, 1.86) ( x, z) (.67, 9.99) ( x, y) ( ,-11.01) S. Lorenz msmos parámeros. Δz Δy S. Lorenz dferenes parámeros. Δz Δy (1) Pecora and Carrol. Phys. Rev, L. 64 (8): 1995.

7 El medo ambene Acoplameno con el ambene (1) (1) G. Karel, Physca D. 37, 933 (008) La funcón de acoplameno ene una dnámca de modulacón sobre los ssemas dnámcos. Modelo maemáco xk = f ( xk, y) 1 k n β y = g y + h x y n n ( ) ( j, ) j= 1 Ssemas bológcos () En general, ales casos ocurren debdo a la neraccón con el medo común de los ssemas dnámcos. Nos refermos a ales ssemas como un acoplameno ravés del Medo común o envronmen. β = nv V cell ex V cell V ex Volumen celda ndvdual Volumen del ambene exerno () A. Goldbeer, Bochemcal Oscllaons and Cellular Rhyhms, Cambrdge U. Press (Cambrdge), 1996 x k Vecor cuyas componenes son las concenracones (moles/v) de varas especes boquímcas y Vecor de concenracones de varas especes boquímcas en ele exeror de las células

8 Ssemas caócos acoplados a un ambene común (1) Acoplameno a ravés del ambene LE x 1= x x3+ βy x= x 1+ ax x3= b+ x3 x 1 c ( ) Rössler = b = 0.1, c = y = ky βx 1 = ( β1, β ) = ( 1,1 ) AS ( β1, β ) = ( 1, 1) PS Exponenes de Lyapunov a 18 ( a ) ( b) x 11 (),x 1 () x 11 (),x 1 () Fg. 1. Seres de empo de la prmera varable x 1 de dos oscladores de Rossler acoplados con el ambene. (a) Sncronzacón en fase ( 1 = = 0., β1 = β = 1) ( b) Sncronzacón en anfase = = 0., β = β = Fg.. Los cuaro exponene mas grades de Lyapunov (LE) En funcón de la nensdad de acoplameno de los dos ssemas de Rössler acoplados aravés de un ambene. (1) V. Resm e al. Phys. Rev. E81. (010)

9 Modelos Acoplameno a ravés del ambene x 1= σ ( x x 1) + β 1 y ( ) x = r x x x 3 1 x = x x bx y= ky βx = 1 γ1 = 1, γ = 0 para 1 Exponenes de Lyapunov Lorenz σ = 10, r = 8, b= 8 3 x 11 (),x 1 () x 11 (),x 1 () Fg.. Seres de empo de la prmera varable x 1 de dos oscladores de Lorenz acoplados con el ambene. (a) Sncronzacón en fase ( 1 = = 9.0, β1 = β = 1) ( b) Sncronzacón en anfase = = 8.0, β = β = LE ( a ) ( b) Fg.. Los cuaro exponene mas grades de Lyapunov (LE) En funcón de la nensdad de acoplameno de los dos ssemas de Lorenz acoplados aravés de un ambene.

10 Modelos Modelo neuronal Hndmarsh-Rose 3 = β 1 x y ax x z I w = 1 y bx y ( ) z = rz + sr x + c w= kw βx Van der Pol ( ) = v&& + v 1 v& + v = y, 1 k 3 k k k k 1 y = y+ β v + v + v 3 ( ) 1 3. x 11 (),x 1 () x 11 (),x 1 () a = 3, b= 5, r = 0.005, s = 4, c= 1.6, I = 3.05 Fg. 1. Seres de empo de la prmera varable de dos oscladores de Hndmarsh Rose acoplados con el ambene. (a) Sncronzacón en fase 1 0.4, β1 = β = 1) ( b) Sncronzacón en anfase ( 1 = = 0.4, β1 = β = 1). x 1 v k v k v β = Fg3. v ( ) vs. para β = 0.5 Fg. () vs. para 0.5 k k

11 x& D I F (1) Sncronzacón con reardo Ssema de Rössler = ω = ω x y = f + z { { { z + ay ( x c) 1: = 0.01 : = : = : = : = : = 0. + ( x x ),1 Smulacón numérca LS 1 PS LS CS x ( 1 ) x ( τ ) a = 0.165, c = 10, f = 0. ω = ω ±Δ 0 ω0 = 0.97 Δ = 0. 0 ( ) S τ Fg. 1. Funcón de smlardad para dferenes valores de la nensdad de acoplameno. S uno de ellos es desplazado en el empo S S( τ ) 1 τ σ = 0 paraτ = 0 Caracerzar LS x1 x x = x 1 ( τ ) = SC = 0.05 = 0. τ 0 = 0.87 [ x( + τ ) x1( ) ] 1 [ x () x () ] (1) M.G. Rosenblum e al. Phys. Rev. Le 78. (1997) τ 0 = 0.1 Fg.. Régmen de sncronzacón en fase y reardo. 1

12 Transon enre los dferenes pos de Snc. Ω 1 Ω σ PS LS λ Ω Ω Fg. 1. Dferenca de frecuencas, mínmo de la funcón de smlardad, y los cuaro exponenes mas grandes de Lyapunov λ σ 1 de los dos ssemas acoplados de Rossler vs el acoplameno LS aparece como una concdenca del corrmeno en el empo de los dos esados del ssema. ( + τ ) = ( ) x x 1 0

13 Oscladores de Landau-Suar = ( 1+ ω z )z (a) Colapso de Amplud. (AD) 1 () 1 x& Oscladores de Lorenz ( ) = 10( y ( ) x ( ) ) () = x () z () y () + x () y () () = x () y () 8 z () 3 ( ) j, j =, j (b) Fg. 1 Componenes de los dos oscladores mosrando AD. (a) con osclacón = 1.5y (b) decrecmeno de la amplud en =.75. Recenemene 011 x Fg. Los res exponenes de Lyapunov mas grandes en funcón de para los oscladores (1). ( ) x& () = y () z () N 1 () = x () + ( a ) y () + y( τ ) y = y () N = 1 () = b + z () [ x () c] a = 0.5 b = 0.56 c = 7.74 (1 ) Amplude deah n coupled chaoc oscllaors Awadhesh Prasad. Phys. Rev. E7. (005) Fg. 3. Seres de empo de x,y de ().

14 Conclusones La sncronzacón en ssema maesro esclavo es lograda solo s los sub-exponenes de lyapunov del subssema esclavo son negavos Se encuenra que dos ssemas caócos pueden sncronzarse a ravés de un ambene común. El mecansmo de acoplameno es general y puede ser ajusado para obener sncronzacón (Complea, en fase, anfase). La ranscón enre los dferenes pos de sncronzacón esán relaconados a cambos en el especro de Lyapunov. Para acoplamenos grandes, se observa la sncronzacón con reardo. El reardo nduce AD en oscladores globalmene acoplados